圆锥曲线限时训练1带答案

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝－2x B.y 2＝2x C.x 2＝2y
D.x 2＝－2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.
【答案】 B
2.以双曲线x 216－y 2
9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y 2＝16x B.y 2＝－16x C.y 2＝8x
D.y 2＝－8x
【解析】 因为双曲线x 216－y 2
9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .
【答案】 A
3.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
【导学号：37792082】
A. 2
B. 3
C.2
D.2 3
【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b
a x ，由b
a ＝2，即
b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝
c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.
【答案】 B
4.抛物线y 2
＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2
9＝－1的两条渐近线所围成的三角形
的面积为( )
A.3 3
B.2 3
C.2
D. 3
【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3
3x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.
【答案】 A
5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
A.|EP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B.|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C.2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|
D.|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|
【解析】 |FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2， ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 【答案】 C 二、填空题
6.抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________.
【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1
2＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.
【答案】 2
7.对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________.(要求填写适合条件的序号)
【导学号：37792083】
【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝7
2≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －52，若由原点向该
直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足.
【答案】 ②④
8.抛物线y ＝2x 2的准线方程为________.
【解析】 化方程为标准方程为x 2
＝12y ，故p 2＝1
8，开口向上，
∴准线方程为y ＝－1
8. 【答案】 y ＝－1
8 三、解答题
9.求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上的抛物线的标准方程. 【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 则焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m 2，0.
∵焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上， ∴m 24×4
＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .
10.已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程.
【导学号：37792084】
【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.
∴y 2
＝⎩⎨⎧
4x (x ≥0)，0(x ＜0)，
即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0).
法二 由题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0).
[能力提升]
1.已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )
A.2 2
B.4
C. 2
D.322＋1
【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为
|1＋0＋3|
12＋1
2
＝22，故选A. 【答案】 A
2.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )
A.2 2
B.2 3
C.4
D.2 5
【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，
∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p
2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，
∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，
∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.
【答案】 B
3.如图2-4-2是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m.水位下降1 m 后，水面宽________m.
图2-4-2
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0). 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，
设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 6
4.已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，
点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23
，－
263是两条曲线的一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程.
【导学号：37792085】
【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，－
263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，
因此抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1,0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1,0)，
于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝2
3，
因此a ＝1
3.
又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝8
9， 于是，双曲线的方程为x 219－y 2
89＝1.。