3.10梯度法与共轭梯度法
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
- 1 -。
共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
共轭梯度法
2 2 min f ( x ) = x1 + 2x2 x
⎛1⎞ 给定初始点 x (0) = ⎜ ⎜1⎟ ⎟。 ⎝ ⎠
13
⎛ 2 x1 ⎞ ⎛ 2 0⎞ 2 首先， ∇f ( x ) = ⎜ ⎜ 0 4⎟ ⎟ ，以下利用(4.14)确定 β k 。 ⎜ 4x ⎟ ⎟ ，H= ∇ f ( x ) = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ k=0：
0
k +1
) 与搜索方向 s 0 ," , s k 均正交。同时，利用引理 4.1 马上
设 H ∈ R n×n 是对称正定阵，s ," , s
0
n −1
0
n −1
是非零 G—共轭方向组，x ∈ R 。 若对问题(UQP)，
0
n
从 x 出发，依次沿 s ," , s
0
进行最优一维搜索，最终得到 x ，则 x 是(UQP)的最优解。
为保证 H-共轭性，在 x 处必须取 s 为搜索方向，而不能取 α s (α > 0) 为搜索方向。
k k
k
利用定理 4.3，马上得到上述算法的有限终止性。 定理 4.4 设 H ∈ R n×n 是对称正定阵。若用凸二次规划的共轭梯度法求解 (UQP) 时产生迭代点
x1 ," , x K ，则 x K 是(UQP)的最优解，并且 K ≤ n 。
首先由(4.7)知， g = ∇f ( x ) ( j = 0, " , k -1)是 s ," , s 的线性组合，因此根据定理 4.2，
j j 0 j
( g k )T g j =0， j = 0, " , k -1
由于
共轭梯度法公式推导
共轭梯度法公式推导一、问题的提出与预备知识。
1. 二次函数的极小化问题。
- 考虑二次函数f(x)=(1)/(2)x^TAx - b^Tx + c，其中A是n× n对称正定矩阵，x,b∈ R^n，c∈ R。
- 对f(x)求梯度∇ f(x)=Ax - b。
- 求f(x)的极小值点，即求解Ax = b。
2. 共轭方向的概念。
- 设A是对称正定矩阵，若对于非零向量d_1,d_2∈ R^n，满足d_1^TAd_2 = 0，则称d_1和d_2是A - 共轭的（或A - 正交的）。
二、共轭梯度法的基本思想。
1. 迭代格式。
- 共轭梯度法是一种迭代算法，其基本迭代格式为x_k + 1=x_k+α_kd_k，其中x_k是第k次迭代的近似解，α_k是步长，d_k是搜索方向。
2. 确定步长α_k- 为了使f(x_k+1)最小，将x_k + 1=x_k+α_kd_k代入f(x)中，得到f(x_k+α_kd_k)=(1)/(2)(x_k+α_kd_k)^TA(x_k+α_kd_k)-b^T(x_k+α_kd_k)+c。
- 对α_k求导并令其为0，可得α_k=((r_k)^Td_k)/((d_k)^TAd_k)，其中r_k = b - Ax_k=∇ f(x_k)。
三、搜索方向d_k的确定。
1. 初始搜索方向。
- 取d_0=-r_0，其中r_0 = b - Ax_0，x_0是初始近似解。
2. 后续搜索方向。
- 对于k≥1，d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1，其中β_k-1=frac{(r_k)^TAd_k - 1}{(d_k - 1)^TAd_k - 1}。
- 下面推导β_k - 1的表达式：- 因为d_k - 1和d_k是A - 共轭的，所以d_k - 1^TAd_k = 0。
- 将d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1代入d_k - 1^TAd_k = 0，得到d_k - 1^TAd_k=-d_k - 1^TAr_k+β_k - 1d_k - 1^TAd_k - 1=0。
共轭梯度法详细解读
共轭梯度法详细解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠共轭梯度法。
你想想啊，咱平常解决问题就像走迷宫似的，有时候会在里面转来转去找不到出路，而共轭梯度法呀，就像是在迷宫里给咱指了一条明路！比如说你想找一条最快从山这头到那头的路，共轭梯度法就能帮上大忙啦！
它可不是随随便便就出现的哦，那可是数学家们绞尽脑汁研究出来的宝贝呢！就好比一个超级英雄，专门来打救我们这些在复杂问题里苦苦挣扎的人。
在实际应用里，它可厉害着呢！比如说在工程计算中，要设计一个最完美的结构，共轭梯度法就能迅速算出最优解。
哇塞，这不就相当于有个超厉害的军师在帮咱出谋划策嘛！
你再想想，我们日常生活中很多事情都可以类比成用共轭梯度法来解决问题呀。
比如说你要规划一次旅行，怎么安排路线最合理，不就是在找那个最优的旅行路径嘛，这时候共轭梯度法的思路就能派上用场啦！它就像一个隐藏在幕后的高手，默默地为我们排忧解难。
而且哦，一旦你掌握了它，那种感觉就像是你突然掌握了一种绝世武功，能在各种难题面前游刃有余。
这可太酷了吧！
哎呀呀，共轭梯度法真的是太神奇、太有用啦！大家可一定要好好去了
解它、运用它呀，你绝对会被它的魅力折服的！相信我，没错的！。
共轭梯度法matlab
共轭梯度法matlab中文：共轭梯度法（Conjugate Gradient），是一种非常有效的求解对称大型线性系统的近似解的算法。
使用共轭梯度法来求解线性系统最终收敛于最小值，它是在不构造正定矩阵时，可以快速求解系统的一个有效解法。
拉格朗日方程，线性系统通常表示为Ax = b，其中A为系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知标量或未知向量。
给定矩阵A和b，共轭梯度法可以用来求解x。
共轭梯度法的基本思想是，不断改变梯度的方向直到梯度收敛为零。
梯度收敛的定义是：在不同的两个迭代过程中，两个梯度的乘积的值小于一个特定的参数。
由于梯度的收敛程度越小，时间复杂度也就越低。
matlab中，我们可以使用共轭梯度法导入函数cgs来解决线性系统的代数方程。
语句形式为[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b)，其中A是系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知量，flag表示结束状态，relres为相对残差，iter表示迭代次数，resvec为残差向量。
若要解决Ax = b，即：A = [1 2;3 4]我们用matlab cgs 函数进行求解，可以这样写:[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b);flag表示收敛情况，flag=0代表收敛，flag=-1代表系数矩阵A不能被处理。
relres 是收敛的相对误差，iter是迭代次数，resvec是残差向量，x为未知量。
上面的程序可以得到flag=0，relres=1.537e-14，iter=13，resvec=[1.0135e-14]。
上面的解为x=[-1;1]，解析解一致，表明matlab cgs函数可以成功求解对称大型线性方程组。
最后，共轭梯度法是一种近似求解线性系统的有效算法，它的优势是具有快速的收敛性，在计算时省去构造正定矩阵的时间，并且稳定。
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r
如果
r
(k )
，停止
收敛速度？？？？？
缺陷：收敛速度慢！
否则，进行下一次循环
(k ) x 则由前述最速下降算法产生的序列 满足
Th
设
A 的特征值为 0 1 n
k
,
x
其中
(k )
x A b。
n 1 (0) x A x x n 1 1
( 0)
(1)
x
0 p
,r
(1)
b Ax
(1)
如何确定下一个搜索方向呢？
(r , r ) p ， r 0 选取初始向量 x (0) (0) ( Ap , p ) ， (1) ( 0) ( 0) (1) (1) x x 0 p , r b Ax
( 0)
( 0) ( 0)
( k )T (k )
终止条件：
r
( k 1)
0
算法简化： r ( k )T
p k ( k )T ( k ) p Ap ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) (r , p ) (b Ax ,p )
(r
(k ) (k )
(k )
(k )
, p ) k ( Ap , p ) 0
(k ) (k ) (k)
( r , p ) ( r ( k ) , r ( k ) k 1 p( k 1) )
(r , r ) (k ) (k ) (r , r ) k (k ) (k ) ( Ap , p )
(k ) (k )
(r , Ap ) k (k ) (k ) ( p , Ap )
(k) *
k
且 lim ( x ( k ) ) ( x * )，
k
lim x ( k ) x *。
二、最速下降法
几何意义：
等值线
x
( 0)
x
思 想
最速下降法是指每次沿着函数值 下降最快的方向寻找最小值点。
而函数值下降最快的方向是函数的负梯度方向
最速下降法实现过程： ( 0) 选取初始向量 x ，由二次函数 ( x ) 的基本性质 (0) ( 0) ( 0) ( x ) b Ax r
d (r , r ) ( 0) ( 0) ( x r ) 0 0 (0) ( 0) d ( Ar , r )
d (0) (0) (0) (0) 注意到 2 ( x r ) ( Ar , r ) 0 d
2
(0)
(0)
min ( x
(0)
r ) (x
§3.10 共轭梯度法 设 Ax b, 其中
A (aij ) R nn为对称正定矩阵，
x ( x1 , , xn )T , b (b1 , , bn )T ; x* A1b.
思 想
共轭梯度法将求解方程组问题等价转化为一个 二次 泛函的极值问题。
一、与方程组等价的二次泛函问题 定义二次函数
共轭梯度法的实现过程
(0)
(0)
如何确定下一个搜索方向呢？ 由过点
x
(1)
向量
r
(1)
和p
( 0)
所张成的下列二维平
面内找出函数值下降最快的方向作为搜索方向
p
(1)
2 x x
(1)
r
(1)
p : , R
(0)
p
(1)
、p
( 0)
和
r(1)的几何意义2x p
n 1 n n ( x ) aij xi x j b j x j 2 i 1 j 1 j 1
为 Ax
b 的解的充要条件是
( x ) min ( x ).
xR n
证明： 必要性:
1 ( x ) ( Ax , x ), 对 x Rn 有 2
A (aij ) R 为对称正定矩阵， Ax b T 其中 x ( x1 , x2 , , xn ) ; b (b1 , b2 , , bn )T
设
n n
(0) (1) (l ) (i ) ( j) p , p , , p 满足 ( Ap , p ) 0 i j
r 0 ，则 x 就是方程组的解； (0) (0) 如果 r 0 ，则沿 r 方向进行一维极小搜索：
如果
(0)
( 0)
求
0
(1)
x
( x r ) 达到最小值, ( 0) ( 0) x 0r .
使得
( 0) ( 0)
则
( x ( 0 ) r ( 0 ) )= 1 ( 0) ( x r ( 0 ) )T A( x ( 0 ) r ( 0 ) ) bT ( x ( 0 ) r ( 0 ) ) 2
(0)
其中 0 , 0 满足
0 r (1)T Ar (1) 0 r (1)T Ap(0) r (1)T r (1) (1)T (0) (0)T (0) 0 r Ap 0 p Ap 0
取下一个搜索方向为
p
(1)
(1)
1
0
x )r (x
(1)
(1)
(r , r ) k (k ) (k ) (r , r )
( k 1)
p
( k 1)
r
( k 1)
x
( k 1)
x
(k )
k p
k p
(k )
(k )
进行下一次迭代
Th 6 .4 .3由共轭梯度法得到的 r , p 满足性质： ( j) (i) r , p 0, 0 i j k
(1)
r (1)
x
(1)
p
(0)
此时 ( x ) 在 2 上可表示为
x (1) r (1) p(0)
( , )
T 1 (1) (1) (0) (1) (1) (0) x r p A x r p 2 T (1) (1) (0) b x r p
下面以 x
( 2)
为新的迭代值，重复上述过程即可
(k ) p 一般地，设已经得到 ，则第k+1步迭代的计算公式为
r p k ( k )T ( k ) p Ap x ( k 1) x ( k ) k p( k ) ( k 1) ( k 1) b Ax r ( k 1)T (k ) r Ap k ( k )T ( k ) p Ap ( k 1) ( k 1) (k ) r k p p
( k 1)
(k )
r
( k 1)
b A( x k pk ) b Ax rk k Apk , ( r ( k 1) , r ( k ) ) 0
( k 1)
(k )
k
(r
( k 1)
, (r r (k ) ( p , Ap )
1 k (k ) (k ) ( k 1)
r
( 0)
( k 1)
r
( k 1)
(k )
p
( 0)
b Ax ( 0) r
(k )
如果 r
k Ap 0 ，停止
( k 1)
(k )
否则，计算
For k=0 , 1 , 2 , … , n
(r , r ) 计算 k (k ) (k ) ( Ap , p )
(k )
(0)
(0)
0r )
(0)
令 x (1)
下面以
x
x
(1)
( 0)
0r
(0)
，从而完成第一次迭代。
为新的初值，重复上述过程。
最速下降法的算法:
选取初值
(k )
x
( 0)
R
(k )
n
搜索方向是正交的：
For k=0,1,2,…
(r
( k 1)
,r
(k )
)0
( k 1) ( k 1) b Ax r b Ax (k ) (k ) (r , r ) (k ) (k ) k b A( x k r ) (k ) (k ) ( Ar , r ) ( k 1) (k ) ( k ) r ( k ) Ar ( k ) x x k r k
A
上述定理说明，当 1
n时最速下降法收敛非常慢。
3、共轭梯度法/*Conjugate-Gradient Method*/
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一， 也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
Hestenes和Stiefle（1952）提出来的，用于解正定系数矩阵 的线性方程组， Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非线性最优化问题 的共轭梯度法。 由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二 次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问 题中，已经成为求解大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方 法。
(i) (i)
r , r 0, i j , 0 i , j k Ap , p 0, i j , 0 i , j k
( j) (i) ( j) (i)
Krylov (克雷洛夫)子空间
(0)
span r , , r
(0)
A, r
span p , , p , k 1 span r , Ar , , A r