计算方法——共轭梯度法求解线性方程组的matlab程序
共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
matlab共轭阶梯法
matlab共轭阶梯法英文回答：Gaussian Elimination or Row Reduction.Gaussian elimination, also known as row reduction, is a method for solving systems of linear equations by transforming the augmented matrix of the system into an equivalent matrix in row echelon form. This form allows us to easily identify the solutions to the system.Steps of Gaussian Elimination:1. Convert the system of equations into an augmented matrix.2. Use row operations to transform the augmented matrix into row echelon form.Row operations:Interchange two rows.Multiply a row by a nonzero constant.Add a multiple of one row to another row.3. Interpret the row echelon form to solve the system.Row Echelon Form:A matrix is in row echelon form if it satisfies the following conditions:1. All zero rows are at the bottom of the matrix.2. The first nonzero entry in each row (called the leading entry) is 1.3. Each leading entry is to the right of the leading entry in the row above it.4. All entries below the leading entry in a column are 0.Example:Consider the system of equations:2x + 3y = 1。
计算方法——共轭梯度法求解线性方程组
(2)
(k)
共轭梯度法中关键的两点是迭代格式(2)中最佳步长k 和搜索方向 d
(k) (k)
的确定。其
中k 可以通过一元函数f(x +d )的极小化来求得，其表达式为公式(3)；取 d (0) = r(0) = b-Ax(0)，则 d(k+1) = r(k+1) +kd(k)，要求 d(k+1)满足 (d(k+1) , Ad(k)) = 0，可得k 的表达 式(4)。
计算方法上机报告
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1 共轭梯度法求解线性方程组
1.1 算法原理及程序框图 当线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是对称正定矩阵是，可以采用共轭梯度法对该 方程组进行求解，可以证明，式(1)所示的 n 元二次函数 1 f ( x ) x T Ax bT x (1) 2 取得极小值点 x*是方程 Ax = b 的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求 解一个与之等价的二次函数极小化的问题。从任意给定的初始点出发，沿一组关于矩 阵 A 的共轭方向进行线性搜索，在无舍入误差的假定下，最多迭代 n 次（其中 n 为矩 阵 A 的阶数） ，就可求得二次函数的极小点，也就求得线性方程组 Ax = b 的解。其迭 代格式为公式(2)。
4
1 1
1 0 ，b 2 1 0 1 1 2
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矩阵 A 的阶数取 200 进行求解。 由于该线性方程组的系数矩阵阶数比较大，而且具有一定的规律，因此首先用 matlab 编程将系数矩阵、右端项以及阶数保存在 D 盘根目录的三个文件中（生成系数 矩阵， 右端项以及阶数的程序见附录 2） ， 然后运行共轭梯度法程序进行方程组的求解。 最终的运行结果为图 4 和图 5。程序运行之后 D 盘根目录下生成的文件如图 6 所示。
计算方法——共轭梯度法求解线性方程组的matlab程序
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附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
clc;clear; n = input('输入系数矩阵的阶数 n： '); A = zeros(n,n); A(1,1:2) = [-2,1]; A(n,n-1:n) = [1,-2]; for i=2:n-1; A(i,i-1:i+1) = [1,-2,1]; end b = zeros(n,1); b(1) = -1; b(n) = -1; csvwrite('d:\data_A.txt',A); csvwrite('d:\data_b.txt',b); csvwrite('d:\data_n.txt',n);
k1附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序22附录2生成系数矩阵右端项以及阶数的matlab程序clc
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附录 1 共轭梯度法求解线性方程组的 matlab 程序
clear;clc; aa = input('\n 请选择系数矩阵、右端项以及系数矩阵阶数的输 入方式：\n 从文件中输入数据输入 1，\n 从命令窗口输入数据请输 入 2。\n'); if aa==1 A = load('d:\data_A.txt'); b = load('d:\data_b.txt'); n = load('d:\data_n.txt'); end if aa==2 A = input('\n 输入系数矩阵 A(对称正定):\n'); b = input('\n 输入线性方程组的右端项 b:\n'); n = input('\n 输入系数矩阵的阶数 n：\n'); end epsilon = input('\n 输入计算要求的精度 epsilon:\n'); x(:,1) = rand(n,1); alpha = zeros(n,1); %给定初始的向量
共轭梯度法在bp算法中的应用及其matlab仿真
共轭梯度法在bp算法中的应用及其matlab仿真共轭梯度法在BP算法中的应用：BP神经网络的训练通常会涉及到对于权值矩阵的更新，而梯度下降法是最常用的一种训练方法。
然而梯度下降法存在一些问题，例如收敛速度慢，易陷入局部最优解等。
因此，人们开始尝试使用共轭梯度法对权值矩阵进行更新。
共轭梯度法在更新权值矩阵时可以更快地找到全局最优解。
共轭梯度法是一种迭代法，其思想是不断地利用之前的搜索方向来确定下一个搜索方向，从而加快搜索速度。
在BP神经网络的训练中，共轭梯度法就是针对误差函数进行优化，同时也就是针对权值矩阵进行更新。
具体来说，共轭梯度法主要可以分为以下几个步骤：1.初始化权值矩阵和搜索方向；2.计算误差函数的梯度；3.利用搜索方向计算误差函数在该方向上的最小值；4.更新权值矩阵和搜索方向；5.判断是否满足一定的停止条件，如果满足，则结束迭代。
通过以上步骤，共轭梯度法可以更快地找到全局最优解，从而提高了BP神经网络的训练效率。
Matlab中实现共轭梯度法的代码：在Matlab中，可以使用cg函数来实现共轭梯度法。
cg函数的输入为一个函数句柄和一个初始向量，输出为最优解和最优值。
我们可以以一元二次方程的最小化为例，来展示如何利用cg函数实现共轭梯度法。
代码如下：function [x_star, f_star] = cg_example。
%定义目标函数。
%定义目标函数的梯度。
%定义初始向量。
x0=0;。
% 调用cg函数。
[x_star, f_star] = cg(f, df, x0);。
其中，cg函数的具体实现可以参考Matlab的官方文档。
在实际应用时，需要根据具体的问题来定义目标函数和梯度函数，以及初始向量。
共轭梯度方法
共轭梯度方法（Conjugate Gradient Method）是求解线性方程组的一种迭代算法。
该方法适用于求解大型稀疏的对称正定线性方程组，可以显著减少计算量和存储空间。
该方法的主要思想是利用共轭方向（Conjugate Directions）的性质，在有限次迭代中求解方程组的解。
共轭梯度方法的基本步骤如下：
选取一个初值$x_0$，并令$r_0=b-Ax_0$，其中$b$ 为方程组的右端向量，$A$ 为系数矩阵。
计算一个共轭方向$p_0=r_0$，即$p_0$ 与$r_0$ 正交，并满足$Ap_0 \neq 0$。
对于$k=0,1,2,\ldots$，执行以下操作：
a. 计算$\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k}$。
b. 更新解向量$x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。
c. 计算残差向量$r_{k+1}=r_k-\alpha_kAp_k$。
d. 计算$\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。
e. 更新共轭方向$p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kp_k$，即$p_{k+1}$ 与$p_k$ 具有共轭性。
如果残差向量$r_k$ 较小，则停止迭代，输出解向量$x_k$。
共轭梯度方法具有收敛速度快、存储空间小等优点，但对于非对称和非正定的线性方程组，该方法可能不收敛。
同时，该方法也有一些变体，如预处理共轭梯度法、共轭残差法等，可以更好地解决不同类型的线性方程组求解问题。
共轭梯度法求解方程组
共轭梯度法是一种常用的迭代方法，用于求解线性方程组Ax = b。
它适用于对称正定矩阵的情况，可以高效地求解大规模的线性方程组。
下面是使用共轭梯度法求解方程组的一般步骤：1. 初始化：选择一个初始解x0 和初始残差r0 = b - Ax0，设置初始搜索方向d0 = r0。
2. 迭代计算：进行迭代计算，直到满足停止准则（如残差的大小或迭代次数达到一定阈值）为止。
a. 计算步长αk = (rk^T rk) / (dk^T A dk)，其中rk = b - A xk 是当前的残差。
b. 更新解xk+1 = xk + αk dk。
c. 计算新的残差rk+1 = rk - αk A dk。
d. 计算新的搜索方向dk+1 = rk+1 + (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk) dk。
e. 更新迭代次数k = k + 1。
3. 输出解：当满足停止准则时，输出最终的解x。
需要注意的是，共轭梯度法的效率和收敛速度与矩阵的条件数有关。
对于病态矩阵或条件数较大的情况，可能需要进行预处理或使用其他更适合的求解方法。
此外，共轭梯度法还可以应用于非线性方程组的求解，采用牛顿法等方法来迭代求解。
在实际应用中，可以使用现有的数值计算库或软件来实现共轭梯度法，以提高计算的效率和精度。
稳定的双共轭梯度法bicgstabmmatlab实现
稳定的双共轭梯度法bicgstabmmatlab实现以下是在MATLAB中实现稳定的双共轭梯度法(BiCGStab)的示例代码：```matlabfunction [x, res, iter] = bicgstab(A, b, tol, max_iter)% 输入：矩阵A，向量b，迭代收敛容差tol，最大迭代次数max_iter% 输出：解向量x，残差向量res，实际迭代次数iter% 初始化向量和参数n = length(b);x = zeros(n, 1);r = b - A * x;r_tilde = r;p = r;rho = 1;alpha = 1;omega = 1;res = norm(r);iter = 0;while res > tol && iter < max_iteriter = iter + 1;rho_prev = rho;rho = dot(r_tilde, r);beta = (rho / rho_prev) * (alpha / omega);p = r + beta * (p - omega * A * p);v = A * p;alpha = rho / dot(r_tilde, v);h = x + alpha * p;if mod(iter, 50) == 0 % 50次迭代做一次重启优化r = b - A * h;elser = r - alpha * v;ends = A * r;omega = dot(s, r) / dot(s, s);x = h + omega * r;res = norm(r);endend```使用示例：```matlabA = [3 1; 1 2]; % 矩阵Ab = [1; 2]; % 向量btol = 1e-6; % 容差max_iter = 1000; % 最大迭代次数[x, res, iter] = bicgstab(A, b, tol, max_iter); % 调用bicgstab函数求解fprintf('解向量：\n');disp(x);fprintf('残差：%f\n', res);fprintf('迭代次数：%d\n', iter);```注意：这里的示例代码仅适用于求解2x2矩阵的线性方程组，对于更大规模的问题，需要根据实际情况进行相应的改进。
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beta = zeros(n,1); r(:,1) = b-A*x(:,1); d(:,1) = r(:,1); figure; xlabel('迭代步数'); ylabel('残量'); hold on for k=1:n alpha(k) = r(:,k)'* r(:,k)/(d(:,k)'*A*d(:,k)); x(:,k+1) = x(:,k)+alpha(k)*d(:,k); r(:,k+1) = b-A*x(:,k+1); if norm(r(:,k+1))<epsilon; break; else beta(k) = norm(r(:,k+1))^2/(norm(r(:,k))^2); d(:,k+1) = r(:,k+1)+beta(k)*d(:,k); plot(k,norm(r(:,k+1)),'.k','markersize',15) hold on pause(0.1) end end grid; xlswrite('d:\data_x_result.xls', x(:,k+1), ''\n 所求线性方程组的解为：\n') fprintf('%.8f\n',x(:,k+1))
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附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
附录 2 生成系数矩阵、右端项以及阶数的 matlab 程序
clc;clear; n = input('输入系数矩阵的阶数 n： '); A = zeros(n,n); A(1,1:2) = [-2,1]; A(n,n-1:n) = [1,-2]; for i=2:n-1; A(i,i-1:i+1) = [1,-2,1]; end b = zeros(n,1); b(1) = -1; b(n) = -1; csvwrite('d:\data_A.txt',A); csvwrite('d:\data_b.txt',b); csvwrite('d:\data_n.txt',n);
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附录 1 共轭梯度法求解线性方程组的 matlab 程序
clear;clc; aa = input('\n 请选择系数矩阵、右端项以及系数矩阵阶数的输 入方式：\n 从文件中输入数据输入 1，\n 从命令窗口输入数据请输 入 2。\n'); if aa==1 A = load('d:\data_A.txt'); b = load('d:\data_b.txt'); n = load('d:\data_n.txt'); end if aa==2 A = input('\n 输入系数矩阵 A(对称正定):\n'); b = input('\n 输入线性方程组的右端项 b:\n'); n = input('\n 输入系数矩阵的阶数 n：\n'); end epsilon = input('\n 输入计算要求的精度 epsilon:\n'); x(:,1) = rand(n,1); alpha = zeros(n,1); %给定初始的向量
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