奈奎斯特曲线
奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。
该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。
下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。
该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。
传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。
对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。
这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。
开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。
我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。
具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。
对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。
具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。
根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
5-4 奈奎斯特
辅助函数 F (s) 的零点都具有负的实部，即都位于S平面 左半部，系统稳定，否则系统不稳定。
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数 F (s) 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的 正则函数,也就是说 F (s ) 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每 一个解析点，在 F (s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为
例如当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点一s平面与平面的映射关系如图所示在平面上有点与s平面上的点对应就叫做如图所示如果解析点在s平面上沿封闭曲线不经过的奇点按顺时针方向连续变化一周那么辅助函数平面上的映射也是一条封闭曲但其变化方向可以是顺时针的也可以是逆时针的这要依据辅助函数的性质而定
5-4
∠F ( s1 ) = ∑ ∠( s1 − z j ) − ∑ ∠( s1 − pi )
j =1 i =1 3 3
7
当解析点s1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线Γ s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 F 周）。这样，对图（a），Z=1，P=0，∠ F ( s1 ) = − 2π ，即N=－1， (s) 绕 F(s1 )平面原点顺时针 旋转一周；对图（b），Z=0，P=1，∠ F ( s1 ) = 2π ，即N=1，F(s) 绕F(s1 ) 平面原点逆时针旋 F 转一周；对图（c），Z=1，P=1， F ( s1 ) = 0 ，即N=0， (s1 ) 不包围 F(s)平面原点。将上述分 ∠ 析推广到一般情况则有 ∠ F ( s ) = 2π ( P − Z ) = 2π N 由此得到幅角定理表达式为
matlab 多条奈奎斯特曲线
MATLAB是一种强大的数学软件，能够进行各种复杂的数学计算和绘图。
在信号处理和控制系统中，奈奎斯特曲线是一种常用的工具，用于分析系统的稳定性和性能。
在MATLAB中，可以使用一系列的函数和命令来绘制多条奈奎斯特曲线，并对这些曲线进行分析和比较。
本文将介绍MATLAB中绘制多条奈奎斯特曲线的方法和技巧，以及如何使用这些曲线来分析系统的性能。
1. 奈奎斯特曲线是什么奈奎斯特曲线是一种在复平面上描述系统频率响应和稳定性的工具。
对于一个给定的传递函数G(s)，奈奎斯特曲线将其频率响应表示为一个闭合曲线，曲线的形状和位置能够反映系统的稳定性和频率响应特性。
通过分析奈奎斯特曲线，可以得到系统的相位裕度、增益裕度和稳定裕度等重要参数，对系统进行性能分析和改进具有重要意义。
2. MATLAB中绘制奈奎斯特曲线的基本步骤在MATLAB中，绘制奈奎斯特曲线的基本步骤如下：（1）定义传递函数G(s)：使用MATLAB中的tf函数或者zpk函数来定义系统的传递函数，例如G=tf([1],[1 2 1])；（2）绘制奈奎斯特曲线：使用MATLAB中的nyquist函数来绘制奈奎斯特曲线，如nyquist(G)；（3）分析曲线特性：通过观察奈奎斯特曲线的形状和位置，可以得到系统的相位裕度、增益裕度等重要参数，从而进行系统性能分析和改进。
3. MATLAB中绘制多条奈奎斯特曲线的方法在实际工程中，通常需要对比系统的不同设计方案或者不同工况下的频率响应和稳定性特性。
在MATLAB中，可以使用hold on命令来绘制多条奈奎斯特曲线，并通过设置不同的颜色和线型来区分这些曲线。
下面给出了一个绘制多条奈奎斯特曲线的简单示例：``` matlabG1=tf([1],[1 2 1]);G2=tf([1],[1 3 2]);nyquist(G1);hold on;nyquist(G2);legend('G1','G2');```通过上面的示例，可以在同一张图中绘制出传递函数G1和G2对应的奈奎斯特曲线，并通过图例来区分这两条曲线。
03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
多输入多输出系统的奈奎斯特曲线
多输入多输出系统的奈奎斯特曲线1. 奈奎斯特曲线概述奈奎斯特曲线是控制系统理论中的重要概念，用于描述系统的频率响应特性。
它由瑞典工程师哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出，被广泛应用于控制系统分析与设计中。
2. 奈奎斯特曲线的特点奈奎斯特曲线是一种极坐标图，通常用于分析系统的稳定性和频率响应特性。
它可以帮助工程师快速了解系统的频域特性，从而指导控制系统的设计与调节。
3. 奈奎斯特曲线的绘制奈奎斯特曲线是通过绘制系统的频率响应曲线来得到的。
通常会对系统进行正弦激励，测量输出信号与输入信号之间的频率响应关系，进而绘制奈奎斯特曲线。
4. 奈奎斯特曲线与系统稳定性的关系奈奎斯特曲线可以直观地反映系统的稳定性。
通过分析奈奎斯特曲线的特征，可以判断系统的稳定性以及阶跃响应的性能。
这对于控制系统的设计与调节具有重要意义。
5. 多输入多输出系统中的奈奎斯特曲线多输入多输出（MIMO）系统是现代控制系统中常见的一种形式。
在MIMO系统中，存在多个输入与多个输出信号之间的复杂耦合关系。
奈奎斯特曲线在MIMO系统中同样具有重要作用，可以帮助工程师全面了解系统的频率响应特性。
6. 使用奈奎斯特曲线分析MIMO系统对于MIMO系统，奈奎斯特曲线的分析可以帮助工程师理解系统的传递函数、阶跃响应、频率响应等性能特征。
通过绘制奈奎斯特曲线，可以直观地看出系统的稳定性以及频率响应特性，对系统的设计与调节有重要指导作用。
7. MIMO系统控制与设计中的应用在MIMO系统的控制与设计中，奈奎斯特曲线可以用于确定系统的稳定性边界、阶跃响应特性、频率响应特性等。
工程师可以通过分析奈奎斯特曲线来优化控制器的设计，提高系统的稳定性与性能。
8. 总结奈奎斯特曲线作为控制系统分析与设计中的重要工具，在MIMO系统中同样具有重要作用。
通过对奈奎斯特曲线的分析，可以全面了解系统的频率响应特性，指导系统的稳定性分析与控制器设计。
频率特性的几种表示方法
A( ) ( )
P ( )
0
G( s)
s 1 s2 s 1
由于 | G( j ) |是偶函数， 所以当 从 0 和 变化时，奈 0 魁斯特曲线对称于实 轴。 3
Thursday, January 03, 2019
二、对数频率特性曲线（又称波德图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
Thursday, Januaryary 03, 2019
2
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频率特性。 即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 Q ( ) 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
第二节 频率特性的几种表示方法
Thursday, January 03, 2019
1
频率特性可以写成复数形式： G( j ) P( ) jQ( ) ，也可 以写成指数形式：G( j ) | G( j ) | G( j )。其中，P ( ) 为实 频特性， Q ( ) 为虚频特性； | G ( j ) |为幅频特性， G ( j ) 为相频 特性。 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
奈奎斯特采样定理（Nyquist）
奈奎斯特采样定理（Nyquist）采样定理在1928年由美国电信⼯程师H.奈奎斯特⾸先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联⼯程师科捷利尼科夫⾸次⽤公式严格地表述这⼀定理，因此在苏联⽂献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始⼈C.E.⾹农对这⼀定理加以明确地说明并正式作为定理引⽤，因此在许多⽂献中⼜称为⾹农采样定理。
奈奎斯特采样定理解释了采样率和所测信号频率之间的关系。
阐述了采样率fs必须⼤于被测信号感兴趣最⾼频率分量的两倍。
该频率通常被称为奈奎斯特频率f N。
即：⾸先，我们要明确以下两点：采样的⽬的是为了利⽤有限的采⽤率，⽆失真的还原出原有声⾳信号的样⼦。
奈奎斯特采样定理也可以理解为⼀个正弦波每个周期最少取两个点才能把正弦波还原回去。
为更好理解其原因，让我们来看看不同速率测量的正弦波。
1. 假设 f S = f N可以看出，⽆论我们从哪⼀点开始采样，每次采集到的数据都是⼀样的，对应的频率成分为0Hz。
2. 假设 f S = (4/ 3) * f N以上采样到的曲线仍然⽆法还原原有波形的样⼦。
3. 假设 f S = 2 * f N如上图，将这些采样点连成线条，得到的信号形状为三⾓波，虽然信号的频率成分没有失信，但是很难保证信号的幅值不失真。
因为这两个采样点很难位于正弦信号的波峰与波⾕处。
也就是说，在很⼤程度上，采样后的信号的幅值是失真的。
我们再考虑如下情况：假设⼀条正弦曲线为sin(2π/t)，频率为1Hz。
我们以2Hz的频率对该曲线进⾏采样（每隔0.5s），可以得到3个红⾊采样数据，如下图：对于这三个点，我们不能确定它对应的正弦曲线是sin(2π/t)，因为sin(4π/t)等倍频曲线也会穿过这三个红⾊采样点：混叠如果信号的采样率低于两倍奈奎斯特频率，采样数据中就会出现虚假的低频成分。
这种现象便称为混叠。
下图显⽰了800 kHz正弦波1MS/s时的采样。
虚线表⽰该采样率时记录的混叠信号。
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❖平时成绩: 期中+作业+考勤 30% ❖期末考试：70%
课程性质：专业课（必修）
学习基本要求说明
机械工程 控制基础
❖ 课后作业独立完成、按时上交，计入平时成 绩；
❖ 希望自学的同学，可以提出申请，但需参加 各种测试，且以章为单位写出自学心得和总 结提纲，并向老师进行口头汇报；
❖ 课程需要利用Matalab软件进行计算和仿真， 大家可自学该软件。
综合集成自动化
1961年提出了极小 （大）
值原理。发展了最优化理论。
在自适应控制理论和应用 方面作出了贡献。
庞特里亚金
朗道
1.1控制技术发展综述
自动控制 理论
◎ 五、后现代控制理论
80年代以后，控制理论向广度与深度发展
大系统，是指规模大，结构复杂变量众多的信息与控制系统。在 系统理论中，采用状态方程和代数方程相结合的数学模型，状态 空间，运筹学等相结合的数学方法。
强调从“系统”（整体）的角度来分析、研究和实现 各种目标，而不单单是其中的部件的性能。
控制理论具有多学科交叉融合的特征
离不开信息技术、电气技术、数学以及被控对象的相 关领域知识
8
2014秋 新乡学院 张清枝
第1章 绪论
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
1.2自动控制的基本原理及系统构成
1.3控制系统的分类
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
二. 控制技术初步应用到工业中
英国 J. Watt用离心式调速器控制蒸汽机的速度 (1788年)。
1.1控制技术发展综述
三.经典控制 ❖ 1868年马克斯韦解决了蒸汽机 调速系统中出现的剧烈振荡的不 稳定问题，提出了简单的稳定性 代数判据。
机械工程 控制基础
❖1875~1895劳斯 、赫尔维茨把 马克斯韦的思想扩展到更复杂的 系统中，提出了著名劳斯稳定判 据和赫尔维茨稳定
赫尔维 茨 （ Hurwitz）
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
四十年代由于第二次世界大战需要控制系统具有准确跟 踪与补偿能力，美国贝尔实验室的奈奎斯特和伯德提出了 频域内研究系统的频率响应法。
4
素质基本要求
❖ 不影响他人学习或工作——不迟到，不早 退，非讨论环节上课不讲话；
❖ 尊重老师和同学，在来往邮件和其他场合， 注意用语和署名；关心每一个学习有困难 的同学并提供尽可能的帮助（不违法学术 道德的前提下）
❖ 爱护教室整洁，爱护校园及至地球环境 （请在整个学习期间，包括你的设计中贯 穿这一理念）
p1 0
σ
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
◎ 四、现代控制理论 60年代初形成并迅速发展起来的
现代控制理论是在航天、航空、导弹等军事尖
端技术的发展，对自动控制系统提出越来越高的要
求的推动下发展起来的。要求设计高精度、快速响
应、低消耗、低代价的控制系统；被控制对象越来
越大型、复杂、综合化，从单个局部自动化发展成
前期知识准备及参考教材
前期知识准备
•电工电子技术 •高等数学
参考教材
➢《自动控制原理及其应用》黄坚 主编， 高等教育出版社 ➢《信号与系统》郑君里主编， 高 等教育出版社
控制理论 所要解决的主 要问题
1
系统建模（实际问题抽象，数学描述）
机械工程 控制基础
2
系统分析 （稳定性， 动/静态性能）
3
系统综合 （方案选择，设计)
1.4对控制系统性能的基本要求
2014秋 新乡学院 张清枝
机械工程 控制基础
自动控制：
在无人直接参与下，利用控制装置操
纵受控对象，使受控对象的被控量按给定
信号变化规律去变化。
自动控制理论是研究自动控制共同规律
的技术科学。
具有“自动”功能的装置自古有之。
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
一. 控制技术萌芽中国，埃及和巴比伦出现自动计时漏壶 (1400 BC--1100BC)；
奈
G(jω)
Im
奎
伯
斯
γ
ω
特
c
0 Re φ (ω )
德 图
曲
线
L(ω ) dB
+20
-20dB/dec
0
ω
ω
c
-20
（W.R.Ewans）提出了复数域内研究系统 的根轨迹法。
p2
-63.4
建立在劳斯稳定判据的时域ห้องสมุดไป่ตู้、奈奎斯特的频
90
率响应法和伊万斯的根轨迹法基础上的理论，
p3
称为经典控制理论。
jω
153.4
智能控制 是具有某些仿人智能的工程控制与信息处理系统，其中 最典型的是智能机器人， 智能主体等。
21世纪 网络、通讯、人机交互为代表的信息自动化 集成的理论与 技术。
2006秋 清华大学
17
自动化系 慕春棣
现代控制理论已经应用在工农业、交通运输及国防建设等各个领域
地空导弹稳定控制 复杂飞行控制与飞行管理系统
关于学习的几点建议
◎ 培养好的学习方法 应用数学工具分析解决工程问题 科学思维方法 抽象 综合 数学工具(如MATLAB)的使用 重视实践活动
◎ 阅读学术期刊 ： IEEE Transactions on Automatic Control, Control Systems Technology … 自动化学报， 控制理论与应用，系统仿真学报， 计算机工程与应用 ……
宗旨
机械工程 控制基础
❖ 用多种模式实施形成性评价，淡化终结性 评价；
❖ 实施“不仅授之以鱼（fish），更要授之以 渔（fishing）”的现代化教学理念，引导自 主学习、强调应用和实践；
❖ 营造交流、合作氛围；倡导诚信，抵制 “抄袭”、“剽窃”等不道德的、违法学 术行为。
成绩评定
机械工程 控制基础
4
系统验证（数字仿真，半实物/实物仿真）
控制理论是应用基础理论
机械工程 控制基础
具有鲜明的时代性，强调对实践的指导作用
总是和社会的重大需求紧密联系在一起的。人们总是 把当时最先进的技术用作自动化技术的主要内容， 这 就要求理论必须指导实践。应用数学的许多成就都会 被自动化学科所应用。
控制理论是系统的理论
• 希腊Philon发明了采用浮球调节器来保持燃油液面高度 的油灯（BC250）；
• 中国张衡发明水运浑象，研制出自动测量地震的候风地 动仪（132）；
1.1控制技术发展综述
机械工程 控制基础
❖ 中国马钧研制出用齿轮传动的自动指示方向 的向的指南车 (235年)；
❖ 中国明代宋应星所著《天工开物》记载有程 序控制思想的提花织机结构图（1637）；
大系统控制
1.1控制技术发展综述
❖ 日本安川公司娱乐机械狗 (2001)；