最优化共轭梯度法
数值最优化(共轭梯度)ppt课件
极小点.
最终x(n)= u1 p1+u2 p2+···+un pn =x* 即迭代过程同样在n步之后找到最优点.
因此,对二次函数
f ( x) 1 xTGx bT x c 2
我们可以找到n个方向(向量),对其依次进行一维搜索,最
8
共轭方向法的思路
|| (s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ||G2
(s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ,
( s1
1
u1 )
p1
( s2
n
u2
)
p2
L
(sn un ) pn
(s1 1 u1)2 || p1 ||G2 (si ui )2 || pi ||G2
即p1,p2,···,pn线性无关,且 pi , pj 0(i j)
设问题的最优解x*= -G-1b在这组基底下的表示为x*= u1 p1+u2 p2+···+un pn
任取初始点x(0) =s1 p1+s2 p2+···+sn pn, 在方向p1上进行 一维搜索,即求解问题
min || (s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ||G2
z
x(1) O
x(3) =x* x(2) y
x(0)
x
5
共轭方向法的思路
上面的方法对一般的二次函数是否适用呢?
考虑问题
其中
G
1 2
最优化方法-共轭方向和共轭梯度法
由3式可以看出
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2.共轭方向-共轭方向法
• 基本定义
利用共轭方向作为搜索方向的无约束极小化算法
• 通用步骤:
(1)任取X 0 ,以及在X 0的下降方向P0 , k 0; (1)求解一维搜索问题
min f ( X k Pk ),为最优步长,是个数值．
(3) X k1 X k k Pk ;
X
T QX
bT
X
c, Q正定,
X 0是初始点,
P0
f
(X0)
X k1 X k k Pk , k 0,1...m 1, k是最优步长,且
Pk1 f ( X k1) ak Pk (这是构造的结果)
其中ak
f
( X k1)T QPk PkT QPk
,
P0
(
X
)T
k 1
Pk
)T
PkT f ( X k1)
f ( X k1) QX k1 b Q( X k k Pk ) b, ( X k 1 X k k Pk )
f ( X k1) (QX k b) kQPk f ( X k ) kQPk
当m 2时 所以，P0，P1， Pm1是线性无关的。
P0T QP1
P0T Q f ( X 1 )
f ( X 1 )T QP0 P0T QP0
P0
P0T Qf ( X 1 ) f ( X 1 )T QP0 0
表明，P0与P1共轭。
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1.共轭方向法的基本原理
• 已知 X1 点是在 X 0 点在直线 l0 上沿 P0 搜索方向的一个极小 点。（l0 与 P0 是平行的）
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
共轭方向与共轭梯度法-最优化方法
f (X1)T P0 0 ，所以 f (X1)T P0 1P1TQ P0 0
P1TQ P0 0
（1）
以上就是搜索方向P1所必须满足的（必要） 条件。这也是使X2是极小点的充分条件。 P1，P2称为关于Q的共轭方向。
讨论表明 对于二维的具有正定矩阵Q的 二次函数f(X),从任一初始点出发，依次沿关 于Q共轭的两个方向进行一维搜索，必可达到 f(X)的无约束精确极小点。
Pk 1
0
且对j 0,1 , k 2, 有
PjT QPk PjT Q f ( X k ) k1Pk1
PjT Qf
(X
k
)
k
PT
1 j
QPk
1
f ( X k )T QPj
f ( X k )T f ( X j1) f ( X j ) j
f ( X k1 ) QX k1 b Q( X k k Pk ) b (2)
f ( X k1 ) f ( X k ) k QPk
所以
f ( X m ) f ( X m1) m1QPm1
f ( X m2 ) m2QPm2 m1QPm1
其中1 是最优步长，1>0 .因为 X * 是无约束极小点。
故 f ( X * ) 0 即 QX * b 0
f (X1) QX1 b
Q( X * 1P1) b (QX * b) 1QP1 1QP1
又因为 X1是f(X)沿P0方向的直线l0上的极小点，故
设 X En ,
,Q为对称正定矩阵，P0，
P1，···，Pm-1是关于Q共轭的m个共轭方向，
最优化共轭梯度法
x1 x2
,
A
4 0
0 2
.
f ( x) ( 4x1 , 2x2 )T .
第 1 次迭代：
令 d (1) g1 ( 8, 4 )T ,
而
1
g1T d (1) d (1)T Ad (1)
(
8
,
4
)
8 4
(
8
,
4
)
2. 共轭梯度法
Fletcher R eeves 共轭梯度法 :
min f ( x) 1 xT Ax bT x c 2
其中 x Rn , A是对称正定矩阵，b Rn，c 是常数。
基本思想：将共轭性和最速下降方向相结合，利用已知迭 代点 处的梯度方向构造一组共轭方向，并沿此方向进行搜索，求出 函数的极小点。
取最速下降方向作为第一个搜索方向，开始下一轮搜索。
注 在共轭梯度法中，也可采用其它形式的公式计算i ，如
i
giT1( gi1 giT gi
gi )
( PRP共轭梯度法）。
i
|| gi1 || d (i)T gi
(Dixon共轭梯度法）。
i
gi
T 1
(
gi1
gi
)
d (i)T ( gi1 gi )
||
gi1 ||2 d (i)T gi
|| gi1 ||2 || gi ||2
(4)
FR算法步骤：
1. 任取初始点x(1) ，精度要求 ，令k 1。 2. 令g1 f ( x(1) ),若 || g1 || ,停止，x(1)为所求极小点；
共轭梯度法在优化问题中的应用
共轭梯度法在优化问题中的应用共轭梯度法是一种高效的优化算法，在许多优化问题中都得到了广泛的应用。
它是一种迭代方法，用于解决最小化二次函数的优化问题。
在本文中，我将介绍共轭梯度法的原理和算法，并探讨它在优化问题中的应用。
一、共轭梯度法的原理共轭梯度法的核心思想是通过迭代的方式，找到一个与之前迭代步骤方向相互垂直的搜索方向，以加快收敛速度。
在每一次迭代中，共轭梯度法根据当前的搜索方向更新搜索点，直到找到最优解或达到预定的收敛标准。
具体来说，共轭梯度法从一个初始搜索点开始，计算对应的梯度，并沿着负梯度方向进行搜索。
通过一定的方法找到一个与之前搜索方向相互垂直的新搜索方向，并以一定步长更新搜索点。
迭代过程将重复进行，直到满足收敛标准或达到最大迭代次数。
二、共轭梯度法的算法共轭梯度法的算法包括以下几个步骤：1. 初始化搜索点x0和梯度g0，设置迭代次数k=0。
2. 计算当前搜索方向d_k=-g_k（k为当前迭代次数）。
3. 通过一维搜索方法找到最佳步长α_k。
4. 更新搜索点x_k+1 = x_k + α_k * d_k。
5. 计算更新后的梯度g_k+1。
6. 判断是否满足收敛标准，若满足则算法停止，否则转到步骤7。
7. 计算新的搜索方向β_k+1。
8. 将迭代次数k更新为k+1，转到步骤3。
这个算法保证了每一次迭代中的搜索方向都是彼此相互垂直的，从而加快了收敛速度。
三、共轭梯度法的应用共轭梯度法在优化问题中有广泛的应用，特别是在二次规划、线性规划和非线性规划等领域。
在二次规划问题中，共轭梯度法可以高效地求解线性系统Ax=b，其中A是一个对称正定的矩阵。
由于共轭梯度法的特性，它只需要进行n 次迭代，其中n是问题的维度，就能得到精确的解。
这使得共轭梯度法在大规模线性系统求解中具有重要的应用价值。
在线性规划问题中，共轭梯度法可以用于求解带有线性约束的最小二乘问题。
共轭梯度法通过将线性约束转化为一系列的正交子空间，从而在求解最小二乘问题时能够更快地收敛。
最优化共轭梯度法
最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。
它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。
共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。
当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。
共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。
2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。
3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。
4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。
当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。
因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。
最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。
然而，该方法也存在一些缺点。
首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。
其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。
总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。
共轭梯度法求解最优化计算Matlab
syms x1 x2；f=4*（x1)^2-4＊（x1）＊(x2）+3＊（x2)^2+x1;％函数表达式%f=8*(x1）^2+4*(x1)*（x2）+5*(x2)^2;X=—10:0.1：10; Y=—10：0。
1：10;[X，Y］=meshgrid(X，Y)；Z=4.＊X.^2-4.＊X。
＊Y+3。
＊Y.^2+X;mesh(X,Y,Z)contour（X,Y,Z)x0=［10 10］'；％初始点v=［x1，x2］；mu=0。
01；％最小误差gradf=gradient（f);%函数的梯度H=jacobian（gradf，v）;h0=subs（H，[x1；x2］，x0）；%在点x0处的Hessiang0=subs(gradf，[x1;x2］,x0);％在点x0处的梯度值if g0’*g0〈mu%检验是否满足精度条件minf=subs(f，[x1；x2],x0）;%函数的最小值return;endd0=-g0;％搜索方向alpha=-（g0’＊d0)/（d0'*h0＊d0）;％步长xk=x0+alpha＊d0;%下一点gk=subs（gradf，[x1；x2],xk）;%梯度值beta=gk’*gk/(g0'＊g0)；%求搜索方向时的系数dk=-gk+beta＊d0;%下一个方向x0=xk;％更新点g0=gk；%更新所在点的梯度d0=dk；%更新方向while g0’*g0>mualpha=-（g0’＊d0）/(d0’*h0＊d0);%步长xk=x0+alpha*d0;%下一点gk=subs(gradf，［x1;x2］,xk）;％梯度值beta=gk’＊gk/（g0’*g0)；％求搜索方向时的系数dk=—gk+beta＊d0；％下一搜索方向x0=xk;％更新点g0=gk；％更新所在点的梯度d0=dk；％更新方向hk=subs（H,[x1;x2］,x0)；％在点xk处的梯度值h0=hk；%更新矩阵endminf=subs（f,[x1；x2］,xk）%函数的最小值xk。
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所以
? j ? 0, j ? 1, 2 ,? , k。
因此 d1 , d 2 ,? , d k 线性无关。
几何意义
设有二次函数 f ( x) ? 1 ( x ? x)T A( x ? x) 2
其中 A 是 n ? n 对称正定矩阵， x 是一个定点。
则函数 f ( x) 的等值面 1 ( x ? x)T A( x ? x) ? c 2
k
?
? idi
?
0,
i?1
上式两边同时左乘 d jT A，则有
k
?
? i d jT Adi
?
0,
i?1
因为 d1 , d 2 ,? , d k 是 k 个 A共轭的向量，所以上式 可化简为
? j d jT Ad j ? 0 .
因为 d j ? 0 , 而 A是正定矩阵，所以 d jT Ad j ? 0，
x2
x (0)
d(1)
x
d (2)
x (1)
o
x1
即等值面上一点处的切 向量与由这一点指向极 小点的向量关于 A 共轭。
定理 2. 设有函数 f ( x) ? 1 xT Ax ? bT x ? c ，
2 其中 A是 n阶对称正定矩阵。d(1) , d(2) ,? , d(k) 是 一组A共轭向量。
?
min
?
f
( x(k)
?
?
d(k) )
直到某个 x(k) 满足 ? f ( x(k) ) ? 0。
注 由定理 2可知，利用共轭方向法 求解上述极小化问题， 至多经过
n 次迭代必可得到最优解 。
如何选取一组共轭方向？
2. 共轭梯度法
Fletcher ? R eeves 共轭梯度法 :
min f ( x) ? 1 xT Ax ? bT x ? c 2
其中 x ? Rn , A是对称正定矩阵，b? Rn，c 是常数。
基本思想：将共轭性和最速下降方 向相结合，利用已知迭 代点 处的梯度方向构造一组 共轭方向，并沿此方向 进行搜索，求出 函数的极小点。
以下分析算法的具体步骤。
(1) 任取初始点 x(1)，第一个搜索方向取为 d (1) ? ?? f ( x (1) ) ；
即求解
min f ( x(k) ? ? d (k) ) 。
?
记 ? (? ) ? f ( x(k) ? ?d(k) ) ,
令 ? ?(? ) ? ? f ( x(k) ? ? d(k) )T d(k) ? 0，
即有 [ A( x (k) ? ? d (k) ) ? b]T d (k) ? 0，
令 gk ? ? f ( x(k) ) ? Ax(k) ? b，则有
则 d (1)是点 x (1)所在等值面的切向量。
该等值面在点 x(1) 处的法向量为 ? f ( x(1) ) ? A( x(1) ? x).
则 d(1) 与 ? f ( x(1) ) 正交，
即 d (1)T ? f ( x(1) ) ? 0, 令 d(2) ? x ? x(1) , 所以 d(1)T Ad(2) ? 0,
共轭梯度法
1. 共轭方向和共轭方向法
定义 设 A 是 n ? n 的对称正定矩阵，对于 Rn中的两个非零向量 d1 和 d 2，
若有 d1T Ad2 ? 0 ，则称 d1和d 2关于A共轭。 设 d1 , d2 ,? , dk 是 Rn 中一组非零向量，如果 它们两两关于 A 共轭，即 d iT Ad j ? 0 , i ? j , i , j ? 1, 2 ,? , k。 则称这组方向是关于 A共轭的，也称它们是一 组A共轭方向。
是由 d (1) , d(2) ,? , d (k) 生成的子空间。特别地 ，当 k ? n时，x(n? 1)是
f ( x )在 R n上的唯一极小点。
推论 在上述定理条件下，必 有
? f ( x(k?1) )T d(i) ? 0 , i ? 1,2 ,? , k。
共轭方向法
对于极小化问题 min f ( x) ? 1 xT Ax ? bT x ? c , 2
是以 x 为中心的椭球面。
由于 ? f ( x) ? A( x ? x) ? 0 ,
而 ? 2 f ( x ) ? A,
因为A 正定，所以? 2 f ( x ) ? A ? 0 ,
x
因此 x 是 f ( x) 的极小点。
设 x(0) 是在某个等值面上的一 点， d(1) 是 Rn中的一个方向， x(0)沿着 d (1) 以最优步长搜索得到点 x(1) 。
则在（1）式两边同时左乘 d(k)T A，得
0 ? d (k)T Ad(k? 1) ? ? d ( k)T Agk? 1 ? ? kd ( k)T Ad ( k)
解得
?k
?
d(k)T A gk? 1 d(k)T Ad(k)
(2)
(3) 搜索步长的确定 :
已知迭代点 x(k)和搜索方向 d(k) ,利用一维搜索确定最优 步长 ? k ，
(2) 设已求得点 x(k? 1) ，若? f ( x(k? 1) ) ? 0 ，令 gk? 1 ? ? f ( x(k? 1) ) ， 则下一个搜索方向 d(k? 1)按如下方式确定 :
令 d(k?1) ? ? gk?1 ? ? k d(k)
(1)
如何确定 ? k？
要求 d (k? 1) 和 d (k) 关于 A共轭。
注： 如果 A 是单位矩阵，则
d1T ?I ?d2 ? 0 ? d1T ?d 2 ? 0 ? d1 ? d2
共轭是正交的推广。
定理 1. 设 A是 n阶对称正定矩阵，d1 , d 2 ,? , d k 是 k 个 A共轭的非零
证明
向量，则这个向量组线 性无关。
设存在实数 ? 1 ,? 2 ,? ,? k ，使得
其中 A是正定矩阵，称下述算 法为共轭方向法 :
(1) 取定一组 A共轭方向 d(1) , d(2) ,? , d(n) ；
(2) 任取初始点 x(1) , 依次按照下式由 x(k)确定点 x(k? 1) ,
??
x(k?1) ? x(k) ? ? k d(k)
? ??
f
( x(k)
?
?k
d(k) )
以任意的 x(1) ? Rn为初始点，依次沿 d(1) , d (2) ,? , d(k) 进行搜索，
得到点 x(2) , x(3) ,? , x(k? 1) ,则 x (k? 1) 是函数 f ( x)在 x(1) ? Bk 上的
极小点，其中
Bk
? { x|x ?
k
?
?id(i),?i ?
ห้องสมุดไป่ตู้R}
i?1