一种基于导数的实时频率跟踪算法_张超

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一类不确定非线性系统基于SVR的Backstepping自适应跟踪控制

第４２卷增－（）？Ｉｌ】
２１０２年９月
东南大学学报（自然科学版）
ＪＲＬＯＯＵＨＡＳＩＲＩＹ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ＯＵＮＡＦＳＴＥＴＵＮＶＥＳＴＮｔｒｌｃｃｄｔｎｅｉ
Ｖｏ．１４２
Ａｂｓｒｃ：Ａｎａａｔｖｏｌｎａｏｔｏｌｒｉｅｅｏｅｏｂｎｎｃｔｐｉｇｔｃｎｑｅｗｉｈｔｅｔａｔｄｐｉｅｎｎｉｅｒｃｎｒｌｅｓｄｖｌｐｄｃｍｉｉｇｂａｋｓｅｐｎｅｈｉｕｔｈ
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戈＝贾） △ ）ｇ（）＋ｇ（＋Ｉ（＋（＋ “ △ 贾）ｄ
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误差、存在未知外界扰动等控制问题时，果并不效理想．。
为弥补传统自适应Ｂｃｓｐｉｇ控制的不足，ａｋｔｐｎｅ解决多种不确定因素作用下的非线性系统控制问题，多学者将智能控制方法引入其中．别是随诸特着神经网络的发展，们利用神经网络能够以任意人理想精度逼近平滑非线性函数的特性，系统未知对不确定性进行逼近，合自适应Ｂｃｓｐｉｇ控制结ａｋｔｐｅｎ方法，设计具有较强鲁棒性的非线性控制器，得取了一系列研究成果 ” ．同样基于 “ ” 核的学习方法，支持向量机（ｕ．ｓｐｐｒｖｃｏｃｉｅＳＭ）自２ｏｔｅｔｒｍａｈｎ，Ｖ０世纪９０年代由Ｖａｎｋ１提出以来，ｐｉ］４理论研究和算法实现上都取得了突破性进展．同于神经网络，持向量机建不支立在结构风险最小化（ｔｃｕａｒｋｍｉｉｚｔｎ，ｓｕｔｒｌｉｎｍｉａｏｒｓｉＳＭ）Ｒ原则基础之上，不存在 “ 数灾难 ” “ 学维和过习” 问题，广性好，解决控制问题上也取得了推在较大进展．于神经网络的控制方法与基于支基持向量机的控制方法的主要不同点在于，前者通过调节未知的网络互联权值来实现参数的优化，而后者将状态向量序列作为未知参数向量的一部分进行优化计算．径向基函数（ａｉｌａｉｆｎ．就ｒｄａｂｓｕｃｓｔｎＲＦ神经网络而言，隐层节点数目，向基ｉ，Ｂ）ｏ其径函数中心和宽度需要依赖于经验进行设定，而支持向量机则在对偶空间的优化计算过程中自动确定函数参数，有更强的适应性．具本文在相关研究基础上，针对一类不确定非线性系统，支持向量回归（ｕｐｒｖｃｏｃｉｅ将ｓｐｏｔｅｔｒｍａｈｎｒｇｅｓｎＳｅｒｓｏ，ＶＲ）Ｂｃｓｐｉｇ控制方法相结合，ｉ与ａｋｔｐｎｅ基于Ｂｃｓｐｉａｋｔｐｎｅｇ方法构造镇定控制器，采用ＳＲＶ逼近系统非线性过程不确定项，引入自适应算法调节ＳＶＲ权值，最终得到满足闭环系统全局渐近稳定的控制器．过对典型系统的仿真分析表明，通该控制方法控制效果较好，具有一定的鲁棒性．且

改进的PSO-VMD算法及其在管道泄漏检测中的应用

第39卷第1期2021年1月吉林大学学报（信息科学版）Journal of Jilin University(Information Science Edition)Vol.39No.1Jan.2021文章编号：1671-5896(2021)01-0028-09改进的PSO-VMD算法及其在管道泄漏检测中的应用张超"，侯男"，路敬祎“，王闯“(东北石油大学a.人工智能能源研究院；b.黑龙江省网络化与智能控制重点实验室.黑龙江大庆163318)摘要：针对变分模态分解(V MD：Variational Mode Decomposition)算法分解后有效模态分量选择困难以及去噪效果不理想等问题.将粒子群(PSO：Particle Swarm Optimization)与VMD算法结合，提出一种基于混沌和Sigmoid 函数改进PSO的优化算法。

利用改进的PSO算法优化VMD的分解模态数"和惩罚因子a,进行模态分解，然后计算各模态分量概率密度函数与信号概率密度函数之间的欧氏距离(ED：Euclidean Distance),选取有效模态分量重构信号。

实验结果表明，该算法与VMD-C()RR(Variational Mode Decomposition-Correlation Coeffificient)算法和EMD-ED(Empirical Mode Decomposition-Euclidean Distance)算法相比，仿真信号和实际管道泄漏信号都得到了较好的去噪效果，并验证了其在管道泄漏检测中的有效性。

关键词：变分模态分解；粒子群优化算法；混沌；Sigmoid函数；欧氏距离；管道泄漏检测中图分类号：TN911.7文献标识码：AImproved PSO-VMD Algorithm and Its Application in Pipeline Leak DetectionZHANG Chao a b,HOU Nan",LU Jingyi",WANG Chuang"(a.Artificial Intelligence Energy Research Institute；b.Heilongjiang Key Laboratory ofNetworking and Intelligent Control,Northeast Petroleum University,Daqing163318,China)Abstract:In view of problems such as the difficulty in selecting effective modal components and the unsatisfactory denoising effect after the decomposition of VMD(Variational Mode Decomposition)algorithm, an optimization algorithm is proposed to improve PSO(Particle Swarm Optimization)by adjusting the inertia weight and the acceleration factor,which combines PSO with VMD algorithm.The improved PSO algorithm is used to optimize the decomposition mode number k and the punishment factor a of VMD and to conduct the decomposition of mode.Then the ED(Euclidean Distance)is calculated between the probability density function of each modal component and the probability density function of the signal,and the effective modal component is selected to reconstruct the signal.Experimental results show that compared with VMD-CORR (Variational Mode Decomposition-Correlation Coeffificient)algorithm and EMD-ED(Empirical Mode Decomposition-Euclidean Distance)algorithm,the proposed algorithm achieves better denoising effect for both simulated signals and actual pipeline leakage signals,which verifies its effectiveness in pipeline leakage detection.Key words:variational mode decomposition；particle swann optimization；chaos；sigmoid function；euclidean distance;pipeline leak detection收稿日期：2020-07-08基金项目：黑龙江省科学基金资助项目(F2018004)；黑龙江省自然科学基金资助项目(LH2020FD05)；黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研基金资助项目(2019QNL-11)；大庆市指导性科技计划基金资助项目(zd-20194)7)；武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室开放基金资助项目(2O18AO1)；东北石油大学青年科学基金资助项目(2O18QNL-33)作者简介：张超(1996-),女，黑龙江集贤人，东北石油大学硕士研究生，主要从事长输油管道泄漏检测技术研究，(Tel)86459-6504338(E-mail)zhangchao924@；侯男(1990—),女，黑龙江巴彦人，东北石油大学副教授，主要从事网络化系统控制，故障检测和估计研究，(Tel)86459-6504338(E-mail)**************。

一种电静液作动器的控制方法及系统[发明专利]

(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 202010025405.6(22)申请日 2020.01.10(71)申请人北京航空航天大学地址 100191 北京市海淀区学院路37号(72)发明人王兴坚　沈友昊　王少萍　张育玮　张超　(74)专利代理机构北京高沃律师事务所 11569代理人杨媛媛(51)Int.Cl.G05B 13/04(2006.01)(54)发明名称一种电静液作动器的控制方法及系统(57)摘要本发明公开了一种电静液作动器的控制方法及系统。

该方法包括：构建电静液作动器的动力学模型；按照能量转换过程对电静液作动器进行系统划分，得到多个子系统；基于动力学模型确定各个子系统的控制律；按照各个子系统的控制律对电静液作动器进行控制。

本发明的电静液作动器的控制方法及系统能够提高电静液作动器的控制精度。

权利要求书6页说明书22页附图4页CN 111240196 A 2020.06.05C N 111240196A1.一种电静液作动器的控制方法，其特征在于，包括：构建电静液作动器的动力学模型；按照能量转换过程对电静液作动器进行系统划分，得到多个子系统；基于所述动力学模型确定各个子系统的控制律；按照各个所述子系统的控制律对所述电静液作动器进行控制。

2.根据权利要求1所述的一种电静液作动器的控制方法，其特征在于，所述电静液作动器包括电机、泵和作动筒；所述电机用于驱动所述泵从而改变液压缸的压力，进而驱动所述作动筒；所述构建电静液作动器的动力学模型，具体包括：以无刷直流电机作为所述电静液作动器的电机，建立电机的电势平衡方程：式中，u e为电机控制电压；i e为电机电流；K e为电机反电动势系数；ωe为电机转速；R e为电机电枢电阻；L e为电机电枢电感，为i e的一阶导数；建立电机的转矩平衡方程：式中，K m为电机电磁力矩常数；为ωe的一阶导数；B m＝B e+B p为电机与泵的总负载阻尼系数，B e为电机负载阻尼系数，B p为泵负载阻尼系数；J m＝J e+J p为电机与泵的总转动惯量，J e 为电机转动惯量，J p为泵转动惯量；T e为电机输出转矩；建立液压缸的流量连续方程：式中，V P＝V/(2π)，V为泵的排量，A e为液压缸活塞的有效面积；x e为液压缸活塞的位移；为x e的一阶导数；V e为液压缸的总容积；C el为液压缸的总泄露系数，且C el＝C eli+0.5C ele，C eli、C ele分别为液压缸的内泄漏系数和外泄漏系数；E e为有效体积弹性模量；P e为负载压力，为P e的一阶导数；建立液压缸的力平衡方程：式中，m e为负载质量，为x e的二阶导数；B e为负载阻尼系数，F e为外负载，即活塞杆的输出力。

一种基于改进自适应算法的科里奥利流量计信号跟踪方法[发明专利]

专利名称：一种基于改进自适应算法的科里奥利流量计信号跟踪方法
专利类型：发明专利
发明人：任建新,王鑫鹏,边琦,张鹏
申请号：CN201310039394.7
申请日：20130131
公开号：CN103162755A
公开日：
20130619
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明涉及一种基于改进自适应算法的科里奥利流量计信号跟踪方法，解决现有信号跟踪方法难以长时间实时准确跟踪和测量信号频率的问题。

本发明基于奇异谱分析方法和基于优化零极点配置滤波算法，通过对输入信号进行预处理，构建以为传递函数的滤波器，动态调整滤波器模型，使极点以变角度的方式趋近于零点。

本发明能够实时、精确跟踪和测量传感器输出信号频率。

本方法与传统方法相比在频率跟踪方面具有更好的收敛性和实时性，实现了在工业现场中对科里奥利流量计传感器信号进行长时间、高精度的跟踪。

申请人：西安东风机电有限公司
地址：710077 陕西省西安市高新区锦业路69号创业研发园A区8号雷信科技园2楼
国籍：CN
代理机构：西安智邦专利商标代理有限公司
代理人：倪金荣
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多伯努利滤波细胞追踪方法研究

１研究背景
１．１细胞追踪研究背景及其现况细胞作为生ห้องสมุดไป่ตู้体基本的结构和功能单位，其形
态及运动状态的变化对人体的生理及病理有着重要影响。活体细胞具有能动性，动态的反应生命过程，对其形态变化特征的研究有重要意义。国内外对细胞序列显微图像的研究重点已经从静态细胞图像序列分析转移到活体细胞的分析。在对活体细胞进行追踪时，活体细胞自身的能动性和不断进行的形态变化，给图像分析带来了挑战。因此，细胞图像序列中的细胞追踪方法一直是细胞学和生物学研究的重
ＭｅＭＢｅｒｆｉｌｔｅｒｃｅｌｌｔｒａｃｋｉｎｇｍｅｔｈｏｄ
ＤＥＮＧＪｉｅｎｉ，ＺＨＡＮＧＣｈａｏｙｕｅ，ＨＵＡＮＧＺｈａｏｗｅｉ，ＬＩＺｏｎｇｚｅ，ＳＨＩＣｈｕｎｍｅｉ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５００４０，Ｃｈｉｎａ）
【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｍａｎｙｍｅｄｉｃａｌｄｉａｇｎｏｓｔｉｃｒｅｓｕｌｔｓｄｅｐｅｎｄｏｎｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔａｔｅｏｆｍｏｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｅｌｌｓ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｃｃｕｒａｔｅｌｙｏｂｔａｉｎｔｈｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｌｉｖｉｎｇｃｅｌｌｓａｃｔｉｖｉｔｉｅｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｎｅｗｂｏｒｎ，ｄｉｖｉｓｉｏｎａｎｄｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎｉｎａｃｅｒｔａｉｎｐｅｒｉｏｄｏｆｔｉｍｅ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅｒｅａｌｄａｔａａｎｄｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｍｅｄｉｃａｌｐａｔｈｏｌｏｇｙｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｉｌｌｆｏｃｕｓｏｎｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｌｉｖｅｃｅｌｌｔｒａｃｋｉｎｇ．Ｔｈｅｍｕｌｔｉ－ｔａｒｇｅｔｔｒａｃｋｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｂａｓｅｄｏｎＭｕｌｔｉ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉｆｉｌｔｅｒ（ＭｅＭＢｅｒ）ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｏｔｈｅｍｉｃｒｏｃｅｌｌｔｒａｃｋｉｎｇ．Ｔｈｅｉｎｎｏｖａｔｉｏｎｌｉｅｓｉｎｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｃｅｌｌｓｉｎｔｏｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｓｈａｐｅｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｆａｃｉｌｉｔａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｆｉｔｔｉｎｇｏｆｔａｒｇｅｔｓｈａｐｅ．Ｔｈｅｓｈａｐｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆａｃｅｌｌａｒｅｕｎｉｑｕｅｌｙｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙｔｏｍｅａｓｕｒｅｆｅａｔｕｒｅｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｌｏｎｇａｘｉｓ，ｓｈｏｒｔａｘｉｓ，ｃｏｒｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ，ａｎｄｔｉｌｔａｎｇｌｅｅｔｃ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｌｉｖｉｎｇｃｅｌｌｔｒａｃｋｉｎｇｉｎｇｅｎｅｒａｌｃｅｌｌｍｏｔｉｏｎｓｔａｔｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】ｃｅｌｌｔｒａｃｋｉｎｇ；ＭｅＭＢｅｒｆｉｌｔｅｒ；ｅｌｌｉｐｓｅｍｏｄｅｌ

融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法

第34卷第6期2023年11月㊀㊀水科学进展ADVANCES IN WATER SCIENCE Vol.34,No.6Nov.2023DOI:10.14042/ki.32.1309.2023.06.002融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法邓㊀超1,陈春宇1,尹㊀鑫2,王明明3,张宇新4(1.河海大学水文水资源学院,江苏南京㊀210098;2.南京水利科学研究院水灾害防御全国重点实验室,江苏南京㊀210029;3.宿迁市水利局,江苏宿迁㊀223800;4.南京水科院瑞迪建设科技集团有限公司,江苏南京㊀210098)摘要:环境变化影响下流域径流的精确模拟对洪涝灾害防治与区域水资源管理都具有重要意义㊂在径流模拟研究中,现有机器学习模型未能充分考虑水文中间状态变量对降雨-径流过程的影响,本研究基于集合卡尔曼滤波(En-KF)更新水文状态变量,结合主成分分析(PCA)提取预报因子的主要特征,采用长短时记忆神经网络(LSTM)构建考虑水文中间变量的机器学习水文模型EnKF-PCA-LSTM㊂以赣江流域为例,评估EnKF-PCA-LSTM 模型的径流模拟效果,同时将模拟结果与LSTM 模型㊁物理水文模型HYMOD 做对比分析㊂结果表明,EnKF-PCA-LSTM 模型模拟径流的纳什效率系数㊁Kling-Gupta 效率系数和对数纳什效率系数分别为0.954㊁0.971和0.972,比LSTM 模型和HYMOD 模型具有更好的模拟性能,说明考虑水文状态变量可有效提高机器学习模型的径流模拟精度及稳定性㊂研究成果可为流域径流模拟提供技术参考㊂关键词:径流模拟方法;水文状态变量;集合卡尔曼滤波;主成分分析;长短时记忆神经网络中图分类号:TV122㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀文章编号:1001-6791(2023)06-0839-11收稿日期:2023-05-29;网络出版日期:2023-10-25网络出版地址:https :ʊ /urlid /32.1309.P.20231025.1028.0022基金项目:国家重点研发计划资助项目(2022YFC3202802);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(B210201030)作者简介:邓超(1989 ),男,湖南常德人,副教授,博士,主要从事水文过程机理及其模拟研究㊂E-mail:dengchao@ 径流模拟是流域水文预报领域非常重要的一环,也是水文水资源研究中最重要的科学问题之一[1]㊂近年来,受强人类活动和全球气候变暖等因素的影响,极端天气事件频发,洪涝干旱灾害加剧,对中国经济和社会造成了极为严重的损失[2-3]㊂因此,提出能够适应变化环境的流域径流模拟方法,从而提高流域径流模拟精度[4],具有重大的科学意义和实际应用价值㊂随着智能监测技术的全面发展,水文数据更易获取[5],而利用机器学习方法构建水文输入变量与输出变量的映射关系,用来开展流域径流模拟成为当前的研究热点之一[6-7]㊂长短时记忆神经网络(long short-term memory,LSTM)作为热门机器学习方法之一,在径流模拟领域已经有了广泛的研究和应用[8]㊂李大洋等[9]提出了基于变分贝叶斯与深度学习的水文概率预报新方法VB-LSTM,应用于黄河源区流域,结果表明,VB-LSTM 具有一定的灵活性与通用性,且有效提高了径流预报精度;Khandelwal 等[10]将LSTM 模型应用到500多个流域,发现LSTM 模型在更多样本数据训练时,预测结果优于物理机制模型㊂但目前基于LSTM 模型的流域径流模拟预报研究大多是将预测因子直接输入模型[11],而数据的多源性增加了模型的不确定性,影响了径流模拟的精准度和计算效率㊂近期,李步等[12]将主成分分析(principal component analysis,PCA)与LSTM 结合,构建了融合气象要素时空特征的PCA-LSTM 模型,该方法在黄河源区的应用效果证明了其适用性和鲁棒性㊂对于流域降雨-径流过程,水文中间状态变量如土壤湿度㊁蒸散发等,对流域径流的形成有着重要影响[11]㊂因此,如何提高水文模型对水文中间状态变量的估计,并将其充分应用到基于机器学习的流域径流模拟中以提高径流模拟精度,有待进一步研究㊂本文将采用集合卡尔曼滤波(ensemble Kalman filter,EnKF)㊁PCA 和LSTM 方法构建一种融合数据同化与机器学习的流域径流模拟模型,记为EnKF-PCA-LSTM,以赣江流域开展实例研究,通过同化土壤湿度㊁840㊀水科学进展第34卷㊀蒸散发状态变量,以期提高机器学习径流模拟精度,并选取HYMOD水文模型和LSTM模型进行对比分析,系统评估EnKF-PCA-LSTM模型的流域径流模拟效果㊂1㊀研究方法1.1㊀EnKF-PCA-LSTM模型本文提出的一种融合EnKF㊁PCA和LSTM的流域径流模拟模型㊂基于水文气象实测数据,通过SCE-UA 算法[13-14]率定HYMOD水文模型参数的最优值,以流域历史径流序列,采用EnKF更新流域水文模型的状态变量,即实际蒸散发(E T)和土壤湿度(M S);通过PCA方法进行主成分提取,得到流域径流模拟因子集合;根据筛选的径流模拟因子集合和流域实测径流训练LSTM模型,基于训练好的LSTM模型进行流域径流模拟㊂1.1.1㊀集合卡尔曼滤波EnKF结合了集合模拟预报的形式和卡尔曼滤波算法,通过蒙特卡洛方法计算状态变量的预测误差协方差,将预测值和观测值之间的误差协方差最小化来优化目标估计㊂主要步骤分为预测和更新,首先利用状态转移方程对实际问题的状态变量进行预测,然后根据观测信息和计算得到的增益因子,更新状态变量[15-16]㊂1.1.2㊀主成分分析PCA是最常用的线性降维方法之一,主要步骤是对每一个特征进行去均值处理,求其协方差矩阵,再求协方差矩阵的特征值和相对应的特征向量,选取前k个最大的特征值,最后将原始特征投影到选取的特征向量上,得到降维后的k维特征,以此使用较少的数据维度,同时保留住较多的原数据点的特性㊂PCA具体计算步骤可参考文献[17]㊂当PCA能够提取满足赣江流域径流模拟的因子特征时,进一步增加主成分阈值对径流模拟影响较小[12],故本文主成分阈值设为85%㊂1.1.3㊀长短时记忆神经网络LSTM能够有效捕捉长时序数据之间的关联,缓解梯度消失或爆炸现象㊂LSTM的核心结构分为4个部分:遗忘门㊁输入门㊁细胞状态和输出门㊂其中,遗忘门决定从之前隐藏层状态中需要舍弃的信息;输入门选择用哪些新获取的信息更新状态;细胞状态负责更新记忆单元状态变量,这也是LSTM有长时间记忆能力的关键;输出门将部分记忆单元状态变量生成隐藏层状态变量,形成循环结构㊂LSTM在水文模拟预报中的详细运算过程可参考文献[18]㊂1.1.4㊀EnKF-PCA-LSTM模型基于以上方法,本文构建了一种融合EnKF㊁PCA和LSTM的流域径流模拟模型,该方法步骤主要包括(图1):(1)将降水(P)㊁潜在蒸散发(E TP)以及流域出口断面径流(Q int)等作为输入数据;采用SCE-UA优化算法,率定得到HYMOD模型参数的最优值,而后基于HYMOD模型采用EnKF更新状态变量(E T㊁M S),更新过程中HYMOD水文模型参数固定不变[19]㊂(2)参考PCA与机器学习结合在水文预报领域的研究[20-21],将主成分阈值设为85%,并采用2种方式进行流域径流模拟因子主成分提取:①针对更新后的状态变量,结合驱动变量P㊁Q int,同时作为输入变量通过PCA进行主成分提取;②将更新后的状态变量与驱动变量分别采用PCA进行主成分提取㊂(3)将提取得到的主成分输入LSTM模型,基于流域径流实测资料训练LSTM模型,最后基于训练好的LSTM模型,开展流域径流模拟㊂㊀第6期邓超,等:融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法841㊀图1㊀EnKF-PCA-LSTM 模型流程Fig.1Flow chart of the proposed EnKF-PCA-LSTM model1.2㊀对照模型为评估EnKF-PCA-LSTM 模型的可行性,本文与LSTM 机器学习模型和HYMOD 水文模型作对比研究㊂为验证同化后水文状态变量对径流模拟的影响,LSTM 模型的输入变量包括降水㊁径流㊁蒸散发和HYMOD 模拟得到的未同化处理的土壤湿度㊂HYMOD 模型是一种基于蓄满产流理论的集总式水文模型,将一个流域分为无限个不相关联的点的集合,每一个点都含有一定的初始土壤含水量,并且该点有其最大蓄水能力(C max ),当该点的降水量超过C max 时,超出的降水则转为径流㊂模型的产流计算基于流域蓄水能力曲线[22-23],公式如下:F (C )=1-1-C C max ()B (1)式中:F (C )为流域内某点蓄水能力累积率;C 为流域内某点的蓄水能力,mm;B 为流域内某点的蓄水能力空间变化指数㊂2㊀研究区域与数据2.1㊀研究区域赣江是长江主要支流之一,为江西省最大河流,流域面积达81800km 2㊂赣江位于长江中下游南岸,自然落差为937m,平均年径流深为849mm,平均年径流系数为0.61㊂流域发源于江西省赣州市石城县洋地乡石寮岽,地形组成较为复杂,其中山地㊁低丘㊁丘陵分别占流域总面积的44%㊁31%和21%,其他为水域和平原㊂流域汛期为4 9月,丰枯变化显著,汛期水量约占全年的73%~78%,多年平均最大月径流量与最小月径流量比值为5~9[24-25]㊂2.2㊀数据本文构建模型的输入数据分别为:(1)Q int 来源于水文年鉴外州水文控制站的实测日平均流量数据㊂(2)降水来源于中国气象数据网(http:ʊ /)中赣江流域内及其附近的16个气象站点(如图2所示)数据㊂(3)蒸散发包括潜在蒸散发和实际蒸散发㊂潜在蒸散发采用中国气象数据网获取的蒸发皿蒸发数据,实际蒸散发来源于国家青藏高原科学数据中心(http:ʊ /zh-hans /)的遥感反演产品PML-V2[26]㊂采用泰森多边形法计算流域面平均降水㊁面平均蒸发皿蒸发㊂流域面平均实际蒸散发基于蒸散发产品,采用Python 的GeoPandas 库处理得到㊂由于蒸散发产品PML-V2的起始时间序列为2002-07-04,故输入数据样本选用2002-07-04/2010-12-31,并将该段样本数据以7ʒ3的比例分为率定期和验证期,即2002-07-04/2008-06-12为训练期(率定期),2008-06-13/2010-12-31为测试期(验证期)㊂842㊀水科学进展第34卷㊀由于模型的预热期导致EnKF同化之后的数据初始阶段误差较大,为降低对后续模型径流模拟的影响,同时考虑数据的完整性,选择2002-07-04/10-04共3个月为预热期㊂在EnKF更新水文中间状态变量之后,t 记为径流模拟当前时刻,t-1为模拟当天的前一日,则PCA的输入变量为Q t-1㊁P t㊁E T,t和M S,t㊂图2㊀赣江流域地理位置及观测站点分布Fig.2Ganjiang River basin and the location of gauging stations2.3㊀模型参数设置(1)EnKF-PCA-LSTM模型㊂HYMOD水文模型参数的初始值和参考取值范围如表1所示,模型参数采用SCE-UA优化算法率定得到;LSTM模型的超参数主要包括隐藏层数(num_layers)㊁舍弃率(droupout)㊁迭代次数(epochs)㊁隐藏神经元数量(hidden_size)㊁训练批次大小(batch_size)㊁学习率(learning_size),超参数的设置也会影响到模型的预测效果和预测时间[27]㊂本研究参考相关文献并结合前期实验选取参数率定范围[27-28],LSTM模型根据给定的参数率定范围进行多次迭代计算,并自动输出评价指标Kling-Gupta效率系数最优值对应的一组参数㊂EnKF-PCA-LSTM模型中LSTM的主要超参数设置如下:num_layers值为1㊁droupout值为0.15㊁epochs值为10㊁hidden_size值为40㊁batch_size值为32㊁learning_size值为0.01,其中num_layers默认设置为1层,不参与模型参数优选率定过程,则LSTM模型需要通过参数优选率定的超参数为5个,模型损失函数选取均方根误差(E MS),模型采用Adam优化器,输入数据采用 Max-Min 归一化方法㊂表1㊀HYMOD模型参数及取值范围Table1Definition of HYMOD model parameters and their ranges模型参数初始值最小值最大值最大蓄水能力(C max)201500土壤持水量空间分布指数(B)0.20.12快㊁慢流速分水系数(α)0.100.99慢速流退水系数(R s)0.10.10.99三层线性快速流退水系数(R q)0.0500.1㊀第6期邓超,等:融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法843㊀㊀㊀(2)对照模型㊂为充分证明EnKF-PCA-LSTM 模型的可行性,HYMOD 模型㊁LSTM 模型的超参数设置与EnKF-PCA-LSTM 模型中对应参数设置保持一致㊂其中,HYMOD 模型的输入为流域径流量㊁面平均降水量和潜在蒸散发量,输出为土壤湿度和HYMOD 模拟径流;LSTM 模型的输入为流域径流量㊁面平均降水量㊁潜在蒸散发量和HYMOD 模型模拟的土壤湿度,输出为流域径流㊂同时,为了检验模型的鲁棒性,本文采用设置不同标准差的高斯噪音来模拟真实环境中的不确定性[29],检验EnKF-PCA-LSTM 模型是否对作为LSTM 模型的输入数据过拟合㊂2.4㊀评价指标本文采用3个指标评价模型的性能,分别为纳什效率系数(E NS )㊁Kling-Gupta 效率系数(E KG )和径流对数的纳什效率系数(E NSlnQ )㊂计算公式分别为:E NS =1-ðn t =1(Q sim,t -Q obs,t )2ðn t =1(Q obs,t -Q obs,t )2(2)E KG =1-(r -1)2+(α-1)2+(β-1)2(3)E NSlnQ =1-ðn t =1[ln(Q sim,t +ζ)-ln(Q obs,t +ζ)]2ðn t =1[ln(Q obs,t +ζ)-ln(Q obs,t +ζ)]2(4)式中:Q sim,t 为t 时刻的模型模拟流量;Q obs,t 为t 时刻的观测流量;Q obs,t 为观测流量的平均值;r 为皮尔逊线性相关系数;α为日径流量模拟值与日径流量观测值标准差的比值;β为模拟日径流量与实测日径流量平均值的比值;n 为时间序列的长度;ζ为常数,用来处理流域特别时段出现的零流量现象,建议取值为整个时段观测径流平均值的1%[30],即ζ=0.01Q obs,t ;ln(Q obs,t +ζ)为观测流量加上常数ζ后取对数的平均值㊂E NS 为一个标准化统计指标[31],E KG 主要用于对高流量模拟的评估[32],E NSlnQ 主要用于评估低流量的模拟效果[30],E NS ㊁E KG 和E NSlnQ 的取值范围都为(-ɕ,1],取值越接近于1,说明模型的模拟效果越好,反之越差㊂3㊀结果与讨论3.1㊀PCA 2种方式对比为了对比在EnKF-PCA-LSTM 模型径流模拟过程中数据同化之后,状态变量与驱动变量同时或分别作为输入变量进行主成分提取的降维结果对最终径流模拟效果的影响,做如下对比研究㊂方案一:当数据同化之后,对状态变量与驱动变量分别进行主成分提取,再将二者的主成分集合作为LSTM 的输入数据,进行径流模拟㊂方案二:将数据同化后的状态变量与驱动变量共同进行主成分提取,并将主成分集合输入LSTM 模型进行模拟,2种方案的评价指标对比见表2,径流模拟结果如图3所示㊂表2㊀2种PCA 降维方案下径流模拟结果对比Table 2Comparison of catchment streamflow performances under two PCA dimension reduction scenariosPCA 方案率定期验证期E NS E KG E NSlnQ E NS E KG E NSlnQ 方案一0.9480.9580.9740.9510.9190.976方案二0.9480.9580.9700.9540.9710.974844㊀水科学进展第34卷㊀㊀㊀根据表2所示结果,在验证期内,方案二的E KG比方案一高,其可能的原因是:方案一进行的2次PCA 过程共保留了2个主成分,这也增加了噪声数据对径流模拟的影响[33],而方案二进行的PCA过程只保留了1个主成分,且贡献率约为97%,相比于方案一在保留输入数据主要特征的同时,也有效降低了噪声数据的影响㊂为了评估PCA在提出方法中的必要性,本文设置了驱动数据和同化后的状态变量不进行PCA处理的对比方案,直接作为LSTM的输入数据,参数设置与方案二保持一致,结果显示率定期的E KG为0.918,验证期的E KG为0.916,其他评价指标也均略低于方案一和方案二㊂表明采用PCA方法进行主成分提取能够降低噪声数据对径流模拟结果的影响㊂在考虑PCA的情景下,2种方案的E NS和E NSlnQ相差不大,但在湿润㊁半湿润地区径流模拟工作中,一般更关注高流量径流,因此,本文采用方案二与HYMOD模型和LSTM模型作以下对比研究㊂图3㊀2种PCA降维方案下径流模拟过程对比Fig.3Comparison of simulated and observed streamflow under two PCA dimension reduction scenarios3.2㊀不同模型结果对比图4展示了EnKF-PCA-LSTM模型(方案二)与对比模型HYMOD模型和LSTM模型的径流模拟过程,表3展示了各模型的评价指标结果㊂以验证期为例,EnKF-PCA-LSTM㊁LSTM和HYMOD模型的E NS分别为0.954㊁0.952和0.841,E KG分别为0.971㊁0.900和0.849,E NSlnQ分别为0.974㊁0.972和0.825㊂结果显㊀第6期邓超,等:融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法845㊀示,3种模型的所有评价指标均大于0.8,表明3种模型在赣江流域均能取得良好的径流模拟效果㊂提出的EnKF-PCA-LSTM模型结果最优,LSTM模型次之,而HYMOD模型最差㊂相较于对照模型LSTM和HYMOD, EnKF-PCA-LSTM模型径流模拟结果的E NS分别提高了0.2%和13.4%,E KG分别提高了7.9%和14.4%,而E NSlnQ相较于LSTM模型无提升,相较于HYMOD模型则提高了17.8%㊂图4㊀不同模型模拟径流与实测径流对比Fig.4Comparison of observed and simulated streamflow different modelsHYMOD模型作为物理过程水文模型,是对流域真实水文过程的概化,其刻画的降雨径流过程会存在不足,导致径流的模拟存在一定的误差㊂径流过程的高水㊁低水过程较小的绝对误差亦会产生较大的相对误差,使得HYMOD模型对于径流过程的总体结果相对较差㊂LSTM模型是基于数理统计的数据驱动模型[34],846㊀水科学进展第34卷㊀能够基于历史降水㊁径流等实测数据挖掘更为准确的降雨径流映射关系,相比于HYMOD模型其径流模拟过程更接近于实测径流,但LSTM模型本质仍然是基于数据分析建立的映射关系,未能考虑水文循环过程中的中间变量对径流过程的影响[35-36]㊂提出的EnKF-PCA-LSTM模型既能充分考虑了水文中间状态变量对径流过程的影响,也能减少噪声数据,提高LSTM模型的计算效率,上述径流模拟结果也验证了该模型在3个模型中表现最优,特别是在径流过程高水部分的效果提升㊂表3㊀不同模型评价指标对比结果Table3Comparison of streamflow performances from different models模型率定期验证期E NS E KG E NSlnQ E NS E KG E NSlnQEnKF-PCA-LSTM0.9480.9580.9700.9540.9710.974 LSTM0.9430.9030.9650.9520.9000.972HYMOD0.7900.8620.8520.8410.8490.8253.3㊀模型鲁棒性检验表4展现了在不同标准差的高斯噪声下,EnKF-PCA-LSTM模型与LSTM模型径流模拟结果的E NS值㊂结果表明,EnKF-PCA-LSTM模型与LSTM模型对于不同标准差的高斯噪声几乎不受影响,E NS值始终保持在0.94以上,并且没有发生骤降趋势,证明了EnKF-PCA-LSTM模型未对作为LSTM模型的输入数据过拟合,具有很好的鲁棒性㊂表4㊀EnKF-PCA-LSTM模型与LSTM模型鲁棒性表现Table4Robust performance of EnKF-PCA-LSTM model and LSTM model模㊀型不同标准差下的E NS值0.030.040.060.080.100.120.140.160.180.20EnKF-PCA-LSTM0.9540.9540.9530.9530.9530.9520.9520.9520.9510.951 LSTM0.9520.9520.9520.9510.9510.9510.9500.9500.9490.9494㊀结㊀㊀论本研究以赣江流域为例,对比了EnKF-PCA-LSTM模型㊁LSTM模型和HYMOD模型在日尺度下的径流模拟结果,主要结论为:(1)本研究提出了考虑水文中间状态变量的机器学习模型EnKF-PCA-LSTM,通过融合集合卡尔曼滤波和主成分分析方法,不仅考虑了水文状态变量对径流过程的影响,还减少了输入数据的不确定性,提高了机器学习模型对径流模拟输入因子有效信息的引入,可为变化环境下的流域水文模拟提供技术支撑㊂(2)在EnKF-PCA-LSTM模型径流模拟过程中,经过EnKF同化之后,状态变量与驱动变量同时作为输入变量进行降维处理,其最终径流模拟结果要优于状态变量与驱动变量分开降维的结果,说明并非主成分数量越多,EnKF-PCA-LSTM模型径流模拟效果越好,过多的主成分数量会增加噪声数据的影响,削弱主成分分析的降维效果㊂(3)以验证期为例,EnKF-PCA-LSTM模型的Kling-Gupta效率系数对比LSTM模型和HYMOD模型分别提高了7.9%和14.4%;纳什效率系数和径流对数的纳什效率系数较HYMOOD模型分别提高了13.4%和17.8%,表明EnKF-PCA-LSTM模型具有很好的适用性和鲁棒性,模型可提高径流模拟精度,特别是在高水径流过程㊂㊀第6期邓超,等:融合数据同化与机器学习的流域径流模拟方法847㊀本文引入EnKF-PCA-LSTM模型的目的在于通过数据同化技术考虑水文中间状态变量的影响,从而提高流域径流模拟精度㊂本次研究采用了集总式水文模型,后续可基于分布式水文模型考虑多维状态变量及下垫面空间异质性对流域产汇流的影响来开展流域径流模拟预报研究㊂参考文献:[1]NIU W J,FENG Z K.Evaluating the performances of several artificial intelligence methods in forecasting daily streamflow time se-ries for sustainable water resources management[J].Sustainable Cities and 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3d 追踪ekf 公式

3d 追踪ekf 公式
3D追踪的扩展卡尔曼滤波（EKF）公式可以用于估计物体在三维空间中的位置和速度。

以下是一种可能的公式：
1. 状态更新方程：
x_k = F_k * x_(k-1) + B_k * u_k + w_k
其中，x_k是系统状态向量，F_k是状态转移矩阵，x_(k-1)是上一时刻的状态向量，B_k是输入控制矩阵，u_k是输入控制向量，w_k 是过程噪声。

2. 状态协方差更新方程：
P_k = F_k * P_(k-1) * F_k^T + Q_k
其中，P_k是状态协方差矩阵，P_(k-1)是上一时刻的状态协方差矩阵，Q_k是过程噪声协方差矩阵。

3. 观测预测方程：
z_k = H_k * x_k + v_k
其中，z_k是观测向量，H_k是观测矩阵，v_k是观测噪声。

4. 卡尔曼增益方程：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k是卡尔曼增益矩阵，R_k是观测噪声协方差矩阵。

5. 状态更新方程：
x_k = x_k + K_k * (z_k - H_k * x_k)
其中，x_k是更新后的状态向量。

6. 状态协方差更新方程：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I是单位矩阵。

以上公式描述了3D追踪的EKF算法中的主要步骤，其中包括状态预测、状态协方差预测、观测预测、卡尔曼增益计算和状态更新。

这些公式可根据具体的应用和系统动力学进行调整和扩展。

密集追踪数据分析：模型及其应用

心理科学进展 2021, Vol. 29, No. 11, 1948–1969 © 2021 中国科学院心理研究所Advances in Psychological Sciencehttps:///10.3724/SP.J.1042.2021.019481948·研究方法(Research Method)·密集追踪数据分析：模型及其应用*郑舒方张沥今乔欣宇潘俊豪(中山大学心理学系, 广州 510006)摘要在心理学、教育学和临床医学等领域, 越来越多的研究者开始关注个体内部的行为、心理、临床效果等随时间而产生的动态变化, 重视针对个体的差异化建模。

密集追踪是一种在短时间内对个体进行多个时间节点密集追踪测量的方法, 更适合用于研究个体内部心理过程等的动态变化及其作用机制。

近年来, 密集追踪成为心理学研究的一大热点, 但许多密集追踪的研究分析仍停留在较为传统的方法。

方法学领域已涌现出较多用于密集追踪数据分析的模型方法, 较为主流的模型包括以动态结构方程模型(Dynamic Structural Equation Model, DSEM)为代表的自上而下的建模方法, 以及以组迭代多模型估计(Group Iterative MultipleModel Estimation, GIMME)为代表的自下而上的建模方法。

二者均可以方便地对密集追踪数据中的自回归及交叉滞后效应进行建模。

关键词密集追踪, 时间序列, 动态结构方程模型, 组迭代多模型估计分类号B8411 引言在干预治疗或自然发生的事件中, 个体的想法、情绪、行为以及生理功能等往往不是一成不变的, 而是会随时间的推移发生动态变化(Vallacher et al., 2002)。

传统的追踪研究或横断研究方法能够在一定程度上对人群中存在的现象进行描述或解释, 但难以揭示短时间内个体内部心理状态的动态变化, 也不能详细解释事件对个体的情绪、行为等产生的持续性影响(Setodji et al., 2019), 可能导致研究者对干预效果及其潜在机制产生错误解读(张银普等, 2016; Setodji et al., 2019)。

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ε２／ ‰ ０．０５８４０．０８６５０．０９６７０．０９２４０．０７７２０．０５４２０．０２６６０．０２４９０．０３０１０．０５３５０．０６９７０．０７６０
表２考虑二次谐波的离线仿真结果Ｔａｂ．２Ｏｆｆ－ｌｉｎｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｗｉｔｈｓｅｃｏｎｄｈａｒｍｏｎｉｃ
０
×
ｆｓ
" $ －
ｆ
２ｓ
４００π２
ｕｋ＋１＋ｕｋ－１－２ｕｋｕｋ
－
２５＋
πｆ
３０
ｆ
２ｓ
（１３）
对比式（８）（１３）即可得误差补偿量Ｃ及误差修
正因子 λ的表达式。
设
ｕ＊ｋ－１
、ｕ
＊ｋ
、ｕ
＊ｋ
＋
１
分别为
ｕｋ－１、ｕｋ、ｕｋ＋１的测量
值，记为
ｕｉ－ｕ＊ｉ
% " $& Ｃ＝
πｆ
３０
ｆ
２ｓ
，
λ＝
１－
２３
π ｆ０２－１ｆｓ
其中，取ｆｓ为１２００Ｈｚ，则Ｃ＝０．２７２７， λ＝０．９８８６。
１．２数值计算的误差分析
设采样时刻为（ｋ－１）Ｔ、ｋＴ、（ｋ＋１）Ｔ。对于ｋ点
二阶导数考虑误差余项有：
ｕｋ″＝
ｍ
! ｕｋ
ｋ＝１
－２５－
Δｆ
２ｋ
（９）
１００
由于上式计算精度仍然较差，对其添加误差补
偿量Ｃ及误差修正因子 λ，可得频率计算式：
" Δｆｋ′＝ λ －
ｆ
２ｓ
４００π２
×
ｍ
! ｕｋ＋１＋ｕｋ－１－２ｕｋ
ｋ＝１
# ２５－
Δｆ
２ｋ
＋Ｃ
１００
ｍ
／ ! ｕｋ－ｋ＝１
（１０）
上提高了算法的鲁棒性。Ｍａｔｌａｂ平台上的仿真结果表明：该算法计算精度较高，对二次谐波有一定
抑制作用，能较好地满足电力系统实时频率跟踪的要求。
关键词：电力系统；频率跟踪；导数
中图分类号：ＴＭ９３５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６－６０４７（２００７）０４－００３２－０３
［２］ＬＯＢＯＳＴ，ＲＥＺＭＥＲＪ．Ｒｅａｌｔｉｍｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｆｒｅｑｕｅｎｃｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄＭｅａｓｕｒｅ－ｍｅｎｔ，１９９７，１６（４）：８７７－８８１．
０引言
电力系统频率是电力系统极为重要的一个运行参数，是电力系统运行质量和安全情况的重要指标之一。而在电力系统保护和控制方案中，有必要对频率进行准确的测量和跟踪，使采样频率与系统频率同步，确保系统中安全自动装置、继电保护和运行监测装置的正常稳定运行。近２０年来，国内外学者对电力系统频率概念和跟踪技术方面进行了大量的研究，提出了多种频率跟踪算法［１－５］。其中，文献［１］提出了一种改进的过零法。该算法通过曲线拟合的最小二乘法对滑动窗口的Ｎ次采样数据进行计算处理，计算量较大，在一定程度上丧失了过零法的简单性。
电压ｕｋ在零点附近处误差非常大。为消除电压在零点附近对算法精度的影响，利用等比定理［１２－１４］：
如果有
第４期
张超，等：一种基于导数的实时频率跟踪算法
ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝ｅ／ｆ＞０
（６）
则
ａｂ
＝ａ＋ｃ＋ｅｂ＋ｄ＋ｆ
（７）
因此式（５）可修正为
ｍ
Δｆｋ＝－
频率跟踪算法。利用交流信号的正弦特性，通过二阶求导并进行线性化近似处理，进而事后误差补
偿。算法在二阶导数初始计算时，运用Ｌａｇｒａｎｇｅ多项式进行曲线拟合。为减小多项式拟合和线性近
似带来的误差，引入了误差补偿量和误差修正因子，提高了算法的计算精度。同时，分析了拟合多项
式的误差余项，从而应用等比定理并在半周期长度的数据窗内进行平滑滤波，在兼顾实时性的基础
参考文献：
［１］ＢＥＧＯＶＩＣＭＭ，ＤＵＲＩＣＰＭ，ＤＵＮＬＯＰＳ，ｅｔａｌ．Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｒａｃｋｉｎｇｉｎｐｏｗｅｒｎｅｔｗｏｒｋｓｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＤｅｌｉｖｅｒｙ，１９９３，８（２）：４８０－４８５．
（１７）
则式（１６）可简化为
% & ｅ
（
ｕ
＊ｋ
ｕ
＊ｋ
）
″
＝
ｅ２
ｕ
＊ｋ
＝
* $ １
ｕ
＊ｋ
４Ｔ２
ｅ１＋
Ｔ２１２
Ｍ
（１８）
式（１８）即为本算法的数值误差表达式。可看
出，误差值随ｕｋ＊而变化，且在零点附近急剧放大。而修正式（８）相当于增大式（５）的分母ｕｋ项，因而有效解决了电压过零点的问题，提高了计算精度。
２算法的离线仿真结果
选取测频范围为４６．５～５２Ｈｚ，在Ｍａｔｌａｂ平台上编写程序对算法进行离线仿真，表１给出了仿真结果（表中ｆ１为实际频率，ｆ２为测量频率， ε１为绝对误差， ε２为相对误差，表２同）。可以看出，频率跟踪结果的最大绝对误差为４．５９１１ ×１０－３Ｈｚ，最大相对误差为０．０９６７ ‰，精度较高。
的采样数据进行数字滤波平滑。这里在文献［１０－１１］的基础上作出相应改进，利
用三点曲线拟合，引入误差补偿量Ｃ及误差修正因子 λ，利用半个周期的采样数据进行滤波平滑，缩短了计算所需的数据窗长度，提高了算法的实时性与稳定性。
１频率跟踪的基本算法
１．１基本原理
假定无噪声的输入信号为纯正弦波电压，即
（４）
将式（４）离散化，并且采用三点Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多
项式进行曲线拟合，可得频率偏差的近似计算式：
Δｆｋ＝－
ｆ
２ｓ
４００π２
ｕｋ＋１＋ｕｋ－１－２ｕｋ－２５ｕｋ
（５）
式中ｆｓ为采样频率，ｆｓ＝１／Ｔ，Ｔ为采样时间步长。式（５）除ｕｋ＝０点外，任何其他点都是成立的。
ｆ１／Ｈｚ４６．５４７．０４７．５４８．０４８．５４９．０４９．５５０．０５０．５５１．０５１．５５２．０
ｆ２／Ｈｚ４６．４９７３４６．９９５９４７．４９５４４７．９９５６４８．４９６３４８．９９７３４９．４９８７５０．０００１５０．５０１５５１．００２７５１．５０３６５２．００４０
由上式可得：
Δｆ＝－
１４００π２
ｕ″（ｔ）－２５－ Δ２ｆ
ｕ（ｔ）
１００
（３）
电力系统频率是一个惯性量。若只考虑稳态工
况，电网频率波动在４９．５～５０．５Ｈｚ之间， Δ２ｆ ! ２５，
所以式（３）可线性化为
Δｆ＝－ｋ
１４００π２
ｕ″（ｔ）－２５ｕ（ｔ）
考虑２％的二次谐波，输入仿真信号为ｕ（ｔ）＝ｓｉｎ（２πｆｔ＋３０°）＋０．０２ｓｉｎ（４πｆｔ＋３０°）（１９）
从表２可以看出，最大绝对误差为０．０５２５Ｈｚ，算法对二次谐波具有一定的抑制能力。
表１算法离线仿真结果Ｔａｂ．１Ｏｆｆ－ｌｉｎｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓ
文献［１０－１１］提出了一种基于数字微分和拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值的快速而准确的频率测量算法。该算法是基于正弦特性的多点拟合测频法，利用采样数据的正弦特性构造频率表达式。为去除差分近似过程中带来的严重误差，该算法仍需用１个周期
收稿日期：２００６－０３－０２；修回日期：２００６－０９－２２基金项目：广西自然科学基金项目（０２４９００８）
ｕ（ｔ）＝Ｕｓｉｎ（２πｆｔ＋ φ）
（１）
式中Ｕ为电压的峰值；ｔ为时间； φ为初相角；２πｆ
为用弧度表示的频率，ｆ＝ｆ０＋ Δｆ，ｆ０＝５０Ｈｚ。
对式（１）两边进行二次求导可得：
ｕ″（ｔ）＝－（２πｆ）２Ｕｓｉｎ（２πｆｔ＋ φ）
（２）
１Ｔ２
（ｕｋ－１－２ｕｋ＋ｕｋ＋１）－
Ｔ２１２
ｕ（４）（ ξ）
由上式可得：
（１１）
ｕｋ″＝ｕｋ
１Ｔ２
ｕｋ－１－２ｕｋ＋ｕｋ＋１ｕｋ
－
Ｔ２（２πｆ）４１２
将式（１２）代入式（８）可得：
（１２）
% " $& Δｆｋ＝
１－
２３
π ｆ２－１
ε１／Ｈｚ２．７１５５ ×１０－３４．０６４３ ×１０－３４．５９１１ ×１０－３４．４３６８ ×１０－３３．７４３７ ×１０－３２．６５５６ ×１０－３１．３１７５ ×１０－３０．１２４３ ×１０－３１．５２２０ ×１０－３２．７２６７ ×１０－３３．５８８１ ×１０－３３．９５４６ ×１０－３