湖南雅礼中学、河南实验中学2018届高三联考数学(文)试卷(含答案)

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(,)|2M x y x y =+=，{}(,)|2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．{}0,2B ．(2,0)C ．{}(0,2)D ．{}(2,0)2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知函数2lg(54)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（ ） A ．53B ．53-C ．52D ．52-4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．110B ．16C ．15D ．565.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）6.设等差数列{}n a 满足27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得0n S >的最大的自然数n 是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．107.如图程序框图中，输入ln 2x =，3log 2y =，12z =，则输出的结果为（ ） A ．ln 2B ．3log 2C ．12D ．无法确定8.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(0,2)A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．42+B ．4(12)+C ．2(26)+D ．632+9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin()32c B a π+=，20CA CB ⋅=u u u r u u u r，7c =，则ABC ∆的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．310.抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若OMN ∆的面积为12，则||AF 的长为（） A ．2B ．3C ．4D ．511.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1,1)-处标2，点(0,1)-处标3，点(1,1)--处标4，点(1,0)-处标5，点(1,1)-处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签22017的格点的坐标为（ ） A ．(2017,2016) B ．(2016,2015) C ．(1009,1008)D ．(1008,1007)12.已知函数3()1f x x a =-++（1x e e≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．30,4e ⎡⎤-⎣⎦C ．3312,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．3[4,)e -+∞， 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量x ，y 满足不等式组20,5100,80,x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则2y z x =+的最大值为 ．14.如图，有5个全等的小正方形，BD x AE y AF =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值是 ．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．16.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，称12S S 为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）令121n n n b a a ++=，12n n T b b b =+++…，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实数m 的最小值．18.如图所示的矩形ABCD 中，122AB AD ==，点E 为AD 边上异于A ，D 两点的动点，且//EF AB ，G 为线段ED 的中点，现沿EF 将四边形CDEF 折起，使得AE 与CF 的夹角为60︒，连接BD ，FD .（1）探究：在线段EF 上是否存在一点M ，使得//GM 平面BDF ，若存在，说明点M 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥G BDF -的体积的最大值，并计算此时DE 的长度．19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 2.5PM 溶度，制定了空气质量标准：某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．参考数据：20()P K k >0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20.如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，求实数2λ的取值范围．21.已知函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+，0a ≠． （1）若2b =，且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ．（1）求m 的值及直线l 的普通方程；（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式||x a b +≤的解集为[]6,2-． （1）求实数a ，b 的值； （2）若实数y ，z 满足1||3ay z +<，1||6y bz -<，求证：2||27z <．长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（文科）答案 一、选择题1-5:DBCBA 6-10:CABDA 11、12：CB二、填空题13.1 14.1 15.643π16.94三、解答题17.解：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =， ∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,a a =⎧⎨=⎩∴751392752a a d --===-，∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-． （2）∵1211111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-++++w ，∴1111111111()()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++…， ∵111()2323n -+随着n 的增大而增大， ∴{}n T 递增，又1023n >+，∴16n T <，∴5m ≥，∴实数m 的最小值为5．18.（1）证明：如图所示，取线段EF 的中点M ， 因为G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点， 故GM 为EDF ∆的中位线，故//GM DF ，又GM ⊄平面BDF ，DF ⊂平面BDF ，故//GM 平面BDF ． （2）解：∵//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒， 故AE 与DE 的夹角为60︒， 过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，所以DE EF ⊥，AE EF ⊥，故DP 为点D 到平面ABFE 的距离，设DE x =，则4AE BF x ==-， 由（1）知//GM DF ， 故1113331(4)(4)3322123G BDF M BDF D MBF MBF V V V S DP x x x x ---∆⎡⎤===⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯=-⋅≤⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4x x -=时等号成立，此时2x DE ==． 故三棱锥G BDF -的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2．19.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1⨯=，由频率分布直方图可知：(0.0040.0060.005)500.11m +++⨯+=，解得0.003m =． （2）因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为0.3:0.152:1=，按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记作1A ，2A ，3A ，4A ， 空气中度污染天气被抽取2天，记作1B ，2B ，从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个，记事件A 为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件A 所包含的基本事件有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共9个，故93()155P A ==， 即至少有一天空气质量中度污染的概率为35． （3）列联表如下：由表中数据可得22240(90223890) 3.214 2.70618060128112K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．20.解：（1）由题意得1(0,1)F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知15||13M MF y =+=，得23M y =，于是易知2()3M ，从而27||3MF ==，由椭圆定义知， 122||||a MF MF =+4=，得2a =，故23b =，从而椭圆1C 的方程为22134x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则由OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=，① 又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆22(1)1x y ++=1=，由0k ≠，可得221tk t =-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立，且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k-=+， 所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+，所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++，代入①式，得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++，所以2222443k t kλ=+， 又将②式代入得，2222411()1t tλ=++，0t ≠，1t ≠±，易知22211()11t t ++>，且22211()13t t ++≠，所以244(0,)(,4)33λ∈U ．21.解：（1）2b =时，21()ln 22h x x ax x =--，则1'()2h x ax x=--221ax x x +-=-，因为函数()h x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有解， 又因为0x >，则2210ax x +->有0x >的解， 所以22121(1)11a x x x>-=--≥-， 所以a 的取值范围为(1,0)(0,)-+∞U ．（2）设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，120x x <<， 则点M ，N 的横坐标为122x x x +=，1C 在点M 处的切线斜率为12112212|x x x k x x x +===+，2C 在点N 处的切线斜率为121222()|2x x x a x x k ax b b +=+=+=+， 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，则12k k =，即1212()22a x xb x x +=++，则222221212122112121122()()()()()ln ln 222x x a a ax x b x x x bx x bx y y x x x x -=-+-=+-+=-=-+，所以2212112(1)ln 1x x x x x x -=+，设21x t x =，则2(1)ln 1t t t -=+，1t >，①令2(1)()ln 1t r t t t-=-+，1t >，则22214(1)'()(1)(1)t r t t t t t -=-=++，因为1t >时，'()0r t >，所以()r t 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0r t r >=， 则2(1)ln 1t t t->+，这与①矛盾，假设不成立， 故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行．22.解：（1）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，于是2222c a b =-=，(F ，直线l 的普通方程为x y m -=，将(F 代入直线方程得m =，所以直线l 的普通方程为0x y -+=．（2）设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos )θθ（02πθ<<），所以椭圆C 的内接矩形的周长为2(4cos ))L θθθϕ=+=+（其中tan ϕ=，此时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值23.解：（1）由||x a b +≤，得b x a b -≤+≤，即b a x b a --≤≤-，则6,2,b a b a --=-⎧⎨-=⎩解得2,4a b =⎧⎨=⎩． （2）由（1）可知，1|2|3y z +<，1|4|6y z -<， 又因为9|||(2)2(4)||2|2|4|z y z y z y z y z =+--≤++-1122363<+⨯=，所以2||27z <．。