北师大版八年级数学下册直角三角形
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定（HL定理）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解并掌握直角三角形的定义及性质；
2. 掌握HL定理的证明过程和判定方法；
3. 学会运用HL定理解决实际问题时，正确识别直角三角形的直角边和斜边；
4. 能够运用HL定理与其他全等判定方法（如SSS、SAS等）相结合，解决复合型全等问题。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1. 引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现并理解HL定理；
2. 采用问题驱动法，设计具有启发性和挑战性的问题，激发学生的求知欲和探究精神；
3. 组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力；
4. 引导学生运用HL定理解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力；
5. 通过课堂讲解、例题解析、练习巩固等环节，使学生掌握HL定理的证明和应用方法。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动探究数学问题的欲望；
2. 培养学生严谨、认真的学习态度，使学生认识到数学的严密性和逻辑性；
3. 培养学生面对问题时，勇于尝试、不断探索的精神，增强学生的自信心；
4. 培养学生团队协作意识，使学生学会与他人共同解决问题，共同进步；
5. 培养学生将数学知识应用于实际生活的意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的几何基础，掌握了全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA等），并对直角三角形的性质有了初步的了解。在此基础上，学生对HL定理的学习将更为顺利。然而，学生在解决实际问题时，可能仍然存在以下困难：1. 对HL定理的理解不够深入，容易混淆直角边和斜边；2. 在与其他全等判定方法结合使用时，难以灵活运用；3. 对HL定理在现实生活中的应用认识不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的主观能动性，引导他们通过自主探究、合作交流等方式，逐步突破学习难点，提高几何解题能力。同时，注重培养学生的应用意识，将所学知识运用到实际生活中，提升学生的综合素质。
八年级下册数学知识点归纳总结北师大版
八年级下册数学知识点归纳总结北师大版
八年级下册数学知识点归纳总结北师大版包括以下部分：
一、全等三角形判定、性质
1. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）
2. 全等三角形的对应边相等、对应角相等。
二、等腰三角形的性质
1. 定理：等腰三角形有两边相等（定义）
2. 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
3. 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
三、反证法
反证法是一种证明方法，其步骤包括先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
四、直角三角形
1. 直角三角形的两锐角互余。
2. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
以上是北师大版八年级下册数学的部分知识点，如需获取更详细的信息，建议查阅教材或咨询数学老师。
2019-2020年北师大版八年级下册第一章直角三角形专题练习精选汇编(无答案)
2019-2020年北师大版八年级下册第一章直角三角形专题练习精选汇编（无答案）
1 / 4 第一章 三角形的证明 直角三角形(1)
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB＝( )
A．50° B．45° C．40° D．25° 例1
1.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为( )
A．140° B．160° C．170° D．150° 第1题
【例2】已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1， 3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )
A．只有② B．①② C．①③ D．②③
2.如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，则∠ADC的度数是 度．
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．
第2题
3.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.求证：CD⊥AB.
【例4】下列说法中，正确的是( )
A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题也是真命题
C．任何一个定理都有逆定理 D．任何一个定理都没有逆定理
4.以下命题的逆命题属于假命题的是( )
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．全等三角形的对应角相等
《 直角三角形》(第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形 教学设计
第1课时
一、教学目标
1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.
3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
二、教学重点及难点
重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
微课，知识卡片图片
五、教学过程
【情境导入】
问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC， ∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的
中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?
解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．
设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．
【探究新知】
1．忆一忆
回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．
（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？
（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
定理：直角三角形的两个锐角互余．
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B=90°.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.
∵∠C=90°，
∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.
（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
321
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.
北师大八年级数学教案-直角三角形的性质与判定
1 1．2 直角三角形
第1課時 直角三角形的性質與判定
1．複習直角三角形的相關知識，歸納並掌握直角三角形的性質和判定；
2．學習並掌握畢氏定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．(重點，難點)
一、情境導入
古埃及人曾經用下面的方法畫直角：將一根長繩打上等距離的13個結，然後按如圖所示的方法用樁釘釘成一個三角形，他們認為其中一個角便是直角．你知道這是什麼道理嗎？
二、合作探究
探究點一：直角三角形的性質與判定
【類型一】 判定三角形是否為直角三角形
具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
解析：由直角三角形內角和為180°求得三角形的每一個角的度數，再判斷其形狀．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，同理，B，C中均為直角三角形，D選項中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形．故選D.
方法總結：在判定一個三角形是否為直角三角形時要注意直角三角形中有一個內角為90°.
【類型二】 直角三角形的性質的應用
如圖①，△ABC中，AD⊥BC於D，CE⊥AB於E.
2
(1)猜測∠1與∠2的關係，並說明理由．
(2)如果∠A是鈍角，如圖②，(1)中的結論是否還成立？
解析：(1)根據垂直的定義可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根據直角三角形兩銳角互餘可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，從而得解；(2)根據垂直的定義可得∠D＝∠E＝90°，然後求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根據∠3、∠4是對頂角解答即可．
解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；
(2)結論仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(對頂角相等)，∴∠1＝∠2.
北师大版八年级下册数学基础巩固训练：1.2 直角三角形(含答案)
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
知识要点
1．直角三角形的两个锐角
．
2．有两个角互余的三角形是 三角形．
3．直角三角形两条直角边的平方和 斜边的平方．
4．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 三角形．
5．斜边和一条直角边分别相等的两个 三角形 ．
基础训练
1．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝( )
A．35° B．55° C．65° D．145°
2．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的面积相等
C. 面积相等的两个三角形全等 D. 直角三角形两锐角互余
4．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a=1.5，b=2，c=3 B. a=7，b=24，c=25
C. a=6，b=8，c=10 D. a=3，b=4，c=5
5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( )
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
6．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ）
A. 35° B. 55° C. 60° D. 70°
7．已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为( )
A. 5 B. 10 C. 12 D. 13
8．如图，DB⊥AE，AB=DB，AC=DE，则△ABC≌△DBE的依据是（ ）
北师大版八年级下册数学《直角三角形与等腰三角形》练习题
等腰三角形和直角三角形
一、填空题：
1．等腰三角形的 ，
和
互相重合。
2．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______． 3．直角三角形中,30度角所对的 等于斜边的 。
4. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．
5．已知等腰三角形有两边的长度分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是
6．在△ABC中，若AB＝AC，∠B=700，则∠A= 度。
7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A=1200，BC边上的高线的长是5，则AB= 。
8．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的的顶角等于___________度。
9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是 .
10．如图，已知点D是等腰直角三角形ABC的斜边BC上的一点， BC＝3BD，CE⊥AD，则CEAE=_______________。
11.已知直角三角形的两条直角边分别为6㎝、8㎝那么斜边上的高为 ㎝.
12.如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足，AD=2 cm，DB=8cm，则CD= cm。
13等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为________度．
14等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．
15，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是____________．
二、选择题：
1．若等腰三角形的顶角是1200，底边长为2cm，则它的腰长为( )
（A）33 （B）332 （C）2 （D）334
北师大数学八年级下册第一章-等腰三角形与直角三角形经典讲义
1
第01讲_等腰三角形与直角三角形
知识图谱
等腰三角形
知识精讲
一、等腰三角形 2
二、思路点拨
等腰三角形边或者周长的计算 注意三边关系的隐含条件
等腰、角平分线、平行
（1）△ABC是等腰三角形，
（2）AD∥BC
（3）∠1=∠2
以上三个结论知二推一
（需简单证明）
三角形中角的2倍关系
三点剖析
重难点 12BCDA12ABCEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
性质 1．两个底角相等，两条腰相等．
2．三线合一：
（1）顶角角平分线、
（2）底边上的中线、
（3）底边上的高
（可直接使用）
判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、
（2）该边上的中线、
（3）该边上的高
有两条互相重合，则是等腰三角形
（需简单证明）
3 1．等腰三角形的三线合一及其逆定理
2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一
3．等腰三角形与全等三角形综合问题
数学北师大版八年级下册直角三角形全等的“HL”的判定定理
第一章 三角形的证明
2．直角三角形全等的“HL”的判定定理
希望学校 吕淑霞
一、学情分析
学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析
本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。因此本节课的教学目标定位为：
1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
②利用“HL’’定理解决实际问题
2．能力目标：
①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．
要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案
一. 教材分析
等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质是北师大版八年级下册数学第1.1节的内容。这一节主要让学生了解等边三角形的判定方法，以及含30°角的直角三角形的性质。在教材中，通过图片和实例引出等边三角形的判定方法，以及通过几何图形和推理介绍含30°角的直角三角形的性质。
二. 学情分析
学生在学习这一节内容前，已经学习了三角形的性质，角的度量等基础知识。对于这部分内容，学生可能已经有一定的了解，但需要进一步引导他们通过几何图形和推理来深入理解等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
三. 教学目标
1. 了解等边三角形的判定方法，能够判断一个三角形是否为等边三角形。
2. 掌握含30°角的直角三角形的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点
1. 等边三角形的判定方法。
2. 含30°角的直角三角形的性质及其应用。
五. 教学方法
采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等。通过引导学生观察实例，提出问题，引导学生通过几何图形和推理来解决问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
六. 教学准备
1. PPT课件
2. 几何图形板
七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
通过展示一些等边三角形的图片，引导学生观察等边三角形的特点，引发学生的兴趣。同时，提出问题：“你们知道等边三角形的判定方法吗？” 2. 呈现（15分钟）
利用PPT课件，展示等边三角形的判定方法。通过几何图形和推理，引导学生理解等边三角形的判定方法。同时，展示含30°角的直角三角形的性质，引导学生理解并能够运用这些性质。
3. 操练（15分钟）
让学生分组合作，利用几何图形和直尺，尝试判断一些给定的三角形是否为等边三角形，并运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。