共轭梯度法
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
- 1 -。
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
共轭梯度法
必有
p
T j
∇f
(X
n
)
=0(源自j=0,1,L,
n
− 1)
因为A正定，所以f (X ) 是凸函数，故 X n 是惟一的全局 极小点。
从而
∇f (Xk ) = AXk + b
=
AX
j+1
+
λ* j+1
Apj+1
+L+
λ* k −2
Apk−2
+
λ* k −1
Apk
−1
+
b
=
∇f
(X
⎡6 ⎢⎣17
12⎤ 17⎥⎦
⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤ 289⎥⎦
T
−
210⎤⎡ 3 289⎥⎦⎢⎣−1
−11⎥⎦⎤⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤T 289⎥⎦
= 17 10
X2
=
X1
+
λ1 p1
=
⎡ 26 ⎢⎣17
38 ⎤ T 17 ⎥⎦
+ 17 10
⎢⎣⎡−
90 289
−
210 ⎤ T 289 ⎥⎦
= [1
1]T
∇f ( X 2 ) = [0 0]T
练习： 试用共轭梯度法二次函数
min
f
(x)
=
x12
+
1 2
x22
+
1 2
x32
的极小点。取初始点为x( 0 ) = (1,1,1)T
3 、非二次函数的共轭梯度法
一般地，我们有：
⎧ X k+1 = X k + λk pk
共轭梯度法和梯度下降法
共轭梯度法和梯度下降法共轭梯度法和梯度下降法是两种常用的优化算法，它们在解决最小化目标函数的问题上具有重要作用。
本文将介绍这两种算法的原理、应用场景以及优缺点。
一、共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解线性方程组或非线性优化问题。
它的核心思想是通过迭代的方式寻找下降最快的搜索方向，并在每一次迭代中保证搜索方向互相正交，从而有效地加速优化过程。
共轭梯度法的优势在于对于大规模线性方程组或非线性优化问题，可以在有限的迭代次数内找到精确解。
这是由于它能够利用问题的特殊结构，充分利用历史信息，避免了重复计算。
因此，共轭梯度法在图像处理、机器学习、信号处理等领域得到广泛应用。
二、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的优化算法。
它的核心思想是通过迭代的方式沿着目标函数梯度的反方向更新参数，从而逐步逼近最优解。
梯度下降法的优势在于简单易懂、易于实现，并且在许多优化问题中都能取得不错的效果。
它的应用范围非常广泛，包括线性回归、逻辑回归、神经网络等机器学习算法中的参数优化，以及函数逼近、图像处理等领域。
三、共轭梯度法与梯度下降法的区别和联系共轭梯度法和梯度下降法都是迭代优化算法，但它们之间存在一些重要的区别和联系。
1. 方向选择：共轭梯度法在每一次迭代中选择的搜索方向是互相正交的，这使得每一步的搜索方向都是全局最优的。
而梯度下降法只利用了当前位置的梯度信息，选择的搜索方向是当前位置的负梯度方向。
2. 收敛速度：共轭梯度法通常比梯度下降法收敛速度更快。
这是因为共轭梯度法充分利用了历史信息，避免了重复计算，从而加速了优化过程。
而梯度下降法通常需要更多的迭代次数才能达到相同的精度。
3. 适用场景：共轭梯度法适用于解决大规模线性方程组或非线性优化问题，特别是对于稀疏矩阵或具有特殊结构的问题效果更好。
而梯度下降法适用于一般的优化问题，特别是凸优化问题。
4. 存储需求：共轭梯度法只需要保存少量历史信息，因此在内存有限的情况下能够处理较大规模的问题。
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
一、什么是共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method），是一种用于求解线性方程组的迭代优化算法，它是一种搜索梯度的迭代算法。
共轭梯度法的基本思想是沿梯度的反方向搜索，并在每一步令搜索的方向接近更新的局部梯度。
它是一种非常有效的求解有约束的非线性优化问题的方法，是求解线性方程组的有效算法。
共轭梯度法可以看作是一种极小化函数的迭代方法，它最主要的思想是不断更新梯度的方向，从而寻找函数值最小的点。
二、共轭梯度法的原理
共轭梯度法是一种迭代优化算法，它以凸二次型函数为例，可以用来求解最小值问题。
它的基本思想是：
（1）首先求得函数的梯度，即每一步优化的搜索方向，使梯度变为最小；
（2）以梯度的反方向搜索，令搜索的方向接近更新的局部梯度，而不是与旧的梯度成正比的步长；
（3）逐步更新搜索的方向为新的梯度；
（4）重复这个过程，直到所有的自变量满足限制条件。
三、共轭梯度法的优缺点
共轭梯度法最大的优点是它具有收敛速度快，可以在有限的迭代步数内收敛到最优解；另外，它还具有计算量小，不需要计算精确的
Hessian矩阵的优点。
共轭梯度法的缺点是它不能用来求解非凸优化问题，因为它只能求解凸优化问题；另外，它也不能用于强不可约的优化问题。
共轭梯度法beamforming_理论说明
共轭梯度法beamforming 理论说明1. 引言1.1 概述共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种常用的优化算法，广泛应用于解决线性方程组和最优化问题。
Beamforming是一种利用信号处理技术来实现指向性传输和接收的方法，在通信、雷达等领域有着广泛的应用。
本篇长文将探讨共轭梯度法在Beamforming中的理论应用。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：首先介绍共轭梯度法的原理和基本思想，包括线性方程求解的问题、共轭梯度法的基本思想以及迭代过程与收敛性分析；然后，将详细阐述Beamforming的基本概念，包括信号传输和接收的需求、Beamforming技术在通信中的应用以及技术实现原理和方法；接着，我们将探究共轭梯度法在Beamforming中的具体应用，涵盖了优化问题表述、目标函数定义及优化过程说明以及基于共轭梯度法的Beamforming实例分析与结果讨论；最后总结主要研究发现并展望取得成果和应用前景，并提出后续研究工作的建议。
1.3 目的本文的目标是通过理论说明共轭梯度法在Beamforming中的应用，以深入探讨这一优化算法在指向性传输和接收技术中的实际效果。
通过对共轭梯度法及其在Beamforming中的应用进行分析，旨在提供有关该算法与通信技术结合方面的研究参考，为相关领域的学者和工程师提供新思路和解决问题的方法。
2. 共轭梯度法的原理2.1 线性方程求解的问题在讨论共轭梯度法的原理之前，我们首先来了解一下线性方程求解的问题。
线性方程组是由多个线性等式组成的方程组，如Ax = b，其中A为已知矩阵，x为待求解向量，b为已知向量。
线性方程求解即为找到满足该方程组的解x。
2.2 共轭梯度法的基本思想共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组Ax = b的迭代方法。
它基于以下基本思想：通过选择合适的搜索方向，将目标函数在各个搜索方向上取得最小值，并以此逼近实际的最优解。
共轭梯度法
共轭梯度法对物质的一种分析方法，共轭梯度分析法是近几十年发展起来的无损检测技术。
共轭梯度技术是将多种物理效应相结合，并且具有较高的检出率、分辨率和灵敏度，这是一种具有很大发展潜力的分析技术。
共轭梯度法主要包括：共轭电子效应、共轭磁效应、共轭梯度效应。
共轭梯度分析技术是一种高效的新型无损检测技术。
其主要优点在于：①不需要使用电子源；②同时利用共轭电子效应和共轭磁效应，可以消除多种原子的外层电子对核磁矩的屏蔽作用，同时，也降低了铁磁性物质的饱和磁化强度的影响；③能够实现对缺陷浓度较低的金属或非金属材料的快速检测。
共轭梯度技术是20世纪70年代发展起来的无损检测技术，它是利用一些特殊的元素（如铝、铅、铋等）与一些有色金属的原子形成离子，或在两者之间形成过渡族的元素（如汞、铊、铟等），从而达到产生强共轭的效果，再利用超声场或磁场改变他们的相互作用，而不改变他们的化学性质。
共轭梯度的基本原理：①共轭电子效应。
就是利用一些电负性比较强的元素作为原子核，因此他们最外层的电子被核外其他电子吸引，由于距离原子核较远，受到核外电子的排斥，所以核外电子浓度较小。
其电子从价带跃迁到导带，然后再跃迁回价带，所以他们不显电性。
反之，价带中的电子被导带中的电子所吸引，从而降低了价带的电子密度，增加了导带的电子密度，使得原子的核外电子浓度减少，同样会使原子的磁矩减弱。
因此，与这些元素形成化合物的非金属元素的电子都会向原子核附近集聚，从而影响原子的磁矩。
但是当原子序数越高，因为核外电子对核磁矩的屏蔽作用越弱，元素形成的化合物的稳定性越高，原子序数越高的元素的电子就越容易向原子核靠拢。
②共轭磁矩效应。
与电子的共轭电子效应相反，铁磁性物质的原子的核外电子轨道对外磁矩的影响相对比较大。
当这些原子处于磁化状态时，内层电子只能自旋平行，但是这个平行的自旋磁矩，会使这些原子的自旋磁矩大小相等，互相抵消，因此这些原子呈顺磁性。
但当这些原子处于非磁化状态时，内层电子的自旋磁矩可以取向不同，所以，铁磁性物质又显示出反铁磁性。
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共轭梯度法
1.算法思想：
共轭梯度法是利用目标函数梯度逐步产生共轭方向作为线搜索方向的方法，每次搜索方向都是在目标函数梯度的共轭方向，搜索步长通过一维极值算法确定。
2.算法步骤：
用共轭梯度法求无约束多维极值问题min (),n f x x R ∈的算法步骤如下：
（1） 给定初始点(0)x ，及精度0ε>； （2） 若
(0)()f x ε
∇≤，停止，极小值点为(0)x ，否则转步骤（3）；
（3） 取(0)(0)()p f x =-∇，且置0k =；
（4） 用一维搜索法求k t ，使得()()()()()0
()min
k k k k k t f x t p f x tp ≥+=+，令，(1)()()k k k k x x t p +=+，转步骤5； （5） 若
(1)()k f x ε
+∇≤，停止，极小值点为(1)k x +，否则转步骤（6）；
（6） 若1k n +=，令(0)()n x x =，转步骤（3），否则转步骤（7）； （7） 令(1)(1)()()k k k k p f x p λ++=-∇+，2(1)2
()
()
()
k k
k f x
f x λ+∇=∇，置1k k =+，转
步骤（4）。
3.算法源程序：
#include<stdio.h> #include<math.h>
#define N 10
#define eps pow(10,-6)
double f(double x[],double p[],double t)
{
double s;
s=pow(x[0]+t*p[0],2)+25*pow(x[1]+t*p[1],2); return s;
}
/*以下是进退法搜索区间源程序*/
void sb(double *a,double *b,double x[],double p[]) {
double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1;
int k=0;
t0=2.5; /*初始值*/
h=1; /*初始步长*/
alpha=2; /*加步系数*/
f0=f(x,p,t0);
t1=t0+h;
f1=f(x,p,t1);
while(1)
{
if(f1<f0)
{
h=alpha*h; t=t0;
t0=t1; f0=f1;
k++;
}
else
{
if(k==0)
{h=-h;t=t1;}
else
{
*a=t<t1?t:t1;
*b=t>t1?t:t1;
break;
}
}
t1=t0+h;
f1=f(x,p,t1);
}
}
/*以下是黄金分割法程序源代码*/
double hjfg(double x[],double p[])
{
double beta,t1,t2,t;
double f1,f2;
double a=0,b=0;
double *c,*d;
c=&a,d=&b;
sb(c,d,x,p);/*调用进退法搜索区间*/
printf("\nx1=%lf,x2=%lf,p1=%lf,p2=%lf",x[0],x[1],p[0],p[1]); printf("\n[a,b]=[%lf,%lf]",a,b);
beta=(sqrt(5)-1.0)/2;
t2=a+beta*(b-a); f2=f(x,p,t2);
t1=a+b-t2; f1=f(x,p,t1);
while(1)
{
if(fabs(t1-t2)<eps)
break;
else
{
if(f1<f2)
{
t=(t1+t2)/2;
b=t2; t2=t1;
f2=f1; t1=a+b-t2;
f1=f(x,p,t1);
}
else
{
a=t1; t1=t2;
f1=f2;
t2=a+beta*(b-a);
f2=f(x,p,t2);
}
}
}
t=(t1+t2)/2;
return t;
}
/*以下是共轭梯度法程序源代码*/
void gtd()
{
double x[N],g[N],p[N],t=0,f0,mod1=0,mod2=0,nanda=0; int i,k,n;
printf("请输入函数的元数值n=");
scanf("%d",&n);
printf("\n请输入初始值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&x[i]);
f0=f(x,g,t);
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];
mod1=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2));/*求梯度的长度*/
if(mod1>eps)
{
p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;
while(1)
{
t=hjfg(x,p);/*调用黄金分割法求t的值*/
printf("\np1=%lf,p2=%lf,t=%lf",p[0],p[1],t);
x[0]=x[0]+t*p[0]; x[1]=x[1]+t*p[1];
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];
/*printf("\nx1=%lf,x2=%lf,g1=%lf,g2=%lf",x[0],x[1],g [0],g[1]);*/
mod2=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2)); /*求梯度的长度*/
if(mod2<=eps) break;
else
{
if(k+1==n)
{
g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];
p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;
}
else
{
nanda=pow(mod2,2)/pow(mod1,2);
printf("\nnanda=%lf,mod=%lf",nanda,mod2);
p[0]=-g[0]+nanda*p[0];
p[1]=-g[1]+nanda*p[1];
mod1=mod2;
k++;
}
}
printf("\n--------------------------");
}
}
printf("\n最优解为x1=%lf,x2=%lf",x[0],x[1]);
printf("\n最终的函数值为%lf",f(x,g,t));
}
main()
{
gtd();
}
4.运行结果:
5.结论与总结：
通过这次运筹学的课程设计，，从中让我学到了很多知识，对共轭梯度法的设计与实现有了进一步的认识，搜索方向都是在目标函数梯度的共轭方向，搜索步长通过一维极值算法确
定，本次课程设计通过上网查找和在图书馆查找相关资料但从中还有很多不足之处，在日后的学习中不断完善。
6.参考文献；
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法[J].数学年刊,1996,17A(3):177-284
[4]焦宝聪,陈兰平.Glostein线搜索下混合共轭梯度法的全局收
敛性[J].计算数学
[5] 焦宝聪,陈兰平.三项混合共轭梯度算法及其收敛性[J].运
筹学学报，2007，11（2）：83，90。