自动控制根轨迹实验(二)
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)
p3、p4的连接线上
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理4 根轨迹法的基本概念
K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。
《自动控制原理》实验指导书2
G(S)H(S)= （2-15）
式中R的单位为KΩ，比较式（2-14）和（2-15）得
T0=1，T1=0.1
T2=0.51，K=510/R(2-16)
系统的特征方程为1+G(S)H(S)=0，由式（2-14）可得到
S(T1S+1)(T2S+1)+K=0
展开得到
T1T2 +(T1+T2) +S+K=0(2-17)
2．CAE98；
3．万用表。
=
其中： =
无阻尼自然频率和阻尼比：
，
1．选定R，C，Rf值，使 ，ξ=0.2；
2．用CAE98的正弦波作为系统的输入信号，即x(t)=XSin t，稳态时其响应为y(t)=Ysin( t+φ)；
3．改变输入信号的频率，使角频率 分别等于（或接近等于）0.2，0.4，0.6，0.8，0.9，1.0，1.2，1.4，1.6，2.0，3.0rad/s，稳态时，记录屏幕显示的正弦输入x(t)=XSint和正弦输出响应y(t)=Ysin( t+φ)。记录曲线序号依次记作 ；
2、零极点对控制系统性能的影响
已知传递函数为 ,1) 分别求加入附加零点分别为-2,-1,-0.4时,系统的单位阶跃响应;2) 分别求加入附加极点分别为-1.5,-0.6,-0.4时,系统的单位阶跃响应.
3、稳态误差
已知3个系统的开环传递函数分别为 , , ,请分别计算这3个系统对单位阶跃和单位斜坡信号的响应并计算稳态误差.
二、实验要求：
1、观测不同参数下二阶系统的阶跃响应并测出性能指标：超调量MP，峰值时间tp,调节时间ts。
2、观测增益对典型三阶系统稳定性的影响。
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2 线性系统的根轨迹研究
2.1 实验目的
（1）
考察闭环系统根轨迹的一般形成规律。
（2）
观察和理解引进零极点对闭环根轨迹的影响。
（3）
观察、理解根轨迹与系统时域响应之间的联系。
（4） 初步掌握利用产生根轨迹的基本指令和方法。
2.2 实验内容
根轨迹绘制的指令法、交互界面法；复平面极点分布和系统响应的关系。
已知单位负反馈系统的开环传递函数为2
)^54()2()(2+++=s s s K s G ，实验要求： （1） 试用MATLAB 的rlocus 指令，绘制闭环系统根轨迹。
（要求写出指令，并绘出图
形。
）
num=[1 2]
num =
1 2
>> den=[1 0 16 0 25]
den =
1 0 16 0 25
>> rlocus(tf(num,den));
（2）利用MATLAB的rlocfind指令，确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。
（要求写出指令，并给出结果。
）
（3）利用MATLAB的rlocfind指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。
>> rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-0.0000 + 3.6025i
ans =
65.8411
>> sym G
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25]);
sym p
den=[1 8 26 40 25];
p=roots(den)
ans =
G
ans =
p
p =
-2.0000 + 1.0000i
-2.0000 - 1.0000i
-2.0000 + 1.0000i
-2.0000 - 1.0000i
（4）利用SISOTOOL交互界面，获取和记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数，并与前面所得的结果进行校对验证。
（要求写出记录值，并给出说明。
）
根轨迹与虚轴交点
分离点
（5） 在SISOTOOL 界面上，打开闭环的阶跃响应界面，然后用鼠标使闭环极点（小红
方块）从开环极点开始沿根轨迹不断移动，在观察三个闭环极点运动趋向的同时，注意观察系统阶跃响应的变化。
根据观察，（A ）写出响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围，（B ）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K 的取值范围。
响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围为0 ~3.25；
（6） 添加零点或极点对系统性能的影响，以二阶系统为例开环传递函数
)
6.0(1)(2s s s G += 添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小，在sisotool 界面上做仿真，写出未添加零点时系统的超调量，峰值，调节时间，添加零点后系统的超调量，峰值，调节时间，并写出系统添加零点的数值，并进行理论分析。
(选做)
南京邮电大学
实验报告
实验名称：______________________ ______________________ ______________________
课程名称：______________________
学号：______________________
姓名：______________________
开课时间 20 /20 学年，第学期。