§3.3多维随机变量函数的分布
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多维随机变量及其分布
解
(1) F ( x, y)
y
x
f ( x , y) d x d y
y x ( 2 x y ) d x d y , x 0, y 0, 0 0 2e 其它. 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y) 其它. 0,
8 3 2 14 , 13/102
§3.1 二维随机变量
3 2 P{ X 1,Y 1} 1 1 8 3 2 14 ,
2 8 1 P{ X 0,Y 2} 2 2 28 , 3 3 8 9 P{ X 1,Y 0} 1 1 2 28 ,
y
先在图像上画出非0区
O x
20/102
§3.1 二维随机变量
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标
即有 {Y X } {( X ,Y ) G },
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
y
f ( x , y ) d x d y
G
YX
2e 0 y
具有同二维类似的性质。
§3.1 二维随机变量
二维离散型的随机变量：
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0，
(1) F ( x, y)
y
x
f ( x , y) d x d y
y x ( 2 x y ) d x d y , x 0, y 0, 0 0 2e 其它. 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y) 其它. 0,
8 3 2 14 , 13/102
§3.1 二维随机变量
3 2 P{ X 1,Y 1} 1 1 8 3 2 14 ,
2 8 1 P{ X 0,Y 2} 2 2 28 , 3 3 8 9 P{ X 1,Y 0} 1 1 2 28 ,
y
先在图像上画出非0区
O x
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§3.1 二维随机变量
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标
即有 {Y X } {( X ,Y ) G },
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
y
f ( x , y ) d x d y
G
YX
2e 0 y
具有同二维类似的性质。
§3.1 二维随机变量
二维离散型的随机变量：
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0，
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
峁诗松 概率论与数理统计
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.1 边际分布函数
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则
X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
17 July 2013
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第30页
3.2.2 边际分布列
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
17 July 2013
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
−∞ −∞
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
第3章多维随机变量及其分布
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。
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证明: P((X ,Y ) D) p(x, y)dxdy ( x, y)D
p(x(u, v), y(u, v))| (x, y) | dudv
( x, y)D
(u, v)
P((U ,V ) D)
p(u,v)dudv ( u ,v )D
例3.3.9
X ,Y ~ N (, 2 )相互独立 ,则 U X Y ~ N (2,0,2 2 ,2 2 ,0)
(u
2 2 2
)2
v2 2 2
2 2 2
边际分布U ~ N(2,2 2 ),
V ~ N(0,2 2 )
P150例3.2.5
(uv )2
1
2
e 2 2
2 p(u, v) pU (u) pV (v)
U，， 相互独立
三、积分布
已知X ~ pX (x),Y ~ pY ( y)且相互独立 ， 则U XY ~ pU (u)
n
X i ~ N (0,1)且相互独立 ， 则
X
2 i
~
2 (n)
i 1
P121 例2.6.3
二、最值分布
离散场合 一般情况下 例3.3.1
连续场合 相互独立情况下
已知条件 分布函数 Fi (x) 同分布函数 F(x) 同密度函数 p(x) 同指数分布 E()
Y max{ X1,..., X n}
pZ (z) pX ,Y (zy, y) | y | dy (X ,Y ) (Z,Y )
ห้องสมุดไป่ตู้
v x, y uv
| (x, y) | | 0 (u,v) 1
v |v
u
( X ,Y ) ~ pX ,Y (x, y), Z g1 ( X ,Y ),V g2 ( X ,Y ),
则(Z,V )
~
p( z, v)
pX ,Y (x(z, v), y(z, v))|
(x, y) ( z, v)
v y, x uv
| (x, y) | | v (u,v) u
0 |v
1
已知X
~
pX (x),Y
~
pY ( y)相互独立，
则U
Y X
~
pU (u)
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立 p X ,Y (v, uv) v dv
独立性 pX (v) pY (uv) | v | dv
X—Y不服从泊松分布
=1
k!
例3.3.3 二项分布的可加性
b(n, p) b(m, p) b(n m, p)
b(n1, p) b(nr , p) b(n1 nr , p)
推广 b(n, p) b(n, p) b(nr, p)
{X n}独立同为参数为1, p的二项分布 ， 则和分布 X1 X n ~ b(n, p)
证明: p(u, v) p(u v , u v ) | (x, y) | V X Y
2 2 (u,v) 且U ,V相互独立
p(
u
2
v
,
u
2
v
)
|
1
1 1
|
p(u v , u v) 1 2 22
1 1
1 2
pX
(u
2
v)
pY
(u
2
v)
1 2
( uv )2
1
2
e 2 2
2
1
e
1 2
§3.3 多维随机变量函数的分布
刘妍丽主讲
一、和分布、差分布
1、离散场合下的卷积公式
不独立 P( X Y k) P(X i,Y k i) P(X Y k) P(X i,Y i k)
i
i
X，Y独立 P( X i)P(Y k i) X，Y独立 P(X i)P(Y i k)
|
(X ,Y) (Z,V )
Z X Y Z X Y Z XY ZX
Y
pZ (z) pX ,Y (x, z x)dx
(X,Y) (X,Z)
pZ (z) pX ,Y (z y, y)dy
pZ (z)
p
X
,Y
(x,
z x
)
|
1 x
dx |
(X,Y) (Z,Y) (X,Y) (X,Z)
pY ( y) n (1 ey )n1 ey pZ (z) n (ez )n1 ez
y0
n(enz ) z 0 Z ~ E(n)
变量变换法
已知(X ,Y ) ~ p(x, y),U g1(X ,Y ),V g2 (X ,Y ), 则求(U ,V ) ~ p(u, v)
p(u, v) p(x(u,v), y(u, v))| (x, y) | (u, v)
)
例3.3.7 伽玛分布的可加性
Ga(1, ) Ga(2 , ) Ga(1 2 , ) 推广 Ga(1, ) Ga( n , ) Ga(1 n , )
Ga(,) Ga(,) Ga(n,)
E() .... E() Ga(n,)
2 (n1 ) 2 (nr ) 2 (n1 nr )
和分布仍为此类分布，类型不变
例3.3.2 泊松分布的可加性
P(1) P(2 ) P(1 2 )
P(1 ) P(n ) P(1 n )
推广
X ~ P(1),Y ~ P(2 ), 且X与Y相互独立,则X Y ~ P(1 2 )
{X n}独立同为参数为 的泊松分布 ， 则和分布 X1 X n ~ P(n)
例3.3.6 正态分布的可加性
N
(
1
,
2 1
)
N
(
2
,
2 2
)
N (1
2
,
2 1
2 2
)
X ~ N (, 2 )， 则aX b ~ N (a b, a 2 2 ) P119，定理2.6.2
{X n}独立同为正态分布 ， 则
a1 X 1
an X n
~
N (a11
an
n
,
a12
2 1
an2
2 n
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立
u1
p X ,Y (v, v ) v dv
独立性
p
X
(v)
pY
(
u v
)
1 v
dv
v x, u xy
| (x, y) | 1 1
(u, v)
y1 ||
v
x0
不独立
p
X
,Y
(
u v
,
v)
1 v
dv
独立性
p
X
(u v
)
pY
(v)
X，Y独立 pX (x) pY (z x)dx
X，Y独立 pX (z x) pY ( y)dy
T X Y
pT (t) p(x, x t)dx
不独立
X，Y独立
pX (x) pY (x t)dx
pT (t) p( y t, y)dy
不独立
X，Y独立
pX ( y t) pY ( y)dy
i
i
不独立 P( X Y k) P( X k j,Y j) P( X Y k) P( X k j,Y j)
j
j
X，Y独立 P( X k j)P(Y j) X，Y独立 P( X k j)P(Y j)
j
j
X，Y不独立 例3.3.1
X,Y独立
例3.3.2 泊松分布的可加性 例3.3.3 二项分布的可加性
即b(1, p) b(1, p) b(n, p)
2、连续场合下的卷积公式
Z X Y
z x
FZ (z) P(Z z) P( X Y z)
p(x, y)dydx (F (x, z x) F (x,))dx
pZ (z) p(x, z x)dx 不独立
pZ (z) p(z y, y)dy 不独立
n
FY ( y) Fi ( y) i 1
Z min{ X1,..., X n}
n
FZ (z) 1 (1 Fi (z)) i 1
FY ( y) (F ( y)) n FZ (z) 1 (1 F (z)) n
pY ( y) n (F ( y)) n1 p( y) pZ (z) n (1 F (z)) n1 p(z)
1 v
dv
v y, u xy
| (x, y) | 1 1
(u, v)
y0 ||
v
x1
四、商公式
已知X
~
pX (x),Y
~
pY ( y)相互独立，
则U
X Y
~
pU (u)
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立 p X ,Y (uv, v) v dv
独立性 pX (uv) pY (v) | v | dv
证明： P(X Y k) P( X i)P(Y k i) i 0, k i 0 k 0,1,2....
i
i
i
e 1 1 i!
k i
e 2
2
(k i)!
(1 2 ) k e (12 )
k!
i
k! i!(k
i)!
1
1 2
i
2 1 2
k i
(1 2 ) k e (12 )