教育最新K12山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 第3讲 等比数列及其前n项和学案(无答案)文
第3讲 等比数列及其前n 项和
学习目标：
1.掌握等比数列的概念．
2记住并会应用等比数列的通项公式与前n 项和公式及其性质．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
1.定义:
2.等比中项
如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒
3．等比数列的有关公式
(1)通项公式：
(2)前n 项和公式：
4．等比数列的性质
已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *)
(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；
(2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；
(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．
5．等比数列的三种判定方法
(1)定义法：
a n ＋1a n
＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)满足a n +1=q a n (n ∈N*,q 为常数)的数列{a n }为等比数列. ( )
(2)G 为a,b 的等比中项⇔2G =ab.( )
(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )
(4)若{a n }为等比数列,bn=n n a a 212+-，则数列{bn}也是等比数列.( )
(5)若数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( )
.
2.由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________．
5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
[典例引领]
考点1 等比数列的基本运算
3.已知{a n }为等差数列,公差为1,且a 5是a 3与a 11的等比中项,S n 是{a n }的前n 项和,
则S 12的值为( ) A.21 B.42 C.63 D.54 4.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= .
对点训练1:
1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43
，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－310) B ．19
(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)
2．4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+5a 1,a 7=2,则a 5=( ) A. B.- C.2 D.-2
3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．
4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足:3a 1-+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( )
A.9
B.12
C.16
D.36
*5设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
例2：已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，T n ＋13
b n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{b n }是等比数列． 考点2 等比数列的判定与证明
例1(1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( ) (2)在等比数列{a n }中,若a 1= ,a 4=3,则该数列前五项的积为( ) A.±3 B.3 C.±1 D.1 (3)在等比数列{a n }中,a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,则n= .
考点3 等比数列性质的应用(多考向) 对点训练2已知数列{a n }的前n 项和为S n ,在数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n-1(n ≥2),且a n +S n =n. (1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列;
(2)求数列{b n }的通项公式.
例3(1)在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5=3π,则sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)的值为( ) (2)在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= . (3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42 D ．48 (4)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．
思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
对点训练3
1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )
A ．18
B ．－18
C ．578
D ．558
2．数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．
高考链接：
1.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．
2.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14
，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．18
**3.(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.
(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S 5＝3132
，求λ. *3(2016天津,文18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且11−12=23,S 6=63. (1)求
{a n }的通项公式; (2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1) 2n n b }的前2n 项和. 思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?。
教育最新K12山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 专题 函数及其性质学案(无答案)文
函数及其性质义域与值域【课前自主复习区】 【双基自测】1.(2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋2x ＋1－x -1的定义域为________________．2．已知函数f(x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f(x)的定义域为________．3．函数y ＝1log 2x －的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3) ∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)4．函数f(x)的定义域是[－2,4]，则函数f(x 2－3x)的定义域为________________．5．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 6．函数f(x)＝ 3－2x ＋2x －3的奇偶性为( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数．D ．既是奇函数，也是偶函数． 7．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8.下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是( )A. 3y x =B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 2xy -=9.函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<【课堂互动探究区】目标分解一：会求简单函数的定义域与值域【例1】1.函数y ＝－x12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．[－3,1)∪(1,2]B ．(－3,2)C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)2．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．1(1,)2-- C ．(－1,0) D ．1(,1)2【例2】（1）.求函数y ＝13+-x x 的值域： （2）．求函数y ＝x －x 21-的值域：【我会做】1.函数y ＝log 0.5x －的定义域为( )A ．3{|}4x x >B ．3{|1}4x x <<C ．3{|1}4x x <≤D ．3{|1}4x x ≤≤2..函数y ＝12++x x x(x >0)的值域是________． 3..函数f (x )＝)13(log 2+x 的值域为 ★【我能做对】1．已知函数f (x 2)的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为____ ____．＝2 3 C．设定义在的奇函数f(m则是偶函数，则下列结论中正确的是。
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第3讲等比数列及其前n项和学案文
第3讲等比数列及其前n项和学习目标：1.掌握等比数列的概念．2记住并会应用等比数列的通项公式与前n项和公式及其性质．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．1.定义:2.等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒3．等比数列的有关公式(1)通项公式：(2)前n项和公式：4．等比数列的性质已知数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a m·a n＝a p·a q＝a2r；(2)数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…仍是等比数列；(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{a n}的公比q≠－1)．5．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n＋1a n＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(2)通项公式法：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)等比中项法：a2n＋1＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)满足a n+1=q a n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔2G=ab.( )(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )(4)若{a n}为等比数列,bn=nnaa212+-，则数列{bn}也是等比数列.( )(5)若数列{a n}为等比数列,则数列{ln a n}是等差数列.( ).2.由正数组成的等比数列{a n}满足a3a8＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝________．5.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A．31 B．32C．63 D．64[典例引领]考点1等比数列的基本运算3.已知{a n}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,S n是{a n}的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.544.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n=.对点训练1:1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)2．4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+5a 1,a 7=2,则a 5=( )A. B.- C.2 D.-23.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足:3a 1-+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( )A.9B.12C.16D.36*5设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .例2：已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，T n ＋13b n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．考点2 等比数列的判定与证明例1(1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( ) (2)在等比数列{a n }中,若a 1= ,a 4=3,则该数列前五项的积为( ) A.±3 B.3 C.±1 D.1 (3)在等比数列{a n }中,a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,则n= .考点3 等比数列性质的应用(多考向) 对点训练2已知数列{a n }的前n 项和为S n ,在数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n-1(n ≥2),且a n +S n =n. (1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列;(2)求数列{b n }的通项公式.例3(1)在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5=3π,则sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)的值为( ) (2)在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= . (3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42 D ．48 (4)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?对点训练31．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．18B ．－18C ．578D ．5582．数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．高考链接：1.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．2.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．18**3.(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. *3(2016天津,文18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且11−12=23,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式; (2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1) 2n n b }的前2n 项和. 思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课时分层训练 文 新人教
（全国通用）2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和课时分层训练文新人教A版的全部内容。
课时分层训练(三十）等比数列及其前n项和A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是( )【导学号：31222184】A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2,a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D[由等比数列的性质得，a3·a9＝a错误!≠0，因此a3,a6，a9一定成等比数列,选D.］2．(2016·重庆巴蜀中学3月模拟）我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）【导学号：31222185】A．5 B．4C．3 D．2C［设塔顶有x盏灯，则由题意知错误!＝381，解得x＝3。
故选C.］3．(2016·广东肇庆三模)在等比数列{a n｝中，S n表示前n项和,若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( ）A．－3 B．－1C．1 D．3D[两式相减得a4－a3＝2a3,从而求得错误!＝3，即q＝3.］4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝错误!，a3a5＝4（a4－1)，则a2＝（) A．2 B．1C。
高考数学一轮总复习第六章数列第三节等比数列课件
qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前
n项和Sn=A·
qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
1 > 0,
1 < 0,
4.若等比数列{an}的公比为 q,则当
或
时,数列{an}为递增
>1
0<<1
1 > 0,
A.-8
)
B.16 C.32 D.-32
(2)(2023全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则
a7=
.
5
3 27
(3)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 = ,则
=
6 28 4 -3
.
答案 (1)D
(2) -2
1
(3)6
解析(1)设等比数列{an}的公比为q,
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通
项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,
可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两
者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要
1 < 0,
数列;当
或
时,数列{an}为递减数列;当 q=1 时,数列{an}为
0<<1
>1
常数列;当 q<0 时,数列{an}为摆动数列.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：高考解答题专讲3 数列(专题拔高配套PPT课件)
高考解答题专讲
数列
考情分析 典例剖析
-5-
题型一
题型二
题型三
2 ������ +1 2 ������ +2 (2)由(1)知, an = 2 , ∴an+1 = , ������ +1 (������ +1 )2 +1 1 1 1 1
∴cn =������ (������ +1)������ ∴Sn =2 ×
高考解答题专讲
数列
考情分析 典例剖析
-4-
题型一
题型二
题型三
解:(1)∵an+1 = ∴
2 ������ +1 ������ ������ +1
−
2 ������ 1 ∵bn =������ , ∴bn+1 -bn =n+2. ������
2 ������ 1 =n+ . ������ ������ 2
1
1+������������ ������ 1 1 1
,Sn 是数列{bn}的前 n 项和.
������
������ ������
高考解答题专讲——数列
高考解答题专讲
数列
考情分析 典例剖析
-2-
考情分析从近五年高考试题分析来看,等差、等比数列是重要的 数列类型,高考考查的主要知识点有:等差、等比数列的概念、性 质、前n项和公式.由于数列的渗透力很强,它和函数、方程、向量、 三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的 力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想 有较深的理解.
高考解答题专讲
数列
考情分析 典例剖析
-3-
2018届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列学案文
第三节等比数列1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．知识点一等比数列的有关概念1．等比数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：a na n－1＝____(n≥2)，q为常数．2．等比中项如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________.答案1．2 同一个公比q2．a，G，b G2＝ab1．将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a m ，a k ，a n 成等比数列，故选D.答案：D知识点二 等比数列的通项公式及前n 项和公式1．若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝__________； 若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝__________. 2．等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝__________＝a 1－a n q1－q. 答案1．a 1q n －1a m q n －m2.a 1 1－q n1－q3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________. 答案：－4 514．(必修⑤P62习题2.5B 组第2题改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，则(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，由S 6S 3＝12知S 6＝12S 3，则14S 23＝S 3·(S 9－S 6)，所以S 9＝34S 3，所以S 9S 3＝34. 答案：34热点一 等比数列的基本量计算【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．(2)(2017·石家庄模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________.【解析】 (1)设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7， a 1＋3 ＋ a 3＋42＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7.即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意知q >1，所以q ＝2，所以a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.【答案】 (1)64 (2)2n －1(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于________； (2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n, 且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.解析：(1)设公比为q ，则由a n ＋1<a n ，知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，∴a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26，而a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2.∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1. 答案：(1)32(2)2n－1热点二 等比数列的判定与证明【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (Ⅰ)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (Ⅱ)若S 5＝3132，求λ.【解】 (Ⅰ)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0.所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－(λλ－1)n .由S 5＝3132得1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132.解得λ＝－1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，53－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N ＋)．热点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18(2)(必修⑤P77复习参考题B 组第1(2)题改编)若某等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别是A ，B ，C ，则( )A ．(A ＋B )－C ＝B 2B ．A 2＋B 2＝A (B ＋C ) C ．A ＋B ＝CD ．B 2＝AC(3)已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9【解析】 (1)法1：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2.∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法2：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)． 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2. ∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，即A ，B －A ，C －B 也成等比数列，即(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2－2AB ＋B 2＝AC －AB ，即A 2＋B 2＝A (B ＋C ), 故选B.(3)a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.【答案】 (1)C (2)B (3)A(1)(2017·石家庄模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝________.(3)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：(1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53.(2)设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q＝4.易知数列{a n a n ＋1a n ＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18n 1－18＝647(1－2－3n)． (3)依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此，S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝70＋80＝150.答案：(1)－53 (2)647(1－2－3n)(3)A1．特别注意q ＝1时，S n ＝na n 这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．判断数列为等比数列的方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a na n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列．。
2018届高考数学一轮复习专题三数列课件文
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。
• 一、听理科课重在理解基本概念和规律
• 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解， 同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。
【阅卷点评】 ①由题意列出方程组得 2 分； ②解得 a1 与 d 得 2 分，漏解得 1 分； ③正确导出 an，bn 得 2 分，漏解得 1 分； ④写出 cn 得 1 分； ⑤把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正 确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数．
(2016·浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S2＝4，an＋1＝ 2Sn＋1，n∈N*.
(2)设 bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1. 当 n≥3 时，由于 3n－1>n＋2，故 bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 T1＝2，T2＝3. 当 n≥3 时，Tn＝3＋911－－33n－2－n＋72n－2 ＝3n－n2－2 5n＋11，
•
作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。
• 二、听文科课要注重在理解中记忆
2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第六篇 第3节 等比数列 精品
2, 2,
① ②
①-②,得 an+1=4an-4an-1,所以 an+1-2an=2(an-2an-1).
因为 bn=an+1-2an,所以 bn=2bn-1,
故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(2)解:由(1)知 bn=an+1-2an=3·2n-1, 所以 an1 - an = 3 ,
a4=(6x+6)· 3x 3 =18· x 12 =-24.故选 A.
x
x
2.已知数列{an}是公比 q≠±1 的等比数列,则在{an+an+1},{an+1-an},
an an 1
,{nan}这四个数列中,是等比数列的有(
C
)
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
解析:若{an}是公比 q≠±1 的等比数列,
(A)10 (B)20 (C)100 (D)200
解析:(1)因为 a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=100. 故选C. 答案:(1)B
(2)(2015高考福建卷)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的 零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比 数列,则p+q的值等于( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
.
反思归纳
等比数列的判定方法
(1)定义法:若 an1 =q(q 为非零常数)或 an =q(q 为非零常数且 n≥2),则
2018版高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和课件
第3讲 等比数列及其前n项和
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 等比数列的有关概念 1．等比数列的定义 一般地， 如果一个数列从 第二项 起， 每一项与它的前 一项的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q(q≠0) 表示． 2．等比数列的通项公式 ＝ 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an n－1 a1q .
4 ．如果 {an} 为等比数列， bn ＝ a2n － 1 ＋ a2n ，则数列 {bn} 也是等比数列． ( × ) 5．如果数列{an} 为等比数列，则数列{ln an}是等差数 列．( × ) 6．数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn a1－an ＝ .( × ) 1－a
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例 1 15 A. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2
项和．已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5＝(
[ 解析 ]
4 an>0， a2a4＝ a2 q ＝ 1，① 1
[ 必会结论] 等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． 1．若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq，其中 m，n，p，q ∈N*，特别地，若 2s＝p＋r，则 apar＝a2 s ，其中 p，s ，r ∈ N*. 2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak＋m，ak＋2m，„仍是等比数列，公比为 qm(k，m ∈N*)．
3 ．若数列 {an} ， {bn} 是两个项数相同的等比数列，则
pan (其中 数列{ban}，{pan· qbn}和 qbn
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教学案 理
第3讲 等比数列及其前n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示．(2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N +(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ． (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．常用结论1．正确理解等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时 ，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时 ，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列； 当q ＝－1时，{a n }是摆动数列． 2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． (2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.(3)一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 次幂．(4){a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列．(5)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n(k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．二、教材衍化1．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，482．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________．解析：由题意知q 3＝a 5a 2＝18，所以q ＝12.答案：123．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.答案：－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( )(2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视项的符号判断； (2)忽视公比q ＝1的特殊情况； (3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________．解析：设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±82．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n(a ≠0)，则其前n 项和S n ＝________．解析：因为a ≠0，a n ＝a n，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时S n ＝a （1－a n ）1－a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，a （1－a n ）1－a，a ≠0，a ≠13．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不是等比数列，舍去．答案：－4等比数列基本量的运算(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( ) A．16 B．8C．4 D．2(2)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{a n}的通项公式；②记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.【解】(1)选C.设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.(2)①设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解 分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－qn n 前n 项和，若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12132．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.等比数列的判定与证明(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．【解】 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2， 所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的4种常用判定方法定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N +)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N +)，则{a n }是等比数列中项 公式法 若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N +)，则数列{a n }是等比数列通项若数列通项公式可写成a n ＝c ·qn －1(c ，q 均是不为0的常数，证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)，若b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列．证明：因为a n＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－4a n－2＝4a n＋1－4a n，所以b n＋1b n＝a n＋2－2a n＋1a n＋1－2a n＝4a n＋1－4a n－2a n＋1a n＋1－2a n＝2a n＋1－4a na n＋1－2a n＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－3n(n∈N+)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{a n＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{a n ＋3}为等比数列：因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1，所以2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1＋3a n ＋3＝2，所以存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列．所以a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n－1)(n ∈N +)．等比数列的性质(多维探究) 角度一 等比数列项的性质(1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________．【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31.【答案】 (1)50 (2)31角度二 等比数列前n 项和的性质(1)(一题多解)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n项和为60，则其前3n 项和为________．(2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式为a n ＝________．【解析】 (1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q ＝48，①a 1（1－q 2n）1－q＝60，②②÷①，得1＋q n＝54，所以q n＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎝⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n ＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为S 2n ＝S n ＋q nS n ，所以q n＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q2nS n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶， 所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64， 所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.【答案】 (1)63(2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(一题多解)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D ．18解析：选C.法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.数列与数学文化及实际应用1．等差数列与数学文化(2020·陕西汉中二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )A ．6斤B ．7斤C ．9斤D ．15斤【解析】 设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n }，则有a 1＝4，a 5＝2，所以a 1＋a 5＝6，数列{a n }的前5项和为S 5＝5×a 1＋a 52＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.【答案】 D以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n 项和等．2．等比数列与数学文化(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( )A.253 B ．503C.507D ．1007【解析】 5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则a 1（1－23）1－2＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选D.【答案】 D以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n 项和等．3．递推数列与数学文化(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N +)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( )A ．7B ．10C ．12D ．22【解析】 因为数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝2a 1－1＝2－1＝1，所以a 3＝2a 2＋2＝2×1＋2＝4，所以a 4＝2a 3－1＝2×4－1＝7.故选A.以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，求a 4的问题．4．周期数列与数学文化(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N +)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019【解析】 由于{a n }是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2. 因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．5．数列在实际问题中的应用私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年．【解析】 设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，第n 年的费用为a n ，则a n ＝1.5＋0.3n .前n 年的总费用为S n ＝15＋1.5n ＋n2(0.3＋0.3n )＝0.15n 2＋1.65n ＋15，年平均费用：S n n ＝0.15n ＋15n＋1.65≥20.15n ×15n ＋1.65＝4.65，当且仅当0.15n ＝15n，即n＝10时，年平均费用S nn取得最小值．所以这辆汽车报废的最佳年限是10年．【答案】 10数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．[基础题组练]1．(2020·江西宜春一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( )A ．{6}B ．{－8，8}C ．{－8}D ．{8}解析：选D.因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．135B ．100C ．95D ．80解析：选A.由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( )A ．1B ．2 C.22D ．2解析：选D.设公比为q ，由正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，可得a 23＋2a 3a 7＋a 27＝(a 3＋a 7)2＝16，即a 3＋a 7＝4，由a 5与a 9的等差中项为4，得a 5＋a 9＝8，则q 2(a 3＋a 7)＝4q 2＝8，则q＝2(舍负)，故选D.4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里解析：选A.由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝12，依题意有a 1（1－q 6）1－q ＝378，解得a 1＝192，则a 6＝192×(12)5＝6，最后一天走了6里，故选A.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n，即7292＝3n，所以n ＝12.6．(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________．解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16[1－（12）5]1－12＝31.答案：317．(一题多解)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：设数列{a n }的公比为q ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.答案：－78．(2020·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N +，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.10．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.[综合题组练]1．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1q ＋1＋q )＝1＋q ＋1q.当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－(－q －1q)≤1－2（－q ）·（－1q）＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q 等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C.{b n }有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b n ＝a n ＋1.a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．因为{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，则q <0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81， 相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项．q ＝－32或q ＝－23(因为|q |>1，所以此种情况应舍)，所以q ＝－32.故选C.3．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列， 所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1qn －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3. 答案：34．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N +，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－25．(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2＋4S 4＝S 6，a 1＝1.(1)求数列{a n }的公比q ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值． 解：(1)由题意可得q ≠1， 由S 2＋4S 4＝S 6，可知a 1（1－q 2）1－q ＋4·a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q，所以(1－q 2)＋4(1－q 4)＝1－q 6，而q ≠1，q >0， 所以1＋4(1＋q 2)＝1＋q 2＋q 4，即q 4－3q 2－4＝0， 所以(q 2－4)(q 2＋1)＝0，所以q ＝2.(2)由(1)知a n ＝2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n－1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15>0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15<0，所以T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6) ＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90＝S 10－2S 4－30＝(210－1)－2(24－1)－30 ＝210－25－29＝1 024－32－29＝963.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N +.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32.所以{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。