《积分变换与数理方程》教学大纲
积分变换课程教学大纲.
《积分变换》课程教学大纲课程编号：0701111012课程名称：积分变换英文名称：Integral Transformation课程类型：公共基础课总学时：16 讲课学时：16 实验学时：学分：1适用对象：康尼学院四年制本科工科类各专业先修课程：高等数学一、课程性质、目的和任务《积分变换》不仅在数学的许多分支中, 而且在自然科学及工程技术、电子信号与系统分析等领域中，均有着广泛的应用。
它是一种常用的工具，其主要目的是通过积分变化运算，把一个域中的函数变成另一个域中的函数，将复杂的运算化为简单运算。
应用积分变换可求解某些积分方程、微分方程及计算某些积分，尤其适用于求解常系数线性微分方程及微分方程组.二、教学基本要求通过对本课程的学习, 使学生了解傅立叶变换和拉普拉斯变换的基本概念和基本性质,能求解一些常见函数对变换, 并能有效地运用这两种变换达到上述目的, 为今后学习有关专业的后继课程奠定必要的数学基础.三、教学内容及要求(一)傅立叶(Fourier)变换教学内容傅氏积分公式傅立叶变换的概念单位脉冲函数及其傅立叶变换非周期函数的频谱傅立叶变换的性质卷积与卷积定理学习要求1. 知道傅氏积分、余弦傅氏积分、正弦傅氏积分的概念, 会用傅氏积分公式求某些函数傅氏积分;2. 知道傅氏变换、余弦傅氏变换、正弦傅氏变换的概念, 掌握一些简单函数的傅氏变换的求法;3. 知道单位脉冲函数( 函数)的概念, 掌握其特点、性质;4. 记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数衰减函数、三角函数的傅氏变换;5. 知道傅氏变换的物理意义—频谱;6. 掌握傅氏变换的基本性质: 线性性、位移性、微分性、积分性、相似性，熟练掌握利用性质求函数的傅氏变换的方法;7. 知道卷积定理.(二) 拉普拉斯（Laplace）变换教学内容拉普拉斯变换及拉普拉斯变换存在定理拉普拉斯变换的性质拉普拉斯逆函数卷积与卷积定理拉普拉斯变换的应用学习要求1. 理解拉氏变换的概念, 知道拉氏变换的存在定理;2. 记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数衰减函数、正弦函数、余弦函数和幂函数拉氏变换;3. 掌握拉氏变换的基本性质: 线性性、相似性、位移性、微分性、积分性和延迟性, 并能熟练地运用这些性质求拉氏变换;4. 理解拉氏逆变换的概念, 知道复反演公式, 知道用留数求象原函数的方法. 了解当象函数为有理函数时求象原函数的海维赛德(Heaviside)展开式;5. 熟练掌握用部分分式法求有理函数的拉氏逆变换;6. 知道卷积及卷积定理，会用卷积定理求函数的拉氏变换和拉氏逆变换;7. 熟练掌握用拉氏变换解常系数线性微分方程，掌握用拉氏变换解微分方程组及某些微分积分方程.四、课外习题及课程讨论为达到本课程的教学基本要求, 课外习题(包括自测题)不应少于40题.五、教学方法与手段本课程采用板书的方式进行课堂教学.本课程为考试课程, 期末考试为闭卷笔试. 学生的课程总评成绩由平时成绩(占30%)和期末考试成绩(占70%)两部分构成, 平时成绩中含出勤、作业、课堂测验、学习主动性等. 八、推荐教材和教学参考书教材: 东南大学编《积分变换》高等教育出版社教学参考书: 上海交通大学编《积分变换》上海交通大学出版社李红等编《复变函数与积分变换》高等教育出版社九、大纲说明1. 基本要求的高低用不同的词汇加以区分, 对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分; 对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会”或“能”三级区分.2. 大纲中所包括的各课题内容是以满足专业需要为目的而确定的, 教学中对理论较强且难度较大的内容的论证和推导, 可作简要说明, 重点使学生掌握积分变换中的基本方法及基本思想.3. 课内侧重于理论能力的培养, 使学生搞清楚傅里叶变换与拉普拉斯变换的来龙去脉以及这两类变换之间的联系与区别之处. 通过求三角函数的傅里叶变换搞清楚为什么要引入 函数, 为什么引入广义函数后才能使三角函数的傅里叶变换成为可能.大纲制订人: 翁连贵大纲修订人: 翁连贵大纲审定人: 孙福树制订日期：2007.6.20。
数学物理方程教学大纲
《数学物理方程》教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA0722、课程名称：数学物理方程/ Equations of Mathematical Physics3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：复变函数、积分变换, 电磁场5、面向对象：电子科学与技术（或信息工程）6、开课院（系）、教研室：电子信息与电气工程学院电子工程系7、教材、教学参考书：①《电磁理论中的应用数学基础》，周希朗，东南大学出版社，2006②《数学物理方程》（第二版以后版本）, 梁昆淼，人民教育出版社，1978。
③《数学物理方法》（第二版）, 陆全康等，高等教育出版社，2003。
④《工程数学丛书》，贺才兴等，上海交通大学出版社，1988二、课程的性质和任务《数学物理方程》课程属于工程数学系列课程的延伸部分,是电子科学与技术专业选修课程之一。
作为一种数学工具，数学物理方程在各个科学技术领域特别是电子科学与技术、信息工程等学科具有广泛应用。
因此，学习和掌握有关数学物理方程有关的基本理论、基本分析和推演方法，对于将来从事工程技术工作的本科生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解各种特殊函数的基本性质以及二阶线性偏微分方程的基本求解方法，掌握有关偏微分方程构成的定解问题的求解思路，提高学生解决有关问题的能力。
三、课程的教学内容和要求第一章基础知识了解广义正交曲线坐标系；熟悉二项式系数的表示、双重级数变量代换以及二阶线性常微分方程及其分类。
第二章特殊函数①熟悉伽马函数和贝塔函数的定义以及特点。
②熟悉各类贝塞尔函数的特点；掌握贝塞尔函数的递推公式以及第一类贝塞尔函数的生成函数及其积分表达式；了解含有贝塞尔函数的定积分的求解；掌握可化为贝塞尔方程的微分方程同价的求解；了解贝塞尔函数的正交性和富里叶—贝塞尔级数以及贝塞尔函数的渐进公式的推导。
③熟悉第一类勒让德函数和第二类勒让德函数的特点；熟悉勒让德多项式的微分表达式—洛德利格斯公式、勒让德多项式的生成函数以及勒让德多项式的递推公式；了解勒让德多项式的积分表达式以及勒让德多项式的正交性和富里叶—勒让德级数；熟悉连带勒让德多项式。
《数理方程》第一讲
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
《数学物理方程》教学大纲
《数学物理方程》教学大纲第一篇：《数学物理方程》教学大纲《数学物理方程》教学大纲（Equations of Mathematical Physics）一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课学时/学分：40/2.5适用专业：信息与计算科学专业先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数三.课程的性质与任务：本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。
四、教学主要内容及学时分配（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）一些典型方程的形式, 定解条件的推导。
偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。
（二）分离变量法（7学时）三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。
（四）行波法（7学时）一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法（五）格林函数（6学时）微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。
（六）变分法（5学时）变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题五、教学基本要求通过教师的教学，使学生达到下列要求（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。
数理方程教学大纲
课程的重点：掌握三类方程的基本形式、初始条件和边界条件的概念和各类定解条件的表达方法。
掌握分离变量法精神、解题步骤和适用范围，熟练应用分离变量法求解各类齐次、非齐次定解问题。
掌握行波法的解题要领并会使用行波法求解某些定解问题。
掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤，会用Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题。
正确理解格林函数的定义及其物理意义。
掌握用电像法求半空间和球域格林函数的方法，并会用格林函数法求解这两种特殊区域狄氏问题的解。
理解贝塞尔方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。
并掌握应用贝塞尔函数的性质理解勒让德方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。
并掌握应用勒让德多项式的性质课程的难点：非齐次问题的求解；分离变量法、行波法、积分变换法在求解不同问题时的应用；格林函数法的理解和应用；两种特殊函数的性质的理解及应用。
解决办法：（1）课程组组织多种形式的教研活动，针对课程的重点内容和学生的特点，设计多角度的讲解方式，以加深学生对重点内容的理解和掌握。
例如对格林函数法，从物理角度解释，格林函数是电源的冲击相应，代表点电荷所形成的电位，电位函数满足泊松方程。
无源空间则满足拉普拉斯方程。
而从数学上解释，具有相同源分布和边界条件的二阶线性偏微分方程的解具有唯一性，格林函数是在求调和函数的积分表达式的时候，为了消去表达式中未知的部分，而引入的一个函数表达式。
等等这些不仅使学生从数学和物理两种角度理解问题，也切合了这门的题目“数学物理方程”。
（2）对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题。
例如“对特征值和特征函数的理解和认识”、“Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题的异同”、“格林函数求解问题的思路”等。
（3）精心设计例题，合理安排习题。
课程组根据教学内容，设计“提示例题”、“思路分析例题”和“详细讲解例题”。
大大丰富了课本上的习题数量。
“数理方程与特殊函数”是理工科专业学生的一门重要的数学基础课，所研究的问题直接来源于物理学、电子学、声学、力学等基础学科，是数学与这些学科之间联系的桥梁。
积分变换课程介绍.
积分变换课程介绍
一、本课程的性质与任务：
《积分变换》是高等学校电学、信息类本科专业的一门重要基础课。
现在它已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支，并已经广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。
开设本课程的基本目的是使学生掌握积分变换的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握积分变换在自然科学和工程技术中的广泛应用奠定良好的数学基础。
积分变换在相应专业的本科学习中起到基础和工具的作用，是学习某些专业的必备课程。
二、课程内容、学时与教学方式：
内容：1）傅里叶变换；
2）拉普拉斯变换；
总学时：20学时；
教学方式：课堂讲授。
三、教材：
《积分变换》，南京工学院数学教研组编，北京：高等教育出版社，2002年。
四、开课范围：
电学与信息类专业本科生。
五、预备知识：
高等数学、线性代数、概率论与复变函数。
数理方程教学大纲
《数理方程》教学大纲一、课程的基本信息课程名称：《数理方程》英文名称：Mathematics and Physical Equation课程性质：专业方向选修课课程编号：1623303002周学时：3学时总学时：48学时学分：3学分适用专业：适用于信息与计算科学专业预备知识：数学分析、高等代数、常微分方程、复变函数课程教材：姜礼尚，陈亚浙主编，《数学物理方程讲义》（第二版），高等教育出版社出版、1996年9月参考书目：[1] 谷超豪主编，《数学物理方程》（第二版），高等教育出版社、2002年．[2] 南京工学院数学教研组主编，《数学物理方法》(第五版)，高等教育出版社、1982年.[3]陈恕行主编，《数学物理方程》，复旦大学出版社、2003年.考核方式：考试制定时间：2013年10月制定二、课程的目的与任务《数理方程》是高等院校信息与计算科学专业的专业选修课之一。
数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过数理方程的教学，使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。
第一章方程的导出和定解条件（10学时）一、本章基本要求1．掌握典型方程和定解条件的表达形式；2．了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题；3．掌握偏微分方程的基本概念。
二、教学内容1．守恒律2．变分原理3．定解问题的适定性第二章波动方程（14学时）一、本章基本要求1．了解波动方程的导出方法，领会定解条件及意义；2．掌握初边值问题的分离变量法；3．掌握高维波动方程的柯西问题；4．了解波的传播与衰减的意义；5．了解能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。
二、教学内容1．一阶线性方程的特征线解法2．初值问题（一维情形）3．初值问题（高维情形）4．混合问题第三章热传导方程（14学时）一、本章基本要求1．了解通过物理原理建立热传导方程；2．掌握分离变量法解初边值问题；3．掌握傅立叶变换求解柯西问题；4．了解极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。
数理方程教学大纲
数理方程教学大纲一、引言数理方程是物理学、工程学、经济学等多个学科的重要工具。
它以数学为语言，描述了自然现象中的各种复杂现象，帮助我们理解并解决实际问题。
本教学大纲旨在为学生提供全面、系统的数理方程学习方案，培养其运用数理方程解决实际问题的能力。
二、教学目标1、理解数理方程的基本概念和分类；2、掌握常见数理方程的解法及应用；3、能运用数理方程解决实际问题；4、培养学生对数理方程的兴趣和爱好。
三、教学内容1、数理方程基本概念：讲解什么是数理方程，其基本形式和分类等；2、一阶线性微分方程：讲解一阶线性微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法等；3、高阶微分方程：讲解高阶微分方程的解法，如降阶法、常数变易法等；4、偏微分方程：讲解偏微分方程的基本概念和分类，以及常见的偏微分方程的解法；5、特殊类型方程：讲解一些特殊类型的数理方程，如Sturm-Liouville 方程、Schrödinger方程等；6、数理方程应用：通过实例讲解数理方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
四、教学方法1、课堂讲解：通过讲解典型例题，使学生掌握数理方程的基本概念和解题方法；2、数值模拟：利用计算机进行数值模拟，帮助学生理解数理方程的解的性质和实际应用；3、小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进交流与合作，加深对数理方程的理解；4、自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入探究数理方程的相关知识和应用领域。
五、教学资源1、教材：选用优秀的数理方程教材，保证教学内容的科学性和系统性；2、网络资源：推荐优秀的数理方程学习网站和在线课程资源，以便学生进行拓展学习；3、教学软件：使用适当的数学软件和编程工具，辅助学生进行数理方程的学习和计算；4、实验课程：设置相关的实验课程，让学生在实践中进一步理解和掌握数理方程的相关知识。
六、评估与反馈1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、提问、讨论等方面的情况；2、作业与考试：定期布置作业和进行考试，以检验学生对数理方程知识的掌握程度；3、反馈与指导：根据学生的表现和考核结果，进行及时的反馈和指导，帮助学生发现不足并改进学习策略。
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《积分变换与数理方程》教学大纲
课程编号：112004 开课学期：4
适用专业：电子信息科学与技术编写教师：赵玉泉
学时：36 学分：2
审核：彭光含
第一部分说明
一、课程的性质、作用
《积分变换与数理方程》是继《高等数学》之后的一门数学课程，是电子信息科学与技术专业学生的必选课。
其中积分变换是《信号与线性系统分析》课程的一部分，为使学生更集中地学习《信号与线性系统分析》的理论知识而将这部分数学知识从中分离出来，单独组成本课程。
因此学生只有具备了本课程的基础知识和基本技能，才可能学习《信号与线性系统分析》等专业课程。
即该课程内容是以后学习多门专业课程的必备工具。
二、课程的任务与基本要求
本课程内容主要有：信号与信号的基本运算、卷积与卷积和、傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换。
这些内容要求学生都必须掌握。
信号部分，要求学生掌握信号的种类、信号的基本运算、阶跃函数及冲激函数定义与运算。
卷积及卷积和部分，要求学生掌握卷积的定义、性质及计算方法。
傅立叶变换部分，要求掌握傅立叶级数、傅立叶变换的定义及性质。
拉普拉斯变换部分，要求学生掌握拉普拉斯变换的定义、性质及逆变换。
离散信号的Z变换，要求掌握Z变换的定义、性质。
三、教学方法建议
积分变换与数理方程课程，其理论性很强。
从教学的实际情况看，学生普遍感到难度大。
因此，在教学方法上一般宜采用教师讲授。
对于积分变换，学生感觉困难的主要原因是公式多，记不住。
有的学生虽记住了公式，但不能灵活运用。
建议：
1、冲击函数的教学，最好不涉及广义函数的概念和理论，以免学生感到复杂难懂。
2、信号与积分变换中，图像多，宜制作一批教学挂图或幻灯片辅助教学。
3、要引导学生适当复习，寻找公式的记忆方法，务必熟记公式。
4、要多列举范例，帮助学生理解公式，学会如何综合运用公式。
四、本课程与其他课程的关系
为学习本课程，学生必须具备较扎实的复数、级数、三角函数、待定系数等初等数学知识与复变函数、导数、积分等高等数学知识，具备一定的普通物理特别是电磁学方面的知识。
因此，该课程以初等数学、高等数学、电磁学等课程为基础，同时它又是学习《信号与线性系统分析》、《电路》等课程的基础。
第二部分本文
一、基本内容与学时分配
（一）信号
１、复数的知识………………………………………………………………(１学时) 教学内容要点：（１）、复数的三种表示式（２）、正、余弦函数的指数形式２、信号………………………………………………………………………（1学时）教学内容要点：（１）、连续信号和离散信号（２）周期信号和非周期信号
（３）、实信号和复信号
３、阶跃函数和冲激函数……………………………………………………（３学时）教学内容要点：（１）、阶跃函数和单位阶跃函数序列（２）、冲激函数和单位序列
（３）、冲激函数的导函数和积分（４）、冲激函数的性质
4、信号的基本运算…………………………………………………………（2学时）
教学内容要点：（1）、加法和乘法（2）、平移和反转（3）、尺度变换
（二）卷积
1、卷积积分…………………………………………………………………(2学时)
教学内容要点：（1）、卷积积分定义（2）、卷积的图示（3）、卷积的计算
2、卷积积分的性质………………………………………………………（2学时）
教学内容要点：（1）、卷积的代数运算（2）、函数与冲激函数的卷积
（3）、卷积的微分与积分
3、卷积和……………………………………………………………………(2学时)
教学内容要点：（1）、卷积和定义（2）、卷积和的图示（3）、卷积和的性质
（三）付里叶级数和付里叶变换
1、付里叶级数………………………………………………………………(2学时)
教学内容要点：（1）、三角函数的正交性（2）、周期信号的付里叶展开（3）、奇、偶函数的付里叶展开（4）、付里叶级数的指数形式
2、付里叶变换………………………………………………………………(3学时)
教学内容要点：（1）付里叶变换式（2）奇异函数的付里叶变换
3、付里叶变换的性质………………………………………………………(4学时)
教学内容要点：（1）、线性（2）、奇、偶性（3）、对称性（4）、尺度变换（5）、时移特性（6）、频移特性（7）、卷积定理（8）、时域微分和积分
（9）、频率微分和积分
4、周期信号的付里叶变换…………………………………………………（2学时）
教学内容要点：（1）正、余弦函数的付里叶变换（2）一般周期函数的付里叶变换（四）拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换……………………………………………………………（2学时）
教学内容要点：（1）、拉普拉斯变换式（2）、收敛域（3）、单边拉普拉斯变换
2、拉普拉斯变换的性质……………………………………………………（4学时）
教学内容要点：（1）、线性（2）、尺度变换（3）、时移特性（4）、复频移特性
（5）、时域微分定理（6）、时域积分特性（7）、卷积定理（8）、S域微分和积分
（9）、初值定理和终值定理
3、拉普拉斯逆变换……………………………………………………………(3学时)
教学内容要点：（1）、查表法（2）、部分分式展开法
（五）Ζ变换
1、Ζ变换………………………………………………………………………(2学时)
教学内容要点：（1）、Ζ变换表示式（2）、收敛域
2、Ζ变换性质…………………………………………………………………(1学时)
教学内容要点：（1）、线性（2）、位移特性（3）、序列乘a的k次方（4）、卷积定理（5）序列乘k （6）k域除（k+m）（7）k域反转（8）部分和二、习题与作业
积分变换部分必须加强练习，这样才能使学生达到掌握知识的程度。
一般，每次课后应布置4—6道左右习题供学生练习。
第三部分附录
教材及教学参考书
教材：
1、吴大正. 信号与线性系统分析[M].北京：高等教育出版社,1998, 第四版，第6次印刷.
教学参考书：
1、梁昆淼. 数学物理方法[M].北京：高等教育出版社,1998，第三版，第5次印刷.
2、郑君里.信号与系统[M]. 北京：高等教育出版社，2005，第二版，第11印刷.
3、李玲远.信号与系统习题精解[M].成都：西南交通大学出版社，2004，第一版，第
一次印刷。
4、胡冰心.信号与系统辅导及习题精解[M].西安：陕西师范大学出版社，2006，第一
版，第一次印刷。