辽宁省大连市2021届高三数学双基考试试题理(含解析)
百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题

(2)记一轮抽奖游戏中,甲摸出“2张奖券”的次数为 ,求 的分布列以及数学期望;
(3)试用概率与统计的相关知识,从数学期望的角度进行分析,多次参与抽奖游戏后,甲的最终积分情况.
21.已知椭圆 : 的离心率为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的方程;
图(1)
图(2)
A. B.
C. D.
4.已知抛物线 : 上的点 到焦点 的距离为 ,若点 在 : 上,则点 到点 距离的最小值为()
A. B. C. D.2
5.已知两个随机变量 , 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析,设 , ,利用最小二乘法,得到线性回归方程 ,则()
A.变量 的估计值的最大值为 B.变量 的估计值的最小值为
故所求表面积 .
故答案为:C.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体表面积,属于基础题.
4.B
【分析】
根据抛物线焦半径得到 ,代入抛物线方程得到点坐标,再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.
【详解】
依题意, ,故 ,则 ;
由对称性,不妨设 ,
故 到点 距离的最小值为 .
故选:B.
【点睛】
本题考查抛物线的方程、几何性质,点到圆上点距离最小的问题.
三、解答题
17.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , , .
(1)求 ;
(2)若 , ,点 在线段 上, ,求 的余弦值.
18.已知数列 满足 ,且 ,数列 是公差为 的等差数列.
(1)证明 是等比数列;
(2)求使得 成立的最小正整数 的值.
19.已知长方体 中, , ,点 是线段 上靠近 的三等分点,点 在线段 上.
2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,) 1.集合,,则( )A 、B 、C 、D 、 2.若复数,其中是虚数单位,则复数的模为 A . B .C .D .23.某学生在一门功课的22次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A .117B .118C .118.5D .119.5 4.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是() A. B. C. D. 5.数列的前n 项和为,若,则( ) A. B. C.D.6.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A .B .C .D .7.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A .B .或C .D .或8.设x ∈R ,向量a =(2,x ),b =(3,-2),且a ⊥b ,则|a -b |=A .5B .C .2D .6 9.二项式展开式中的系数是( )A .-14B .14C .-28D .28 10.在△ABC 中,若,,则b=( ) A .3 B .4 C.5 D .611.设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数的零点的个数为开始否 n =3n +1n 为偶数k =k +1 结束n =5,k =0 是 输出k n 否是A .4B .5C .6D .712.已知双曲线上一点,过双曲线中心的直线交双曲线于两点,记直线的斜率分别为,当最小时,双曲线离心率为( ) A . B . C D二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分). 13.—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___.14.若整数..满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 . 15.向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点,则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______.16.若一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的最大值为_____.三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分12分)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图像上. (Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设是数列的前项和, 求使得对所有都成立的最小正整数18.(本小题满分12分) A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析,X 1和X 2的分布列分别为X 1 5% 10% P0.80.2X 2 2% 8% 12% P0.20.50.3(Ⅰ)在两个项目上各投资100万元,Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润,求方差DY 1,DY 2;(Ⅱ)将万元投资A 项目,万元投资B 项目,表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和.求的最小值,并指C 1B 1A 1出x 为何值时,取到最小值.(注:)19.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱中,侧面底面,, ,,为中点. (Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在上是否存在一点,使得平面?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由 20.(本小题满分12分)已知两定点,和定直线l :,动点在直线上的射影为,且. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程并画草图;(Ⅱ)是否存在过点的直线,使得直线与曲线相交于, 两点,且△的面积等于?如果存在,请求出直线的方程;如果不存在,请说明理由 21.(本小题满分12分)已知函数,且.(Ⅰ)若曲线在点处的切线垂直于轴,求实数的值;(Ⅱ)当时,求函数的最小值;(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若与的图像存在三个交点,求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一...题.作答,如果多做,按所做第1题计分。
2021年高三3月联合检测数学(理)试题 含答案

2021年高三3月联合检测数学(理)试题含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一,其它题为必考题.考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.本试卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,.若,则实数的值是(☆)A. B.或C. D.或或2.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于(☆)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若向量,,,则下列说法中错误..的是(☆)A. B. 向量与向量的夹角为 C. ∥D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得4.在△ABC中,已知,,△ABC的面积为,则=(☆)A. B. C. D.5.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是(☆)A. B. C. D.6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以平面为投影面,则得到主视图可以为(☆)A.B.C.D.7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则(☆)A. B.C. D.8.函数的导函数的图像如图所示,那么的图像最有可能的是(☆)9.已知x,y满足,则的最小值为(☆)A. B. C. D.10.已知命题:存在,曲线为双曲线;命题:的解集是.给出下列结论中正确的有(☆)①命题“且”是真命题;②命题“且()”是真命题;③命题“()或”为真命题;④命题“()或()”是真命题.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如右图二面角的大小为,平面上的曲线在平面上的正射影为曲线,在直角坐标系下的方程,则曲线的离心率(☆)A. B. C. D.12.设函数,其中表示不超过的最大整数,如,,,若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是(☆)A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设5260126(1)(12)x x a a x a x a x,则☆.14.函数的最小值为☆.15.已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若,则的取值范围为☆.16.椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为☆.三、解答题:(本大题5小题,每题12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知是一个单调递增的等差数列,且满足,,数列的前项和为,数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.18.某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况,从四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查,已知四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(Ⅰ)从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (Ⅱ)在参加问卷调查的名学生中,从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示抽得中学的学生人数,求的分布列及期望值.19.在梯形中,,,,,如图把沿翻折,使得平面平面. (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若点为线段中点,求点到平面的距离.20.设到定点的距离和它到直线距离的比是. (Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,,若,求△的面积. 21.设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:;(Ⅱ)函数是的导函数,求函数在区间上的最小值.请考生从第22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.(本题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC 中,D 为BC 上一点,且△ADC 为正三角形,点E 为BC 的延长线上一点,AE 为圆O 的切线.(Ⅰ)求∠BAE 的度数; (Ⅱ)求证:23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程;(Ⅱ)射线与圆C 的交点为O 、P 两点,求P 点的极坐标. 24.(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数.证明:; (Ⅱ)若实数满足,求证:B宝鸡石油中学 张新会 宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCCAAABBCD13. 30 14. 15. 16.(课本P95第6题)旋转体的体积为323300124(1)8()16927x V dx x x πππ=-=-=⎰三、解答题:本大题5小题,每题12分,共70分.17.解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知. 由,又可得. 由,得,可得.所以.可得 ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 当时,当时,满足上式,所以 所以,即, 因为,所以数列是首项为,公比为的等比数列. 所以前项和 ………………………12分18.解: (Ⅰ)从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种, 来自同一所中学的取法共有∴从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为. (Ⅱ)因为名学生中,来自两所中学的学生人数分别为. 依题意得,的可能取值为, ,,∴的分布列为:的期望值为 ………………………12分 19.解:(Ⅰ)证明:因为,, ,, 所以,222(22)2222cos 45CD =+-⨯⨯,,所以.因为平面平面,平面平面, 所以平面.………… 6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知.以点为原点,所在的直线为轴, 所在直线为轴,如图建立空间直角坐标系. 则,,,,. 所以,,.设平面的法向量为,则且,所以令,得平面的一个法向量为所以点到平面的距离为.………………12分 20.解:(Ⅰ)由已知得化简得点的轨迹方程为.………………………6分 (Ⅱ)设直线的方程为.联立方程组 消去并整理得 故22121212122(3)(3)[3()3]41k y y k x k x k x x x x k -=--=-++=+ 又所以,可得,所以由222121212||11()42AB k x x k x x x x =+-=+⨯+-= 原点到直线的距离所以 ……………………………… 12分21.(Ⅰ)证明:121212222211(e e 2e )(e e )0.22x x x x x x +=+-=-≥ ………………………6分(Ⅱ)22()()11xg x f x ax bx e ax bx =---=---,,(1)当时,∵,,∴恒成立,即,在上单调递增, 所以. (2)当时,∵,,∴恒成立,即,在上单调递减, 所以. (3)当时,得在上单调递减,在上单调递增, 所以 ………………………12分23.解:(Ⅰ)圆C 的普通方程是,又所以圆C 的极坐标方程是 ………………………5分 (Ⅱ)因为射线的普通方程为联立方程组消去并整理得解得或,所以P点的坐标为所以P点的极坐标为………………………10分解法2:把代入得所以P点的极坐标为………………………10分24.证明:(Ⅰ)由,有111()=|||||)()|2 f x x x a x x a aa a a-++≥--+=+≥(所以………………………5分(Ⅱ),由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z+++≥++(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分37642 930A 錊 40321 9D81 鶁-28712 7028 瀨~U35047 88E7 裧f37195 914B 酋)40405 9DD5 鷕31753 7C09 簉u21206 52D6 勖。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)-含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)一、单选题(本大题共18小题,共80.0分)1.对于任意x∈[1,2],不等式x2+mx+1<0恒成立,则实数m取值范围是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−52) C. (−2,2) D. (−2,2]2.已知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a+2≤0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是()A. (−2,1)B. [−1,2]C. (−1,2)D. (0,2]3.已知实数a、b、c满足b+c=6−4a+3a2,c−b=4−4a+a2,则a、b、c的大小关系是()A. c≥b>aB. a>c≥bC. c>b>aD. a>c>b4.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示的图形,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆周于D,连接OD.作CE⊥OD交OD于E.由CD≥DE可以证明的不等式为()A. √ab≥2aba+b (a>0,b>0) B. a+b2≥√ab(a>0,b>0)C. √a2+b22≥a+b2(a>0,b>0) D. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)5.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是()A. a >0,b >0,c <0B. a <0,b >0,c >0C. a <0,b >0,c <0D. a <0,b <0,c <06. 若f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ,则f(2)的值为( )A. 1B. −1C. −32D. 327. 在函数y =|x|(x ∈[−1,1])的图象上有一点P(t,|t|),此函数与x 轴、直线x =−1及x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ,则S 与t 的函数关系图可表示为( )A.B.C.D.8. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=−1,则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A.B.C. [0,4]D. [1,3]9. 已知f(x)={(a −3)x +a +2,x <1,−ax 2+x,x ≥1在(−∞,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]10. 已知λ∈R ,函数f(x)={x −2,x ≥λ,x 2+x −2,x <λ,若方程f(x)=0恰有2个实数解,则λ的取值范围是( )A. (−2,1]B. (−2,1]∪(2,+∞)C. (−2,1]∪[2,+∞)D. (−2,1)∪[2,+∞)11. 复数2−i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,6},B ={2,3,4},则A⋂(∁U B )=( )A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}13. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为√2,则p =( )A. 1B. 2C. 2√2D. 414. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O ,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2πr 2(1−cosα)(单位:km 2),则S 占地球表面积的百分比约为( )A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%15. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( )A. 20+12√3B. 28√2C. 563D. 28√2316. 某物理量的测量结果服从正态分布N (10,σ2),下列结论中不正确的是( )A. σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等17. 已知a =log 52,b =log 83,c =12,则下列判断正确的是( )A. c <b <aB. b <a <cC. a <c <bD. a <b <c18. 已知函数f (x )的定义域为R ,f (x +2)为偶函数,f (2x +1)为奇函数,则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=0二、多选题(本大题共10小题,共48.0分) 19. 下列说法正确的是( )A. 函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,0)B. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(x+1),则当x>0时,f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)C. 若函数y=f(x−2020)是奇函数,则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称D. 函数y=2√x2+2的最小值为220.下列式子,可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<021.下列选项中的两个集合相等的有()A. P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z}B. P={x|x=2n−1,n∈N∗},Q={x|x=2n+1,n∈N+}C. P={x|x2−x=0},Q={x|x=1+(−1)n2,n∈Z}D. P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1}22.已知a,b∈R∗且a+b=1,那么下列不等式中,恒成立的有()A. ab≤14B. ab+1ab≥174C. √a+√b≤√2D. 1a+12b≥2√223.若x∈R,f(x)是y=2−x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)()A. 最大值为2B. 最大值为1C. 最小值为−1D. 无最小值24.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),分析该函数图象的特征,若方程f(x)=0一根大于3,另一根小于2,则下列不等式一定成立的是()A. 2<−b2a<3 B. 4ac−b2<0 C. f(2)<0 D. f(3)<025.下列统计量中,能度量样本x1,x2,⋯,x n的离散程度的是()A. 样本x1,x2,⋯,x n的标准差B. 样本x1,x2,⋯,x n的中位数C. 样本x1,x2,⋯,x n的极差D. 样本x1,x2,⋯,x n的平均数26.如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是()A. B.C. D.27.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A. 若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C. 若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上,则直线l与圆C相切28.设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k,其中a i∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+⋯+a k,则()A. ω(2n)=ω(n)B. ω(2n+3)=ω(n)+1C. ω(8n+5)=ω(4n+3)D. ω(2n−1)=n三、单空题(本大题共11小题,共49.0分)29.已知幂函数的图象经过点(3,19),则这个幂函数的解析式为______ .30.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(x−1)<f(2)的x的取值范围是______ .31.若不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13],则不等式x2−bx−a<0的解集为______ .32.已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+f2(4)+f(8)f(7)+f2(5)+f(10)f(9)的值为______.33.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x−x2,则函数f(x)的解析式为______.34.若f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1在区间[2,4]上都是减函数,则a的取值范围是______.35.已知函数f(x)={x+4x,0<x<4,−x2+10x−20,x≥4,若存在0≤x1<x2<x3< x4,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1x2x3x4的取值范围是______.36.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为.37.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______.①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0;③f′(x)是奇函数.38.已知向量a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗,|a⃗|=1,|b⃗ |=|c⃗|=2,a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=_______.39.已知函数f(x)=|e x−1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|取值范围是_______.四、解答题(本大题共12小题,共140.0分)40.已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}(a≥0),B={x|(x−1)(x−4)≥0}.(1)当a=2时,求A∪(∁R B);(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.41.已知函数f(x)=ax+bx 的图象经过点A(1,0),B(2,−32).(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;(3)求f(x)在区间[12,1]上的值域.42. 已知a >0,b >0,a +b =1,求证:(1)a 2+b 2≥12; (2)1a+1b +1ab≥8.43. 已知函数f(x)=2x 2x 2+1. (1)求f(2)+f(12),f(3)+f(13)的值; (2)求证:f(x)+f(1x )是定值;(3)求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值.44. 国庆放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓,但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度v(单位:千米/小(0<v≤120,c为常数),当汽车平均速度为时)之间满足的函数关系y=1840vv2+20v+c100千米/小时时,车流量为10千辆/小时.(1)在该时间段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值?(2)为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?45.已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0.(1)当a∈R时,解关于x的不等式;(2)当x∈[2,3]时,不等式ax2−x+1−a≤0恒成立,求a的取值范围.46.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)求使S n>a n成立的n的最小值.47.在▵ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求▵ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得▵ABC为钝角三角形⋅若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.48.在四棱锥Q−ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3.(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;(2)求二面角B−QD−A的平面角的余弦值.49.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为F(√2,0),且离心率为√63.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=√3.50.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p i(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.51.已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点.①12<a≤e22,b>2a;②0<a<12,b≤2a.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次不等式恒成立问题解法,考查转化思想和运算能力,属于基础题.由二次函数的图象和性质可得1+m+1<0且4+2m+1<0,解不等式可得所求范围.【解答】解:任意x∈[1,2],不等式x2+mx+1<0恒成立,由y=x2+mx+1为开口向上的抛物线,可得1+m+1<0且4+2m+1<0,即为m<−2且m<−5,2,解得m<−52故选:B.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的应用问题,也考查了转化思想的应用问题和不等式恒成立的问题,是基础题.根据命题p是假命题,得¬p是真命题,转化为不等式恒成立的问题,从而求出实数a的取值范围.【解答】解:∵命题p:∃x∈R,x2+2ax+a+2≤0是假命题,则¬p是真命题,即∀x∈R,x2+2ax+a+2>0恒成立,∴4a2−4(a+2)<0,即a2−a−2<0,解得−1<a<2,∴a的取值范围是(−1,2).故选C.3.【答案】A【解析】解:由c−b=4−4a+a2=(2−a)2≥0,∴c≥b.再由b+c=6−4a+3a2①c−b=4−4a+a2②①−②得:2b=2+2a2,即b=1+a2.∵1+a2−a=(a−12)2+34>0,∴b=1+a2>a.∴c≥b>a.故选A.把给出的已知条件c−b=4−4a+a2右侧配方后可得c≥b,再把给出的两个等式联立消去c后,得到b=1+a2,利用基本不等式可得b与a的大小关系.本题考查了不等式的大小比较,考查了配方法,训练了基本不等式在解题中的应用,是基础题.4.【答案】A【解析】解:由射影定理可知CD2=DE⋅OD,即DE=DC2ODaba+b2=2aba+b,由DC≥DE得√ab≥2aba+b,故选:A.根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可.本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合定义域,零点以及f(0)的符号是解决本题的关键.分别根据函数的定义域,函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可.【解答】解:函数在x =x 0处无意义,由图象x 0>0,所以−c >0,得c <0,f(0)=bc 2>0,∴b >0,由f(x)=0得ax +b =0,即x =−b a ,即函数的零点x =−b a >0,∴a <0,综上a <0,b >0,c <0,故选:C . 6.【答案】B【解析】解:∵f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ,∴{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②, ①−②×2得−3f(2)=3,∴f(2)=−1,故选:B .由已知条件得{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②,由此能求出f(2)的值. 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用.7.【答案】B【解析】解:由题意知,当t >0时,S 的增长会越来越快,故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,故选:B .利用在y 轴的右侧,S 的增长会越来越快,切线斜率会逐渐增大,从而选出正确的选项.本题考查函数图象的变化特征,函数的增长速度与图象的切线斜率的关系,体现了数形结合的数学思想.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性,函数的奇偶性,属于中档题.由题干中函数的单调性及奇偶性,可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1,即可解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,若f(1)=−1,则f(−1)=−f(1)=1,又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减,−1≤f(x −2)≤1,∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1),∴−1≤x −2≤1,解得:1≤x ≤3,所以x 的取值范围是[1,3].故选D .9.【答案】C【解析】解:x <1时,f(x)=(a −3)x +a +2在(−∞,1)递减,则a −3<0,解得:a <3①,x ≥1时,f(x)=−ax 2+x 在[1,+∞)递减,则{a >012a≤1,解得:a ≥12②,当x =1时,2a −1≥−a +1,解得:a ≥23③,综合①②③,a 的取值范围是[23,3),故选:C .根据函数在各个区间的性质,结合函数的单调性,求出a 的范围即可.本题考查了函数的单调性问题,考查常见函数的性质,是一道常规题.10.【答案】B【解析】解:由x−2=0,得x=2,由x2+x−2=0,得x=−2或x=1.则当λ≤−2时,方程f(x)=0仅有一个实数解x=2;当−2<λ≤1时,方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2,x=2;当1<λ≤2时,方程f(x)=0恰有三个实数解x=−2,x=1,x=2;当λ>2时,方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2,x=1.∴若方程f(x)=0恰有2个实数解,则λ的取值范围是(−2,1]∪(2,+∞).故选:B.分别求出两段函数的零点,把λ分段,由两段函数在不同区间内的零点个数得答案.本题考查分段函数的应用,考查分类讨论的数学思想,考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题.11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义,属于基础题.利用复数的除法可化简2−i1−3i,从而可求对应的点的位置.【解答】解:,所以该复数对应的点为(12,12 ),该点在第一象限,故选A.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.先根据补集的定义求出∁U B={1,5,6},再由交集的定义可求A∩(∁U B).【解答】解:由题设可得∁U B={1,5,6},故A∩(∁U B)={1,6}.故选B.13.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式,题目较易.首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得p的值.【解答】解:抛物线的焦点坐标为(p2,0),其到直线x−y+1=0的距离为d=|p2−0+1|√1+1=√2,解得p=2(p=−6舍去).故选B.14.【答案】C【解析】【分析】本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力,属于中档题.由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【解答】解:如图所示,由题意可得,S占地球表面积的百分比约为:2πr2(1−cosα)4πr2=1−cosα2=1−64006400+360002≈0.42=42%.故选C.15.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法,考查了数形结合思想.由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积,再由棱台的体积公式即可得解.【解答】解:作出图形,连接该正四棱台上下底面的中心,如图所示,因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高ℎ=√22−(2√2−√2)2=√2,下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积V=13ℎ(S1+S2+√S1S2)=13×√2×(16+4+√64)=283√2.故选D.16.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识,属于中档题.由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【解答】解:对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.故选D.17.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较,合理转化是关键.利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系,由此可得出结论.【解答】=log82√2<log83=b,即a<c<b.解:a=log52<log5√5=12故选C.18.【答案】B【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查,属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数,由已知条件得出f(1)=0,结合已知条件可得出结论.【解答】解:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2−x),可得f(x+3)=f(1−x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1−2x)=−f(2x+1),所以,f(1−x)=−f(x+1),所以,f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(−1)=−f(1)=0,其它三个选项未知.故选B.19.【答案】BC【解析】解:对于A:函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,−1),即当x=0时,f(0)=−1,故A错误;对于B:函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(x+1),则当x>0时,−x<0,所以f(−x)=(−x)(−x+1),整理得f(x)=x−x2(x>0),所以f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0),故B正确;对于C:函数y=f(x−2020)是奇函数,则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称,故C正确;对于D:函数y=2√x2+2=√x2+2√x2+2,设√x2+2=t(t≥√2),所以y=t+1t,y′=1−1t2>0,函数在[√2,+∞)上单调递增,所以y min=√22=3√22,故D错误.故选:BC.直接利用对数函数的性质,函数的奇偶性和关系式的确定,函数的导数与单调性的关系,函数的导数与函数的最值的关系判定A、B、C、D的结论.本题考查的知识要点:对数函数的性质,函数的奇偶性和关系式的确定,函数的导数与单调性的关系,利用函数的导数求函数的最值,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.20.【答案】BD【解析】解:对于A,x<1时,x2有可能大于1,比如−3<1,(−3)2>1,故A错误;对于B,0<x<1⇒x2<1,故B正确;对于C,−1<x<1⇔x2<1,故C错误.对于D,−1<x<0⇒x2<1,故D正确;故选:BD.对于A,x<1是x2<1的不充分不必要条件;对于B,0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件;对于C,−1<x<1是x2<1的充要条件;对于D,−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件.本题考查命题的充分非必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.21.【答案】AC【解析】【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质,对各个选项逐个判断即可.本题考查了集合相等的性质,考查了学生对集合的元素的理解,属于中档题.【解答】解:选项A:因为集合P,Q表示的都是所有偶数组成的集合,所以P=Q;选项B:集合P中的元素是由1,3,5,…,所有正奇数组成的集合,集合Q是由3,5,7…,所有大于1的正奇数组成的集合,即1∉Q,所以P≠Q;选项C:集合P={0,1},集合Q中:当n为奇数时,x=0,当n为偶数时,x=1,所以Q={0,1},则P=Q;选项D:集合P表示的是数集,集合Q表示的是点集,所以P≠Q;综上,选项AC表示的集合相等,故选:AC.22.【答案】ABC【解析】解:∵a ,b ∈R ∗且a +b =1,∴a +b =1≥2√ab ,即ab ≤14,当且仅当a =b =12时,等号成立,即选项A 正确; 令t =ab ,则t ∈(0,14],∴y =ab +1ab =t +1t 在t ∈(0,14]上单调递减, ∴当t =14时,y 取得最小值,为174,即ab +1ab ≥174,故选项B 正确;∵(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2×√14=2, ∴√a +√b ≤√2,即选项C 正确; ∵1a +12b=(1a+12b)⋅(a +b)=1+12+b a+a 2b≥32+2√b a⋅a 2b=32+√2,当且仅当b a =a2b 时,等号成立,即选项D 错误. 故选:ABC .选项A ,由a +b ≥2√ab ,得解;选项B ,令t =ab ,则y =ab +1ab =t +1t ,再结合对勾函数的图象与性质,可得解; 选项C ,由(√a +√b)2=a +b +2√ab ,再根据选项A 的推导,得解; 选项D ,由“乘1法”,可得解.本题考查基本不等式的应用,熟练掌握“乘1法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.23.【答案】BD【解析】解:作出函数y =2−x 2,y =x 的图象如图, 则f(x)的图象为图中实线部分,由图可知,当x =1时,f(x)取最大值为1,无最小值.故选:BD.由题意作出函数f(x)的图象,数形结合得答案.本题考查函数的最值及其求法,考查数形结合的解题思想,是基础题.24.【答案】BCD【解析】解:由题意做出f(x)=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象如:该抛物线开口向上,与x轴在(−∞,2),(3,+∞)上各有一个交点.故:△=b2−4ac>0;f(2)<0;f(3)<0.又该二次函数的对称轴除了不能落在[2,3]之间外,可以取任意值,故A选项错误.故选:BCD.结合题意做出函数f(x)的图象,据图分析即可.本题考查二次函数的图象与性质,即函数的零点、函数图象与x轴的交点、函数对应方程的根之间的关系.属于中档题.25.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识,属于基础题.判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【解答】解:由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势;故选AC.26.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定,考查了数形结合思想和直观想象能力.根据线面垂直的判定定理可得BC的正误,平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【解答】解:设正方体的棱长为2,对于A,如图(1)所示,连接AC,易知MN//AC,且MN、AC、OP在同一平面内,由图可知直线OP与AC相交且不垂直,故MN⊥OP不成立,故A错误.对于B,如图(2)所示,取NT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥NT,PQ⊥MN,由正方体SBCM−NADT可得SN⊥平面NADT,而OQ⊂平面NADT,故SN⊥OQ,而SN∩NT=N,故OQ⊥平面SNTM,又MN⊂平面SNTM,所以OQ⊥MN,而OQ⋂PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,而PO⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确.对于C,如图(3),连接BD,则BD//MN,由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正确.对于D,如图(4),取AM′的中点G,连接PG,OG,M′N′,则MN//M′N′,PG=√2,OG=√3,PO=√5,则PO2=PG2+OG2,PG⊥OG,根据三角形的性质可知PO与PG不垂直,故PO,MN不垂直,故D错误.故选BC.27.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,属于中档题.转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【解答】解:圆心C(0,0)到直线l的距离d=r 2√a2+b2,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=2√a2+b2>|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=2√a2+b2<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2,所以d=2√a2+b2=|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.28.【答案】ACD【解析】【分析】本题重在对新定义进行考查,合理分析所给条件是关键,属于拔高题.利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误,利用特殊值法可判断B选项的正误.【解答】解:对于A选项,n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k,ω(n)=a0+a1+⋯+ a k,则2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+a k⋅2k+1,ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n),A选项正确;对于B选项,取n=2,2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22,∴ω(7)=3,而2=0⋅20+1⋅21,则ω(2)=1,即ω(7)≠ω(2)+1,B选项错误;对于C选项,8n+5=a0⋅23+a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a0⋅23+ a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3,所以,ω(8n+5)=2+a0+a1+⋯+a k,4n+3=a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2,所以,ω(4n+3)=2+a0+a1+⋯+a k,因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C选项正确;对于D选项,2n−1=20+21+⋯+2n−1,故ω(2n−1)=n,D选项正确.故选ACD.29.【答案】y=x−2【解析】解:设幂函数的解析式为y=xα,α∈R,∵图象经过点(3,19),∴3α=19,∴α=−2,∴这个幂函数的解析式为y=x−2;故答案为:y=x−2.设出幂函数的解析式,由图象过点(3,19),求出这个幂函数的解析式.本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题,是基础题.30.【答案】(−1,3)【解析】解:因为f(x)为偶函数,所以f(x−1)<f(2)可化为f(|x−1|)<f(2),又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|x−1|<2,解得−1<x<3,所以x的取值范围是(−1,3).故答案为:(−1,3).利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”,转化为具体不等式即可求解.本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,考查抽象不等式的求解,考查学生灵活运用知识解决问题的能力,属于基础题.31.【答案】(2,3)【解析】【分析】不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13],可得−12,−13是一元二次方程ax2−bx−1=0的两个实数根,且a<0.利用根与系数的关系即可得出.本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系,属于基础题.【解答】∵不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13],∴−12,−13是一元二次方程ax2−bx −1=0的两个实数根,且a <0. ∴{−12−13=b a−12×(−13)=−1aa <0,解得a =−6,b =5. 则不等式x 2−bx −a <0化为x 2−5x +6<0,即(x −2)(x −3)<0,解得2<x <3. ∴不等式x 2−bx −a <0的解集为(2,3). 故答案为:(2,3).32.【答案】30【解析】解:由f(p +q)=f(p)f(q), 令p =q =n ,得f 2(n)=f(2n). 原式=2f 2(1)f(1)+2f(4)f(3)+2f(6)f(5)+2f(8)f(7)2f(10)f(9)++=2f(1)+2f(1)f(3)f(3)+2f(1)f(5)f(5)+2f(1)f(7)f(7)+2f(1)f(9)f(9)=10f(1)=30, 故答案为:30题中条件:f(p +q)=f(p)f(q),利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f 2(n),后化简所求式子即得.本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.33.【答案】f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0【解析】解:根据题意,当x <0时,−x >0,则f(−x)=(−x)−(−x)2=−x −x 2, 又由f(x)为奇函数,则f(x)=−f(−x)=x +x 2, 故f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0,故答案为:f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0.根据题意,当x <0时,−x >0,求出f(−x)的解析式,结合函数的奇偶性分析可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数解析式的计算,属于基础题.34.【答案】(1,2]【解析】解:∵f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1=2+a−1x−1在区间[2,4]上都是减函数,∴{a≤2a−1>0,解得,1<a≤2.故答案为:(1,2].由已知结合二次函数与反比例函数的单调性的性质可求.本题主要考查了二次函数与反比例函数的单调性的应用,属于基础试题.35.【答案】(96,100)【解析】解:令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,(4<t<5),则方程x+4x=t的两根为x1,x2,由x+4x=t得x2−tx+4=0,故由韦达定理可知:x1x2=4,根据抛物线f(x)=−x2+10x−20的对称性可知x3+x4=10(4<x3<5),所以x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10−x3)=−4(x3−5)2+100,由于4<x3<5,故96<−4(x3−5)2+100<100,故答案为:(96,100).令f(x)=t,再分段解方程,利用根与系数的关系即可求解.本题考查了函数的零点与方程根的关系,考查了根与系数的关系,属于基础题.36.【答案】y=±√3x【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解,考查了运算求解能力,属于基础题.由双曲线离心率公式可得b2a2=3,再由渐近线方程即可得解.【解答】解:因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e=√c2a2=√a2+b2a2=2,所以b2a2=3,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x.故答案为:y=±√3x.37.【答案】f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)【解析】【分析】本题是开放性问题,合理分析所给条件找出合适的函数是关键,属于中档题.根据幂函数的性质可得所求的f(x).【解答】解:取f(x)=x4,则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2),满足①,f′(x)=4x3,x>0时有f′(x)>0,满足②,f′(x)=4x3的定义域为R,又f′(−x)=−4x3=−f′(x),故f′(x)是奇函数,满足③.故答案为:f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)38.【答案】−92【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算,合理转化是关键,属于中档题.由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=0,展开化简后可得结果.【解答】解:由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=9+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=0,因此,a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=−92.故答案为:−92.39.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力,考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题,属于拔高题.结合导数的几何意义可得x1+x2=0,结合直线斜率及两点间距离公式可得|AM|=√1+e2x1⋅|x1|,|BN|=√1+e2x2⋅|x2|,化简即可得解.【解答】解:由题意,f(x)=|e x−1|={1−e x,x<0e x−1,x≥0,则f′(x)={−e x,x<0e x,x⩾0,所以点A(x1,1−e x1)和点B(x2,e x2−1),k AM=−e x1,k BN=e x2,所以−e x1⋅e x2=−1,x1+x2=0,所以AM:y−1+e x1=−e x1(x−x1),M(0,e x1x1−e x1+1),所以|AM|=√x12+(e x1x1)2=√1+e2x1⋅|x1|,同理|BN|=√1+e2x2⋅|x2|,所以|AM||BN|=√1+e2x1⋅|x1|√1+e2x2⋅|x|=√1+e2x11+e2x2=√1+e2x11+e−2x1=e x1∈(0,1)故答案为:(0,1).40.【答案】解:(1)当a =2时,A ={x|0≤x ≤4},B ={x|x ≤1或x ≥4}∴∁R B ={x|1<x <4}, ∴A ∪(∁R B)={x|0≤x ≤4};(2)A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a ≥0),B ={x|x ≤1或x ≥4} 若A ∩B =⌀则{2−a >12+a <4,解得a <1 ∴a 的取值范围为[0,1).【解析】(1)求出集合的等价条件,结合集合的基本运算进行计算即可. (2)根据A ∩B =⌀,建立不等式关系进行求解即可.本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键.41.【答案】解:(1)∵f(x)的图象过A(1,0),B(2,−32),∴{a +b =02a +b 2=−32,解得{a =−1b =1, ∴f(x)=−x +1(2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数,证明如下: 设任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2, 则f(x 1)−f(x 2)=(−x 1+1x 1)−(−x 2+1x 2)=(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2+1)x 1x 2由x 1,x 2∈(0,+∞)得,x 1x 2>0,x 1x 2+1>0. 由x 1<x 2得,x 2−x 1>0,∴f(x 1)−f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2), ∴函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数.(3)由(2)知,函数f(x)=−x +1x 在[12,1]上为减函数, ∴f(x)min =f(1)=0,f(x)max =f(12)=32, ∴f(x)的值域是[0,32].【解析】(1)将A ,B 两点坐标代入解析式可得关于a ,b 的方程组,解之即可; (2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数,利用单调性的定义证明即可; (3)由函数的单调性求得函数的最值,即可求得值域.本题主要考查函数解析式的求法,函数单调性的判断与证明,函数值域的求法,属于中档题.42.【答案】证明:(1)a >0,b >0,a +b =1,可得a +b ≥2√ab ,即有0<ab ≤14,当且仅当a =b =12时,取得等号, 所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12. (2)由(1)可知1ab ≥4, 即有1a +1b +1ab =2ab ≥8, 当且仅当a =b =12时,取得等号.【解析】(1)a >0,b >0,a +b =1,由基本不等式可得0<ab ≤14,由a 2+b 2=(a +b)2−2ab 即可得证;(2)由(1)得1ab ≥4,即可得证.本题主要考查不等式的证明,考查基本不等式的应用,属于中档题.43.【答案】解:(1)∵函数f(x)=2x 2x 2+1. ∴f(2)+f(12)=2×44+1+2×1414+1=85+25=2,f(3)+f(13)=2×99+1+2×1919+1=2.(2)证明:∵f(x)=2x 2x 2+1,∴f(x)+f(1x )=f(x)=2x2x 2+1+2×1x 21x 2+1=2x 2x 2+1+21+x 2=2. ∴f(x)+f(1x )是定值2. (3)∵f(x)+f(1x )是定值2.∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)=21+1+2019×2 =4039.【解析】(1)分别把f(x)=2x 2x 2+1中所有的x 都换成2,12,3,13,能求出f(2)+f(12)和f(3)+f(13)的值. (2)把f(x)=2x 2x 2+1中的x 分别换成x ,1x ,能证明f(x)+f(1x )是定值2.(3)由f(x)+f(1x )是定值2,能求出f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.44.【答案】解:(1)由题意可知:10=1840×100 1002+2000+c ,解得c =6400,所以y =1840v v 2+20v+6400=1840v+6400v+20≤2√v⋅v+20=1840180=929,当且仅当v =6400v,即v =80时取等号,所以当汽车的平均速度为80时车流量最大; (2)由题意可知:1840v v 2+20v+6400≥10,即v 2−164v +6400≤0,解得64≤v ≤100,所以当64≤v ≤100时,在该时间段内车流量至少为10千辆/小时.【解析】(1)首先根据题意求出c 的值,再利用基本不等式即可求解;(2)根据题意建立不等式关系,解不等式即可求解.本题考查了函数的实际应用问题,涉及到基本不等式求最值以及一元二次不等式的应用,考查了学生的运算能力,属于中档题.45.【答案】解:(1)不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0,当a =0时,不等式化为x −1≥0,解得x ≥1, 当a <0时,不等式化为(x −1)(x −1−a a)≥0,解得x ≤1−a a,或x ≥1;。
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题含解析

辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题(含解析)一、单项选择题(共8小题).1.已知全集U=R,设A={x|y=ln(x﹣1)},B={y|y=},则A∩(∁U B)=()A.[1,3)B.[1,3] C.(1,3)D.(1,3]2.某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150 B.200 C.300 D.4003.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,且x1+x2=,则弦AB的长为()A.B.4 C.D.4.已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实根x1,x2,则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1•x2>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量,满足||=||=2,•(﹣)=﹣2,则|2|=()A.2 B.2C.4 D.86.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的方法种数为()A.15 B.30 C.6 D.97.函数y=(e x﹣e﹣x)sin|2x|的图象可能是()A.B.C.D.8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过F且交C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±2x D.y=二、多项选择题(共4小题).9.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线对称B.f(x)的周期为C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间上单调递增10.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D1上的两个动点,且EF=,则下列结论中正确的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.△AEF的面积与△BEF的面积相等D.三棱锥E﹣ABF的体积为定值11.下列说法正确的是()A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍B.若四条线段的长度分别是1,3,5,7,从中任取3条,则这3条线段能够成三角形的概率为C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率为12.已知a>0,m(x)=e x﹣2﹣e2﹣x,f(x)=am(x)﹣sinπx,若f(x)存在唯一零点,下列说法正确的有()A.m(x)在R上递增B.m(x)图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数x1,x2∈R均有D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.试题中包含两个空的,答对一个的给3分,全部答对的给5分.13.在(x﹣2y+z)7的展开式中,所有形如x a y b z2(a,b∈N)的项的系数之和是.14.已知|z+i|+|z﹣i|=6,则复数z在复平面内所对应点P(x,y)的轨迹方程为.15.已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直且AC=,AB=,此三棱锥的外接球的表面积为14π,则BC=.16.函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{a n}满足,①函数f(x)是增函数;②数列{a n}是递增数列.写出一个满足①的函数f(x)的解析式.写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac;②cos(A+B)=sin(A﹣B);③tan=sin C这三个条件中任选两个,补充在下面问题中.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,______,______?若三角形存在,求b的值;若不存在,说明理由.18.设S n为数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a n+1=2a n+1.(1)证明{a n+1}为等比数列.(2)判断n,a n,S n是否成等差数列?并说明理由.19.中国探月工程自2004年立项以来,聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标,创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球,又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度,从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查,调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分).关注没关注合计男女合计附:P(K2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879,其中n=a+b+c+d(1)完成上面的2×2列联表,并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”?(2)若将频率视为概率,现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.20.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.21.设函数f(x)=axlnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;(Ⅲ)证明:f(x)>﹣.22.已知椭圆E:=1(a>b>1)的离心率e=,其左、右顶点分别为点A,B,且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x﹣2上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点M在椭圆E上,点N在圆O:x2+y2=b2上,且M,N都在第一象限,MN⊥y轴,若直线MA,MB与y轴的交点分别为C,D,判断sin∠CND是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.参考答案一、单项选择题(共8小题).1.已知全集U=R,设A={x|y=ln(x﹣1)},B={y|y=},则A∩(∁U B)=()A.[1,3)B.[1,3] C.(1,3)D.(1,3]解:∵y=ln(x﹣1),∴x﹣1>0,∴x>1,∴A=(1,+∞),∵x2+2x+10=(x+1)2+9≥9,∴y=≥3,∴B=[3,+∞),∴∁u B=(﹣∞,3),∴A∩(∁U B)=(1,3).故选:C.2.某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150 B.200 C.300 D.400解:∵P(X≤90)=P(X≥120)=0.2,∴P(90≤X≤120)=1﹣0.4=0.6,∴P(90≤X≤105)=P(90≤X≤120)=0.3,∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3=300.故选:C.3.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,且x1+x2=,则弦AB的长为()A.B.4 C.D.解:由题意知,p=2,由抛物线的定义知,|AB|=x1+x2+p=+2=.故选:C.4.已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实根x1,x2,则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1•x2>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实根x1,x2,则当“x1>1且x2>1”时,整理得:“x1+x2>2且x1•x2>1”当x1=0.99,x2=2,满足:“x1+x2>2且x1•x2>1”但是“x1>1且x2>1”不成立,故“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1•x2>1”的充分不必要条件,故选:A.5.已知向量,满足||=||=2,•(﹣)=﹣2,则|2|=()A.2 B.2C.4 D.8解:向量,满足||=||=2,•(﹣)=﹣2,可得:•=2,|2|====2.故选:B.6.今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的方法种数为()A.15 B.30 C.6 D.9解:根据题意,某医生从“三药三方”中随机选出2种,恰好选出1药1方,则1药的取法有3种,1方的取法也有3种,则恰好选出1药1方的方法种数为3×3=9;故选:D.7.函数y=(e x﹣e﹣x)sin|2x|的图象可能是()A.B.C.D.解:函数的定义域为R,f(﹣x)=(e﹣x﹣e x)sin|﹣2x|=﹣(e x﹣e﹣x)sin|2x|=﹣f(x),为奇函数,故排除选项B,C;又,且是第一个大于0的零点,故排除选项D.故选:A.8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过F且交C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±2x D.y=解:设双曲线的另一个焦点为F',由双曲线的对称性,可得四边形AFBF'是矩形,∴S△ABF=S△ABF',即bc=8,由,可得y=±,则|MN|==2,即b2=c,∴b=2,c=4,∴a==2,∴C的渐近线方程为y=±x,故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线对称B.f(x)的周期为C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间上单调递增解:函数f(x)=|sin x||cos x|=|sin x cos x|=|sin2x|,画出函数图象,如图所示;所以f(x)的对称轴是x=,k∈Z;所以x=是f(x)图象的对称轴,A正确;f(x)的最小正周期是,B正确;f(x)是偶函数,没有对称中心,C错误;x∈[,]时,2x∈[,π],sin2x≥0,所以f(x)=|sin2x|是单调减函数,D错误.故选:AB.10.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D1上的两个动点,且EF=,则下列结论中正确的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.△AEF的面积与△BEF的面积相等D.三棱锥E﹣ABF的体积为定值解:由正方体的结构特征可知,DD1⊥平面ABCD,而AC⊂平面ABCD,则D1D⊥AC,又ABCD为正方形,∴AC⊥BD,∵D1D∩BD=D,且D1D、BD⊂平面DD1B1B,∴AC⊥平面DD1B1B,∵BE⊂平面DD1B1B,∴AC⊥BE,故A正确;∵B1D1∥BD,BD⊂平面ABCD,B1D1⊄平面ABCD,∴BD∥平面ABCD,而EF在B1D1上,∴EF∥平面ABCD,故B正确;点B到EF的距离为正方体的棱长,A到EF的距离大于棱长,则△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故C错误;如图所示,连接BD,交AC于O,则AO为三棱锥A﹣BEF的高,•EF•BB1=××1=,=×=,则为定值,故D正确.故选:ABD.11.下列说法正确的是()A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍B.若四条线段的长度分别是1,3,5,7,从中任取3条,则这3条线段能够成三角形的概率为C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率为解:A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差变为原来的a2倍,故A 错误,B.从中任取3条共有4种,若三段能构成三角形,则只有3,5,7,一种,则构成三角形的概率是,故B正确,C.|r|→1,两个变量的线性相关性越强,|r|→0,线性相关性越弱,故C错误,D.由题意知P()•P()=,P()•P(B)=P(A)•P(),设P(A)=x,P(B)=y,则,得得x2﹣2x+1=,即(x﹣1)2=,得x﹣1=或x﹣1=﹣,得x=(舍)或x=,即事件A发生的概率为,故D正确.故正确的是BD,故选:BD.12.已知a>0,m(x)=e x﹣2﹣e2﹣x,f(x)=am(x)﹣sinπx,若f(x)存在唯一零点,下列说法正确的有()A.m(x)在R上递增B.m(x)图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数x1,x2∈R均有D.解:m′(x)=e x﹣2+e2﹣x>0,则m(x)在R上递增,故A正确,m(x)+m(4﹣x)=e x﹣2﹣e2﹣x+e2﹣x﹣e x﹣2=0,则m(x)图象关于点( 2,0)中心对称,故B正确,m″(x)=e x﹣2﹣e2﹣x,当x>2时,m″(x)>0,即m′(x)为增函数,即m(x)图象下凸,此时>m(),故C错误,若f(x)存在唯一零点,则a(e x﹣2﹣e2﹣x)=sinπx只有一个解,即g(x)=a(e x﹣2﹣e2﹣x)与h(x)=sinπx只有一个交点,g'(x)=a(e x﹣2+e2﹣x),h'(x)=πcosπx,由g(2)=h(2)=0,则g(x)、h(x)的图象均关于点(2,0)中心対称,在x=2的右侧附近g(x)为下凸函数,h(x)为上凸函数,要x>2时,图象无交点,当且仅当g'(2)≥h'(2)成立.于是2a≥π,即a≥成立,故D正确,故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.试题中包含两个空的,答对一个的给3分,全部答对的给5分.13.在(x﹣2y+z)7的展开式中,所有形如x a y b z2(a,b∈N)的项的系数之和是﹣21 .解:因为(x﹣2y+z)7=[(x﹣2y)+z]7,所以展开式中含z2的项为C,令x=y=z=1,则所求系数之和为C•(1﹣2)5•12=﹣21,故答案为:﹣21.14.已知|z+i|+|z﹣i|=6,则复数z在复平面内所对应点P(x,y)的轨迹方程为+=1 .解:∵复数z在复平面内所对应点P(x,y),又|z+i|+|z﹣i|=6,∴+=6,即点P(x,y)到点A(0,﹣),和B(0,﹣)的距离之和为:6,且两定点的距离为:2<6,故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆,且2a=6,2c=2,故b==2,∴复数z在复平面内所对应点P(x,y)的轨迹方程为:+=1,故答案为:+=1.15.已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直且AC=,AB=,此三棱锥的外接球的表面积为14π,则BC=.解:由题意三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直可知,三棱锥S﹣ABC是长方体的一个角,如图:设SA=x,SB=y,SC=z,由题意可得:x2+z2=13,x2+y2=5,y2+z2=BC2,三棱锥的外接球的表面积为14π,三棱锥扩展为长方体,长方体的对角线的长度,就是外接球的直径2R,所以2R=,4πR2=14π,可得x2+y2+z2=14,解得x=2,y=1,z=3,所以BC==.故答案为:.16.函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{a n}满足,①函数f(x)是增函数;②数列{a n}是递增数列.写出一个满足①的函数f(x)的解析式f(x)=x2.写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式.解:由题意,可知:在x∈[1,+∞)这个区间上是增函数的函数有许多,可写为:f(x)=x2.第二个填空是找一个数列是递增数列,而对应的函数不是增函数,可写为:.则这个函数在[1,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,∴在[1,+∞)上不是增函数,不满足①.而对应的数列为:在n∈N*上越来越大,属递增数列.故答案为:f(x)=x2;.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac;②cos(A+B)=sin(A﹣B);③tan=sin C这三个条件中任选两个,补充在下面问题中.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,______,______?若三角形存在,求b的值;若不存在,说明理由.解:①∵(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac,即b2﹣(a﹣c)2=ac,∴a2+c2﹣b2=ac,由余弦定理知,cos B===,∵B∈(0,π),∴B=.③∵tan=sin C,∴tan=sin C,即=2sin cos,∵C∈(0,π),∴cos>0,∴2sin2=1,即C=.选择①②:由上知B=,∵cos(A+B)=sin(A﹣B),∴cos A﹣sin A=sin A﹣cos A,即(1+)cos A=(1+)sin A,∴tan A=1,∵A∈(0,π),∴A=,sin A=,由正弦定理知,,∴=,∴b=2.选择①③:B=,C=,∵a=2,∴b=2.选择②③:由上知C=,∵cos(A+B)=sin(A﹣B)=cos(π﹣C)=﹣cos C=0,∴A﹣B=0,即A=B=,∴b=a=2.18.设S n为数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a n+1=2a n+1.(1)证明{a n+1}为等比数列.(2)判断n,a n,S n是否成等差数列?并说明理由.解:(1)证明:a2=3,a n+1=2a n+1,可得a1=1,即有a n+1+1=2(a n+1),则{a n+1}为首项为1,公比为2的等比数列;(2)由(1)可得a n+1=2n,即有a n=2n﹣1,S n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由n+S n﹣2a n=n+2n+1﹣2﹣n﹣2(2n﹣1)=0,可得n,a n,S n成等差数列.19.中国探月工程自2004年立项以来,聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标,创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球,又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度,从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查,调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分).关注没关注合计男女合计附:P(K2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879,其中n=a+b+c+d(1)完成上面的2×2列联表,并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”?(2)若将频率视为概率,现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解:(1)2×2列联表如下:关注没关注合计男 30 30 60女 12 28 40合计 42 58 100所以= 3.941>3.841,所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”;(2)因为随机选一个高三的女生,对此事关注的概率为=,又因为X~B(3,),所以随机变量X的分布列为:X0 1 2 3P故E(X)=np=.20.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.【解答】(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC,又DC∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,∵DC∥EB,DC=EB,∴四边形DCBE是平行四边形,∴DE∥BC,∴DE⊥平面ACD,又DE⊂平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE.(2)当C点为半圆的中点时,AC=BC=2,以C为原点,以CA,CB,CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示:则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),∴=(﹣2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,﹣1),设平面DAE的法向量为=(x1,y1,z1),平面ABE的法向量为=(x2,y2,z2),则,,即,,令x1=1得=(1,0,2),令x2=1得=(1,1,0).∴cos<>===.∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角,∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣.21.设函数f(x)=axlnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;(Ⅲ)证明:f(x)>﹣.解:(I)f′(x)=alnx+a,则f(1)=0,f′(1)=a,故取消y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y=a(x﹣1),把点(3,2)代入切线方程可得,a=1,(II)由(I)可得f′(x)=lnx+1,x>0,易得,当0时,f′(x)<0,函数单调递减,当x>时,f′(x)>0,函数单调递增,故当x=时,函数取得极小值f()=﹣,没有极大值,证明:(III)f(x)>﹣等价于xlnx﹣>0,由(II)可得f(x)=xlnx(当且仅当x=时等号成立)①,所以xlnx﹣,故只要证明即可,(需验证等号不同时成立)设g(x)=,x>0则,当0<x<1时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>1时,g′(x)>0,函数单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,②因为①②等号不同时成立,所以当x>0时,f(x)>﹣.22.已知椭圆E:=1(a>b>1)的离心率e=,其左、右顶点分别为点A,B,且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x﹣2上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点M在椭圆E上,点N在圆O:x2+y2=b2上,且M,N都在第一象限,MN⊥y轴,若直线MA,MB与y轴的交点分别为C,D,判断sin∠CND是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.【解答】(1)解:点A(﹣a,0)关于直线y=x对称的点(0,﹣a)在直线y=3x﹣2上,∴﹣a=0﹣2,解得a=2.又=,a2=b2+c2,联立解得b2=2=c2.∴椭圆E的标准方程为:+=1.(2)证明:设M(x0,y0),AM:y=k(x+2)(k≠0),令x=0,解得y=2k,∴C(0,2k).联立,化为:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣4=0(k≠0).∴﹣2x0=,解得x0=.∴y0=,即M(,),∴直线BM的斜率==﹣.∴BM的方程:y=﹣(x﹣2),令x=0,解得y=,∴D(0,).设N(x N,y0),则=(﹣x N,2k﹣y0),=(x N,﹣y0).∴•=x N2+y02+2﹣y0.∵x N2+y02=2,y0=,∴•=0.∴NC⊥ND.即∠CND=90°.∴sin∠CND=1.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题,已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块,同时,试卷突出了学科的主干内容,集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例,也达到了必要的考查深度.本套试卷没有刻意追求覆盖面,还有调整和扩大的空间,注重了能力的考查,特别是运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出,实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。
第I卷1至2页,第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题,共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析:因为A={-1,0,1}, B={-1,2},所以,故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2.下列说法中正确的是(A) 命题“,”的否定是“,≤1”(B) 命题“,”的否定是“,≤1”(C) 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”(D) 命题“若,则”的逆否命题是“若≥,则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析:根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论,但全称量词要变成特称量词,而逆否命题是即否定条件又否定结论,所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3.设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1),S n是其前n项和,若,则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析:由知数列是以为公比的等比数列,因为,所以,所以,故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列,再根据求得,进而求.【题文】4.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析:因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则,将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5.已知,那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式;诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析:因为,所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即,故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值,再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6.已知x ,y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析:画出可行域如图:平移直线z=2x-y 得 ,当此直线过可行域中的点A (1,0)时 2x-y 有最大值2,故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ,画出可行域平移目标函数得点A (1,0)是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[,],则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析:解:(1)∵x∈[﹣,],∴sinx+cosx≤,即<sinx <﹣cosx , ∴sin(sinx )<sin (﹣cosx ),即sin (sinx )<cos (cosx )成立,(2)∵sin(sinx )<cos (cosx )∴s in (sinx )<sin (﹣cosx ),sinx <﹣cosxsinx+cosx <,x ∈[﹣π,π],∴x∈[,],不一定成立,根据充分必要条件的定义可判断:“x∈[﹣,]是“sin(sinx )<cos (cosx )成立”的充分不必要条件,故选:C【思路点拨】利用诱导公式,结合三角函数的单调性判断,命题成立,再运用充分必要条件定义判断【题文】8.是定义在非零实数集上的函数,为其导函数,且时,,记,则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析:因为对任意两个不相等的正数,都有,即对任意两个不相等的正数,都有,所以函数是上的减函数,因为,所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数,根据条件可以判断它是上的减函数,由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析:解:若x>0,则﹣x<0,∵x<0时,f(x)=sin()﹣1,∴f(﹣x)=sin(﹣)﹣1=﹣sin()﹣1,则若f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称,则f(﹣x)=﹣sin()﹣1=f(x),即y=﹣sin()﹣1,x>0,设g(x)=﹣sin()﹣1,x>0作出函数g(x)的图象,要使y=﹣sin()﹣1,x>0与f(x)=log a x,x>0的图象至少有3个交点,则0<a<1且满足g(5)<f(5),即﹣2<log a5,即log a5>,则5,解得0<a<,故选:A【思路点拨】求出函数f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称的解析式,利用数形结合即可得到结论【题文】10.已知R,且≥对x∈R恒成立,则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析:由≥对x ∈R 恒成立,显然a ≥0,b ≤-ax .若a =0,则ab =0.若a >0,则ab ≤a -a 2x .设函数,求导求出f (x )的最小值为.设,求导可以求出g(a )的最大值为,即的最大值是,此时.【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷1)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设1i2i 1iz -=++,则||z = A .0B .12C .1D .22.已知集合{}220A x x x =-->,则A =RA .{}12x x -<< B .{}12x x -≤≤ C .}{}{|1|2x x x x <->D .}{}{|1|2x x x x ≤-≥3.某地域通过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况,统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例,取得如下饼图:建设前经济收入组成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a A .12-B .10-C .10D .125.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144AB AC + D .1344AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A .172B .52C .3D .28.设抛物线C :y 2=4x 的核心为F ,过点(–2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅= A .5B .6C .7D .89.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,,,,()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是 A .[–1,0)B .[0,+∞)C .[–1,+∞)D .[1,+∞)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆组成,三个半圆的直径别离为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部份记为II ,其余部份记为III .在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则A .p 1=p 2B .p 1=p 3C .p 2=p 3D .p 1=p 2+p 311.已知双曲线C :2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右核心,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点别离为M 、N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |= A .32B .3 C. D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
辽宁省沈阳市名校2021届高三教学质量监测(一)数学(理)试题(含答案)

高三教学质量监测(一)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22题~第24题为选考题,其它题为必考题. 注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试题卷上作答无效.3. 考试结束后,考生将答题卡交回. 第Ⅰ卷一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i 为虚数单位,则复数21i -所对应的点在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =,集合{}|lg A x y x==,}{1,1B =-,则下列结论正确的是( )A .}{1A B =-B .()(,0)A B =-∞RC .(0,)AB =+∞D .}{()1A B =-R3.下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )A.2xy=B.2xy=C.22x xy -=-D.22x xy-=+4. 已知两个非零向量ba,满足()0a a b⋅-=,且2a b=,则>=<ba,()A.30B. 60C. 120D.1505. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是()6.设等差数列{}na满足27a=,43a=,nS是数列{}na的前n项和,则使得nS0>最大的自然数n是()A.9 B.10 C.11 D.127. 某函数部分图像如图所示,它的函数解析式可能是()A.)5365sin(π+-=xyB.)5256sin(π-=xyDCBAxyO3πA B43π1-第7题图C .)5356sin(π+=x y D .)5365cos(π+-=x y 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的结果是( )A .3-B .0C 3D .33369.实数x y ,满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则z x y =-的最大值是( )A .2B .4C .6D .810.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A 、B ,则PA PB ⋅的值是( )A .38-B .316 C .38-D .不能确定11.将3本相同的小说,2本相同的诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有( ) A .24种 B .28种 C .32种 D .36种12.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ,若l 也与函数ln y x =,)1,0(∈x 的图象相切,则x 必满足( )A .012x <<0 B .012x <<1C .2220<<x D 023x <<开始 s=0,n=1n ≤2016 s=s+sin3n π n= n +1输出s 结束是否图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知1sin cos 5αα-=,则sin 2α=____________.14.已知抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作PA l ⊥于点A ,当30AFO ∠=(O 为坐标原点)时,PF =____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,123n n a S +=+,则4S =____________.16.已知函数()()1,2(),2,12x x f x x ⎧-≥⎪=⎨≤<⎪⎩若方程()1f x ax =+恰有一个解时,则实数a 的取值范围 .三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ,43π=C ,且)cos(sin 2sin B A A B +⋅=.(Ⅰ)证明:222b a =;(Ⅱ)若ABC ∆的面积是1,求边c .18. (本小题满分12分)已知长方体1AC 中,2==AB AD ,11=AA ,E 为11C D 的中点,如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的 交线(不必说明理由); (Ⅱ)证明://1BD 平面EC B 1;(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.19. (本小题满分12分)ACDAB1C1BD1E某中学根据2002—2021年期间学生的兴趣爱好,分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2021年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m 、31、n ,已知三个社团他都能进入的概率为241,至少进入一个社团的概率为43,且n m .(Ⅰ)求m 与n 的值;(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21,在其上有一动点A ,A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形,顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上,如图所示.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)判断ABCD能否为菱形,并说明理由. (Ⅲ)当ABCD的面积取到最大值时,判断ABCD的形状,并求出其最大值. 21.(本小题满分12分)已知函数axxaxxxf+--=22ln)((a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求a的取值范围;O xy1F2FABCD(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ,2x ,且21x x <.已知0>λ,若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示,两个圆相内切于点T ,公切线为TN ,外圆的弦TC ,TD 分别交内圆于A 、B 两点,并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明://AB CD ; (Ⅱ)证明:AC MD BD CM ⋅=⋅.TN23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点,x 的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线1C 的方程是1ρ=,将1C向上平移1个单位得到曲线2C .(Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN⋅的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知命题“a b c ∀>>,11t a b b c a c +≥---”是真命题,记t 的最大值为m ,命题“n R ∀∈,14sin cos n n mγγ+--<”是假命题,其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)求n的取值范围.2021年沈阳市高三教学质量监测(一)数学(理科)参考答案与评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一.选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.D题1A21i-1i=+,其对应的点为(1,1),故选A.题2D 化简集合A{}|0x x=>,从而A、C错,{}|0RC A x x=≤,故选D.题3C A虽增却非奇非偶,B、D是偶函数,由奇偶函数定义可知是奇函数,由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或'2ln22ln20x xy-=+>),故选C.题4B 由题2a ab =⋅, 而>=<,cos 22122aa ba ba⋅==⋅,故选B.题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--,于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ,可见{}na 是减数列,且650a a >>,065=+a a ,于是92259>⋅=a S ,01026510=⋅+=a a S ,01122611<⋅=a S ,从而该题选A.题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ,由图知1=A ,3434ππ-=T 125π=, 于是352πωπ=,即56=ω,3π是函数减时经过的零点,于是ππϕπ+=+⋅k 2356,k ∈Z ,所以ϕ可以是53π,选C.题8B 由框图知输出的结果32016sin 32sin3sinπππ+++= s ,因为函数x y 3sin π=的周期是6,所以)36sin 32sin 3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=,故选B. 题9B 依题画出可行域如图,可见ABC ∆及内部区域为可行域, 令x y m -=,则m 为直线:l m x y +=在y 轴上的截距, 由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4,在(2,0)C 处最小值是-2,所以[2,4]m ∈-,所以z 的最大值是4,故选B. 题10A 令点),(00y x P ,因该双曲线的xoyABC渐近线分别是03=-y x,03=+y x,所以=PA 13130+-y x ,=PB 1313++y x ,又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx∠-=2cos 3cosπ-=21-=,所以PA PB⋅APBPB PA ∠⋅=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=,选A.此题可以用特殊位置法解决:令P 为实轴右顶点,此时323,,,38PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-,选A.题11B 由题五本书分给四名同学,每名同学至少1本,那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书,第一步骤,先选出一名同学,即:14C ;这名同学分到的两本书有三种情况:两本小说,两本诗集或是一本小说和一本诗集,因为小说、诗集都不区别,所以在第一情况下有13C 种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说,其余两名同学各分到一本诗集),在第二情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说),在第三情况下有13C 种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集,其余两名同学各分到一本小说),这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ,故本题的答案是28714=C ,选B.解法2:将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况,分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种;2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种;3、Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种,总共有28种,故选B题12D 由题x x f 2)(=',200)(x x f =,所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=,因为l 也与函数ln y x =的图象相切,令切点坐标为)ln ,(11x x ,x y 1=',所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ,这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ,所以2002ln 1x x =+,()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ,()1,x ∈+∞,所该函数的零点就是0x ,排除A 、B 选项,又因为x x x g 12)(-='x x 122-=,所以)(x g 在()1,+∞上单调增,又02ln )1(<-=g ,022ln 1)2(<-=g ,3)2ln 230g =-,从而023x << D.二.填空题13.2425 14.43 15.66 16.115(0,)(2-+题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα,所以25242sin =α,答案为2425.题14 令l 与y 轴交点为B ,在ABF Rt ∆中,030=∠AFB ,2=BF ,所以233AB =,若),(00y x p ,则033x =,代入24x y =中,则013y =,而0413PF PA y ==+=,故答案为43.几何法:如图所示,030AFO ∠=,30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而2434cos30333AF AF PF ==∴==︒,故答案为43. 题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ,与原式作差得,nn n a a a 21=-+,即nn a a 31=+,2≥n ,可见,数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列,52=a ,所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时,则21=a ,满足方程有两个解; 当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时,则251+-=a ,满足方程有两个解;所求范围115(0,)22⎛⎤-+ ⎥ ⎝⎦. 三.解答题 17.解:(Ⅰ)由A B C π+=-,以及正弦定理得,2cosC b a =-, …………………3分又43π=C ,所以2b a =,从而有222b a =.………………………………………6分(Ⅱ)由1sin 2ABCS ab C ∆=214ab ==,所以22ab =22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,……9分 由余弦定理知,2222cosCc a b ab =+-224210=++=,…………11分所以10c =.……………………………………………………………………………12分 18.解: 几何解法(Ⅰ)连接1BC 交C B 1于M ,则 直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的 交线,如图所示;……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)因为在长方体1AC 中,所以ACDAB1C1B D1EMM 为1BC 的中点,又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线,所以1//BD EM ,…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1,⊄1BD 平面EC B 1,所以//1BD 平面EC B 1;……………………8分(Ⅲ)因为在长方体1AC 中,所以11//BC AD , 平面1ABD 即是平面11D ABC ,过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ,如平面图①,因为在长方体1AC 中,⊥AB 平面11BCC B ,⊂F B 1平面11BCC B ,所以AB F B ⊥1, B AB BC =⋂1,所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ,如平面图②,连接N B 1,由三垂线定理可知,EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知,在FN B Rt 1∆中,NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角. 因长方体1AC 中,2==AB AD ,11=AA ,在平面图①中,525211=⨯=F B ,………………………………………………………………………10分1053=FM ,251=M C ,11=E C ,在平面图②中,由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFM EC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=55=,MB1 平面图①FCMD1C1B AENF平面图②所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=,所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分 空间向量解法:(Ⅰ)见上述. …………………………………………………………………………4分(Ⅱ)因为在长方体1AC 中,所以1,,DD DC DA 两两垂直,于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示, 因为2==AB AD ,11=AA ,所以)0,0,0(D ,)1,0,0(1D ,)0,2,2(B ,)1,2,2(1B ,)0,2,0(C ,)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ,)1,0,2(1=CB ,)1,1,0(-=CE ,…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以CB ⊥1,m CE ⊥,从而有,⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CE m CB ,即⎩⎨⎧==+z y z x 02,不妨令1-=x , 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=,而02421=+-=⋅m BD ,所以m BD ⊥1,又因为⊄1BD 平面EC B 1,所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,2,0(-=BA ,)1,2,2(1--=BD ,令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =, 所以⊥,BD ⊥1,从而有,⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BD n BA ,即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ,不妨令1=x , A CDAB1C1B D1Exyz得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ,………………………………………10分因为n m n m ⋅<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos.…………………12分19.解:(Ⅰ)依题,⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分 (Ⅱ)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ,则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6. …………………………………………7分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ;41433221)1(=⨯⨯==X P ; 81433121)2(=⨯⨯==X P ; 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ;121413221)4(=⨯⨯==X P ; 241413121)5(=⨯⨯==X P ;241413121)6(=⨯⨯==X P .这样X 的分布列为: (………………………………每答对两个,加1分)X 01 2 3 4 5 6P41 41 81 245 121 241 241于是,2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. ……12分 20.解:(Ⅰ)依题,令椭圆E 的方程为22221x y a b +=,(0)a b >>222c a b =-(0)c >,所以离心率12c e a ==,即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ,所以2200221x y a b +=,焦点1(,0)F c -,即22100()AF x c y =++2222200022b x x cx c b a =+++-2220022c x cx a a =++0c x aa =+,(没有此步,不扣分)因为0[,]x a a ∈-,所以当0x a=-时,1min AF a c=-,……………………………3分由题1a c -=,结合上述可知2,1a c ==,所以23b =,于是椭圆E 的方程为22143x y +=.………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(1,0)F -,如图,直线AB 不能平行于x 轴,所以令直线AB 的方程 为1x my =-,1122(,),(,)A x yB x y ,联立方程,22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩,得22(34)690m y my +--=, 所以,122634m y y m +=+,122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD 是菱形,则OA OB ⊥,即0OA OB ⋅=,于是有12120x x y y ⋅+⋅=,……6分…………………………………………11分Oxy 1F2FABCD又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++,所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=,………………………………………………7分得到22125034m m --=+,可见m 没有实数解,故ABCD 不能是菱形. ………………8分(Ⅲ)由题4ABCDAOBSS ∆=,而11212AOB S OF y y ∆=⋅-,又11OF =,即1122ABCDSOF y y =⋅-212122()4y y y y =+-⋅,………………………………9分由(Ⅱ)知122634m y y m +=+,122934y y m -⋅=+.所以,22223636(34)2(34)ABCDm m Sm ++=+222124(34)m m +=+………………………10分2212419(1)61m m =++++因为函数1()9f t t t =+,[1,)t ∈+∞,在1t =时,min ()10f t =,………………11分即ABCDS的最大值为6,此时211m +=,也就是0m =时,这时直线AB x ⊥轴,可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分 21.解:(Ⅰ)依题,函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即,方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.…1分 (解法一)转化为,函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点,如图. ……………3分xyo1y=lnx y=axA可见,若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ,只须0a k <<.令切点00A(,ln )x x ,所以001|x x k y x ='==,又00ln x k x =,所以000ln 1x x x =,解得,0x e=,于是1k e =,所以10a e <<.………………………………………6分 (解法二)转化为,函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.又21ln ()xg x x -'=,即0x e <<时,()0g x '>,x e >时,()0g x '<,所以()g x 在(0,)e 上单调增,在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1,且在0x →时,()g x →-∞,在在x →+∞时,()0g x →, 所以()g x 的草图如下,可见,要想函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点,只须10a e <<.………………………………6分(解法三)令()ln g x x ax =-,从而转化为函数()g x 有两个不同零点,而11()ax g x ax x x -'=-=(0x >)若0a ≤,可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立,所以()g x 在(0,)+∞单调增,此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >,在10x a <<时,()0g x '>,在1x a >时,()0g x '<,xy oe1ea 1所以()g x 在1(0,)a 上单调增,在1(,)a +∞上单调减,从而1()()g x g a =极大1ln 1a =- 又因为在0x →时,()g x →-∞,在在x →+∞时,()g x →-∞,于是只须:()0g x >极大,即1ln 10a ->,所以10a e <<. 综上所述,10a e <<……………………………………………………………………6分(Ⅱ)因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由(Ⅰ)可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根,即11ln x ax =,22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+,因为0>λ,120x x <<,所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =,22ln x ax =作差得,1122ln ()x a x x x =-,即1212lnx x a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+,因为120x x <<,原式恒成立,即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立.令12x t x =,(0,1)t ∈,则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+,又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+,当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =,()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>,2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22.(Ⅰ)由弦切角定理可知,NTB TAB ∠=∠,……………3分 同理,NTB TCD ∠=∠,所以,TCD TAB ∠=∠, 所以,//AB CD . ……………5分 (Ⅱ)连接TM 、AM, 因为CD 是切内圆于点M ,所以由弦切角定理知,CMA ATM ∠=∠, 又由(Ⅰ)知//AB CD ,所以,CMA MAB ∠=∠,又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知,sin sin MC TCATM TMC =∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,TAB C D MN所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC =,即,AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分23.(Ⅰ)依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=,所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ,0(0,1]y ∈,切线MN 的倾斜角为θ,所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-=, …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,12TM TN y ⋅=-,因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ,则由题意可知当()πα 0∈时,切线与曲线2C 相交,由对称性可知,当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+,则切线MN 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x (t 为参数),…………………7分与C2的直角坐标联立方程,得0sin 21cos 22=-+-ααt t ,…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,xyoT因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ,所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案,此种方法酌情给分.24.(Ⅰ)因为“a b c ∀>>,11ta b b c a c +≥---”是真命题, 所以a b c ∀>>,11ta b b c a c +≥---恒成立,又c b a >>,所以)11()(c b b a c a t -+-⋅-≤恒成立,所以,min)]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(c b b a c b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=c b b a b a c b ,“”成立当且仅当b a c b -=-时.因此,4≤t ,于是4=m . ……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,因为“n R ∀∈,14sin cos n n mγγ+--<”是假命题,所以“R n ∈∃,2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤((0,)2πγ∈),因此,2cos sin =--+γγn n ,此时2cos sin =+γγ,即4πγ=时. ……8分即,22222=--+n n ,由绝对值的意义可知,22≥n .…………10分。