中国农业大学研究生数值分析考试重点及笔记
数值分析重点内容总结
(参考资料)数值分析笔记
常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
数值分析复习重点.doc
第一章、绪论1、了解数值分析的研究对象与特点。
2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。
3、了解误茅的定性分析及避免误茅危害。
第一早、插值重点题目：P19, 5, 7.1、 了解插值的概念。
2、 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3、 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。
4、 了解茅分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5、 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6、 知道高次插值的病态性质，会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误并和收敛性。
7、 了解三次样条插值，知道其误差和收敛性。
重点题目：P5& 2, 6, 16.第三章、函数逼近与曲线拟合1、 了解函数逼近的基木概念，了解范数和内积空间。
2、 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用止交多项式。
理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。
理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用止交多项式做最佳平 方逼近的方法。
6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。
7、了解有理逼近。
重点题目:P115, 4, 13, 15, 17, 19.第四章、数值积分与数值微分1、 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的 收敛性和稳定性。
2、 掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。
3、 会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4、 会龙贝格(Romberg)求积算法。
5、 了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。
6、 了解儿种常用的数值微分方法。
重点题目：P15& 1, 4, 6.第五章、解线性方程组的直接方法1、 了解求解方程组的两类方法，了解矩阵基础知识。
2、 掌握高斯消去法，了解矩阵的三角分解。
数值分析复习提纲
标注页码均为《应用数值分析》第三版页码
一、基本概念
1. 绝对误差和相对误差 定义：设数 a 是准确值，x 是 a 的一个近似值，则
记 e a x 为近似值 x 的绝对误差， er a x / a e / a 为近似值 x 的相对误差，由于
有些情况下准确值 a 未知，实际计算中相对误差可改用式 er a x / x e / x 。
P 67 例 2-35
基本原理：应用定理 2-9，对列分块的矩阵 A 作初等反射变换将其化简为上三角阵。
-2
例：已知矛盾方程组
Ax=b，其中
A=
1
2
1
1
0
，b
1
，用
Householder
方法求矩阵
-
10
1
11
A 的正交分解，即 A QR 。
若 e a x x ，称x 为数 a 的近似值 x 的绝对误差限；若 er a x / x r x ，称 r x
为相对误差限，显然有 r x x / x 。
2. 有效数字
先做绝对误差运算 e a x ，然后得到使 e 1 10n 成立的最大整数值 n。 2
0 a12
，U
ann1 0
a1n
。
an
1n
0
迭代分量形式：
xik 1
bi
n
aij
x
j
k
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析期末复习要点总结
故一般取相对误差为
er x*
e x* x*
x x* x*
如果存在正数 r 使得
er x*
ex*
x*
r
则称 r为 x*的相对误差限.
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
有效数字
如果近似值 x* 的误差限是 1 10n 则称x*
2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.
若
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
定义2 设 x* 为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
即
er
x*
ex*
x
x
x* x
(1-3) 3 3
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式 P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数
② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差 2.观测误差 3.截断误差 4.舍入误差
二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x* 为准确值x的一个近似值，称
考研数学分析笔记
《数学分析》
笔记
笔 记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记 讲 义：目标院校目标专业本科教学课件 期末题：目标院校目标专业本科期末测试题 2-3 套 模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题 2 套 复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题 真 题：目标院校目标专业历年考试真题，录
第二模块 笔记.................................................................................................................................3 第一部分 实数集与函数.........................................................................................................3 第二部分 数列极限................................................................................................................8 第三部分 函数极限..............................................................................................................10 第四部分 函数连续性...........................................................................................................15 第五部分 导数与微分..........................................................................................................30 第六部分 微分中值定理及其应用.......................................................................................36 第八部分 不定积分...............................................................................................................51 第九部分 定积分..................................................................................................................54 第十部分 定积分的应用.......................................................................................................60 第十一部分 反常积分...........................................................................................................68 第十二部分 数项级数...........................................................................................................72 第十三部分 函数列与函数项级数.......................................................................................90 第十四部分 幂级数.............................................................................................................101 第十五部分 傅里叶级数..................................................................................................... 116 第十六部分 多元函数的极限与连续.................................................................................131 第十七部分 多元函数微分学.............................................................................................136 第十八部分 隐函数定理及其应用.....................................................................................148 第十九部分 含参量积分.....................................................................................................152 第二十部分 曲线积分.........................................................................................................163 第二十一部分 重积分.........................................................................................................166 第二十二部分 曲面积分.....................................................................................................175
数值分析考研专业课资料
数值分析考研专业课资料数值分析是计算数学的重要分支，广泛应用于科学计算、工程技术以及社会经济等领域。
在考研阶段，掌握数值分析的基本理论和方法对于学生们来说尤为重要。
本文将为大家提供一些数值分析考研专业课的相关资料，帮助大家更好地准备考试。
1. 数值分析基本概念：1.1 下溢和上溢错误：在计算机中，由于存储精度的限制，较小或较大的数值可能导致下溢或上溢错误。
了解这些错误的产生原因和解决方法是数值分析中的基础知识。
1.2 计算误差：数值计算中的误差分为绝对误差和相对误差。
学习如何评估和控制计算误差对于正确进行数值计算和分析十分重要。
1.3 误差传播：误差传播是指在多步计算中误差如何积累和传递的问题。
掌握误差传播的方法可以帮助我们在复杂计算中减小误差的影响。
2. 数值线性代数：2.1 线性方程组求解：数值分析中，线性方程组求解是一项基础且常用的任务。
了解高斯消元法、LU分解、迭代法等求解方法，能够帮助我们高效地解决线性方程组的问题。
2.2 矩阵特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量在科学计算和工程问题中具有广泛的应用。
学习如何计算和利用矩阵的特征值和特征向量，可以帮助我们分析和解决相关的数值问题。
3. 插值与拟合：3.1 插值方法：插值方法是通过已知数据点推导出未知数据点的数值方法。
掌握拉格朗日插值、牛顿插值等常用插值方法，可以帮助我们在实际问题中进行数据的预测和补充。
3.2 最小二乘拟合：最小二乘拟合是利用数学模型和已知数据点，通过最小化拟合曲线与实际数据的误差平方和来得到更精确的数据拟合。
学习最小二乘拟合方法，可以帮助我们处理实际问题中的数据拟合需求。
4. 数值微积分：4.1 数值积分：数值积分是计算定积分近似值的方法。
了解复化求积公式、数值积分误差估计等概念和方法，可以帮助我们在科学计算中进行积分运算。
4.2 数值微分：数值微分是通过数值方法计算导数的近似值。
掌握数值微分的方法，可以帮助我们在实际问题中进行导数的计算和分析。
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中国农业大学数值分析研究生课程重点
后面有笔者的笔记！！
第1章
1、 5个概念（绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字）及其计算，数值运算的误差估计
2、算法稳定性的概念及算法设计的5个原则
第2章
1、牢记拉格朗日插值公式、牛顿插值公式，掌握余项推导
2、了解均差的性质
3、会用基函数和承袭性两种方法构造埃尔米特插值问题，并会推导余项
4、为何要分段低次插值？会构造分段线性和分段三次埃尔米特插值
5、三次样条插值的2种构造思路
第3章
会利用最小二乘法解决具体问题
第4章
1、机械求积公式、代数精度的概念理解和计算
2、插值型求积公式的定义和判断，插值型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？
3、求积公式余项的推导
4、什么叫牛顿-柯特斯求积公式？总结其优缺点
5、牢记梯形公式、辛普森公式及其余项（会推导），牢记柯特斯公式
6、复化求积公式的计算
7、高斯型求积公式的定义、判断和使用，高斯型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？
8、总结学过的数值求积公式，说明其关系
第5章
1、会用高斯消去法、高斯列主元素法、直接三角分解法、（改进）平方根法、追赶法求解线性方程组
2、会计算矩阵和向量的常用范数
3、线性方程组性态的分析
第6章
1、三种迭代法（雅可比、高斯-赛德尔、松弛法）的构造及其矩阵形式的推导
2、会构造迭代公式求方程组的解，并判断是否收敛
第7章
1、了解不动点迭代法是否收敛的判断方法
2、会判断迭代法收敛的收敛速度（收敛阶）
3、会构造不动点迭代公式求方程的根，并指明收敛阶数
4、牛顿迭代法公式推导，求单根和重根收敛性的证明
5、牛顿迭代法的优缺点及其改进
第9章
1、牢记欧拉的5个公式及其推导
2、会用三种不同方法推导欧拉显式单步公式
3、掌握局部截断误差的概念及其应用
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