高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第7讲 动力学II.建立微分方程.教师版

上讲代表的是动力学里的最基本的套路，好好练习。

这讲处理的如何建立微分方程。

竞赛中用微分方程处理的问题，一定都可以绕过微分方程解决。

然而不论是用什么方法，建立方程的过程必然是一样的。

1、 步找出多少个独立变量，通过常见的各种约束，表达系统的变量。

2、 方程的来源可以是牛顿第二定律/角动量定理，也可以是XX 守恒，本质上是相通的。

写方程的时候如果发现要算的变量在积分上下限的位置，或者在积分变量的位置，说明不应当对整个过程写方程，而是应当对某一小段过程写方程（即把积分方程化成微分方程）。

3、 消去无关的变量。

例如要干掉v 而算出x ，t 关系的时候，v 显然应当为dxdt，或者通过加减将,v dv 等一起消掉。

例题精讲上讲复习-关联【例1】 在光滑的固定的，倾斜角度为θ的水平面上，有一个半径为r 的薄壁圆筒，外面饶了一圈绳子，绳子一端接在天花板上。

初始状态圆筒被挡板挡住，露出的绳子长度为l ，然后突然撤掉挡板 （1） 求刚撤掉挡板的时候，圆筒的加速度和角加速度。

（2） 求这个瞬间绳子上与圆筒接触的点的加速度与圆筒上与绳子接触的点的加速度。

上讲复习-曲率半径【例2】 半径R 的大圆内，取半径4Rr =，小圆对应的滚轮线，求线上最大曲率半径max ρ， 本讲导学第7讲动力学II 建立微分方程解：内滚轮线又称内旋轮线内摆线设匀速纯滚动，小圆自转角速 角速度记为ϕω，小圆圆心弦转角速度记为θω，旋转速度记为v 则有，()R rr v R r rϕθϕθωωωω-==-⇒=内滚轮线max ρ在园中P 处，有 22()p v v R r θω==-p a 方向向上，大小为222()=(2)p R ra r R r R r rϕθθωωω- =--=-…… p a 即为a 心，得2max p 4()===(2)p v r R r a R r ρρ--心将4Rr =代入，即得 max 32R ρ=上讲复习-惯性力【例3】 在竖直平面上，设置图示的水平X 轴和数值向下的y 轴，t=0时刻位于x=0，y=0处的小水桶从静止出发，以匀加速0a ，沿X 轴运动。

过程中桶底小孔向下漏水，单位时间漏水质量为0m 常量。

略去漏水相对水桶的初速度，在任意00t >时刻，试求： （1）漏水迹线方程；（2）漏水迹线中的质量线速度λ随y 坐标的分布函数。

ag 1.yxt=0解（1）0t 之前，于t 时刻从桶底漏出的谁，在0t 时刻的x ，y 坐标分别为2222000000000111()222x a t a t t t a t a tt at a t a tt =+-=+-=-+ =2222200000000011111()22222a t a t a tt a t a t a t t -+-=-- 201()2y g t t =-得漏水迹线方程为：200012a x a t y g=- 迹线如图1所示。

或者改去水桶参考系'''O x y -，该系中每一滴漏水都沿题解图2所示0a a g =-+方向作匀加速直线运动，其运动轨迹即为漏水迹线。

0t 时刻漏水迹线如题解图中虚线所示，方程为：0'=-'a x y g ，因2001'2x x a t =-，'y y =，得200012a x a t y g =-（2）如前所述，0t 之前于t 时刻才能够桶底漏出的水在0t 时刻的x 、y 坐标分别为22000011()()22x t a t a t t =--，201()()2y t g t t =-0t 之前，于t at +时刻从桶底漏出水在0t 时刻的x ，y 坐标分别为()()x t dt y t dt + , +dt 时间内质量为0dm m dt =的漏水，在0t 时刻的x 迹线中占据的dx dy ,的长度dl 为： 000(0,()dx a t t dt dy g t t dt =-=--，22220()dl dx dy a g t t dt =+=+-其中dy 为负，是因为()()y t y t dt >+，如题解图所示，迹线中()y t 处质量线度为0220()()m dmt dl a g t t λ==+- 即02yt t g-=代入，即得0t 时刻迹线中质量迹线中质量线密度λ随y 坐标的分布式：0222()m y y ga g λ=+ 12gt 02漏水迹线12a 0t 02t 0a 0题解图1.yx0'y'x'12gt 02漏水迹线12a 0t2t 0a 0题解图2.yxx(t+dt)x(t)t+dtty(t)o12gt 02题解图312a 0t 02y(t+dt)yx【例4】 如图两个质量为m 的方块，边长分别为l 和/2l 。

方块上下面摩擦系数均为μ。

初始时刻，上面的小方块速度为0v 向右。

要求最后小方块能停在大方块上，而不发生以下事情，求各参数应当满足的关系。

A 上面的方块不翻动B 下面的方块不滑动C 上面的方块不掉下来D 下面的方块不反翻如何建立微分方程【例5】 原题出自更高更妙的物理如图一卷水管立在地上。

铺开之后每层水管厚度为d ，水管卷的总半径为R d >>。

开始的时候踢一脚，让水管卷滚起来，初态速度为0v gR >>。

在水管滚开的过程中没有能量损耗，求整个卷摊平需要多长时间。

【例6】 第29届模拟题第6套第二题按照广义相对论的预言，加速运动的物体会引起引力场的变化，从而激发引力波，向外辐射能量。

引力波的探测一直以来是非常困难的。

一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期（或者中子星的脉冲）。

我们把模型作如下简化：两个质量为m 的星体绕着其质心作圆周运动。

初始时刻两个星体之间距离为l 。

，当星体的加速度为a 时，其引力波辐射功率为2P ka =，其中k 是一个很小的常数。

（万有引力常数为G ，双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算） （1） 双星体系的周期变化0.01%需要经过多长时间。

（2） 按照这个理论双星越来越近，最后几乎相撞。

估算相撞需要的时间。

【例7】 一根轻绳跨过具有光滑水平轴的定滑轮（质量可忽略），两个质量为1m 和2m 的人各抓住绳的一端开始时，两人与水平轴之间的高度差分别为1h 和2h ，他们同时从绳上开始向上爬，并同时到达该滑轮水平轴处，试求所需时间t 。

解法1.假设两人相对底面都是匀加速向上爬111T m g m a ==，222T m g m a -=，T ：绳中张力21112h a t =，22212h a t =1122212()()m h m h t m m g -⇒=- 解法2：按题目，不设匀加速上爬，从各人初位置出发，分别建立数值向上的12y y ,轴21112()d y T m g m dt -=，22222()d y T m g m dt -=22111222()()d m m g m y m y dt⇒-=-引入1122Z m y m y =-，得21()dZm m g dt=-且|0t o Z == 021210()()Ztd Z m m gdt Z m m gt ⇒=-⇒=-⎰⎰v22121001()()2Z t dZ m m gtdt Z m m gt ⇒=-⇒=-⎰⎰两人同时爬到滑轮水平轴处，有21122211()2m h m h Z m m gt -==-得1122212()()m h m h t m m g-=-【例8】 27届复赛题第3题 三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。

一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。

若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。

当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。

已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q 、Q ′处。

1、 求当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l ；2、 求绳的总长度L ；3、 求卫星从ω0到停转所经历的时间t 。

参考解答：解法一1． 设在时刻t ，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于P 点，绳与圆筒的切点为T ，P 到T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，圆筒的角速度为ω，小球的速度为v .小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度1v 和垂直于绳子方向的速度2v 两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有()()()()22222001211112222M R m R M R m ωωω+=++v v (1) 2220012+=++MR mR MR mR ml ωωωv v (2)因为绳子不可伸长，1v 与切点T 的速度相等，即ωR =1v (3) 解(1)、(2)、(3)式得()()02222ωωml R m M ml R m M ++-+= (4)()()022222ωmlR m M lR m M +++=v (5) 由(4)式可得00M m l Rm ωωωω-+=+ (6)这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ．2．由（6）式，当0=ω得2vv图1TOP1v+=M mL Rm（7） 这便是绳的总长度L .3．如图2所示，从时刻t 到t t +∆，切点T 跟随圆筒转过一角度1t ωθ∆=∆，由于绳子的拉直部分的长度增加了l ∆，切点相对圆筒又转过一角度2lRθ∆=∆，到达T '处，所以在t ∆时间内，切点转过的角度 12lt Rθθωθ∆∆=∆=+∆+∆ （8） 切点从T 变到T '也使切线方向改变了一个同样的角度θ∆，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度2v 引起的，故有2tlθ∆∆=v （9） 由(1)、(2)、(3)式可得()20l ωω=+v （10） 由(8)、（9）、（10）三式得0l R t ω∆=∆ （11） （11）式表示l 随t 均匀增加，故l 由0增加到L 所需的时间为 001s L M mt R mωω+== （12）解法二T 'T1θ∆()2t v ll l +∆图2O2θ∆2m2mOQ 'QωT Rl r0P图10P '1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度.在t 时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为T ，小球到切点T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，小球到转轴O 的距离为r ，圆筒的角速度为ω.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.首先考察小球相对于圆筒的运动.在t 时刻，OT 与固定在圆筒上的半径0OP 的夹角为φ，如图2所示.由于小球相对圆筒的运动，经过时间t ∆，切点从圆筒上的T 点移到T '点，OT '与0OP 的夹角变为φφ+∆，绳的拉直部分的长度由l 变为l '，小球由P 运动到P '，PP '便是小球相对圆筒的位移.当t ∆很小时l l '≈，故PP l l φφ''=∆≈∆于是小球相对圆筒的速度大小为ll tφφφω∆==∆v (1) 方向垂直于TP ．φω是切点相对圆筒转动的角速度．再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆O图20Pφ φ∆ TT 'l ' P 'P lφTPrlφv2ωv 1ωvωvv图32φω+v v OR0P筒的角速度为ω时，位于转动参考系中的P 点(小球所在处)相对质心系的速度r ωω=v (2) 方向垂直于OP ．可以把ωv 分解成沿着TP 方向的分量1ωv 和垂直TP 方向的分量2ωv ，如图3所示，即1R ωω=v (3)2l ωω=v (4)小球相对质心系的速度v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的P 点相对质心系速度的合成，由图3可得v 的大小()2212ωωφ=++v v v v (5)因l R φ= (6) 故有()222R φωωωφ=++v （7）因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有()()222220011112222M R mR M R m ωωω+=+v （8） ()2220012MR mR MR mR ml ωωφωωω+=+++v v v （9）由(7)、(8)两式有()22220m M mφωωωωφ=+++ （10）由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得()20mM mφωωφωω=+++ （11）由(10)、(11)两式得φωωωω+=+0故有0ωωφ= （12）上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将(12）式代入（11）式得00M m m ωωφωω⎛⎫+-=⎪+⎝⎭（13） 由(6)、(13)两式得00M m l R m ωωωω⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭（14）这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ．2．由（14）式，当0=ω得绳总长度, 即M m L R m+= （15） 3．因φω是一个恒量，φ随时间的t 的变化规律为t 0ωφ= （16）当0=ω时，由（13）式可得卫星停旋时的φs M m mφ+= （17） 设卫星停转所用的时间为s t ，由（16）、（17）式得001s s t M m mφωω==+ （18） 评分标准：本题25分．解法一 第1问12分．（1）、（2）式各3分，（3）式2分，（6）式4分．第2问3分．（7）式3分．第3问10分．（8）、（9）式各3分，（10）式2分，（11）、（12）式各1分．解法二第1问18分．（1）式3分，（2）式2分，（7）式2分，（8）式3分，（9）式3分，（12）式2分，（14）式3分，第2问3分．（15）式3分．第3问4分．（16）式2分，（17）式1分，（18）式1分．物理世界想象中的夸克星我们正常看到的天体是原子构成的，如果压强再大一些，原子的结构被压垮，星体由中子构成。