高中数学1-3-2全集与补集课件北师大版必修
[方法总结] 补集的概念是建立在全集的基础上的， 所以 本题中先求出全集由哪些元素组成，再由交、并、补的概念 分别求得结论．自然数集 N 中最小的数是 0，在求全集时别 丢掉“0”．
设全集 U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q ＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，求 A∪B. [解析] 因为(∁UA)∩B＝{2}，
[例 3] 设 U＝{x∈N|x<10}， A＝{1,5,7,8}， B＝{3,4,5,6,9}，
求 A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)． [分析] 由交、并、补运算法则运算． [ 解析 ] ∵ U ＝ {x ∈ N|x<10} ＝ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ， A ＝
2 a ＋2a－3＝5 因此有 |2a－1|＝3
① ， ②
由①，得 a＝2 或 a＝－4.由②，得 a＝2 或 a＝－1. ∴a＝2. [方法总结] 由于 A 是二元素集，U 为三元素集，所以 A U.由 a2＋2a－3＝5，得 a＝2 或 a＝－4 后，可再将 a＝2 或 －4 代入检验，避免错误．
Venn 图在解决集合的关系与运算方面有其独特功效，特 别是一些抽象集合的问题，应用它解决非常直观、方便，要 自觉运用，形成习惯．
二、理解全集与补集的关系 1．补集是集合间的一种运算，求集合 A 相对于全集 U 的 补集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此， 它们是互相依存、不可分割的两个概念． 2．∁UA 的数学意义包括两个方面：首先必须具有 A⊆U； 其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．
所以 2∈B，且 2∉A. 因为 A∩(∁UB)＝{4}，所以 4∈A，且 4∉B. 所以 42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0， 所以 p＝－7，q＝6. 此时 A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以 A∪B＝{2,3,4}.
利用 Venn 图进行集合运算
[例 4]
集合 S＝{x|x≤10， 且 x∈N＋}， A S， B S， 且 A∩B
{x|x∈U，且 x∉A}
补集的运算
[例 1]
设 U＝{x|0≤|x|<4，x∈Z}；A＝{x|x2－x－6＝0}；
B＝{x|x2－1＝0}．求：∁UA；∁UB；(∁UA)∩B；A∪(∁UB)． [分析] [解析] 根据补集的定义求解． 由 0≤|x|<4 且 x∈Z，得 x 的值为－3，－2，－
三、怎样理解全集的相对性 1．全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它仅含 有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集， 研究方程的实数解，则 R 就是全集． 2．对于一个给定的集合，全集选择不同，则补集不同．
1．全集 在研究某些集合的时候，这些集合往往是________的子 集，这个________叫作全集，用符号________表示． 2．补集
[方法总结] 求集合的补集要根据补集的定义， 有时还要
结合 Venn 图来确定．
已知 A＝{0,1,2}，∁UA＝{－3，－2，－1}，∁UB＝{－3， －2,0}，用列举法写出集合 B. [分析] 先结合条件，利用补集性质求出全集 U，再由补
集定义求集合 B.
[解析]
∵A＝{0,1,2}，
∁UA＝{－3，－2，－1}， ∴U＝{－3，－2，－1,0,1,2}． 又∵∁UB＝{－3，－2,0}， ∴B＝{－1,1,2}.
＝{4,5}，(∁SB)∩A＝{1,2,3}，(∁SA)∩(∁SB)＝{6,7,8}，求集合 A 和 B. [分析] 本题可用直接法求解， 但不易求出结果， 用 Venn
图法较为简单．
[解析] ∈B,5∈B.
解法一： (1)因为 A∩B＝{4,5}， 所以 4∈A,5∈A,4
(2)因为(∁SB)∩A＝{1,2,3}，所以 1∈A,2∈A,3∈A,1∉B,2∉ B,3∉B. (3)因为(∁SA)∩(∁SB)＝{6,7,8}，所以 6,7,8 既不属于 A，也 不属于 B. 因为 S＝{x|x≤10，且 x∈N＋}，所以 9,10 不知所属．
5 ∵集合m3≤m≤2 5 mm< 或m≥7 3 . 在
U 中的补集为
∴m
5 的取值范围为mm<3或m≥7
.
[ 方法总结]
在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能
“柳暗花明”，从这个意义上讲，补集思维具有转换研究对 象的功能，这是转化思想的又一体现．
y－3 设全集 U＝{(x，y)|x、y∈R}，集合 M＝{(x，y)| ＝1}， x－2 N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则(∁UM)∩(∁UN)等于( A．∅ C．(2,3) [答案] B B．{(2,3)} D．{(x，y)|y＝x＋1} )
[解析] 集合 M、N 的元素都是点，集合 M 的关系式可 变形为 y＝x＋1(x≠2)， 几何意义是直线 y＝x＋1 上去掉点(2,3) 后所有点的集合，集合 N 表示直线 y＝x＋1 外所有点的集合．
3.补集的性质 由补集的定义可知，对任意集合 A，有 ①A∪∁UA＝________；②A∩∁UA＝________； ③∁U(∁UA)＝________. 4．∁U(A∩B)＝∁UA________∁UB ∁U(A∪B)＝∁UA________∁UB
[答案]
1.某个给定集合 给定的集合
U
2．所有不属于 A 的元素 3．①U ②∅ 4．∪ ∩ ③A
[解析]
画出 Venn 图如图．
(1)A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}． (2)∵∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}， (∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,5,6,7,8}．
补集思想的应用
[例 5] 已知集合 A＝{x|x2－2(m－3)x＋3m－5＝0}，B＝
{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}， ∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，
A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁UA＝{0,2,3,4,6,9}，∁UB＝{0,1,2,7,8}， ∴ ( ∁ UA)∩( ∁ UB) ＝ {0,2} ， ( ∁ UA) ∪ ( ∁ UB) ＝ {0,1,2,3,4,6,7,8,9}．
若三个方程 x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2 ＋2ax－2a＝0 至少有一个方程有实数解，试求实数 a 的取值 范围． [解析]若三个方程都没有实数解，则 Δ1＝4a2－4－4a＋3<0， 2 2 Δ2＝a－1 －4a <0， Δ ＝2a2＋8a<0， 3
3 解此不等式组，得－ <a<－1. 2 3 所以，所求实数 a 的取值范围为 a≤－2或 a≥－1.
名师辨误做答
若集合 A＝{x|－1≤x<1}，当全集 U 分别取下列集合时， 求∁UA. (1)U＝R；(2)U＝{x|x≤2}；(3)U＝{x|－4≤x≤1}． [误解] 三种都求为∁UA＝{x|x<－1 或 x≥1}．
1,0,1,2,3，方程 x2－x－6＝0 的解为 x＝－2 或 3， 方程 x2－1＝0 的解为 x＝± 1， 所以 U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}， A＝{－2,3}，B＝{－1,1}，
所以∁UA＝{－3，－1,0,1,2}， ∁UB＝{－3，－2,0,2,3}， (∁UA)∩B＝{－3，－1,0,1,2}∩{－1,1}＝{－1,1}， A∪(∁UB)＝{－2,3}∪{－3， －2,0,2,3}＝{－3， －2 ， 0,2,3}．
由(2)(3)可知，9,10 均不属于∁SB，所以 9∈B,10∈B. 综上可得 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
解法二：如图所示．
因为 A∩B＝{4,5}， 所以将 4,5 写在 A∩B 中． 因为(∁SB)∩A＝{1,2,3}，所以将 1,2,3 写在 A 中． 因为(∁SB)∩(∁SA)＝{6,7,8}， 所以将 6,7,8 写在 S 中 A，B 之外． 因为(∁SB)∩A 与(∁SB)∩(∁SA)中均无 9,10，所以 9,10 在 B 中． 故 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
[方法总结] 全集主要在与补集有关问题中用到， 要注意 它是求补集的条件，研究补集问题需先确定全集．
一、选择题 1．(2011· 辽宁理)已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 N∩(∁IM)＝∅，则 M∪N＝( A．M
[答案]
[ 解析] 系． N∩(∁IM)＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.
[ 方法总结]
此题解答中的解法二的巧妙之处就是运用
数形结合的方法求解， 即利用 Venn 图将已知条件在图中标出， 并从图中找出所求，直观形象，一目了然，省去解法一中的 推理．
设 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}．求： (1)A∩B，A∪B； (2)(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
第2课时
全集与补集
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
知能目标解读
1．理解补集和全集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集． 3．重视补集思想在解题中的应用．
重点难点点拨
重点：全集、补集的概念与运算． 难点：补集含义的理解以及补集的应用．
x＝2 . 可知∁UM＝x，y|y≠x＋1或 y＝3
表示直线 y＝x＋1 外所有点及直线上点(2,3)的集合． ∁UN＝{(x，y)|y＝x＋1}表示直线 y＝x＋1 上所有点的集 合．故交集是只有一个公共元素(2,3)的集合． ∴选 B.
高一数学必修1-子集、全集、补集-课件
高一数学集合子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” .(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，Q R.A B可以用图1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x ∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.2．真子集(1)定义：如果A B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C.③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ” “ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }. 其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.解题提示： 根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中. 2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.解题提示： 根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉. 解：集合A 的子集分为5类，即评 点(1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．解题提示： 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集.求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A.4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．解题提示： 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m.若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-2.要点二 补集、全集[重点]评点 评点 评点1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2中的阴影部分来表示.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U. (2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A.该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题例2 不等式组⎩⎨⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<xx ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1). C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A.解题提示： 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，122122结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍. 6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}. (1)判断A 、B 的关系； (2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.解题提示： 根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A.若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B.若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A.解题提示： 要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论. 解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B. 解题提示： 紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 A Ba5x(2)ABa5x(1)(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系. 解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P. 解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 2 0+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P.而1<1+ a 2 0+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P.10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合 B.解题提示： 求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用Venn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助Veen 图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a < x <a + 4 }，若A B ，求实数a 的取值范围.解题提示： 注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.解题提示： 集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符方法一 数形结合思想 A 1-4a +aBA4a +aB5AA51-评点 方法二 分类讨论思想U A1 3，，5 7 9，，2468评点。
高一数学：1.1.3《全集和补集》课件
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
（3）U={x | 0 x 3}，A={x | 0 x 1}，
B={x |1 x 3}.
思考1:在上述各组集合中，集合U，A，B三者 之间有哪些关系？
思考2:在上述各组集合中，把集合U看成全集， 我们称集合B为集合A相对于全集U的补集.一 般地，集合A相对于全集U的补集是由哪些元 素组成的？
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
A)
B {1, 6} ,A
(ðU B) {2,3} ,
ðU ( A B) {0,5} ,求集合A、B.
U
0，5
2，3 A
4,7
1，6 B
例4 设全集U={1，2，3，4，5}，集合
A {x | x2 5x a 0}, B {x | x2 bx 12 0},
已知 (ðU A) B {1,3, 4,5}，求实数 a, b的值.
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
高中数学 第1章 集合 3 集合的基本运算 3.2 全集与补集学案 北师大版必修1-北师大版高一必修
3.2 全集与补集学习目标核心素养1.理解全集、补集的概念．(重点)2．会求给定集合的补集．(重点)3．熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题．(难点)1．通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养．2．通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．1．全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？[提示]全集不唯一，通常选取整数集作为全集．2．补集文字语言设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作U A符号语言U A＝{x|x∈U，且x A}图形语言性质A∪(U A)＝U，A∩(U A)＝，U(U A)＝A1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}C[因为A∪B＝{1,2,4}，U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{3}．]2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(U B)＝( )A．{1,2,3,4,5} B．{1,4}C．{1,2,4} D．{3,5}B[U B＝{1,3,4,5}，又A＝{1,2,4}，则A∩(U B)＝{1,4}．]3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则U A＝________.{x|x<1}[如图所示：由上图知，U A＝{x|x<1}．]4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，U A＝{1,3,5}，则A＝________.{2,4}[由补集的定义知，A＝{2,4}．]Venn图在补集中的应用【例1】图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩U(A∪C) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(U B) D．U(A∪C)∪BA[阴影部分可表示为B∩U(A∪C)．]1．当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；2．当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；3．应用题常用Venn图分析求解．[跟进训练]1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，U A＝{2,4,6,8}，U B＝{1,4,6,8,9}，则集合B ＝________.{2,3,5,7}[借助Venn图，如图所示．得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．因为U B＝{1,4,6,8,9}，所以B＝{2,3,5,7}．]补集的有关运算【例2】(1)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3<x≤2}，则U A＝______，U B ＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.(1){x|x<－3} {x|x≤－3，或x>2}(2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}[(1)因为A＝{x|x≥－3}，所以U A＝R A＝{x|x<－3}．又因为B＝{x|－3<x≤2}，所以U B＝{x|x≤－3，或x>2}．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，所以U A＝{－5，－4,3,4}，U B＝{－5，－4,5}．法二：(Venn图法)可用Venn图表示则U A＝{－5，－4,3,4}，U B＝{－5，－4,5}．]求集合补集的策略1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.2如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.[跟进训练]2．(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∪U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．(2)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(R S)∪T等于( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}(1)A(2)C[(1)因为U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又因为B＝{1,2}，所以{3}A{1,2,3}．又U B＝{3,4}，所以A∩U B＝{3}．(2)因为S＝{x|x>－2}．所以R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]与补集相关的参数值的求解[探究问题]1．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，U A＝{5}，求实数a的值．提示：∵U A＝{5}，∴5∈U，且5A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A U，故a＝－4舍去．综上知a＝2.2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(U A)∩B＝，求实数m 的取值范围．提示：由已知A ＝{x |x ≥－m }，得U A ＝{x |x <－m }，因为B ＝{x |－2<x <4}，(U A )∩B ＝，所以－m ≤－2，即m ≥2，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥2}． 3．设全集U ＝R ，M ＝{x |3a <x <2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M (U P )，求实数a 的取值范围．提示：U P ＝{x |x <－2，或x >1}， 因为M (U P )，所以分M ＝，M ≠两种情况讨论．(1)M ＝时，应有3a ≥2a ＋5，所以a ≥5. (2)M ≠时，如图可得：⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1，所以a ≤－72或13≤a <5，综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥13或a ≤－72. 【例3】 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若(R A )∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． [思路探究] 先求出R A ，再借助数轴寻找a 满足的条件． [解]RA ＝{x |x ≤1，或x ≥2}．画出符合题意的图形．由上图得，a ≥2.(变条件)将例3中的“(R A )∪B ＝R ”，改为“A ∩(R B )＝”，求实数a 的取值范围．[解] 由A ∩(R B )＝，得AB .画出符合题意的图形：由图，得a ≥2.由集合补集求参数的方法1．对全集概念的三点理解(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集．(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．2．补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈U A二者必居其一．求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．3．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．4．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．1．思考辨析(1)全集包含任何一个元素．( )(2)A C＝B C. ( )(3)若x∈U，A U，则x∈A，或x∈U A. ( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}A[阴影部分表示的集合为B∩(Z A)＝{－1,2}．]3．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(U B)＝__________.{1,2,3}[U B＝{2}，A∪(U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．]4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若U A＝{1,2}，求实数m的值．[解]由U A＝{1,2}，得A＝{0,3}．所以9＋3m＝0，解得m＝－3.。
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4.1二次函数的图像
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4.2二次函数的性质
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习题2—4
2.3映射
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习题2—2
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阅读材料 生活中的映射
§2 对函数的进一步认识
北师大念
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2.2函数的表示法
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3.1交集与全集
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3.2全集与补集
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习题1—3
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§3 函数的单调性
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习题2—3
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§4 二次函数的再研究
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§5 简单的幂函数
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习题2—5
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阅读材料 函数概念的发展—— 从解析式到对应关系
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阅读材料
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本章小结
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复习题一
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习题1—2
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高中数学北师大版必修一1.3.2《全集与补集》ppt课件
• ∴∁UA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． • (3)∵U＝{x|－4≤x≤1}，A＝{x|－1≤x<1}，
• ∴∁UA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．
• [规律总结] 全集主要在与补集有关问题中用到， 要注意它是求补集的条件，研究补集问题需先确定 全集．
V∁eUBn＝n图{7表,8示}，出∁UB，A＝A，{0B,，1,易3,得5}∁．UA＝{0,1,3,5,7,8}，
• 5{5．}已，知则集实合数Am＝＝{_3_,_4_，__m_}_，. 集合B＝{3,4}，若∁AB＝
• [答案] 5
• [解析] 由补集的定义知5∉B，且5∈A，故m＝5.
课堂典例讲练
• 解法2：如图所示．
• 因为A∩B＝{4,5}， • 所以将4,5写在A∩B中． • 因为(∁SB)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中．
• 因为(∁SB)∩(∁SA)＝{6,7,8}， • 所以将6,7,8写在S中A，B之外．
• 因 在为 B中(∁．SB)∩A与(∁SB)∩(∁SA)中均无9,10，所以9,10
• (∁SSA，)∩且(A∁∩SBB集)＝＝合{{4S6,＝,57}{,，x8|}(x，∁≤S求B1)0集∩，合A且＝Ax和{∈1B,N.2＋,}3，}，A S，B
• [思路分析] 本题可用直接法求解，但不易求出结 果，用Venn图法较为简单．
• [规范解答] 解法1：(1)因为A∩B＝{4,5}，所以 4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学第一章集合3.2全集与补集课件北师大版必修
已知∁RA={x|x≤-1或x≥1},B={x|x≤a}. (1)若A∩B=⌀,求a的取值范围; (2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围. 思路点拨 利用数轴可以直观、形象地表示出集合A,B,从而求出a的取值范围.
(1)设U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},则(∁UA)∪(∁UB)=
;
(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∩B=
;
(3)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},则∁U(A
答案 B
利用集合的运算性质求参数的值或范围 由集合的运算性质求解参数问题的方法: (1)当集合中元素个数有限时,可结合定义与集合知识求解; (2)当集合中元素是连续实数时,一般利用数轴分析法求解.
已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当m=1时,求A∪B; (2)若B⊆∁RA,求实数m的取值范围. 思路点拨 (1)将m=1代入集合B中 求出A∪B. (2)当B=⌀时,列不等式求出m的取值范围 值范围 确定m最终的取值范围. 解析 (1)当m=1时,B={x|1≤x<4}, ∴A∪B={x|-1<x<4}.
全集与补集
全集与补集 1.全集:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个 给定的集合叫作全集,常用符号U ① 全部元素 .
文字语言
符号语言 图形语言
设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有② 不属于 A的元素 组成的集合,叫作U中子集A的补集(或余集),记作③ ∁UA
∪B)=
高中数学必修一课件：第1章 全集与补集 参考课件
第十八页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
二、填空题 6．若 A＝{x∈Z|0<x<10}，B＝{1,3,4}，C＝ {3,5,6,7}，
则∁AB＝{2,5,6,7,8,9} ，∁AC＝ {1,2,4,8,9} . 解析 ∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，
C ＝{3,5,6,7}， ∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}．
2．设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A⊆U )，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫作 U 中子集 A 的补集 (或余集 )，记作∁UA ，即∁UA＝{x|x∈U,且x∉A}．
3．补集与全集的性质 (1)∁UU＝ ∅ ；(2)∁U∅＝ U ；(3)∁U(∁UA)＝ A ； (4)A∪∁UA＝ U ；(5)A∩∁UA＝ ∅ .
4．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}， 则 A∩(∁UB)＝{2,4} ；(∁UA)∩(∁UB)＝ {6} ．
第二页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
对点讲练
知识点一 补集定义的应用 例 1 已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝
第六页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
解 ∁UA＝{x|－1≤x≤3}， ∁UB＝{x|－5≤x<－1 或 1≤x≤3}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}， 相等的集合：(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
第四页，编辑于星期日：二十三点 四十二分。
全集与补集 课件
课堂笔记
1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个 相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究 方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随 着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的
B．{1,3,5}
D．{2,3,4}
4 .已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范 围． 解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}． (1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.
1 (2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即 ≤a<3. 2 1 综上可得a≥ . 2
图形语言
3.常见结论
(1)∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2) 性质： A ∪ ( ∁ UA) ＝ U ， A∩( ∁ UA) ＝ ∅ ， ∁ U( ∁ UA) ＝ A ， ∁ UU ＝ ∅ ， ∁ U ∅ ＝ U ， ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的深阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
人教版
必修一
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算 第二课时 全集与补集
教学目标
1.了解全集、补集的意义． 2.正确理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的涵义． 3.会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．
【数学】1.1.3全集和补集 课件(北师大版必修1)
（1）象上面的A集合，含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作U。 （2）对于全集U的一个子集A，由全集U中所有 不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集 ，,简称为集合A的补集
集合的运算 之
全集和补集
导航
世间万物都是对立统一的，在一定 范围内事物有正就有反，就像数学 中，有正数必有负数，有有理数必 有无理数一样，那么，在集合内部 是否也存在这样的“对立统一”呢？ 若有，又需要什么样的条件呢？
考察下列集合A，B，C之间的 关系
1、 A ，， 4， B ，， C 4， 1 2 3， 5 ， 123， 5
*
求 C U A B ） ,A，B （
变式1:p3.10
变式2：如果全集U有10个元素，A B 含有2个元素，
（ 含有4个元素， C U A ） B 含有3 （ C U A ）（ C U B ）
个元素，则A含有____个元素，B含有___个元 素。
范例
已知 A x | 1 x 3, B x | x 2
C （3） U ( A B )； C U ( A B )
（ （4） C U A ） B
动动脑
（1）若S={2，3，4}，A={4，3}则CSA=———
思考：若A=S或A= 又怎样呢？ U
（2）若U=Z那么CUN= ————— 若U=R那么CU（CUQ）=—— （3）A C U A ） _____ ， A C U A ） ______ （ （
D. C I A ） （ C I B ） （
北师大版高中数学必修第一册1.1.3.2全集与补集及综合应用课件
ห้องสมุดไป่ตู้法归纳 解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不 同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转 化为实际问题求解．
跟踪训练3 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组， 每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数 分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物 理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_____8___人.
(2)两种求解方法： ①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集 合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点 值的取舍． ②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
题型2 集合的综合运算——师生共研 例1 (1)设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则 {x|x≥2}＝( )
根据上述定义，下列选项正确的是( ) A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3， 7，8} B．已知A＝{x|x＜－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜ －2，或x≥4} C．如果A－B＝∅，那么A⊆B D．已知全集U、集合A、集合B关系如图所示，则A－B＝A∩(∁U B)
5．(5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}， 则图中阴影部分表示的集合是________.
答案：{x|x≤－1，或x≥2}
6．(5分)已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝ ________．
答案：12
解析：因为A∪(∁U A)＝R，A∩(∁U A)＝∅， 所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.