一种新的三项共轭梯度法求解非线性方程组
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
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共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
共轭梯度法例题详解
共轭梯度法例题详解共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
它的基本思想是利用一组共轭的搜索方向来逐步逼近线性方程组的解。
下面我将从多个角度详细解释共轭梯度法的例题。
首先，让我们考虑一个简单的例子。
假设我们要求解一个二维线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，x 和 b 是列向量。
共轭梯度法的步骤如下：1. 初始化 x0 和 r0，其中 x0 是初始解向量，r0 是初始残差向量，r0 = b Ax0。
2. 初始化搜索方向 p0 = r0。
3. 迭代计算：a. 计算步长 alpha = (r_k^T r_k) / (p_k^T A p_k)，其中 k 表示第 k 次迭代。
b. 更新解向量，x_(k+1) = x_k + alpha p_k。
c. 更新残差向量，r_(k+1) = r_k alpha A p_k。
d. 计算 beta = (r_(k+1)^T r_(k+1)) / (r_k^T r_k)。
e. 更新搜索方向，p_(k+1) = r_(k+1) + beta p_k。
4. 重复步骤 3 直到满足收敛条件。
这是共轭梯度法的基本算法。
下面我们通过一个具体的例子来说明。
假设我们要求解以下线性方程组：3x + 2y = 9。
2x + 5y = -4。
将其转化为矩阵形式，Ax = b，其中。
A = [[3, 2],。
[2, 5]],。
x = [[x],。
[y]],。
b = [[9],。
[-4]].首先，我们需要判断矩阵 A 是否是对称正定矩阵。
对于本例中的 A，它是对称矩阵且特征值为正，因此满足条件。
接下来，我们进行共轭梯度法的迭代计算。
假设初始解向量 x0 = [[0], [0]]，初始残差向量 r0 = b Ax0 = [[9], [-4]]。
初始化搜索方向 p0 = r0。
第一次迭代：计算步长 alpha = (r0^T r0) / (p0^T A p0) = (81 + 16) / (9 + 20) = 97 / 29 ≈ 3.34。
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度法推导总结
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度
法推导总结
一、牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代方法。
牛顿法的基本思想是：在当前点附近，用一次泰勒展开式近似原函数，然后求解近似函数的极值点。
牛顿法每次迭代所需要的计算量较大，但其收敛速度较快。
二、拟牛顿法
拟牛顿法是一种求解无约束极值问题的优化算法。
拟牛顿法是将牛顿法中Hessian矩阵用近似Hessian矩阵Bk表示的算法。
拟牛顿法的计算量比牛顿法小，但是收敛速度较牛顿法慢。
三、高斯-牛顿法
高斯-牛顿法是求解非线性最小二乘问题的一种迭代算法。
该算法假设误差服从高斯分布，利用牛顿法求解目标函数的局部极小值，以最小化残差平方和。
高斯-牛顿法在处理非线性最小二乘问题时具有很好的收敛性。
四、共轭梯度法
共轭梯度法是解决对称正定线性方程组的迭代算法。
该算法通过对一个对称正定矩阵进行迭代求解，寻找线性方程组的解。
共轭梯度法的优点是可以使用较少的内存和计算量实现高效的求解。
以上算法都是数值优化中比较常用的算法，它们各自具有不同的优缺点，可根据实际问题的特点来选择合适的算法。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
25共轭梯度法
共轭，即 piT Apj 0, i j ,i , j 1,2, ,k。 则称这组方向是关于A共轭的，也称它们是一组A共轭方向。
注：如 果A是 单 位 矩 阵 ， 则
p1T I p2 0 p1T p2 0
p1 p2
§2.5 共轭梯度法
预备知识 最速下降法 共轭梯度法 数值试验算例
21:26
预备知识：内积的定义
I II
方程组问题: 极值问题:
Ax =
min
b
f
(x)
1
xT Ax
bT
x
xRn
设 x, y Rn , 记 ( x , y) = xT y
2
▪( x, y ) = ( y, x ); ▪( tx, y ) = t ( x, y); ▪( x+ y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ); ▪( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 x = 0;
p(k 1) r (k 1) k p(k )
进行下一次迭代
例：用CG迭代法求解下列方程组: x(0) (0 0 0)T
2 0 1 x1
3
0 1 0 x2 1
1 0 2 x3
3
解： 易验证系数矩阵是对称正定的.
Step1 计算 p(0) r(0) b Ax(0) (3 1 3)T
0
x2 x1
x*
x3
注 最速下降方向反映了目 标函数的一种局部性质。它只是 局部目标函数值下降最快的方向。 最速下降法是线性收敛的算法。
f(x1,x2)=100x12+x22
最速下降法
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
共轭梯度法原理
共轭梯度法原理共轭梯度法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的优化算法。
它是一种迭代法，通过寻找一个搜索方向，并在该方向上进行搜索，逐步逼近最优解。
共轭梯度法在优化问题中有着广泛的应用，尤其在求解大规模线性方程组时表现出色。
共轭梯度法的原理可以从最小化函数的角度进行解释。
假设我们要最小化一个二次函数f(x)，其中x是一个n维向量。
共轭梯度法的目标是找到一个搜索方向d，使得沿着这个方向移动能够让函数值最小化。
在每一步迭代中，我们需要找到一个合适的步长α，使得沿着搜索方向d移动后能够使函数值减小最快。
共轭梯度法的核心思想是利用历史信息来加速收敛。
在每一步迭代中，共轭梯度法会根据历史搜索方向的信息来选择当前的搜索方向，以便更快地找到最优解。
这种方法可以在较少的迭代次数内找到最优解，尤其对于大规模问题来说，可以节省大量的计算资源。
在实际应用中，共轭梯度法通常用于求解线性方程组Ax=b，其中A是一个对称正定矩阵。
共轭梯度法的迭代过程可以通过以下步骤进行描述：1. 初始化，选择一个初始解x0，计算残差r0=b-Ax0，选择初始搜索方向d0=r0。
2. 迭代更新，在第k步迭代中，计算步长αk，更新解xk=xk-1+αkd，并计算残差rk=b-Axk。
然后根据历史搜索方向的信息，计算新的搜索方向dk= rk+βkdk-1，其中βk是一个根据历史信息计算得到的参数。
3. 收敛判断，在每一步迭代中，可以根据残差的大小来判断算法是否已经收敛。
如果残差足够小，可以停止迭代并得到近似解x。
共轭梯度法的优点在于它对存储和计算资源的要求相对较低，尤其适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
同时，由于共轭梯度法利用了历史搜索方向的信息，可以加速收敛，节省计算时间。
然而，共轭梯度法也有一些局限性。
首先，它只适用于对称正定矩阵，对于一般的线性方程组可能不适用。
其次，共轭梯度法可能受到舍入误差的影响，在迭代过程中可能会出现数值不稳定的情况。
总的来说，共轭梯度法是一种高效的优化算法，特别适用于求解大规模稀疏线性方程组。