平面向量同步练习
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量同步练习题(练习题)讲义
r
r
r
r
r
r
r
r r
→
r
r
→
→
→
r
r
r
r
r r
9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
r
r
r
r
r
r
r
9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
r
r
1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
人教A版(2019)必修第二册《平面向量的概念》同步练习
人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →． 其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三 、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四 、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5． 故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2， 即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2， 可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)， 即有2×(−2)+4m =0， 解得m =1， 故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解． 此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52， 故 x +y =2， 故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →， 故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案． 此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误； 单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确． 故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误； 零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误； 故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3， 故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误； 对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立， 如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误； 综上，正确的命题是①，共1个． 故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确； 因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确． 故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)， 可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知， 向量AB →与向量CD →共线． 故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误； 在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误； 在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确； 在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确； 在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误， 对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误， 对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。
平面向量同步练习
2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。
第二章 平面向量同步练习
第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1．下列说法正确的是 【 】 A ．平行向量就是其向量所在的直线互相平行 B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量 2．已知下列命题：（1）若|a | = |b |，则a = b ；（2）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若a = b ，b = c ，则a = c ； （4）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的是 【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点.(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m)； (2)求DA 的模.4.如右图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={a |a =，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1. 已知正方形ABCD 的边长为1， 则AB BC AC ++=【 】A . 0B . 2C .2 D . 222.若O 为△ABC 内一点， 0O A O BO C ++=，则O 是△ABC 的 【 】 A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 3. 已知向量||||b a +=，其中,均为非零向量，则||的取值范围是____________4.已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.5.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则【 】A .a +b +c +d =0B .a -b +c -d =0C .a +b -c -d =0D .a -b -c +d =02.已知OA =a ， OB =b ，若|OA |=12，|OB |=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= .3.如右图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =，c -d =，并画出b -c 和a +d .4.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB =a ， BC =b ， OD =c ，试证明:c +a -b =OB .2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1. 点C ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 】A .0AD BE CF ++=B .0BD CF DF -+=C .0AD CE CF +-= D .0BD BE FC --=2.设四边形ABCD 中，有=21且||=||，则这个四边形是 【 】 A .平行四边形 B .矩形 C .等腰梯形 D .菱形3.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 【 】A .0PA PB += B .0PC PA += C .0PB PC +=D .0PA PB PC ++=4.已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=u u r u u r u u u r u u u r，那么一定有 【 】A ．2PB CP =uu r uu r B ．2CP PB =uu r uu rC ．2AP PB =u u u r u u rD ．2PB AP =u u r u u u r2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理1. 设向量a ，()tb t R ∈ ，13()a b +是起点相同，终点共线的三个不共线向量，则实数t 的值等于【 】A .12B .16C .12- D .132.如右图，点E 为ABC ∆中 AB 边的中点，点F 为AC 的三等分点（靠近点A ），BF交CE 于点G ，若AG xAE yAF =+，则x y +等于【 】A .25B .35 C .45 D .753.如右图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为_____________.4.在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1.向量AB=(2，-1)，AC =(-4，1) 则BC = 【 】DAECa bBF GA . (-2，0)B .(6，-2)C . (-6，2)D . (-2，2)2.设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且= 4i + 2j ，AC = 3i + 4j ，则△ABC 的面积等于 【 】A .5B .9C .10D .153．若A (0， 1)， B (1， 2)， C (3， 4) 则AB -2BC = . 4．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且∥，则x = 【 】A ．9B ．6C ．5D ．12. 已知向量x b a b a x b a 则实数平行与若向量和,22),1,()2,1(-+==等于 【 】A ．21 B ．1 C ．31D ．2 3. 已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于 【 】 A ．21-B ．21C ．2-D ．2 4. 已知向量a = (-3 ，2 ) ， b =(x ， -4) ， 若a //b ，则x = 【 】 A 4 B 5 C 6 D 75. 已知27,65,2-=+-=+=，则点A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是 . 2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义1.已知O 是△ABC 内一点，且满足→O A ·→O B ＝→O B ·→O C ＝→O C ·→O A ，则O 点一定是△ABC 的 【 】 A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心2.如右图，P 为△A O B 所在平面上一点，向量b OB a OA ==,，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量c =.若|a |=3，|b |=2，则c ·（a －b ）的值为A .5B .3C .25D .23 3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= 4.已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜5.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.已知a =(λ，２)，b =(-3，5)且a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 【 】A .λ＞310 B .λ≥310 C .λ＜310 D .λ≤3102.给定两个向量a =(3，4)，b =(2，-1)且(a +x b )⊥(a -b)，则x 等于 【 】A .23B .223 C . 323 D . 423 3.已知a =(3，0)，b =(k ，5)且a 与b的夹角为43π，则k 的值为 .4.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.5.四边形ABCD 中，=(6，1)， =(x ，y )，=(-2，-3). (1)若BC ∥，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 2.5平面向量应用举例1. 已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O′和A ′，则λ=''O e ，其中λ= 【 】A ．511 B ．511- C ．2 D ．－2 2. 已知非零向量AB 与·=021，则ABC ∆为 【 】 A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形。
高一数学平面向量同步练习
第二章平面向量一、选择题1．如图所示，ABCD中，«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»等于()．A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»2．在矩形ABCD中，|«Skip Record If...»|＝«Skip Record If...»，|«Skip Record If...»|＝1，则向量(«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»)的长等于()．A．2 B．2«Skip Record If...»C．3 D．4(第2题) 3．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则«Skip Record If...»－«Skip Record If...»等于()．A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»4．下列说法中正确的是()．A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线B．任意两个模长相等的平行向量一定相等C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角D．共线的两个非零向量不平行5．下面有四个命题，其中真命题的个数为()．①向量的模是一个正实数．②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．④模相等的平行向量一定相等．A．0 B．1 C．2 D．36．下列说法中，错误的是()．A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是()．A．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»8．下列向量组中能构成基底的是()．A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，-3)，e2＝(«Skip Record If...»，-«Skip Record If...»)9．已知a＝(-1，3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于()．A．3 B．－2 C．«Skip Record If...»D．－«Skip Record If...»10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c 垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是()．A．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题：11．若非零向量α，β 满足|α＋β|＝|α－β|，则α 与β 所成角的大小为．12．在ABCD中，«Skip Record If...»＝a，«Skip Record If...»＝b，«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»，M为BC的中点，则«SkipRecord If...»＝_______．(用a，b表示)13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝．14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m－2n，且a＝(2，1)，则m，n的夹角为．15．已知«Skip Record If...»＝(6，1)．«Skip Record If...»＝(x，y)．«Skip Record If...»＝(-2，-3)．则向量«Skip Record If...»的坐标为______．三、解答题：16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知«Skip Record If...»＝a，«Skip Record If...»＝b，试用a，b表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»．17．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证△ABC是直角三角形．18．己知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n．求：(1)a2＋b2＋c2．(2)a·b＋2b·c－3c·a．第二章平面向量(第12题)(第16题)参考答案一、选择题 1．答案： C解析：从图上可看出«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．2．D 解析：如图∵«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝2«Skip Record If...»． 3．D解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移 的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．∴«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．4．A解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的． 模长相等的平行向量可能方向相反，故B 不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C 不对．而选项D 中向量共线属于向量平行．5．B解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．①向量的模应是非负实数． ②是对的③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等． ④模相等且方向相同的向量才相等．(第3题) (第2题) (第1题)6．A解析：零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，«Skip Record If...»绝不是没有方向.7．B解析：如图，G 是重心，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，所以B 错．«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，所以不能选D ．8．B解析：利用e 1∥e 2«Skip Record If...»x 1y 2－x 2y 1＝0， 可得只有B 中e 1，e 2不平行，故应选B ． 9．C解析：由a ∥b ，得3x ＝1，∴x ＝«Skip Record If...»． 10．D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a |，|b |，|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b ·c )·a － (c ·a )·b ］·c ＝(b ·c )·a ·c －(c ·a )·b ·c ＝0，所以垂直．故③假；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9·a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立．故④真． 二、填空题 11．答案：90°．解析：由|α＋β|＝|α－β|，可画出几何图形，如图， |α－β|表示的是线段AB 的长度，|α＋β|表示线段OC 的长度，由｜AB ｜＝｜OC ｜，∴平行四边形OACB 为矩形，故向量 α 与 β 所成的角为90°． 12．答案：«Skip Record If...»a ＋«Skip Record If...»b ． 解：如图，由«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»，得4«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»＝3(a ＋b )，«Skip Record If...»＝a ＋«Skip Record If...»b ，(第7题)(第11题) (第12题)所以«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»(a＋b)－(a＋«Skip Record If...»b)＝－«Skip Record If...»a＋«Skip Record If...»b．13．答案：－63．解析：解方程组得«Skip Record If...»∴a·b=(－3)×5＋4×(－12)＝－63．14．答案：90°．解析：由a＝(2，1)，得|a|＝«Skip Record If...»，∴a2＝5，于是(m－2n)2＝5«Skip Record If...»m2＋4n2－4m·n＝5．∴m·n＝0．∴m，n的夹角为90°．15．答案：(x＋4，y－2)．解析：«Skip Record If...»＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)．三、解答题16．答案：«Skip Record If...»＝b－«Skip Record If...»a，«Skip Record If...» =«Skip Record If...»a－b解：如图，连结CN，则AN«Skip Record If...»DC．∴四边形ANCD是平行四边形．(第16题)«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»=－b，又∵«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝0，∴«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝b－«Skip Record If...»a．∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝－b＋«Skip Record If...»a＝«Skip Record If...»a－b．17．解析：∵«Skip Record If...»＝(2－1，3－2)＝(1，1)，«Skip Record If...»＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)．∴«Skip Record If...»·«Skip Record If...»＝1×(－3)＋1×3＝0．∴«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»．∴△ABC是直角三角形．18．答案：(1)当k＝19时，k a＋b与a－3b垂直；(2)当k＝－«Skip Record If...»时，k a＋b与a－3b平行，反向．解析：(1)k a＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3，2k＋2)·(10，－4)＝0，得10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0．解得k＝19，即当k＝19时，k a＋b与a－3b垂直．(2)当k a＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使k a＋b＝λ(a－3b)，由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»即当k＝－«Skip Record If...»时，k a＋b与a－3b平行，此时k a＋b＝－«Skip Record If...»a＋b，∵λ＝－«Skip Record If...»＜0，∴－«Skip Record If...»a＋b与a－3b反向．19．答案：(1)366，(2)－157．解析：∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，∴m·n＝|m||n|cos 60°＝4×3׫Skip Record If...»＝6．(1)a2＋b2＋c2＝(4m－n)2＋(m＋2n)2＋(2m－3n)2＝16｜m｜2－8m·n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m·n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m·n＋9｜n｜2＝21｜m｜2－16m·n＋14｜n｜2＝21×16－16×6＋14×9＝366．(2)a·b＋2b·c－3c·a＝(4m－n)·(m＋2n)＋2(m＋2n)·(2m－3n)－3(2m－3n)·(4m－n)＝－16｜m｜2＋51m·n－23｜n｜2＝－16×16＋51×6－23×9＝－157．另解：a·b＋2b·c－3c·a＝b·(a＋2c)－3c·a＝…＝－157．。
6.2平面向量的运算-同步练习(含解析)人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.2平面向量的运算 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知单位向量a ，b 满足13a b ⋅= ，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．23bB ．12br C ．13b D ．23b-2．已知非零向量,,a b c满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB CA ⋅=（ ）A ．2-B ．1C ．2D．4．已知ABCD 是平面四边形，设p ：AB＝3DC ，q ：四边形ABCD 是梯形，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a 与b为两个不共线的单位向量，则（ ）A ．()//a b a+ B ．()a a b⊥- C ．若π,3a b = ，则π,3a b b -= D ．若π,4a b a += ，则π,2a b =6．已知,a b，且()(2)a b a b λλ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．2±CD．7．已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭()()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．若对于向量,,a b c ，a是一个单位向量，b = ，a 与b 的夹角为π4，2c b a =- ，则c a ⋅= （ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．已知非零向量a ，b ，“a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件B ．已知四边形ABCD ，“AC AB AD =+”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件C ．已知非零向量a ，b ，“a b a b -=+ ”是“a 与b 共线”的充分不必要条件D ．已知非零向量a ，b ，“0a b ⋅>”是“a ，b 夹角为锐角”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（ ）A ．向量a 在向量b 上的投影向量可表示为a b b b b⋅⋅ B ．若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，则AB，BC 的夹角为45D ．若非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b⊥ 11．已知21,e e 是夹角为2π3的单位向量，且12122,a e e b e e =+=-，则下列选项正确的是（ ）A B ．12a b ⋅=-r r C ．a 与b 的夹角为2π3D ．1e 在2e 方向上的投影向量为212e - 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ++=.以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为ABC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ++=C ．若M 为ABC 的外心，则()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +=+=+=D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题13．设,a b 均为单位向量，且,,a a b a b -+ 可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的a b ⋅ 的值．14．已知向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b方向上的投影是 ．15．化简向量运算：AB BC CD DA +++=．16．如图，在△ABC 中，||||AB AD AB AD +=- ，BC =，||2AD =，则AC AD ⋅=．四、解答题17．已知3a = ，4b = ，且a 与b的夹角为120︒.(1)求a b ⋅的值；(2)若()()2a b ka b +⊥- ，求实数k 的值；(3)求向量b 与向量a b +夹角的余弦值.18．已知OA a = ，OB b = ，1b = ，a 与b的夹角为45°．2OM a b λ=- ，3ON a b λ=- ．(1)求2a b +的值；(2)若向量OM ，ON的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；(3)若四边形ABMN 为梯形，求λ的值．19．如图，已知O 为平面直角坐标系的原点．120OAB ABC ∠=∠=︒，24OA BC AB ===，(1)求OB 和OC的坐标；(2)求向量BC与向量OA 的夹角；(3)求向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标．20．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b -⋅+=.(1)求a 与b的夹角θ；(2)求2a b - ；(3)若AB a = ，BC b =，求ABC 的周长.21．在ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，AD 为角平分线，D 在线段BC 上.(1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB 、AC 于不同点E 、F ，且AE x AB =⋅ ，AF y AC =⋅ ，求12x y+的值参考答案：1．C【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】根据已知条件有：1a b == ，又13a b ⋅=，所以1cos ,3a b a b a b ⋅==⋅，a 在b上的投影向量为()1cos ,3b a a bb b =.故选：C 2．B【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．【详解】由13c a = ，c 为b 在a上的投影向量，则有1cos ,cos ,cos ,3b a c a b a b a b a a b a a a ==⋅=⋅=⋅，所以,1cos 3a b = .故选：B.3．A【分析】利用()AB CA AO OB CA ⋅=+⋅展开计算即可.【详解】如图，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又2AC =，所以()12cos1802AB CA AO OB CA AO CA OB CA AO CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯︒=-.故选：A.4．A【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】在四边形ABCD 中，若3AB DC =，则AB DC ，且3AB DC =，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当,AD BC 为上底和下底时，满足四边形ABCD 为梯形，但3AB DC =不一定成立，即必要性不成立，故p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．5．D【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.【详解】选项A ：若()//a b a + ，则()a ab λ=+ ，即()1a b λλ-=，与a 与b为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A 说法错误；选项B ：设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ<，所以()()22cos 1cos 0a a b aa b a a b θθ⋅-=-⋅=-=-≠，故选项B 说法错误；选项C ：若π,3a b = ，则π1cos 32a b a b ⋅== ，所以()()212a b b a b b -⋅=⋅-=- ，22221a b a a b b -=-⋅+= ，即1a b -=r r ，所以()1cos ,2a b b a b b a b b-⋅-==-- ，又0,πa b b ≤-≤ ，所以2π,3a b b -= ，故选项C 说法错误；选项D ：因为()()21a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅ ，()()222222a b a a b ba b +=+⋅+=+⋅，所以()cos ,a b a a b a a ba +⋅+===+1a b +⋅= 设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ≠-，所以cos 1a b a b θ⋅=≠-，1=，即0a b ⋅= ，所以π,2a b = ，故选项D 说法正确；故选：D 6．B【分析】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果.【详解】因为()(2)a b a b λλ+⊥- ，所以222()(2)20a b a b a a b b λλλλ+⋅-=+⋅-=，又,a b，所以2220λ⨯-=，解得2λ=±，故选：B.7．B【分析】先根据||AB AB 、||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，确定OP OA AP -= ，判断AP与BAC ∠的角平分线所在向量的关系推出选项．【详解】||AB AB ,||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线对应的AD 方向相同，又 ()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，∴()AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ，∴P 在向量AD上移动，∴点P 的轨迹一定通过ABC 的内心故选：B.8．D【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.【详解】因为a是一个单位向量，b = a 与b 的夹角为π4，所以π1cos 14a b ⋅==，所以()222121c a b a a b a a ⋅=-⋅=⋅-=-=-.故选：D 9．ABCD【分析】A 选项，分,a b均为非零向量或其中之一为零向量或两者均为零向量，结合数量积公式和定义得到A 正确；B 选项，根据平面向量的加法法则得到B 正确；C 选项，两边平方得到a 与b反向共线，充分性成立，举出反例得到必要性不成立；D 选项，举出反例得到充分性不成立，利用向量数量积公式得到必要性成立，得到答案.【详解】A 选项，若,a b 均为非零向量，cos900a b a b a b ⊥⇔⋅=⋅︒=，综上，a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件，A 正确；B 选项，根据平面向量加法平行四边形法则，AC AB AD =+可以得到四边形ABCD 是平行四边形，反之也成立，故B 正确；C 选项，非零向量满足a b a b -=+ ，两边平方得222222a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，故a b a b ⋅=-⋅，设,a b 的夹角为θ，由于cos a b a b θ⋅=⋅，故cos 1θ=-，故a 与b反向共线，充分性成立，若非零向量a 与b正向共线，则a b a b =++ ，必要性不成立，故C 正确；D 选项，非零向量,a b 正向共线时，满足0a b ⋅>，但此时a ，b 夹角为0，不是锐角，充分性不成立，当a ，b夹角为锐角时，cos 0a b a b θ⋅=⋅> ，必要性成立，D 正确.故选：ABCD 10．ABD【分析】对A ，根据投影向量公式求解即可；对B ，根据数量积公式判断即可；对C ，由向量夹角的定义判断即可；对D ，根据数量积公式判断即可.【详解】对A ，根据投影向量的定义可知，向量a在向量b 上的投影向量可表示为a b b bb⋅⋅，故A 正确；对B ，根据cos ,0a b a b a b ⋅=< ，可知，cos ,0a b < ，所以a 与b的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，故B 正确；对C ，由向量夹角的定义可知，AB，BC 的夹角为135 ，故C 错误；对D ，若非零向量,a b 满足0a b ⋅= ，则cos 0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】对A ：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B ：借助数量积公式计算即可得；对C ：借助向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量的定义计算即可得.【详解】对A：a ===，故A 正确；对B ：()()22121212122π22cos 3a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-+⋅ 1312122⎛⎫=-+⨯-=- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C：b ====，故1cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，即2π,3a b =，故C 正确；对D ：122211222221cos ,2e e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=-，故D 正确.故选：ACD.12．ABC【分析】对A ，根据面积关系可得0MA MB MC ++=，再结合重心的概念即可得解；对B ，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C ，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D ，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.【详解】对于A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，如图所示由::1:1:1A B C S S S =，则0MA MB MC ++=，所以2MD MB MC MA =+=- ，所以,,A M D 三点共线，且23A D M A = ，设,E F 分别为,AB AC 得中点，同理可得22,33CM CE BM BF == ，所以M 为AMC 的重心，故A 正确；对于B ， 由M 为ABC 的内心，则可设内切圆半径为r ，如图所示则111,,222A B C S BC r S AC r S AB r =⋅=⋅=⋅，所以1110222r BC MA r AC MB r AB MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅= ，故B正确；对于C ，如图所示，因为M 为ABC 的外心，所以MA MB MC ==，所以22MA MB = ，即220MB MA -= ，即()()0MB MA MB MA +⋅-= ，所以()0M B M A A B +⋅= ，同理可得，()0()0MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅= ，所以()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=，故C 正确；对于D ，延长AM 交BC 于点D ，延长BM 交AC 于点F ，延长CM 交AB 于点E ，如图所示，由M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又ABC A B C S S S S =++ ，则43ABC ABC A BS SS S == ，， 设MD x MF y ==，，则32AM x BM y ==，，所以cos cos 23x y BMD AMF y x ∠==∠=，即2232x y =，所以cos BMD ∠=()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 错误.故选：ABC.13【分析】设,a b 的夹角为θ，则可计算得2sin 2a b θ-= ，2cos 2a b θ+= ，再由等比中项定义可求解.【详解】由,a b 均为单位向量，设,a b 的夹角为[],0,πθθ∈，则π0,22θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos a b θ⋅ =，1a = ，2sin 2a b θ-====，2cos 2a b θ+==== ，当,,a a b a b -+ 成等比数列时，有224sin 2cos 2cos cos 202222θθθθ=⇒+-=，解得cos 2θ=cos 2θ=，则由二倍角公式得，2cos 2cos 12θθ=-=同理，当,,a b a b a +-成等比数列时，解得cos θ=，当,,a b a a b +- 成等比数列时，有114sin cos 2sin cos sin 22222θθθθθ=⇒==，此时，cos θ=14．38b 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.【详解】向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则634o 60c s a b =⋅=⨯︒ ，所以a 在b 方向上的投影是226348||a b b b b b ⋅== .故答案为：38b 15．0【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.【详解】0AB BC CD DA AC CD DA AD DA +++=++=+= .故答案为：0 .16．【分析】由||||AB AD AB AD +=- 得AB AD ⊥ ，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.【详解】由||||AB AD AB AD +=- ,可知22||||AB AD AB AD +=- ，0AB AD ∴⋅= ,则AB AD⊥ ()AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC AD⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅2|AD AD =⋅==故答案为：17．(1)6-(2)13【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得()()20a b ka b +⋅-= ，根据数量积的运算律计算可得；（3）首先求出a b + 、()a b b +⋅ ，再根据夹角公式计算可得.【详解】（1）因为3a = ，4b = ，且a 与b 的夹角为120︒，所以1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）因为()()2a b ka b +⊥- ，所以()()20a b ka b +⋅-= ，即22220ka a b ka b b -⋅+⋅-= ，即()()22232640k k ⨯+-⨯--=，解得13k =.（3）因为a b +====，()226410a b b a b b +⋅=⋅+=-+= ，设向量b 与向量a b + 的夹角为θ，则()cos a b b a b b θ+⋅===+⋅ 即向量b 与向量a b +.18．(2)()⋃+∞(3)52或【分析】（1）将2a b + 平方开根号即可；（2）由向量OM ，ON 的夹角为锐角，可得0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，先根据0OM ON ⋅> 求出λ范围，再排除向量OM ，ON 共线时λ的值即可；（3）根据平面向量共线定理分别求出//AB NM 和//AN BM 时λ的值，即可得解.【详解】（1）11a b ⋅== ，2a b +====（2）因为向量OM ，ON 的夹角为锐角，所以0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，由0OM ON ⋅> ，得()()()222232360a b a b a b a b λλλλλ-⋅-=+-+⋅> ，即()24360λλλ+-+>，解得16λ<<，若向量OM ，ON 共线，则存在唯一实数μ，使得OM ON μ= ，即()23a b a b λμλ-=- ，所以23μλλμ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=综上所述，实数λ的取值范围为()⋃+∞；（3）()(),23AB OB OA b a NM OM ON a b λλ=-=-=-=-+- ，()()13,21AN ON OA a b BM OM OB a b λλ=-=--=-=-+ ，若//AB NM ，则存在唯一实数x ，使得NM xAB = ，即()()()23a b x b a λλ-+-=- ，所以23x xλλ-=-⎧⎨-=⎩，解得52λ=，若//AN BM ，则存在唯一实数y ，使得AN yBM = ，即()()1321a b y a b λλ⎡⎤--=-+⎣⎦，所以()1231y y λλ-=⎧⎨-=-+⎩，解得λ=综上所述，//AB NM ，//AN BM 不同时成立，所以四边形ABMN 为梯形，λ的值为52或.19．(1)OB OC == (2)向量BC 与向量OA 的夹角为120︒(3)BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为(2,0)-【分析】（1）依题意求出A 、B 、C 的坐标，即可得解；（2）利用向量的夹角公式可求向量BC 与向量OA 的夹角；（3）首先求出BC ，OA ，再根据数量积的几何意义求出向量BC 在向量OA 上的投影，从而求出投影向量.【详解】（1）依题意(4,0)A ，设1122(,),(,)B x y C x y ，则14||cos(180)42cos 605x AB OAB =+︒-∠=+︒= ，1||sin(180)2sin 60y AB OAB =︒-∠=︒= 21||cos(180)54cos 603x x BC OAB ABC =-∠+∠-︒=-︒= ，21||sin(180)4sin 60y BC OAB ABC y =∠+∠-︒+=︒= ，所以B C，所以OB OC == ；（2）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，设向量BC 在向量OA 的夹角为θ，所以1cos 2||||BC OA BC OA θ===- ，因为0180θ≤≤︒，所以120θ=°.所以向量BC 与向量OA 的夹角为120︒；（3）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，所以在向量BC 在向量OA 上的投影长度为2424||BC OA OA -⨯==- ，所以BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为12(4,0)(2,0)4||||BC OA OA OA OA ⨯=-⨯⨯=- ．20．(1)23π(2)(3)7【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可；（2）利用()2222a b a b -=- ，展开化简即可得到答案；（3）结合（1）可得π3ABC ∠=，利用AC AB BC =+ 或余弦定理可得213AC =，从而求得ABC 的周长【详解】（1）()()23261a b a b -⋅+= ，()()2244361a a b b ∴-⋅-= ，又4a = ，3b =r ，6442761a b ∴-⋅-= ，616,cos 432a b a b a b θ⋅-∴⋅=-∴===-⨯ ，又0πθ≤≤，2π3θ∴=；（2）()()()22224216464976a b a a b b -=-⋅+=-⨯-+⨯= ，2a b ∴+= （3）因为AB 与BC 的夹角2π3θ=，πππ233ABC ∠∴=-=，又4== AB a ，3BC b == ，解法1：AC AB BC a b =+=+ ，()()()222221626913AC a a b b a b =+=+⋅+=+⨯-+= ，则AC =所以ABC 周长为437+=解法2：在ABC 中，由余弦定理得，22212cos 1692432AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，213AC =，则AC =所以ABC 周长为437+=21．(1)23(2)3【分析】（1）根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；（2）根据平面共线向量的性质，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）根据角平分线定理：21BD AB DC AC ==，23BD BC ∴=，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+ .22214444449999999AD AB AB AC AC ∴=+⋅+=-+= ，23AD ∴= ，即23AD =；（2）由（1）可知：12123333AD AB AC AE AF x y ==++ ，E 、D 、F 三点共线，12133x y ∴+=，123x y∴+=.。
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4平面向量同步练习§2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．化简PM PN MN所得的结果是（）MPA．B．NP C．0 D．MN2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于（）0013．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙A．36 B．12 C．6 D．63．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则（）A．a与b方向相同B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC ABb D．a与b方向相反|，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C ．ABCD 为正方形D．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．22*6．设( AB CD ) ( BC DA D．2) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是（）A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD_______．8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a +b9．若| AB | 8，| AC | 5，则| BC表示______________．|的取值范围为_____________．*10．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，则河水的流速的大小为___________．三、解答题11．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA 、OB 、OC 表示OD．12．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：AB DC EF EF ．地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*14．点D、E、F分别是△ABC求证：（1）AB 三边AB、BC、CA上的中点，BE AC CE；（2）EA FBDC 0．§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，则a+b 与c=6 e1-2 e2的关系为（A．不共线B．共线C．相等D．无法确定2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于（）A．3 B．-3 C．0 D．2）平面向量同步练习3．若AB=3a, CD =－5a ,且| AD | | BC |,则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD =a , BE =b ,那么BC 为（）A．__-__3a＋3b B．3a－3b C．3a－3b D．－3a＋3b5．已知向量a ,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（）①2a -3b=4e且a+2b= -3e②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中AB=a ,CD=bA．①② B．①③ C．② D．③④*6．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PA PB PC AB ，则（）A．P在△ABC 内部B．P在△ABC 外部C．P在AB边所在直线上D．P在线段BC上二、填空题7．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a= b8．已知向量e1 ,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ= 9．a,b是两个不共线的向量，且AB=2a＋kb , CB =a＋3b , CD =2a－b ,若A、B、D三点共线，则实数k的值可为*10．已知四边形ABCD中，AB =a－2c, CD =5a＋6b－8c对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a=⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a= ⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)=12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM13．设两个非零向量a与b不共线,⑴若AB =a＋b ,BC =2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线; ⑵试确定实数k，使ka＋b和a ＋kb共线.*14．设OA ,OB 不共线,P点在AB上,求证:OP =λOA +μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).§2. 3. 1平面向量基本定理及坐标表示（1）班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7); C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 =(1, 324)2．已知向量a、b，且AB=a+2b , BC = -5a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.平面向量同步练习A．①② B．②③ C．③④ D．仅②4．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD =x AB , AE =y AC ,xy≠0，则11x y的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( ) A．-a+3b B．3a-b C．a-3b D．-3a+b*6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA +βOB ，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0二、填空题7．作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且AB=2 AC ,则x= ，y= ;9．已知A(2,3),B(1,4)且1 2AB =(sinα,cosβ), α,β∈(- 2,2),则α+β=*10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为三、解答题11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b12．如果向量AB=i-2j , BC =i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量的概念及线性运算A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )＋PB →＝0 ＋PA →＝0 ＋PC →＝0 ＋PB →＋PC →＝03． 已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )A ．0二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．6． 在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝___(用a ，b 表示)． 7． 给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 三、解答题(共22分)8． (10分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上9． (12分)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ， AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量．( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2． 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．53． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线． 5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．6． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.三、解答题7． (13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.平面向量基本定理及坐标表示A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－5132. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝143． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反 9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝________. 5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．平面向量的数量积A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12D ．12． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于C ．2 5D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( )C ．2 22． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于 A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. 5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的应用A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形2． 已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是 A ．－π6B ．－π33． 已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.6． 已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON→≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．7． 已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .9． (12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a·b ＋1的最大值，并求此时x 的值．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )|a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＋a ·b22. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )C ．2D ．33． 已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝m ＋n ，AC →＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)4. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ， 则x ＋y 的最大值是________．5． (2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.6． 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．。