2.1.3函数的单调性教案学生版

2.1.3 函数的单调性
【学习要求】
1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．
2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】
考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，
改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.
2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单
调区间).
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．
探究点一函数单调性的有关概念
问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值
增大时，函数值f(x)是如何变化的？
问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？
问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，
如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？
“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？
问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函
数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．
探究点二增函数、减函数的证明或判断问题1 判断函数单调性的方法有哪些？
问题2证明函数单调性的方法有哪些？
问题3根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？例2 证明函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．
跟踪训练2 证明函数f(x)＝1
x
在区间(0，＋∞)上是减函数．
探究点三函数单调性的应用
问题1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
问题2已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？
例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)<f(x)，求满足f(1－a)<f(2a－1)的a的取值范围．
跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34的大小关系．
练一练：课堂检测、目标达成落实处
1.若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．
2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是_______．
3.物理学中的玻意耳定律p ＝k V
(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．
课堂小结：
1.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减．
2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，也可以用一个不等式来替代：
(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或1－2x 1－x 2
>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：
(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0或1－2x 1－x 2
<0. 3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：
①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，
②－f(x)单调递减，
③1单调递减(f(x)≠0)．
4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商12与1比较.。