共轭梯度法
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
共轭梯度法(精品文档)
1
g2T (g2 d1T (g2
g1) g1)
g2T g2 g1T g1
4） 一般地，在第 k 次迭代中，令
k 1
dk gk idi i0
适当选取 i ，使 dkTGdi 0 （ i 0,
, k 1），可得到
i
gkT Gdi diT Gdi
gkT (gi1 gi ) diT (gi1 gi )
§4.2 共轭梯度法
提纲
1、共轭梯度法---F-R共轭梯度法 2、共轭梯度法性质定理及例题 3、再开始FR共轭梯度法 4、Beale三项共轭梯度法 5、预条件共轭梯度法（了解）
共轭梯度法
在上一节中讨论了共轭方向法，其中n个共轭方向是预先设定好的。但是如何 让获取这些共轭方向并为提及。本节讨论一种重要的共轭方向法——共轭梯 度法。这种方法是将共轭性和最速下降方向相结合，利用已知迭代点处的梯 度方向构造一组共轭方向，并沿此方向进行搜索，求出函数的极小点。因在 迭代过程中通过对负梯度方向进行适当校正获得共轭方向，故而称之为共轭 梯度法。
算法步骤—FR共轭梯度法
1、选取初始数据，选取初始点 x0 ，给定允许误差 0 ；
2、检查是否满足终止准则，计算 f (x0 ) ，若 || f (x0 ) || ,迭代终
止，x0为近似最优解，否则转向3；
3、 构造初始搜索方向，计算 d0 f (x0 ), k 0；
而
k 1
gkT (gk gk1)
dT k 1
(
gk
gk 1 )
gkT gk gkT1 gk 1
共轭梯度法的迭代公式为：
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
共轭梯度法
必有
p
T j
∇f
(X
n
)
=0(源自j=0,1,L,
n
− 1)
因为A正定，所以f (X ) 是凸函数，故 X n 是惟一的全局 极小点。
从而
∇f (Xk ) = AXk + b
=
AX
j+1
+
λ* j+1
Apj+1
+L+
λ* k −2
Apk−2
+
λ* k −1
Apk
−1
+
b
=
∇f
(X
⎡6 ⎢⎣17
12⎤ 17⎥⎦
⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤ 289⎥⎦
T
−
210⎤⎡ 3 289⎥⎦⎢⎣−1
−11⎥⎦⎤⎢⎣⎡−
90 289
−
210⎤T 289⎥⎦
= 17 10
X2
=
X1
+
λ1 p1
=
⎡ 26 ⎢⎣17
38 ⎤ T 17 ⎥⎦
+ 17 10
⎢⎣⎡−
90 289
−
210 ⎤ T 289 ⎥⎦
= [1
1]T
∇f ( X 2 ) = [0 0]T
练习： 试用共轭梯度法二次函数
min
f
(x)
=
x12
+
1 2
x22
+
1 2
x32
的极小点。取初始点为x( 0 ) = (1,1,1)T
3 、非二次函数的共轭梯度法
一般地，我们有：
⎧ X k+1 = X k + λk pk
共轭梯度法公式推导
共轭梯度法公式推导一、问题的提出与预备知识。
1. 二次函数的极小化问题。
- 考虑二次函数f(x)=(1)/(2)x^TAx - b^Tx + c，其中A是n× n对称正定矩阵，x,b∈ R^n，c∈ R。
- 对f(x)求梯度∇ f(x)=Ax - b。
- 求f(x)的极小值点，即求解Ax = b。
2. 共轭方向的概念。
- 设A是对称正定矩阵，若对于非零向量d_1,d_2∈ R^n，满足d_1^TAd_2 = 0，则称d_1和d_2是A - 共轭的（或A - 正交的）。
二、共轭梯度法的基本思想。
1. 迭代格式。
- 共轭梯度法是一种迭代算法，其基本迭代格式为x_k + 1=x_k+α_kd_k，其中x_k是第k次迭代的近似解，α_k是步长，d_k是搜索方向。
2. 确定步长α_k- 为了使f(x_k+1)最小，将x_k + 1=x_k+α_kd_k代入f(x)中，得到f(x_k+α_kd_k)=(1)/(2)(x_k+α_kd_k)^TA(x_k+α_kd_k)-b^T(x_k+α_kd_k)+c。
- 对α_k求导并令其为0，可得α_k=((r_k)^Td_k)/((d_k)^TAd_k)，其中r_k = b - Ax_k=∇ f(x_k)。
三、搜索方向d_k的确定。
1. 初始搜索方向。
- 取d_0=-r_0，其中r_0 = b - Ax_0，x_0是初始近似解。
2. 后续搜索方向。
- 对于k≥1，d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1，其中β_k-1=frac{(r_k)^TAd_k - 1}{(d_k - 1)^TAd_k - 1}。
- 下面推导β_k - 1的表达式：- 因为d_k - 1和d_k是A - 共轭的，所以d_k - 1^TAd_k = 0。
- 将d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1代入d_k - 1^TAd_k = 0，得到d_k - 1^TAd_k=-d_k - 1^TAr_k+β_k - 1d_k - 1^TAd_k - 1=0。
25共轭梯度法
共轭，即 piT Apj 0, i j ,i , j 1,2, ,k。 则称这组方向是关于A共轭的，也称它们是一组A共轭方向。
注：如 果A是 单 位 矩 阵 ， 则
p1T I p2 0 p1T p2 0
p1 p2
§2.5 共轭梯度法
预备知识 最速下降法 共轭梯度法 数值试验算例
21:26
预备知识：内积的定义
I II
方程组问题: 极值问题:
Ax =
min
b
f
(x)
1
xT Ax
bT
x
xRn
设 x, y Rn , 记 ( x , y) = xT y
2
▪( x, y ) = ( y, x ); ▪( tx, y ) = t ( x, y); ▪( x+ y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ); ▪( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 x = 0;
p(k 1) r (k 1) k p(k )
进行下一次迭代
例：用CG迭代法求解下列方程组: x(0) (0 0 0)T
2 0 1 x1
3
0 1 0 x2 1
1 0 2 x3
3
解： 易验证系数矩阵是对称正定的.
Step1 计算 p(0) r(0) b Ax(0) (3 1 3)T
0
x2 x1
x*
x3
注 最速下降方向反映了目 标函数的一种局部性质。它只是 局部目标函数值下降最快的方向。 最速下降法是线性收敛的算法。
f(x1,x2)=100x12+x22
最速下降法
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
一、什么是共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method），是一种用于求解线性方程组的迭代优化算法，它是一种搜索梯度的迭代算法。
共轭梯度法的基本思想是沿梯度的反方向搜索，并在每一步令搜索的方向接近更新的局部梯度。
它是一种非常有效的求解有约束的非线性优化问题的方法，是求解线性方程组的有效算法。
共轭梯度法可以看作是一种极小化函数的迭代方法，它最主要的思想是不断更新梯度的方向，从而寻找函数值最小的点。
二、共轭梯度法的原理
共轭梯度法是一种迭代优化算法，它以凸二次型函数为例，可以用来求解最小值问题。
它的基本思想是：
（1）首先求得函数的梯度，即每一步优化的搜索方向，使梯度变为最小；
（2）以梯度的反方向搜索，令搜索的方向接近更新的局部梯度，而不是与旧的梯度成正比的步长；
（3）逐步更新搜索的方向为新的梯度；
（4）重复这个过程，直到所有的自变量满足限制条件。
三、共轭梯度法的优缺点
共轭梯度法最大的优点是它具有收敛速度快，可以在有限的迭代步数内收敛到最优解；另外，它还具有计算量小，不需要计算精确的
Hessian矩阵的优点。
共轭梯度法的缺点是它不能用来求解非凸优化问题，因为它只能求解凸优化问题；另外，它也不能用于强不可约的优化问题。
共轭梯度法
3. 算法的 MATLAB 实现
在 MATLAB 中编程实现的共轭梯度法函数为： min GETD 功能：用共轭梯度法求解多维函数的极值。
调用格式： [ x, min f ] min GETD( f , x0, var, eps) 其中， f ：目标函数；
x0 ：初始点； ：自变量向量； var x ：目标函数取最小值时的自变量值；
（6） 若 k 1 n ，令 x(0) x( n ) ，转步骤（3） ，否则转步骤（7） ；
（7） 令 p
( k 1)
f ( x
( k 1)
) k p
(k )
， k
f ( x ( k 1) ) f ( x )
(k )
2 2
， 置 k k 1， 转步骤 （4） 。
t 0
(k ) ( k ) （4） 用 一 维 搜 索 法 求 t k ， 使 得 f ( x kt p ) m i n f
( ) 5； x( k 1 ) x k( ) kt p k，转步骤
k( ) x
) 令， tk p( ，
（5） 若 f ( x
( k 1)
) ，停止，极小值点为 x ( k 1) ，否则转步骤（6） ；
1 f ( X ) d1 + x1 -x1* 2 1 =d1 + x1 -x1* 2
2
*
2
1 d1 a x1 -x1* 2
2b x1 -x1*
x -x c x -x
2
2b x1 -x1*
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, k 1 ）
（1）
同样由前一节共轭方向的基本定理有：
T gk di 0
（ i 0,
, k 1 ），（2）
T 再由 g i 与 d i 的关系得： gk gi 0 （ i
0,
i 0,
, k 1 ）
(3)
将（2）与（3）代入（1）得：当 而
i 0 , k 2 时，
第 2次迭代：
5 2 8 T ( 8 , 4 )T ( , ) 18 9 9
g1 (
8 2 16 2 ) ( ) || g1 || 9 9 4 . 0 || g 0 ||2 82 4 2 81
2
8 16 T , ) . ||g1 || 9 9
解：
4 1 f ( x) ( x1 , x2 ) 2 0
0 x1 , 2 x2
4 0 G . 0 2
f ( x) ( 4 x1 , 2 x2 )T .
第1 次迭代：
令
而
d (0) g0 f ( x(0) ) ( 8 , 4 )T ,
一、共轭梯度的构造 （算法设计针对凸二次函数） 设
f ( x)
1 T x Gx bT x c 2
其中 G 为 n n 正定矩阵，则
g ( x) Gx b
对二次函数总有 1）设
gk 1 gk G xk 1 xk k Gdk
，令 x1 x0 0 d0 （ 0 为精确步长因子）
dk 1 f ( xk 1 ) dk
|| f ( xk 1 ) ||2 || f ( xk ) ||2
令k=k+1;返回4.
例 用FR算法求解下述问题：
min
2 2 f ( x) 2x1 x2
初始点取为x(0) ( 2 , 2 )T , 0.001 。
1、选取初始数据，选取初始点
x0
，给定允许误差 0 ；
f ( x0 )
2、检查是否满足终止准则，计算
，若 || f ( x0 ) || ,迭代终
止，x 0为近似最优解，否则转向3；
3、 构造初始搜索方向，计算 d0 f ( x0 ), k 0 ； 4、进行一维搜索，求出 k 和 xk 1 ，使得
|| g k ||
，则停止计算，否则转步5；
T 2 5、检验下列条件是否成立： | gk 1gk | 0.2 || gk ||
k, t n -1
若两个条件都不成立，则转步7，否则转步6；
6、置t=k-1;
7、按以下公式计算
dk
：
dk gk k 1dk 1 k 1dt
T 在FR梯度法的步骤上增加一步即可，即：如果 dk 1 g k 1 0 ，令 x 0 x k
并转步1，否则转步3.
Beale三项共轭梯度法
算法思想:在再开始的时候，负梯度方向不一定最好，特别是频繁地采用 负梯度方向再开始时，算法效率会降低，而沿着原来的方向搜索往往效
果较好，所以，当需要在
4.2.27表示的是方向向量和梯度向量之间的惯性，这些子空间通常被 称作Krylow子空间。
再开始FR共轭梯度法
由于对于一般非二次函数，n步以后共轭梯度法产生的搜索方向 d k 不 再共轭，因此n步之后我们宜于周期性地采用最速下降方向作为搜索方 向，即令
这种开始的方法叫做再开始共轭梯度法。采用这种方法，所产生的 xk 1 总比 x 0 更加靠近 x * ，尤其当迭代从一个非二次区域进入 f ( x) ，可由 二次函数很好的近似的解的领域时，再开始方法能迅速收敛。 再开始共轭梯度法允许近似线性搜索过程，只是在采用近似线性搜索的 同时，要采取一定的检查措施，以保证所得到的搜索方向是下降方向。 事实上，由于
其中
T gk (g g ) k 1 T k k 1 d k 1 ( g k g k 1 )
0 T k 1 g k ( g t 1 g t ) d T (g g ) t t 1 t
（Crowder-Wolfe公式）
（4.2.19）
2)
（Fletcher-Reeves公式）
（4.2.20）
3）
T gk 1 ( g k 1 g k )（Polak-Ribiere-Polyak 公式） k T gk gk T gk 1 g k 1 k T dk gk
（4.2.21）
4） 一般地，在第 k 次迭代中，令
d k g k i di
适当选取
k 1 i 0
i ，使 d Gdi 0 （ i 0, , k 1）， 可得到
T k
T T gk Gdi gk (g g ) i T T i 1 i （ i 0, di Gdi di ( gi 1 gi )
§4.2 共轭梯度法
提纲
1、共轭梯度法---F-R共轭梯度法 2、共轭梯度法性质定理及例题 3、再开始FR共轭梯度法 4、Beale三项共轭梯度法 5、预条件共轭梯度法（了解）
共轭梯度法
在上一节中讨论了共轭方向法，其中n个共轭方向是预先设定好的。但是如何 让获取这些共轭方向并为提及。本节讨论一种重要的共轭方向法——共轭梯 度法。这种方法是将共轭性和最速下降方向相结合，利用已知迭代点处的梯 度方向构造一组共轭方向，并沿此方向进行搜索，求出函数的极小点。因在 迭代过程中通过对负梯度方向进行适当校正获得共轭方向，故而称之为共轭 梯度法。 共轭方向法基本原理告诉我们，共轭性和精确线性搜索产生二次终止性，共 轭梯度法实施的最速下降方向具有共轭性，从而提高算法的有效性和可靠性。
T T gk ( gk gk 1 ) gk gk k 1 T T dk 1 ( gk gk 1 ) gk 1 gk 1
共轭梯度法的迭代公式为：
k 为最佳步长因子） xk 1 xk k dk （ dk 为共轭方向，
对二次函数
T gk d k T k d k Gd k
m n
步迭代后终止。且对1 i
T
m
，下列关系式成立：
（4.2.23） （4.2.24） （4.2.25）
1）di
Gd j 0 （
2）gi
T
gj 0
（
j 0,1, , i 1） j 0,1, , i 1）
T T d g g i gi 3） i i
4） [ g0 , g1 ,
(
d (1) g1 0 d (0)
8 16 T 4 ( , ) ( 8 , 4 )T 9 9 81
40 ( 1, 4 )T 81
1
T g1 d (1)
d
(1) T
Gd (1)
9 20
40 8 16 1 ( , ) 81 9 9 4 4 0 1 40 2 ( ) ( 1, 4 ) 4 81 0 2
xk a j d k 处的计算值，其中
{a j } 是由步长算法产生的实验步长序列，如果
g k 1 d k 1 || g k 1 ||2 || d k 1 ||2
T
其中 是一个小正数，则步长因子 j 作为 k 。如果在任何试验中，
上述式子都不满足，则需要精确线性搜索产生步长因子 k 。 再开始FR共轭梯度法
x( 2) x(1) 1 d (1)
( 2 8 T 9 40 , ) ( 1, 4 )T 9 9 20 81
( 0 , 0 )T
g 2 ( 0 , 0 )T
x( 2)即为所求极小点。
定理4.3 对于正定二次函数，采用基于精确一维搜索的共轭梯度算法，必定经过
x0 为初始点。首先取 d0 g0
T d0 0 （精确一维搜索性质，见定理4.1.3）。 则有：g1
T 2）令 d1 g1 0 d0 ，适当选择 0 ，使 d1 Gd0 0 ，
T T T g1 Gd0 g1 ( g1 g0 ) g1 g1 得 0 T T T d0 Gd0 d0 ( g1 g0 ) g0 g0
T T gk k 1 gk dk 1可能大于0，这时 d k 将不是一个下降方向，我 的，并且 gk
们需要重置
d k 为 gk
。但是，如果频繁地利用最速下降方向作为搜索
方向，将大大削弱共轭梯度法的效率，而使得算法的形态变得更像最速 下降法。下面的检查措施可以克服这个困难。 设 g k 1 , d k 1 , k 分别表示 g k 1 , d k 1 , k 在点
, gi ] [ g0 , Gg0 , , di ] [ g0 , Gg0 ,
, Gi g0 ] , Gi g0 ]
（4.2.26 ） （4.2.27）
5） [d0 , d1 ,
其中，m是G的相异特征值的个数，4.2.23表示的是搜索方向的共轭性，
4.2.24表示的是梯度的直交性，4.2.25表示的是下降条件，4.2.26和
（从而得到 d1 ）
1 ，使得 3）再令 d2 g2 0d0 1d1 ，适当选择 0 ，
T d2 Gdi 0 （ i 0,1），
由此得：
T T g2 ( g2 g1 ) g2 g2 0 0 ， 1 T d1T ( g2 g1 ) g1 g1
而对非二次函数，则采用精确一维搜索得到 k
。
共轭方向的修正公式为：dk 1
k
gk 1 k dk
（4.2.18）
其中， 由下面诸式之一计算：