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优化设计梯度法和共轭梯度法
优化设计梯度法和共轭梯度法梯度法和共轭梯度法是常用的数值优化算法，用于求解非线性优化问题。
它们在工程领域中的应用广泛，能够有效解决很多实际问题。
本文将对优化设计梯度法和共轭梯度法进行介绍，并比较它们的优劣。
1. 优化设计梯度法优化设计梯度法是一种通过调整设计变量来最小化给定目标函数的方法。
它基于梯度下降的思想，每一步都会更新设计变量的取值，使得目标函数在设计变量的邻域内最小化。
优化设计梯度法的具体步骤如下：1）初始化设计变量；2）计算目标函数在当前设计变量取值下的梯度；3）根据梯度方向和步长因子更新设计变量；4）重复步骤2和步骤3，直到满足收敛条件。
优化设计梯度法的优点是简单易用，容易实现。
但是它也存在一些问题，比如容易陷入局部最小值，收敛速度慢等。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种通过迭代算法求解线性方程组的方法，也可以用于非线性优化问题。
它的特点是每一步迭代都要寻找一个新的搜索方向，使得每一次迭代都能够有效利用之前的搜索历史。
共轭梯度法的具体步骤如下：1）初始化设计变量和搜索方向；2）计算目标函数在当前设计变量取值下的梯度；3）根据搜索方向和步长因子更新设计变量；4）计算新的搜索方向，使其与上一次的搜索方向共轭；5）重复步骤2到步骤4，直到满足收敛条件。
共轭梯度法的优点是能够在较少的迭代次数内收敛到最优解，且具有较好的数值稳定性。
然而，共轭梯度法在非精确线搜索时有一定局限性，并且对于非二次凸函数可能陷入非全局最小值。
3. 优化设计梯度法与共轭梯度法的比较在实际应用中，选择合适的优化算法对于问题的解决和效率的提高至关重要。
下面对优化设计梯度法和共轭梯度法进行比较。
（1）收敛速度：在一般情况下，共轭梯度法比优化设计梯度法收敛速度更快。
这是由于共轭梯度法在搜索方向上的选择更加优化。
（2）算法复杂度：优化设计梯度法通常较为简单，易于实现，而共轭梯度法则相对复杂一些，需要额外计算共轭方向。
（3）全局最优解：共轭梯度法在处理非二次凸函数时可能陷入局部最小值，而优化设计梯度法的表现相对较差。
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
共轭梯度法原理
共轭梯度法原理共轭梯度法是线性代数中一种求解稀疏矩阵下的大规模线性方程组的方法。
它的优点是它具有迭代次数小的特点，同时也能得到比较准确的解。
共轭梯度法基于梯度下降法，但是避免了梯度下降法的缺点。
梯度下降法每一次迭代都需计算整个向量的梯度，这在高纬度数据中非常复杂，同时使用步长较大时又容易产生来回震荡的现象。
共轭梯度法的优点是在每一次迭代都会寻找一个与上次方向不同的方向，这点可以消除梯度下降法的缺陷。
令A为若干个线性矩阵的乘积，如果我们要解矩阵方程Ax=b，其中b是已知向量，求解的x向量是未知向量。
首先，我们可以用梯度下降法求出一个初值向量x0，称之为迭代初始值。
然后，我们可以利用高斯打乘法和高斯消元得到向量P，并设向量R0=Ax0-b，然后再设P逆矩阵为Pt。
共轭梯度法迭代的主要步骤如下：1. 根据目标函数和梯度函数确定初值x0；2. 初始化残差向量r0=b-Ax0，并设置迭代数k=0；3. 设置搜索方向向量p0=r0；4. 使用一维搜索方法（如Armijo步长准则）寻找最优步长αk；5. 将搜索方向向量移动到新的位置：xk+1=xk+αkp，计算新的残差rk+1=rk+αkAp；6. 如果rk+1=0或者迭代次数已达到设定值，则停止迭代；否则：7. 确定下一个搜索方向pk+1，并重复步骤4-6直到满足收敛条件。
共轭梯度法迭代的优点是每一步都在原解空间的一个线性子空间中求解，因此不需要保存全部解向量，从而大大减少了计算量和存储空间，特别适用于高纬度的线性方程组的求解。
在参数优化、图像处理和物理模拟等领域中广泛应用。
在参数优化中，共轭梯度法可以加速大规模函数的梯度计算，从而加快参数搜索的速度；在图像处理中，共轭梯度法常用于求解稀疏线性系统，例如图像压缩、图像去噪和图像恢复等；在物理模拟中，共轭梯度法可以用于求解偏微分方程组、流体力学问题和计算机视觉等领域。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
共轭梯度法
2 2 min f ( x ) = x1 + 2x2 x
⎛1⎞ 给定初始点 x (0) = ⎜ ⎜1⎟ ⎟。 ⎝ ⎠
13
⎛ 2 x1 ⎞ ⎛ 2 0⎞ 2 首先， ∇f ( x ) = ⎜ ⎜ 0 4⎟ ⎟ ，以下利用(4.14)确定 β k 。 ⎜ 4x ⎟ ⎟ ，H= ∇ f ( x ) = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ k=0：
0
k +1
) 与搜索方向 s 0 ," , s k 均正交。同时，利用引理 4.1 马上
设 H ∈ R n×n 是对称正定阵，s ," , s
0
n −1
0
n −1
是非零 G—共轭方向组，x ∈ R 。 若对问题(UQP)，
0
n
从 x 出发，依次沿 s ," , s
0
进行最优一维搜索，最终得到 x ，则 x 是(UQP)的最优解。
为保证 H-共轭性，在 x 处必须取 s 为搜索方向，而不能取 α s (α > 0) 为搜索方向。
k k
k
利用定理 4.3，马上得到上述算法的有限终止性。 定理 4.4 设 H ∈ R n×n 是对称正定阵。若用凸二次规划的共轭梯度法求解 (UQP) 时产生迭代点
x1 ," , x K ，则 x K 是(UQP)的最优解，并且 K ≤ n 。
首先由(4.7)知， g = ∇f ( x ) ( j = 0, " , k -1)是 s ," , s 的线性组合，因此根据定理 4.2，
j j 0 j
( g k )T g j =0， j = 0, " , k -1
由于
共轭梯度法在优化问题中的应用
共轭梯度法在优化问题中的应用共轭梯度法是一种高效的优化算法，在许多优化问题中都得到了广泛的应用。
它是一种迭代方法，用于解决最小化二次函数的优化问题。
在本文中，我将介绍共轭梯度法的原理和算法，并探讨它在优化问题中的应用。
一、共轭梯度法的原理共轭梯度法的核心思想是通过迭代的方式，找到一个与之前迭代步骤方向相互垂直的搜索方向，以加快收敛速度。
在每一次迭代中，共轭梯度法根据当前的搜索方向更新搜索点，直到找到最优解或达到预定的收敛标准。
具体来说，共轭梯度法从一个初始搜索点开始，计算对应的梯度，并沿着负梯度方向进行搜索。
通过一定的方法找到一个与之前搜索方向相互垂直的新搜索方向，并以一定步长更新搜索点。
迭代过程将重复进行，直到满足收敛标准或达到最大迭代次数。
二、共轭梯度法的算法共轭梯度法的算法包括以下几个步骤：1. 初始化搜索点x0和梯度g0，设置迭代次数k=0。
2. 计算当前搜索方向d_k=-g_k（k为当前迭代次数）。
3. 通过一维搜索方法找到最佳步长α_k。
4. 更新搜索点x_k+1 = x_k + α_k * d_k。
5. 计算更新后的梯度g_k+1。
6. 判断是否满足收敛标准，若满足则算法停止，否则转到步骤7。
7. 计算新的搜索方向β_k+1。
8. 将迭代次数k更新为k+1，转到步骤3。
这个算法保证了每一次迭代中的搜索方向都是彼此相互垂直的，从而加快了收敛速度。
三、共轭梯度法的应用共轭梯度法在优化问题中有广泛的应用，特别是在二次规划、线性规划和非线性规划等领域。
在二次规划问题中，共轭梯度法可以高效地求解线性系统Ax=b，其中A是一个对称正定的矩阵。
由于共轭梯度法的特性，它只需要进行n 次迭代，其中n是问题的维度，就能得到精确的解。
这使得共轭梯度法在大规模线性系统求解中具有重要的应用价值。
在线性规划问题中，共轭梯度法可以用于求解带有线性约束的最小二乘问题。
共轭梯度法通过将线性约束转化为一系列的正交子空间，从而在求解最小二乘问题时能够更快地收敛。
共轭梯度法matlab
共轭梯度法matlab中文：共轭梯度法（Conjugate Gradient），是一种非常有效的求解对称大型线性系统的近似解的算法。
使用共轭梯度法来求解线性系统最终收敛于最小值，它是在不构造正定矩阵时，可以快速求解系统的一个有效解法。
拉格朗日方程，线性系统通常表示为Ax = b，其中A为系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知标量或未知向量。
给定矩阵A和b，共轭梯度法可以用来求解x。
共轭梯度法的基本思想是，不断改变梯度的方向直到梯度收敛为零。
梯度收敛的定义是：在不同的两个迭代过程中，两个梯度的乘积的值小于一个特定的参数。
由于梯度的收敛程度越小，时间复杂度也就越低。
matlab中，我们可以使用共轭梯度法导入函数cgs来解决线性系统的代数方程。
语句形式为[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b)，其中A是系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知量，flag表示结束状态，relres为相对残差，iter表示迭代次数，resvec为残差向量。
若要解决Ax = b，即：A = [1 2;3 4]我们用matlab cgs 函数进行求解，可以这样写:[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b);flag表示收敛情况，flag=0代表收敛，flag=-1代表系数矩阵A不能被处理。
relres 是收敛的相对误差，iter是迭代次数，resvec是残差向量，x为未知量。
上面的程序可以得到flag=0，relres=1.537e-14，iter=13，resvec=[1.0135e-14]。
上面的解为x=[-1;1]，解析解一致，表明matlab cgs函数可以成功求解对称大型线性方程组。
最后，共轭梯度法是一种近似求解线性系统的有效算法，它的优势是具有快速的收敛性，在计算时省去构造正定矩阵的时间，并且稳定。
梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法
梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法（参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化）优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法梯度下降法首先，给定一个初始猜测值 ，然后按照等式k k k k ΡαΧ+=X +1 （1）或kk k k k P =X -X =∆X +α)(1 （2）逐步修改猜测。
这里向量 kP 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量kα 为学习速度，它确定了学习步长。
当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时都减小，即)()(1k k F F X <X +考虑（3）的)(X F 在k X 的一阶泰勒级数展开：kTk k k k k g F F F ∆X +X ≈∆X +X =X +)()()(1（4）其中，Tk g 为在旧猜测值k X 处的梯度kF g k X =X X ∇≡)( （5） 要使)()(1k k F F X <X +只需要（4）中右端第二项小于0，即<P =∆X k T kk k T k g g α （6）选择较小的正数k α。
这就隐含0<k Tk P g 。
满足0<k Tk P g 的任意向量成为一个下降方向。
如果沿着此方向取足够小步长，函数一定递减。
并且，最速下降的情况发生在k T k P g 最小的时候，容易知道，当k k -g P =时k Tk P g 最小，此时，方向向量与梯度方向相反。
在（1）式中，令k k -g P =，则有k k k k g αΧ-=X +1 （7）对于式（7）中学习速率k α的选取通常有两种方法：一种是选择固定的学习速率k α，另一种方法是使基于学习速率k α的性能指数或目标函数)(1k +X F 在每次迭代中最小化，即沿着梯度反方向实现最小化：k k k k g X X α-=+1。
注意：1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交，这是因为梯度与轮廓线总是正交的。