从古典几何到现代几何概要

罗氏几何
俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，
1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图
通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾。
但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不
到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个
不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。
2.希尔伯特与《几何基础》
1899年法国数学家希尔伯特 （Hilbert,1862-1943）发表了著作《几何基 础》，结束了对欧几里得给出的理论体系进行 修改和完善的工作。他在这部著作中弥补了 《几何原本》中公理系统的不足之处，指出了 欧几里得几何的一个逻辑上完善的公理系统， 由此解决了用公理法研究几何学的基础问题。
年来，无论是思想观念的更新，还是科
学理论的创立，几何学都扮演了开路先
锋的角色。
前言
几何学应用广泛，无处不在。
从现代文明的成果看，无论是火箭、卫星的研 制发射，还是人类生存空间的保护和改善，无一 不用到几何的知识；再从推动科学的进步看，几 何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型 产生的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道 路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。

1.《几何原本》介绍

《几何原本》共分十三卷，给出了467 个命题，几乎涵盖了前人所有的数学成 果。全书精心编排，把命题依照彼此的 逻辑关系，从简单到复杂，将内容按照 顺序排列起来是欧几里得最成功的创造。
1.《几何原本》介绍

第一卷是全书逻辑推理的基础，给出 了什么是点、线、面等23个定义，5个公 理，由此讨论三角形全等、边角关系、 垂线、平行线、平行四边形、多边形、 勾股定理等。
1.《几何原本》介绍

五条公设是：
（1）从每个点到每个别的点必定可引直线；
（2）直线可以无限延长；
（3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆； （4）所有直角都相等； （5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于 两直角，则此两直线必在该侧相交。
1.《几何原本》介绍

五条公理是：
（1）等于同量的量相等；
二、解析几何

恩格斯评价：“数学中的转折点是笛 卡尔的变数，有了变数，运动进入了数 学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了数学，微分和积分也立刻成为必要的 了”（《自然辩证法》）。
1.笛卡尔的两个基本观念
（1）坐标观念： 其作用是把欧氏平面上的点与一对有 序的实数对应起来。
3.公理系统的三个问题

在数学及其它领域，利用公理法思想
的地方很多，但一般并未形成欧氏几何
公理系统这样严格的理论体系。一般地，
任何一个公理系统必须是相容的，但未 必是独立的，完备性更不是必需的。
3.公理系统的三个问题

除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何
的公理系统也具备以上三个条件。

任何一个公理体系都不可能在本系统
内证明它的无矛盾性，也就是说任何一 个理论系统最终还是要靠实践来检验它 的真伪与价值。
二、解析几何
17世纪前半叶，科学技术对数学提出 了新的要求，引起了三门全新的数学科 学的发展，它们是：解析几何、微分法 和积分法（包括简单的微分方程）。
二、解析几何

法国数学家笛卡尔 （R.Descartes1596-1650）于1637年发 表长篇著作《更好地指导推理和寻求科 学真理的方法论》，该书三个附录之一 《几何学》阐述了他的坐标几何的思想， 标志着解析几何的诞生。
欧氏空间
后人把欧几里得建立的几何理论称为 “欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称 为“欧氏平面”；成立欧氏几何的空间 称为“欧氏空间”。
公理法
欧几里得在《几何原本》使用的这种
建立理论体系的方法称为“公理法（原
始公理法）”。
第Ⅴ公设
第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作
一直线平行于已知直线。在《几何原本》 问世的两千年中，不少人试图去修正，尤 其是第Ⅴ公设，被认为可由其余九条所证 出，或用更简单或更直观的公理来代替。
前言

古典几何泛指第一流的几何学家及其相 应的几何著作，包括：欧氏几何、射影几 何、解析几何、非欧几何等多个方面。
现代几何主要是指微分几何，它是由高 斯、黎曼等人所奠基，再由加当、陈省身 等人发扬光大。

一、欧氏几何和欧氏空间
欧几里得（Euclid,公元前330—公元 前275）的《几何原本》使几何学真正成 为一门科学。 几何，英文为“Geometry”，是由希腊 文演变而来的，其原意为“土地测量”。 我国明代徐光启翻译《几何原本》时， 将“Geometry”一词译为“几何学”，就 是从其音译而来。
2.希尔伯特与《几何基础》

三个基本对象：点、直线、平面

三种基本关系：“在……之上”、 “在……中间”、 “合同于”
五组公理共20条：

第一组关联公理，共8条； 第二组顺序公理，共4条； 第三组合同公理，共5条； 第四组连续公理，共2条； 第五组平行公理，共1条。
现代公理法：
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（2）等量加等量，和相等；
（3）等量减等量，差相等； （4）彼此重合的东西是相等的； （5）整体大于部分。
1.《几何原本》介绍

第二、三、四卷讨论线段的计算、直线形和圆的基
本性质，共67个命题；


第六卷讨论相似形，共33个命题；
第十一至十三卷讨论立体几何理论，共70几个命题；

其它第五、七、八、九、十卷讨论比例和算术理论。
从古典几何到现代几何
河南教育学院 主讲人：封平华
前言
几何学源远流长，文献丰富。
在长达数千年的人类历史长河中， 几何史就是数学史、科学史、人类文明 史的一个缩影，从中可以看到人类社会 前进的足迹。
前言
几何学特色鲜明，多彩多姿。
从古希腊时代起，就形成了一套科学
的研究方法，严密的逻辑体系。两千多
以五组公理为基础，陆续定义了一些新 的概念和证明一些新的结论（定理）， 这样建立起了一个依照逻辑关系，排列 顺序井然的体系，称为现代公理法。
3.公理系统的三个问题

构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：
（1）无矛盾性：即所有的公理彼此不产生矛盾， 也称相容性； （2）独立性：即每一条公理都不能由其它公理推 出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的； （3）完备性：即已有的公理已足够了，不能再增 加与公理组都相容的新公理。