数学华师大版九年级上 23.圆 复习教案
圆(2)
课型
复习课
课时
39
执教
毛中初三数学组
教学目标
1、了解三角形的内心与外心,探索并了解直线与圆及圆与圆的位置关系.
2、了解圆的切线的概念,掌握切线的判定与特征。会过圆上一点画圆的切线。
3、会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
4、深入理解“转化”、“方程”、“讨论”的数学思想，并培养勇于自主探索，勤于思考的学习习惯，培养团结协调的意识。
教学重点
目标１、2
教学难点
目标３
教具准备
投影仪，胶片．
教学过程
教师活动
学生活动
（一）题组探究复习回顾旧知，并知识建构。
基础练习：
１、下列说法中不正确的是 （ ）
Ａ、三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
Ｂ、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心不都在三角形的内部。
Ｃ、三角形都只有一个外接圆，一个内切圆，反之，圆面积也只有一个内接三角形，外切三角形。
Ｄ、三角形的内心到三角形的三边距离相等。
２、Ｒt△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０º，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则以Ｃ为圆心，半径为２.４的圆与ＡＢ的关系是
３、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，则⊙B的半径为
４、一个扇形的半径为10cm,圆心角为27º,用它做成一个圆锥的侧面,那么圆锥的高为cm
学生自主探究后，说思路，小组内交流。
（１）可证
∠BＡＥ＝
９０º
（２）根据第一题考虑如何转化。可连接ＡＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｄ，设法证∠ＤＡＥ＝９０º
尝试解题后，小组内交流解法。
（２）老师作适当点拨。证△ＡＥＦ∽△ＡＣＤ即可。
（三）应用与拓展
达标测评：
1、两圆的圆心距d＝４，两圆的半径分别是方程
x2－５x＋６＝０的两个根，则两圆的位置关系是
于Ｄ，∠ＡＯ的切线。
本部分内容作为课堂检测用，时间为15分钟。小组内互批。当时知道结果，有利于学生的学习。
５、如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积.
（四）小结与作业
小结：谈一下你有哪些收获？
作业：复习资料上相关题
独立思考后请学生谈想法，
各抒己见。
（五）板书设计
课题：圆（２）
点与圆 例：
与圆
有关
的位 直线与圆
置关
系
圆与圆
弧长公式：
圆的 弧长与扇形面积
计算扇形面积：
Ｓ侧：
圆锥的侧面积与全面积
Ｓ全：
（六）教后记
2、如图４－５－４，Ａ、Ｂ是⊙Ｏ上的两点，ＡＣ是⊙Ｏ的切线，∠Ｂ＝７０º，则∠ＢＡＣ＝
３、如图４－５－７ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上的上点，ＡＤ于过点Ｃ的切线互相垂直，垂足为Ｄ。
（1）说明ＡＣ平分∠ＤＡＢ
（2）若将结论“ＡＣ平分∠ＤＡＢ”作为题目的条件，说明ＡＤ与过点Ｃ的切线互相垂直。
４、如图４－５－１１，⊙Ｏ的半径为６cm，ＯＤ┻ＡＢ
例1：如图４－５－３（a），ＡＢ为⊙Ｏ的直径△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，且∠ＣＡＥ＝∠Ｂ。
（1）试说明ＡＥ与⊙Ｏ相切于点Ａ；
（2）如图（b）若ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦，且∠ＣＡＥ＝∠Ｂ，ＡＥ与⊙Ｏ还相切于点Ａ吗？
例２如图，已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于C、D，过点B任作一直线分别交⊙O1和⊙O2于E、F，试说明：（1）AC、AD分别是⊙O1和⊙O2的直径；（2）AE与AF的比值是一个常数.
5、如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°，则∠A的度数
AD=,BE=
老师在学生回答的基础上引导总结知识结构，见板书。
先回顾旧知，再抢答。并互相补充知识点，进一步完善知识结构。相对应的练习题应指导学生说出相应的知识点及思路。
（二）自主探究与合作交流研究切线的判定与特征，两圆的位置关系等知识。
九年级数学圆的复习课华东师大版
九年级数学圆的复习课华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆的复习课二. 重点、难点：教学重点：1. 圆的基本性质。
2. 直线和圆的位置关系。
3. 圆与圆的位置关系。
4. 弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积的计算。
教学难点：1. 圆的基本性质。
2. 直线和圆的位置关系。
教学内容：1. 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
它既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条经过圆心的直线为对称轴的轴对称图形。
2. 不在同一直线上的三点确定一个圆。
3. 垂径定理。
4. 在同圆或等圆中，有如下的等价关系：等弦⇔等弧⇔相等弦的弦心距相等⇔等圆心角5. 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
6. 直径所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。
7. 设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：（1）d>r⇔直线l与圆相离（2）d=r⇔直线l与圆相切（3）d<r⇔直线l与圆相交8. 切线的判定方法除定义外，还有（1）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线。
9. 切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点。
（2）切线和圆心的距离等于半径。
（3）切线垂直于经过切点的半径。
（4）过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
（5）过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
10. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两切线的夹角。
11. 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边距离相等。
12. 三角形外心是三角形外接圆的圆心，它是三角形三边中垂线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
13. 两圆的半径分别为R、r（R≥r>0），圆心距为d。
（1）d>R+r ⇔两圆外离 （2）d=R+r ⇔两圆外切（3）R －r<d<R+r ⇔两圆相交 （4）d=R －r ⇔两圆内切 （5）d<R －r ⇔两圆内含 14. l n r S n r l r S rl 弧扇形弧圆锥侧===⋅=πππ180360122【典型例题】例1. 如图，∆ABC 内接于⊙O ，AD BC ⊥于D ，AO 是半径。
华师版数学九年级上册第23章 复习课课件
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
知识梳理
两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行或 在一条直线上，位似图形是特殊的相似图形．
2 利用位似将图形放到或缩小
知识梳理
3. 分别在射线OA、OB、OC、···上取点A'、B'、C'、···， 使OA'：OA=OB': OB = OC': OC = ···=1.8；
D' C'
D C E'
第23章 图形的相似
复习课
知识网络
相似图形 位似图形
对应角相等 对应边的比相等
相似多边形
周长比等于相似比
面积比等于相似比平方 应
相似三角形
用
相似三角形的判定
1 形之间的一种特殊关系，与平 移、轴对称、旋转一样，位似也是图形的一种基本变换．在 本章，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、 位似的一些知识．
华师大版九年级数学上册教案附教学反思：23.3 实践与探究 (6)
22．2一元二次方程的解法22．2.1直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法●教学目标知识与技能1．体会解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．●教学重点重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．难点通过平方根的意义解形如x2＝p的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？你能根据题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？这就是本节课要学习的内容．【归纳导入】利用方程解决生活中的实际问题，一般需要先根据题意“设未知数—找等量关系—列方程—解方程—写答”这一过程，但用一元二次方程解决实际问题会多出“检验”这一步．二、自主学习，指向目标1．自学教材第20页．2．学习至此：请完成学生用书“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点一用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程活动一：解方程：x2＝4首先让学生试一试，然后老师和学生一起订正．【展示点评】对于题(1)，有这样的解法：方程x2＝4，意味着x是4的平方根，所以x＝±4，即x＝±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1＝2，x2＝－2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．【小组讨论1】(1)形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程可用什么方法求解？(2)对于常数p，为什么要限定条件p≥0?【反思小结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．一般地，对于x 2＝p ，当p ＞0时，x 1＝p ，x 2＝－p ；当p ＝0时，x 1＝x 2＝0；当p ＜0时，方程无实数根．【针对训练】1．解方程：x 2＝122．解方程：2x 2－18＝03．解方程：3x 2＋5＝04．解方程：5x 2＝0探究点二 用直接开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)或(ax ＋b)2＝(cx ＋d)2的一元二次方程活动二：例题讲解例2 解方程(1)(2x －1)2＝5 (2)x 2＋6x ＋9＝2 (3)(3x －4)2＝(4x －3)2【思考】(1)方程(1)与x 2＝25这个方程有什么不同？可以直接开平方吗？(2)方程(2)与方程(1)有什么不同？怎样将方程(2)转化为方程(1)的形式？(3)方程(3)左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？【展示点评】方程(1)的方程左边不是未知数的平方，是一个整式的平方，右边是一个正数，可以直接开平方；方程(2)的左边不是一个整式的平方，但可以根据完全平方公式化为(x ＋3)2；方程(3)的左右两边分别是一个整式的平方，可以根据“若a 2＝b 2，则a ＝±b ”来达到降次的目的．【小组讨论2】对于可化为(mx ＋n)2＝p(p ≥0)或(ax ＋b)2＝(cx ＋d)2的方程，可以用直接开平方法求解吗？【反思小结】当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，即：对于(mx ＋n)2＝p(p ≥0)，直接开平方得：；若两边都是完全平方式，即：(ax ＋b)2＝(cx ＋d)2，可直接开平方得．【针对训练】1．(中考·威海)已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( B )A ．m ≥24B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥2 2．方程(x －1)2－9＝0的解是( C )A ．x ＝4B ．x 1＝2，x 2＝－4C ．x 1＝－2，x 2＝4D ．x 1＝10，x 2＝－83．解方程：(2x ＋3)2－25＝0解：(2x ＋3)2＝25，2x ＋3＝5或2x ＋3＝－5，x 1＝1，x 2＝－4四、总结梳理，内化目标1．降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；降次的方法：直接开平方法；降次体现了：转化思想；2．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解．五、达标检测，反思目标1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解：(1)x 2＝2(可以)(2)p 2－49＝0(可以)(3)6x 2＝3(可以)(4)(5x ＋9)2－2x －16＝0(不可以)(5)121－(y ＋3)2＝0(可以)2．如果25x 2－16＝0，那么x 1＝__45__，x 2＝__－45__． 3．如果2(x ＋3)2＝8，那么x 1＝__－1__，x 2＝__－5__．4．用直接开平方法解下列方程：(1)(x －1)2＝8；(2)(2x ＋3)2＝24；(3)13(x －12)2＝9；(4)14(x ＋1)2－3＝0. 解：(1)x 1＝1＋22，x 2＝1－22；(2)x 1＝－32＋6，x 2＝－32－6； (3)x 1＝12＋33，x 2＝12－33；(4)x 1＝－1＋23，x 2＝－1－2 3. 5．已知方程(x －1)2＝k 2＋2的一个根是x ＝3，求k 的值和方程的另一个根．解：把x ＝3代入(x －1)2＝k 2＋2得：(3－1)2＝k 2＋2解得：k ＝±2，原方程为：(x －1)2＝4，所以方程的根为：x 1＝3，x 2＝－1，即方程的另一个根为－1.六、布置作业，巩固目标1．上交作业 教材第23页练习第(1)至(3)小题．2．课后作业 见学生用书的“综合练·能力提升”部分．●教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程．第2课时 因式分解法●教学目标知识与技能1．了解因式分解法的解题步骤；2．能用因式分解法解一元二次方程．●教学重点重点应用因式分解法解一元二次方程．难点让学生通过比较了解用直接开平方法与用因式分解法解方程，哪种方法简便．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计一、创设情景，明确目标知识回顾：1．我们已经学过了用什么方法解一元二次方程？2．请用已学过的方法解方程：3x 2－15＝03．什么叫分解因式？(引入新课，板书课题用因式分解法解方程)二、自主学习，指向目标1．自学教材第21页因式分解法部分和例题部分．2．完成学生用书“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点 因式分解法活动1．你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的4倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？【展示点评】设这个数是x ，根据题意，我们可列方程：x 2－4x ＝0，方程左边因式分解得：x(x －4)＝0，所以有：x ＝0或x －4＝0，x 1＝0，x 2＝4，当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法．【反思小结】1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零．2．关键是熟练掌握因式分解的知识．3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”【例题讲解】例2 解下列方程：(1)3x 2＋2x ＝0；(2)x 2＝3x.解：(1)方程左边分解因式，得x(3x ＋2)＝0.所以x ＝0或3x ＋2＝0.得x 1＝0，x 2＝－23.(2)移项，得x 2－3x ＝0.方程左边分解因式，得x(x －3)＝0.所以x ＝0或x －3＝0.得x 1＝0，x 2＝3.【针对训练】1．(中考·云南)一元二次方程x 2－x －2＝0的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝22．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( C )A ．9B ．11C ．13D ．143．方程(x －1)(x ＋2)＝2(x ＋2)的根是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－2B ．x 1＝3，x 2＝－2C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝x 2＝14．(中考·遂宁)解方程：x 2＋2x －3＝0.解：x 2＋2x －3＝0 ∴(x ＋3)(x －1)＝0 ∴x 1＝1，x 2＝－3.四、总结梳理，内化目标1．当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法．2．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”3．因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)化方程为一般形式；(2)将方程左边因式分解；(3)根据“至少有一个因式为零”，得到两个一元一次方程．(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根．4．因式分解的方法，突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．五、达标检测，反思目标1．(中考·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．(中考·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 23．(中考·巴中)菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为__24__.4．(中考·襄阳)若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是__5__．5．(中考·自贡)解方程：3x(x －2)＝2(2－x)解：由原方程，得(3x ＋2)(x －2)＝0，所以3x ＋2＝0或x －2＝0，解得x 1＝－23，x 2＝2. 六、布置作业，巩固目标教材第23页练习第(4)(5)(6)题．●教学反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法．22．2.2 配方法●教学目标知识与技能1．理解配方法，会运用配方法解一元二次方程．2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想．●教学重点重点配方法的解题步骤．难点灵活地运用配方法解数字系数不为1的一元二次方程．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计一、创设情景，明确目标1．解下列方程：(1)2x 2＝8 x 1＝2，x 2＝－2(2)(x ＋3)2－25＝0 x 1＝2，x 2＝－8(3)9x 2＋6x ＋1＝4 x 1＝13，x 2＝－1. 2．你能解x 2＋6x ＋4＝0这个方程吗？你会将它变成(x ＋m)2＝n(n 为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x 2＋1＝3x 呢？二、自主学习，指向目标1．自学教材第25页配方法．2．学习至此：请完成学生用书“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程活动一：模仿教材P 25图示内容，并模仿解方程x 2－8x ＋1＝0，相互交流思考下面的问题：解答过程有哪些步骤？【展示点评】(1)移项：把常数项移到方程的右边；(2)配方：方程两边都加上4的平方；(3)开方：根据平方根意义，方程两边开平方；(4)求解：解一元一次方程；(5)定解：写出原方程的解．【小组讨论】把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？【反思小结】在用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的时候，进行配方时，方程的左右两边要同时加上一次项系数一半的平方(这是配方的关键做法)，一次项系数的符号决定了左边的平方式中是两数差的平方还是两数和的平方．【针对训练】1．教材第27页练习第1题．2．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．把方程x 2＋6x ＋3＝0化成(x ＋n)2＝m 的形式，正确的结果为( A )A ．(x ＋3)2＝6B ．(x －3)2＝6C ．(x ＋3)2＝12D ．(x ＋6)2＝334．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( B )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝95．解方程：x 2－4x ＋2＝0.解：x 2－4x ＝－2 x 2－4x ＋4＝2 (x －2)2＝2 x －2＝2或x －2＝－ 2∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.6．解一元二次方程：x 2＋17＝8x.解：原方程配方，得x 2－8x ＋16＝－1，(x －4)2＝－1，任何实数的平方都不可能为负数，所以此方程无实数解．探究点二 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例2 解下列方程：(1)2x 2＋1＝3x ；(2)3x 2－6x ＋4＝0.思考：例2与例1有什么不同？如何将此例方程转化为例1情形？【展示点评】对于(1)，我们可以将方程两边同时除以2，然后再配方；对于(2)，我们可以在方程两边同时除以3，再配方．同学们可以自己尝试做一做．【反思小结】1.运用配方法解一元二次方程，一定要配成完全平方式，为了简便，在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例1中的方程类型；2．一元二次方程通过配方后转化成(x ＋n)2＝p 的形式后，方程有实根的条件是：p ≥0.【针对训练】1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( C )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝1 2．用配方法解方程2x 2－x －1＝0，变形结果正确的是( D )A ．(x －12)2＝34B ．(x －14)2＝34C ．(x －14)2＝1716D ．(x －14)2＝9163．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为( B )A ．(x ＋m 2)2＝4m －m 24B ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 4C ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 2D ．(x ＋m 2)2＝4n －m 224．用配方法解方程：2x 2＋4x －1＝0解：原方程变形为2x 2＋4x ＝1即x 2＋2x ＝12∴x 2＋2x ＋1＝1＋12即(x ＋1)2＝32∴x ＋1＝±62∴x 1＝62－1，x 2＝－62－1. 四、总结梳理，内化目标用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为________；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________；3．配方，方程两边都加上____________________，把原方程化为(x ＋n)2＝p 的形式；4．若p ≥0，用“直接开平方法”解出；若p ＜0，则原方程无实数根即原方程无解．五、达标检测，反思目标1．用配方法解方程2x 2－5x ＝1时，方程的两边都应加上( D ) A.52 B.54 C.54 D.5162．下列方程中，一定有实数解的是( B )A ．x 2＋1＝0B ．(2x ＋1)2＝0C ．(2x ＋1)2＋3＝0D ．(12x －a)2＝a 3．(中考·兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得的方程为( D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝55．x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；x 2－5x ＋__254__＝(x －__52__)2. 6．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2＋y 2－2x －4y ＋16的值总是__正__数．7．一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的实数根是__x 1＝x 2＝3__．8．用配方法解方程3x 2＋6x －5＝0，则配方后的方程是__(x ＋1)2＝83__． 9．解方程：x 2－4x －1＝0.解：∵x 2－4x －1＝0，∴x 2－4x ＝1，∴x 2－4x ＋4＝1＋4，∴(x －2)2＝5，∴x ＝2±5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.10．用配方法解方程：3x 2－6x －1＝0.解：把方程x 2－2x －13＝0的常数项移到等号的右边，得到x 2－2x ＝13. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2－2x ＋1＝13＋1，配方得(x －1)2＝43， 开方得x －1＝±233，∴x 1＝1＋233，x 2＝1－233. 六、布置作业，巩固目标1．上交作业 教材第27页练习第2题．2．课后作业 见学生用书的“综合练·能力提升”部分．●教学反思教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟悉掌握完全平方式的形式．22．2.3 公式法●教学目标知识与技能1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导过程，并应用公式法解一元二次方程．●教学重点重点求根公式法的应用．难点一元二次方程求根公式法的推导．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计一、创设情景，明确目标(学生活动)用配方法解方程2x 2＋4x ＋1＝0总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么？二、自主学习，指向目标1．预习教材第28页公式法内容．2．做《名师学案》公式法的“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点 公式法【活动】如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？【展示点评】我们来解一般形式的一元二次方程，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0. 移项，得x 2＋b a x ＝－c a. 配方，得x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a， 即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2. 因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2－4ac ≥0时，直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a ，所以x ＝－b 2a ±b 2－4ac 2a. 即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)． 将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【反思小结】1．此公式使用的前提条件是b 2－4ac ≥0，如果b 2－4ac ＜0，方程无实数根，此时就不能将a ，b ，c 代入公式来计算．所以，用公式法解方程时，首先求它的判别式b 2－4ac 的值，如果为非负数，然后再代入公式求解．2．我们可以不解方程，用它的判别式即可知道方程的解的情况．【例题讲解】例 解下列方程：(1)2x 2＋x －6＝0； (2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x －12＝0; (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49，所以x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即x 1＝32，x 2＝－2. (2)将方程化为一般式，得x 2＋4x －2＝0.因为b 2－4ac ＝24，所以x ＝－4±242＝－2±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6 (3)因为b 2－4ac ＝256，所以x ＝－（－4）±2562×5＝4±1610＝2±85，即x 1＝2，x 2＝－65. (4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.因为b 2－4ac ＝0，所以x ＝－12±08，即x 1＝x 2＝－32. 【针对训练】1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( A )A ．－1，3，－1B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．1，－3，12．(中考·淄博)一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( C )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．方程2x 2＋4x ＋1＝0的解是x 1＝2，x 2＝2． 4．解方程：x 2＋3x －2＝0.解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝－2，∴Δ＝b 2－4ac ＝32－4×1×(－2)＝17，∴x ＝－3±172， ∴x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172. 5．(1)解方程：x 2＋4x －5＝0；(2)求证：无论k 取任意值，关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根．解：(1)x 2＋4x －5＝0，(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1； (2)∵Δ＝(－k)2－4(k －2)＝k 2－4k ＋8＝(k －2)2＋4＞0，∴关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋(k －2)＝0一定有两个不相等的实数根． 四、总结梳理，内化目标1．由配方法解一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)若b 2－4ac ≥0得x ＝－b±b 2－4ac2a.2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值． (2)求出b 2－4ac 的值．(3)代入求根公式：x ＝－b±b 2－4ac2a.(4)写出方程的解：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a .五、达标检测，反思目标1．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋522．方程(x －1)(x －3)＝1的两个根是( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝2，x 2＝4C ．x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2D ．x 1＝－2－2，x 2＝－2＋ 2 3．方程x 2－x －1＝0的解是__x ＝2．4．已知关于x 的方程x 2＋3mx ＋m 2＝0的一个根是x ＝1，那么m ＝2．六、布置作业，巩固目标见教科书第30页练习(1)至(4)小题．●教学反思教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.22．2.4 一元二次方程根的判别式●教学目标 知识与技能掌握b 2－4ac>0，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等的实根，反之也成立；b 2－4ac ＝0，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；b 2－4ac<0，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．●教学重点 重点b 2－4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b 2－4ac ＝0一元二次方程有两个相等的实数；b 2－4ac<0一元二次方程没有实根．难点 含有字母系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的情况与根的情况的关系．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )教学过程设计一、创设情景，明确目标 用公式法解下列方程． (1)x 2＋x －1＝0 (2)x 2－2x ＋1＝0 (3)2x 2－2x ＋1＝0 学生做完后，老师提示，为什么三个方程的解的情况会不同？这种不同与什么有关？(引入新课，板书课题)二、自主学习，指向目标1．预习课本第31页至第32页；2．做《名师学案》的“知识储备”部分． 三、合作探究，达成目标探究点 一元二次方程的根的判别式 从前面的具体问题，说明一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况有哪几种？根的情况由什么决定？【展示点评】我们在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2()，只有当b 2－4ac ≥0时，才能直接开平方，得x ＋b2a＝±b 2－4ac4a 2也就是说，只有当一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac ≥0时才有实数根，因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况．分析：观察方程(*)，我们发现有如下三种情况：(1)当b 2－4ac ＞0时，方程(*)的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；(2)当b 2－4ac ＝0时，方程(*)的右边是0，因此方程有两个相等的实数根： x 1＝x 2＝－b2a；(3)当b 2－4ac ＜0时，方程(*)的右边是一个负数，而对于任何实数x ，方程左边(x ＋b2a )2≥0，因此方程没有实数根．【反思小结】这里的b 2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况；当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根． 【例题讲解】例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)3x 2＝5x －2；(2)4x 2－2x ＋14＝0；(3)4(y 2＋1)－y ＝0.解：(1)原方程可变形为3x 2－5x ＋2＝0.因为Δ＝(－5)2－4×3×2＝25－24＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根． (2)因为Δ＝__________________，所以方程____________________．(3)原方程可变形为__________________．因为Δ＝________________________，所以方程____________________．老师：用判别式判断方程的解的情况时，要首先将一元二次方程化为一般式． 【针对训练】1．已知对任意实数x ，式子1x 2－4x ＋m都有意义，则实数m 的取值范围是( B )A ．m ≥4B ．m ＞4C ．m ≤4D ．m ＜42．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≥－1D ．k ≥13．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种四、总结梳理，内化目标1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式：Δ＝b 2－4ac 2．判别方法：(1)Δ＞0原方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝0原方程有两个相等的实数根； (3)Δ＜0原方程无实数根． 3．应用：(1)不解方程，判别方程根的情况． 注：先化为一般形式．(2)已知根的情况，求字母的取值范围． 注：考虑二次项系数不能为0. 五、达标检测，反思目标1．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－942．若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．k>－1B ．k<1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k>－1且k ≠03．(中考·自贡)一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根4．(中考·贺州)已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是__0__．5．已知关于x 的方程x 2－2(k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)求证：x ＝－1不可能是此方程的实数根．解：(1)∵关于x 的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(k ＋1)2－4k 2＞0，∴k ＞－12；(2)证明：∵x ＝－1当时，方程左边＝1＋2k ＋2＋k 2＝k 2＋2k ＋3＝(k ＋1)2＋2＞0， 而右边＝0，∴左边≠右边，∴x ＝－1不可能是此方程的实数根． 6．(中考·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋a －2＝0得，1＋a ＋a －2＝0，解得，a ＝12；方程为x 2＋12x －32＝0，即2x 2＋x －3＝0，设另一根为x 1，则1·x 1＝－32，x 1＝－32.(2)∵△＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝a 2－4a ＋4＋4＝(a －2)2＋4＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 六、布置作业，巩固目标见课本第33页练习第1，2题． ●教学反思让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明． *22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系●教学目标 知识与技能1．理解掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a 、b 、c 之间的关系．2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．3．会求已知方程的两根的倒数和与平方和．4．在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法．●教学重点 重点根与系数的关系的运用．难点由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )教学过程设计一、创设情景，明确目标1．一元二次方程的一般形式是什么？ 2．一元二次方程的求根公式是什么？ 3．一元二次方程的根的情况怎样确定？通过复习以前的知识，引入今天的内容(板书课题) 二、自主学习，指向目标1．预习课本第33页至第35页；2．做《名师学案》对应的“知识储备”部分． 三、合作探究，达成目标探究点一 一元二次方程的根与系数的关系 活动一问题：你发现什么规律？ (1)用语言叙述你发现的规律； (2)用式子表示你发现的规律． 【展示点评】我们已经学会了解一元二次方程，通过解方程，我们就可以正确地填写上述表格，第1个方程，我们可以用配方法解方程，得到两根分别为1和1；第2，3两个方程，我们可以用因式分解法解方程，分别得到2和－5，－1和－4.通过填写表格，我们发现：如果关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，则有：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q. 下面我们来对这个结论进行证明：由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为x 1＝－p ＋p 2－4q2，x 2＝－p －p 2－4q2，所以x 1＋x 2＝－p ＋p 2－4q 2＋－p －p 2－4q2＝－p ，x 1·x 2＝－p ＋p 2－4q 2·－p －p 2－4q 2＝（－p ）2－（p 2－4q ）4＝q.【反思小结】二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.活动二探究点二【展示点评】第一个方程和第二个方程可以用因式分解法求其解分别为：－4和1；2和3；第三个方程可以用公式法求其解为－12和－1.然后其它栏目可依次填出．填完之后，我们发现每一个方程，它的两根之积等于c a ，两根之和等于－ba.猜想不等于证明，我们必须证明它是正确的，我们才可以运用它解决问题．问题：已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，求证：x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a. 证明：方程两边同时除以a ，得：x 2＋b a x ＋ca x ＝0，由前面得到的结论知：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .【反思小结】对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，如果它的两根分别为x 1，x 2，那么就有：x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a.【针对训练】1．口答下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－2x －15＝0 (2)x 2－6x ＋4＝0 (3)2x 2＋3x －5＝0 (4)3x 2－7x ＝0 (5)2x 2＝5 四、总结梳理，内化目标1．对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，如果它的两根分别为x 1，x 2，那么就有：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2．一元二次方程根与系数的关系前提条件是方程有实数根，所以根与系数关系通常和方程的判别式结合使用．3．能够利用完全平方公式对代数式进行灵活变形，是学习使用根与系数关系的必要条件．五、达标检测，反思目标1．(中考·昆明)已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于( C ) A．－4B．－1C．1D．42．(中考·黄冈)若α、β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝( C )A．－8 B．32 C．16 D．403．(中考·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a －b＋5的值为__23__．4．(中考·德州)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x21＋x22＝4，则k 的值为__1__．5．(中考·泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6；当m＝－4时原方程无解，∴m＝6；(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得：x1＝x2＝3，∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4，当m＝10时方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15，∵7＋7＜15，不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.六、布置作业，巩固目标见课本第35页练习第1，2，3题．●教学反思教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件．。
华师大版-数学-九年级上册-九上第二十三章 一元二次方程 复习教案
华师大版九年级（上）第二十三章《一元二次方程》第23章一元二次方程复习教案【三维教学目标】知识与技能：熟练掌握一元二次方程的四种解法，会选择适当的方法解方程，进一步体会相互之间的关系及其“转化”的思想。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）通过自主探索、回忆练习，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维。
情感态度与价值观：熟练分析数量之间的关系，列出一元二次方程来解应用题，在解决实际问题中，进一步增强学生学数学、用数学的意识。
教学重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题。
教学难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程。
【课堂导入】本节课我们来复习一元二次方程的有关内容：一元二次方程的解法：(1)直接开平方法形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．(2)把一元二次方程通过配方化成(mx+n)2=r(r≥o)的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．(3)公式法通过配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：a acbbx24 2-±-=用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)因式分解法如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法。
【教学过程】复习检测一、选择题1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为（）． A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-362．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程 （ ）．A ．正好8kmB ．最多8kmC ．至少8kmD ．正好7km二、填 空 题1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s （单位：m ）•与标枪出手的速度v （单位：m/s ）之间大致有如下关系：s=29.8v +2 如果抛出40m ，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察得到小球滚动的距离s （m ）与时间t （s写出用t 表示s 的关系式为_______．三、综 合 题1．一个小球以10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m 后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）?2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB=90海里，•如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，•最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．东 《作业答案与解析》一、1．C 2．B二、1．19.3m/s 2．s=2t2 三、1．（1）小球滚动的平均速度=1002+=5（m/s ） 小球滚动的时间：205=4（s ） （2）1004-=2.5（m/s ） （3）小球滚动到5m 时约用了xs 平均速度=10(10 2.5)2x +-=20 2.52x -依题意，得：x·20 2.52x=5，整理得：x2-8x+4=0解得：x=4±，所以2．能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2213，x2=2，∴最早再过2小时能侦察到．【教学反思】1、要了解一元二次方程的概念及其一般形式，2、根据一元二次方程的特征，灵活选用最恰当的解法，可以受到事半功倍的效果。
华师大版数学九年级上册23相似图形教案与反思2022
23.2 相似图形路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.识别两个多边形是否相似的方法.【过程与方法】在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力.【情感态度】让学生感受数学知识源于生活、用于生活.【教学重点】相似图形的定义和性质.【教学难点】相似图形的性质.一、情境导入，初步认识复习：1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系？（都成比例）二、思考探究，获取新知相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流.同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关系（对应边成比例，对应角相等）？由此可以得到两个相似多边形的特征：（由同学回答，教师板书）对应边成比例，对应角相等.实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法.即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似.识别两个多边形是否相似的标准有：（边数相同），对应边要（成比例），对应角要（都相等）.（括号内要求同学填）填一填：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？例1 矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB=1.5cm,BC=4.5cm，A′B′=0.8cm,B′C′=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？例2如图所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值:三、运用新知，深化理解1.矩形ABCD矩形A′B′C′D′中，已知AB=16cm,AD=10cm,A′D′=6cm,矩形A′B′C′D′的面积为54cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α.【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形A′B′C′D′的面积为54知A′B′=54÷6=9（cm）,2.x=14,y=18,α=85°【教学说明】教师引导学生独立完成，让学生演示并讲解，师生共同点评.四、师生互动，课堂结1.相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等.2.相似多边形的判定.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2”中选取.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
华师大版九年级数学上册全册教案(用)
华师大版九年级数学上册全册教案(用)22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义；能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中；使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具；增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题；把实际问题转化为数学模型；引入一元二次方程的概念；让学生认识一元二次方程及其相关概念；提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学；并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后；还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入；初步认识问题1 绿苑小区住宅设计；准备在每两幢楼房之间；开辟面积为900平方米的一块长方形绿地；并且长比宽多10米；那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米；不难列出方程x（x+10）=900；整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册；预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x；我们知道；去年年底的图书数是5万册；则今年年底的图书数是5（1+x）万册；同样；明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍；即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2；整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程；解决问题.二、思考探究；获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然；这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2；这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数；a≠0）.其中ax2叫做二次项；a叫做二次项系数；bx叫做一次项系数；c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式；并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2；-13；11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时；通常要将首项化负为正；化分为整.三、运用新知；深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式；并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5；-4；-1；（2）4x2-81=0；4；0；-81（3）4x2+8x-25=0；4；8；-25（4）3x2-7x+1=0；3；-7；1.2.根据下列问题；列出关于x的方程；并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25；求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2；面积是100；求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段；使较短一段的长与全长的积；等于较长一段的长的平方；求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0； （2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0； （3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根；求a 的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43.四、师生互动；课堂小结1.只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程；叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0）；一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的；这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中；体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0；ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境；综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程；激发求知的欲望；体验求知的成功；增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入；初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方；得x+1=±16所以原方程的解是x1=15；x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0；方程左边分解因式；得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15；x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法；教师板书.二、思考探究；获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时；最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时；注意整体划归的思想.三、运用新知；深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地；场地面积增加了一倍；求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.=5+52；x2=5-52（舍去）.解得x1答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题；分小组展示结果；教师点评.四、师生互动；课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0；b≥0）的方程；只要把（x-k）看作一个整体；就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时；切不可约去相同因式；而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程；熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想；掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程；让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦；并体验数学的价值；增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入；初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m；并且面积为16m2；场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm；则长为（x+6）m；根据矩形面积为16m2；得到方程x（x+6）=16；整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境；让学生感受到生活中处处有数学；激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究；获取新知 探究如何解方程x 2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习；我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆；明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式；右边是一个非负常数；即（x+m ）2=n （n ≥0）；运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？ （1）（x+3）2=25 （2）x 2+6x+9=25 （3）x 2+6x=16 （4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式；将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式；从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16；两边都加上9即（26）2；使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式；得： x 2+6x+9=16+9；左边写成完全平方形式；得：（x+3）2=25；开平方；得：x+3=±5；（降次） 即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2；x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式；右边是一个非负常数；从而可以直接开平方求解；这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2（3）4x 2+4x+1=（2x+1）2 例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题；小组展示；教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式；然后利用直接开平方法来解. 三、运用新知；深化理解 1.用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0（3）x 2-21x-1=02.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0；求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答；小组内交流；上台展示并讲解思路. 四、师生互动；课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取. 2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程；引导学生推导出求根公式；使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程；培养学生抽象思维能力；渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入；初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1；x2=-2 （2）无解二、思考探究；获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0）；试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多；现在不妨把a；b；c也当成具体数字；根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a；b；c而定；因此:（1）解一元二次方程时；可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0；当b2-4ac≥0时；将a；b；c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根；当b2-4ac＜0时；方程没有实数根.（2）a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式；体验获取知识的过程；体会成功的喜悦；可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1=1+26；x2=1-26②x1=2；x2=-31③x 1=2；x 2=35④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a ；b ；c 的值；注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值；再代入公式.三、运用新知；深化理解 1.用公式法解下列方程： （1）x 2+x-12=0（2）x 2-2x-41=0（3）x 2+4x+8=2x+11 （4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0 （6）x 2+25x+10=0 解：（1）x 1=3；x 2=-4;（2）x 1=232+；x 2=232-；（3）x 1=1；x 2=-3;（4）x 1=-2+6；x 2=-2-6； （5）x 1=0；x 2=-2; （6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动；课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式；判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神. 【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入；初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2；x2=-3（2）x1=x2=31（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况；回顾已有知识.二、思考探究；获取新知观察解题过程；可以发现:在把系数代入求根公式之前；需先确定a；b；c的值；然后求出b2-4ac的值；它能决定方程是否有解；我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式；通常用符号“Δ”来表示；即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时；方程有两个不相等的实数根: a acbbx24 21-+-=；a acbbx24 22---=;（2）当Δ=0时；方程有两个相等的实数根；x1=x2=-ab2; （3）当Δ＜0时；方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时；方程（m+1）x2-（2m-3）x+m+1=0；（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41;（3）m ＞41.【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知；深化理解1.方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根2.已知x 2+2x=m-1没有实数根；求证：x 2+mx=1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】1.B2.证明：∵x 2+2x-m+1=0没有实数根；∴4-4（1-m ）＜0；∴m ＜0.对于方程x 2+mx=1-2m ；即x 2+mx+2m-1=0；Δ=m 2-8m+4；∵m ＜0；∴Δ＞0；∴x 2+mx=1-2m 必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动；课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时；一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时；一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时；一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时；要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论；回忆整理；再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上；探索出一元二次方程根与系数的关系；及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动；经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系；培养学生观察分析和综合判断的能力；激发学生发现规律的积极性；鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时；初步体验发现问题；总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入；初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程x2+px+q=0的两根为x1；x2；用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p；x1·x2=q）2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax2+bx+c=0的两根为x1；x2；用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-ab；x 1·x2=ac）二、思考探究；获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax2+bx+c=0的两根a acbbx24 21-+-=；aacbbx2422---=；x1+x2=-ab；x 1·x2=ac.【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系；体会知识形成的过程；加深对知识的理解.例1 不解方程；求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x2-6x-15=0;（2）3x2+7x-9=0;（3）5x-1=4x 2.解：（1）x1+x2=6；x1·x2=-15;（2）x1+x2=-37；x1·x2=-3； （3）x1+x2=45；x1·x2=41.【教学说明】先将方程化为一般形式；找出对应的系数. 例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3；求另一根及k 的值.解：另一根为23；k=3.【教学说明】本题有两种解法；一种是根据根的定义；将x=-3代入方程先求k ；再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α；β是方程x2-3x-5=0的两根；不解方程；求下列代数式的值.三、运用新知；深化理解1.不解方程；求下列方程的两根之和与两根之积: （1）x 2-3x=15 （2）5x 2-1=4x 2 （3）x 2-3x+2=10 （4）4x 2-144=0（5）3x （x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x ）22.两根均为负数的一元二次方程是（ ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数；两根之积为正数.【答案】1.（1）x 1+x 2=3；x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=0；x 1x 2=-1 （3）x 1+x 2=3；x 1x 2=-8 （4）x 1+x 2=0；x 1x 2=-36（5）x 1+x 2=35；x 1x 2=32（6）x 1+x 2=-32；x 1x 2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答；教师点评. 四、师生互动；课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题；学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程；领悟数学建模思想；体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值；培养学生的创新意识和实践能力；通过交流互动；逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入；初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m；宽20m的矩形试验田；为了管理方便；准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道；要使种植面积为540m2；小道的宽应是多少？问题2 某药品经过两次降价；每瓶零售价由56元降为31.5元；已知两次降价的百分率相同；求每次降价的百分率.二、思考探究；获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显；即抓住种植面积为540m2来列方程；设小道的宽为xm；如何来表示种植面积？方法一：如图；由题意得；32×20-32x-20x+x2=540方法二：如图；采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x）（32-x）=540解得x1=50；x2=2由题意可得x＜20；∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解；同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题；问题中的数量关系很明了；即原价56元经过两次降价降为31.5元；设每次降价的百分率为x；由题意得56（1-x）2=31.5解得 x1=0.25；x2=1.75（舍去）三、运用新知；深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg；2013年平均每公顷产量为8450kg；求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形；要求长方形的面积为75cm2.（1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能；说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2）；长方形的宽为x（cm）；求S与x的函数关系式；并求出当x为何值时；S的值最大；最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x；则有7200（1+x）2=8450；解得x1=121≈0.08；x 2=-1224≈-2.08（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm；则长为（20-x）cm.根据题意；得x（20-x）=75解得：x1=5；x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101；即x2-20x+101=0；；知Δ=202-4×101=-4＜0；方程无解；故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知；当x=10时；S的值最大；最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.四、师生互动；课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时；通常要先画出图形；利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x；增长（或降低）前的基数是a；增长（或降低）n次后的量是b；则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习。
九年级数学圆的全章教案 华师大版 上学期
”的表示．以
”的表示方法．
的距离相等．
，
重合．，
．教师引导学生回答已知，求作．
的中点呢？
于点
的圆心为的中点，
，所以
=40
所对的圆周角是∠
的度数分别为80°和110°，则△
，想一想还有没有别的方法来证明这三个角相等呢？
学生分析证明思路，师生共同评价．教师概括总结出方法：要证明∠
，
呢？学生思考，议论，最后得到结论．
，则∠，否则不一定成
，从而得到圆周角的又一条性质．
这时教师提醒学生开课时的问题能否解决：学生回答出解决思路和方法，最后教师强调．
是△ABC的外接圆的直径．
BE=FC
FAC =
．
d d=r d。
华师大版九年级数学上册同步学案 第23章 13 课题 第23章小结与复习
课题 第23章小结与复习【学习目标】1．运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算,提高解决实际问题的能力,培养应用数学知识的意识；2．能用坐标来表示物体的位置,感受点的坐标由于图形变化而相应地也发生变化,让学生体会到数与形之间的关系．【学习重点】相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质． 【学习难点】灵活运用相似三角形的有关知识解题．情景导入 生成问题一、比例线段1．定义：__对于给定的四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比,那么这四条线段叫做比例线段．__2．比例性质：①如果a b ＝c d ,那么__ad ＝bc__；②如果ad ＝bc,那么__a b ＝cd __．二、平行线分线段成比例定理1．两条直线被一组平行线所截,所得的__对应线段__成比例．2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的__对应线段__成比例． 三、相似图形1．性质：相似多边形的__对应边成比例,对应角相等__；2．两个边数相同的多边形,如果对应边成比例,对应角相等,那么它们相似． 四、三角形相似的判定方法1．预备定理：平行于三角形一边的直线,和__其他两边(或两边的延长线)__相交所构成的三角形与原三角形相似．2．判定定理1：__两角__分别相等的两个三角形相似．3．判定定理2：__两边成比例且夹角__相等的两个三角形相似．4．判定定理3：三边__成比例__的两个三角形相似．五、相似三角形的性质1．相似三角形对应边上的__高、中线__,对应角的__平分线__之比等于相似比．2．相似三角形的__周长__之比等于相似比．3．相似三角形的面积之比等于__相似比的平方__．4．位似可以把图形__放大或缩小__．六、中位线1．三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．2．三角形三条边上的中线交于一点,这个点是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线的13.七、图形的变换与坐标1．点P(x,y)关于x轴对称点的坐标__P′(x,－y)__．2．点P(x,y)关于y轴对称点的坐标__P′(－x,y)__．自学互研生成能力知识模块一比例线段典例1：若ab＝52,求a＋ba－b的值．解：原式＝73知识模块二平行线分线段成比例定理典例2：如图,AB∥CD,AD、BC交于O,若AO∶DO＝3∶4,OB＝6,则BC＝__14__．,(典例2)) ,(典例3))知识模块三三角形相似的判定方法典例3：如图所示,△ABC是等边三角形,P是BC上一点,点D是AC上一点,∠APD＝60°,若BP＝1,CD＝23,求△ABC的边长．解：边长为3.知识模块四相似三角形的性质典例4：如图,在直角△ABC中(∠C＝90°),放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为__7__．,(典例4))知识模块五中位线典例5：点D、E、F分别是△ABC三边的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长是__20__．知识模块六图形的变换与坐标典例6：点P(a＋b,2a－b)、P′(－2,－3)关于x轴对称,则a＋b＝__－2__．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”．知识模块一比例线段知识模块二平行线分线段成比例定理知识模块三三角形相似的判定方法知识模块四相似三角形的性质知识模块五中位线知识模块六图形的变换与坐标检测反馈达成目标1．如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE∶CE＝2∶3,连接AE、BD交于点F,则S△DEF∶S△ADF∶S △ABF等于( C )A．2∶3∶5 B．4∶9∶25C．4∶10∶25 D．2∶5∶252．如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,且AC＝6厘米,AD＝4厘米,求AB的长为__9__厘米．3．如图,在菱形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足E为BC的中点,连结DE,F为DE上一点,且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB ＝2,求AF 的长．解：(1)略(2)477课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
数学华师大版九年级上册教案5篇
数学华师大版九年级上册教案5篇数学华师大版九年级上册教案篇1圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念.重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义.活动1创设情境，引出课题1.多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体.2.提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象?活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆.教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗?画的圆的位置和大小分别由什么决定?教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定.1.从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.2.小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点?3.小组代表发言，教师点评总结，形成新概念.(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件;满足这个条件的每个点，都在这个图形上.)活动3学以致用，巩固概念1.教材第81页练习第1题.2.教材第80页例1.多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等.活动4自学教材，辨析概念1.自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：(1)直径是弦，弦是直径;半圆是弧，弧是半圆.(2)圆上任意两点间的线段叫做弧.(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍.(4)长度相等的两条弧是等弧.(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧.)(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧.2.指出图中所有的弦和弧.活动5达标检测，反馈新知教材第81页练习第2，3题.活动6课堂小结，作业布置课堂小结1.圆、弦、弧、等圆、等弧的概念.要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系.等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据.2.证明几点在同一圆上的方法.3.集合思想.作业布置1.以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆.2.如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°，∠D=90°，点O是AB的中点.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上.答案：1.略;2.证明OA=OB=OC=OD即可.数学华师大版九年级上册教案篇2二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
初三数学圆的综合复习教案
圆综合复习一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？例2下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。