几何直观乘法分配律
乘法分配律的图形解释和计算应用
所以，(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd 问题解决的非常简单、直接和完美。数学问题图形化，常常是化繁为简的好例子。 这道题的思路充分证明了这一点。
2：乘法分配律的应用 这个公式如果变成(a+b)*(a+b)=a*a+ab+ba+b*b
口算乘法的时候，也能用这个公式。例如：
乘法分配律的图形解释和计算应用
乘法分配律公式(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd 是一个非常基础的数学公式，但 是许多同学常常记错。错误的原因是他们不理解这个公式的基本原理。也不知道 这个公式其实有很多可以推广的概念。下文用图形方式，帮助大家理解和灵活运 用这个公式。 1：如何正确理解这个公式
乘法分配律课件
如何避免在应用乘法分配律时出现错误
明确运算对象
在使用乘法分配律之前，要明确参与运算的对象 ，确保符合使用条件。
验证运算顺序
在应用乘法分配律时，要确保运算顺序的正确性 ，避免出现逻辑错误。
强化练习与理解
通过多做练习题，加深对乘法分配律的理解，提 高运用准确性。
THANKS
感谢观看
运算顺序
乘法分配律的使用必须符合数学中 的运算顺序（先乘除后加减），不 能随意改变运算顺序。
乘法分配律与其他数学定律的区别与联系
乘法交换律
乘法分配律与乘法交换律是相互 独立的，但有时在特定情况下可
以相互转化。
加法结合律
乘法分配律与加法结合律在形式 上有相似之处，但适用范围和内
涵不同。
乘法消去律
乘法分配律不具有乘法消去律的 特性，即不适用于消去乘积中的
在日常生活中的应用
01
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03
购物计算
在购物时，我们经常需要 计算总价，乘法分配律可 以帮助我们快速准确地计 算出商品总价。
工资计算
在工资计算中，乘法分配 律可以用于计算总工资、 税后工资等，确保工资计 算的准确性和公正性。
金融投资
在金融投资中，乘法分配 律可以用于计算投资回报 、风险评估等，帮助投资 者做出明智的决策。
首先，将乘法分配律表示为数学 公式：(a+b)×c=a×c+b×c。然 后，通过代数运算，将等式左边 展开为(a+b)×c=ac+bc，与等式 右边a×c+b×c相等，从而证明了 乘法分配律的正确性。
证明方法二：利用几何图形解释
总结词
通过几何图形直观展示乘法分配律的 原理。
详细描述
《乘法分配律》
练习使用定律
学生可以通过大量的练习来掌握乘法分配律，例如在计算 长方形面积时可以将长和宽分别相乘再相加来验证乘法分 配律。
注重细节
学生在使用乘法分配律时需要注意细节，例如括号的位置 、运算的顺序等，这些细节问题可能会影响计算结果的准 确性。
学会总结和反思
学生应该在学习过程中不断总结和反思，找出自己的不足 和错误，及时纠正并加强练习，以提高自己的数学水平。
练习题二：解析及解答
3. 逆向思考，我们可以将4先与 括号内的每个数相乘，再求和
。
4. 计算得到：4×(3+2+1) = 4×3 + 4×2 + 4×1 = 12+8+4
= 24
答案：4×(3+2+1) = 24
练习题三：解析及解答
总结词：灵活运用
详细描述：本题考察乘法分配律的灵活运用。除了基本的加减乘除运算外，还涉及到括号的处理，需要我们熟练掌握乘法分配 律的应用。
测量
在测量多个物体的长度、面积或体积时，可以将各个物 体的测量结果相加，以得到总面积、总长度或总体积。 例如：一个长方形土地的长为$10$米，宽为$5$米， 则其面积可以表示为$10\times(5+5)=100$平方米。
05
乘法分配律的练习题及解 析
练习题一：解析及解答
总结词：基础应用
详细描述：本题主要考察乘法分配律的基本应用。根据乘法 分配律，我们可以将一个数与括号内各项相乘，再求和，这 样计算更加简便。
利用代数方法证明
总结词
代数方法是一种抽象的证明方法，通过建 立数学模型，利用数学公式的推导来证明 乘法分配律。
VS
详细描述
通过建立数学模型，我们可以使用已知的 数学公式和定理来推导乘法分配律。这种 方法需要一定的数学基础和逻辑推理能力 ，但它可以让我们更深入地理解乘法分配 律的在小学阶段，乘法分配律是学生学 习乘法的重要基础，它有助于学生 理解乘法的本质和掌握乘法的计算 方法。同时，乘法分配律也是以后 学习复杂数学概念和解决实际问题 的基础。
利用几何模型理解乘法分配律
利用几何模型理解乘法分配律摘要：四年级数学五大运算律中，学习乘法分配律是难点，孩子易产生负迁移。
其主要原因是孩子不能准确地表征分配运算律概念的本质。
可尝试运用几何模型的策略，建立形与数的对应，逐步抽象出符号模型，辅助理解。
关键词：负迁移；形与数的对应；符号模型孩子们上四年级了，在学习五大运算律这一版块内容时，我发现孩子们对于加法与乘法的交换律、结合律，无论怎样变式，做起题来非常顺手。
可是学习乘法分配律的时，却不够准确与灵活，出现负迁移，如（a+b）×c与（a×b）×c混淆；（a+b）×c变成a+b×c这类错误。
原先利用加法、乘法结合律能轻而易举解决的问题，在学习了乘法分配律后，反而出现多种错误。
这就引起笔者的思考。
原因之一，分配律是运算律这个版块的教学难点，教材引入例题的材料具有一定的相似性，相互有干扰性，增加孩子理解的困难。
原因之二，孩子对分配运算律的表征仅停留在表象上，没有理解概念的本质，数与形的网状知识结构零散，不能有效地提取并建构抽象的运算律。
如果利用几何直观的呈现，对应形与数，就能使孩子在理解形与数的关联的基础上，有效地找到形与数的结合点，表征乘法分配律概念的本质就不是难点了。
一、调动以往知识储备，建立形与数的对应孩子学习这部分知识不是零起点，比如：在算运动服的上衣和裤子的价钱直观图时，就隐含着乘法分配律。
上衣55元，裤子35元，四（4）班要买48套，一共需要多少钱？采用（55+35）×48和55×48+35×48两种不同的计算方式，探索发现，两种算法结果是一样的。
这还不够直观。
在学习长方形周长的两种计算方法时很容易与乘法分配律之间建立形与数的关联，将直观的形与抽象的数一一对应，以形表数，形成并理解乘法分配律的直观模型是掌握抽象运算律的必要过程。
如下图：3cm4cm1.从形到数，利用已有的解决问题的经验得出算法。
《乘法分配律》运算律
04 乘法分配律的扩展知识
乘法结合律
总结词
乘法结合律是指三个或更多数相乘时，任意改变它们的顺序，它们的积不变。
详细描述
乘法结合律是数学中的一个基本定律，它表明在多个数相乘时，无论这些数之 间的顺序如何变化，乘积始终保持不变。这个定律可以表示为 (a×b)×c = a×(b×c)。
乘法分配律的内容是将一个数a与括号内两个或多个数的和相乘，等于将a分别与 括号内的每个数相乘，再把所得的积相加。
乘法分配律的符号表示
• 乘法分配律用符号表示为：a × (b + c) = a × b + a × c。
乘法分配律的几何意义
• 乘法分配律也可以用几何方式来解释。假设有两个正方形，它 们的边长分别为b和c，另外还有一个矩形，它的长为b，宽为c 。那么，这个矩形的面积就是b × c。而两个正方形的面积之和 为b^2 + c^2。因此，根据乘法分配律，我们可以得到：a × (b + c) = a × b + a × c。
例如，(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d。
这种运算律的使用可以扩展实数的运算性质，简化计算过程。
复数乘法中的应用
在复数乘法中，乘法分配律同样重要。可以将一个复数与括号中的一组复数相乘，等于将这 个复数分别与括号中的每一个复数相乘，再求积的和。
例如，[a+b+c]×[d+e+f]=[a×d+a×e+a×f]+[b×d+b×e+b×f]+[c×d+c×e+c×f]。
证明方法二：数学归纳法
新课标十个核心词解析
义务教育数学课程标准（2011年版）中此次课标的最大改变是：“双基”变“四基”。
四基：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验“六个核心词”变“十个核心词”十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识其中：几何直观、运算能力、模型思想、创新意识是新加上去的。
下面我们一一对十个核心词进行讲解：一、数感数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
如同球员的球感，歌手的乐感一样……（姚明是大家都比较熟悉的，他在NBA赛场上，大家都看到他一个个漂亮的投球、一个个漂亮的动作，这都是跟他的球感分不开的；还有歌手，之所以成名，是因为他们具有较好的音乐细胞，具有较强的音乐感分不开的，如果一个人，五音不全，也就是说他缺少音乐感，你想说他要成为一个歌手那就是做白日梦一样，就是让他唱一首普通的歌曲都很难的。
）简单、通俗地说，数感就是数的感觉。
教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较……都有助于形成数感。
数感培养实践的误区……误区之一：数感是与生俱来的，后天无法养成（龙生龙、凤生凤、老鼠生来挖地洞；猫生猫、狗生狗、小偷儿子三只手的思想）不可否认，某些数学家天生就有很强烈的数感，10岁的高斯毫不费劲地完成了等差数列（比如由1到100的自然数）求和，得益于他对计算方法的直接把握；12岁的帕斯加独立完成了三角形内角和定理的证明，一直为人们津津乐道。
瑞士著名的伯努利家族在三代人中产生了八位数学家，我国南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孙的数学成就闻名于世，但毕竟是凤毛麟角，屈指可数。
数感的形成固然有遗传因素和家族影响的作用，而更多是后天努力的结果。
解析几何创始人笛卡儿出身于法国贵族家庭，父亲是政府雇员；牛顿出身在英国农民家庭，还是遗腹子，全靠自己努力取得成功；概率论奠基者拉普拉斯的父母是法国农民；费马则是法国皮革商的儿子。
乘法分配律教学中的几何直观运用
乘法分配律是小学阶段数学学习中的重点内容，也是比较困难的学习内容之一。
学生学习的困难主要是对乘法分配律比较难以理解和叙述，在运算时主要靠机械的模仿和生搬硬套。
而且乘法分配律的形式变化多，方法灵活，特别是乘法分配律的运算范围从整数扩大到小数、分数时学生更是无所适从。
1错误及原因分析传统教学方法比较注重方法的传授而忽视对乘法分配律本质的研究，教给学生所谓“一数乘两边，符号在中间”这样的类似口诀，在当堂练习中学生往往通过模仿掌握还比较理想，但在之后的综合练习往往出现类似（a+b）×c=a×c+b的错误，或者对于（a×b）×c与(a+b)×c相互混淆。
或者碰到所谓乘法分配律的逆运用就懵了，对于类似101×34=（100+1）×34=100×34+1的错误比较普遍。
对乘法分配律掌握不够的学生往往对运算律只是掌握了概念的形变而没有领会概念的实质，没有将知识纳入到体系中，没有融会贯通。
针对以上错误及原因，习惯的做法是通过大量的分类练习来提高运算的正确率。
因此学生的知识构建是以大量的机械模仿练习的方式进行的，不但给学生带来沉重的记忆和练习负担，同时对于判断在何种情况下选择简便计算却不能正确选择。
这样既加重了课业，效果又不明显。
2解决措施：借助几何直观北师大教材安排三位数乘两位数之后开始学习乘法分配律，两位整数乘法竖式计算的算理就是依据乘法分配律原理而构建的。
笔算乘法竖式的算理基础是乘法分配律，这是乘法分配律与多位整数乘法竖式之间客观存在的逻辑关系。
同样长方形的面积计算也是基于乘法进行的，因此乘法的计算与图形的面积计算也存在着密切联系，这就把数的乘法运算与图形的面积计算进行了很好的沟通，也就垫定了用图形的几何直观来解决乘法分配律的基础。
这就可以运用长方形面积计算经验引入抽象的乘法分配律，借助已有的面积计算经验突破乘法分配律的难点。
2.1回顾乘法口诀学习经历，准备直观模型这是北师大2011版数学二上学习了4的乘法口诀之后的课后练习。
借助几何直观教学乘法分配律
借助几何直观教学乘法分配律作者：朱东妮来源：《小学教学参考(数学)》2020年第01期[摘要]乘法分配律不仅有乘法计算，还涉及加法，学生在应用时常出现错误，如“（axb）xc”与“（a+b）xc”张冠李戴，“（a+b）x;c”错写成“a+bxc”。
借助几何直观教学乘法分配律，可逐步揭示乘法分配律和结合律的根本区别，有效突破教学难点。
[关键词]乘法分配律;几何直观;位置效应[中图分类号]G623.5;;[文献标识码]A;;[文章编号]1007-9068（2020）02-0059-02一、乘法分配律的教材编排乘法分配律与乘法结合律在表现形式上十分相近，加上人教版教材编排乘法分配律在前，乘法结合律在后，两种定律的引入材料和模式也如出一辙，学生自然容易混淆。
系列位置效应指出：“如果学习材料中各元素出现的位置不同，最终的学习成效也会有所差异，一般而言，中间段位的材料学习收效最低。
”人教版教材中，乘法分配律处于该单元的中段，理论上讲，它处于成效最低的位段（如表1）。
其他版本的教材，都是顺应系列位置效应理论进行编排的。
北师大版教材将关于简算的五大运算律统统收编在第七册，编排顺序是“乘法结合律→乘法交换律→加法交换律和结合律→乘法分配律”;苏教版教材第七册的编排顺序是“加法交换律和结合律→乘法交换律和结合律”，第八册学习乘法分配律;浙教版教材则将五大运算律打散，乘法、加法的交换律和结合律贯穿于多位数乘法计算中，包括两位数与一位数、三位数与一位数的乘法;乘法分配律则是与长方形形的周长公式、两位数与两位数相乘糅合到一起。
人教版教材对乘法分配律的练习设计过于保守，没有突出重点，仅在第36页概括出乘法分配律的概念，配套的巩固练习题也只有“做一做”中的判断题，从第37页起，全都是初级阶段的乘法和加法的交换、结合律与中级阶段的乘法分配律的综合性练习，甚至于后面综合性的解决问题中，乘法结合律占了大多数。
这与北师大版教材中占两页的专项巩固训练、苏教版教材中多达五页的专项巩固训练及浙教版教材整整拿出一个单元，不可同日而语。
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“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。
”这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》阐述课程内容中的一句话，其中“几何直观、运算能力和模型思想”是这次新课程标准中新增加的内容，凸显了其在义务教育阶段数学课程中的重要性。
那么，什么是几何直观呢？主要是指利用图形描述和分析问题。
这里的“图形”主要指点、线、面、体以及以上四要素组成的其它几何图形，几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。
为什么在2011年版新课程标准中，要提出应当注重发展学生的呢？
一、几何直观有助于学生对数学概念的理解
小学生是按照“感知――表象――概念”这一规律学习数学知识的。
几何直观可强化感性认识，能为建立清晰而准确的概念打下基础。
例如，教学“三角形的认识”时，为了让学生能准确理解什么是三角形？导入新课，老师可让学生拿出自己的三角板摸一摸它的外观，引导学生说出这就是“三角形”后，并让学生用三角板画出“三角形”，再让学生说一说：“你是怎样画三角形的？”“用三条线段首尾相接画成一个三角形。
”接着问：在生活中还有哪些物体的外形是三角形的？学生举例：红领巾、小三角旗、自行车框架、屋架等，教师随之播放准备好的课件，呈现这些几何图案。
接着引导学生“做”三角形：用三根小棒摆一摆，摆成一个三角形，并让一名学生在实物投影仪上操作演示，并让这位学生说一说：“你是怎样摆的？”“用三根小棒首尾相接摆成一个三角形。
”其他同学也互相说一说，怎样摆成三角形？此时，老师在黑板上画一个三角形，然后对学生说：“通过刚才画三角形、摆三角形，你们说说看，什么样的图形叫三角形呢？”在学生讨论交流的基础上得出结论：由三条线段围成的图形叫作三角形。
以上认识三角形的过程，就是充分利用几何直观，即通过摸、画、做等有形的三角形，来认识三角形、描述三角形，直至概括出什么是三角形。
通过几何直观的感性认识，为描述清晰而准确的“三角形”概念起到了关键的作用。
二、几何直观有助于发展学生的空间观念
培养空间观念是小学数学新课程标准的重要内容之一。
空间观念是指物体的大小、形状及相互位置关系在头脑中留下的表象。
小学生的空间观念往往是在直观学习几何知识中形成的，或学生利用形象直观的几何图形来描述和分析问题，解决问题，获取知识的同时，反过来又在大脑中建立了物体的大小、形状等表象，发展了自己的空间观念。
因此，要让学生通过各种观察、实际操作直观的几何图形，来描述分析问题，在解决问题和获取知识的过程中，促进空间观念的形成和发展。
例如，在“圆柱的表面积”教学，学生通过观察圆柱体，明确圆柱的表面积包括“圆柱的侧面积和两个底面的面积”后，老师重点引导学生思考：“圆柱的侧面积是一个曲面怎样计算呢？”“能不能把曲面变成平面呢？”接下来重点引导学生动手操作：“能不能把圆柱的侧面积展开来看一看，�1�7拿出一张长方形或正方形的纸裹住圆柱，但用长方形的纸比较好理解下面的操作过程�1�7我们可以把裹住圆柱的长方形纸看作圆柱的侧面，同桌的同学共同试一试，看有什么发现？”学生合作探究：并观察思考展开后纸的形状与圆柱体的侧面有什么关系？即长方形与圆柱体的侧面有什么关系？探究发现：长方形的大小就是圆柱侧面的大小，长方形的面积就是圆柱的侧面积，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，圆柱的侧面积=长方形的长×宽=圆柱的底面周长×高；圆柱的表面积=圆柱的底面周长×高+两个底面的面积。
三、几何直观有助于学生对复杂数学问题的理解
《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程内容中的说明：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮
助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”
例如，在教学“乘法分配律”时，可以借助两个平面组合图形求其面积之和的过程，简明、形象的呈现不易理解的“乘法分配律”的产生和由来，运用几何直观，把抽象的“乘法分配律”变得简明、形象，易于学生理解和识记。
下面是作者引导学生发现“乘法分配律”的教学过程，步骤如下：①上课伊始，引导学生取出一张长方形的纸，给这个长方形的长写上字母“m”，宽写上字母“a”，再写出它的面积：s=m×a。
②接下来，引导学生把这个长方形分为两个小长方形，且两个小长方形的“宽”都是“a”，将两个小长方形的“长”分别写上“b”和“c”，且m=b+c，那么大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即：m×a=�1�7b+c�1�7×a；反过来引导学生观察思考：因为两个小长方形的面积之和正好等于这个大长方形的面积，即b×a+c×a=m×a=�1�7b+c�1�7×a，所以，�1�7b+c�1�7×a=b×a+c×a或�1�7b+c�1�7a=ba+ca。
从而得到结论：“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法分配律。
”显然，以上“乘法分配律”的教学，充分运用平面几何的直观作用和效果，将颇为复杂且难于理解的“乘法分配律”问题，变得简明、形象、易解了，学生的思路也如水到渠成般顺畅。
显而易见，学习效果十分理想，既在理解中掌握了知识，又拓展了学生的思维。