第27章相似单元测试卷及答案

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人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷(Word版,含答案)

人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（）A．11B．﹣C．D．﹣112．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．3．下列图形一定是相似图形的是（）A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（）A．1B．2C．D．37．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．138．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知：＝，则＝．10．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．11．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．15．△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，点E在AB边上，∠BEC＝2∠ABC，若AB＝9，DE＝1，则AD的长为．16．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．证明：∵＝，∴+1＝+1．∴＝．根据以上方法，解答下列问题：（1）若＝，求的值；（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．19．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．21．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，∴x＝3y，∴＝＝．故选：C．2．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．3．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．4．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．5．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，A、三边之比为1：：，选项A符合题意；B、三边之比：：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．故选：A．6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得：EF＝3，∴DH＝EF＝×3＝，故选：C．7．解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，∴AD＝9，∴AB＝AD+BD＝13．故选：D．8．解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵＝，∴＝，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，故答案为：5．11．解：如图1，点C在线段AB上，过E作EF∥AB交OC于F，∵点E为OA边的中点，EF∥AB，∴OF＝CF，∴EF＝AC，∵BC＝3AC，∴BC＝6EF，∵EF∥AB，∴，∴CG＝6FG，∴FC＝OF＝7FG，∴OG＝OF+FG＝8FG，∴＝＝；如图2，点C在线段BA的延长线上，过E作ED∥BC交OC于D，∵点E为OA边的中点，ED∥BC，∴OD＝CD，∴DE＝AC，即AC＝2DE，∵BC＝3AC，∴BC＝6DE，∵ED∥BC，∴，∴CG＝6DG，∴CD＝OD＝5DG，∴OG＝OD﹣DG＝4DG，∴＝＝；故答案为：或．12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当时，△ABP∽△CDP，即；解得x＝，BP＝14﹣＝8.4；当时，△ABP∽△PDC，即；整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．13．解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t≤12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t≤12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t≤12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；当t＝12时，此时E点在AC的中点，DE∥AB，此时△CDE是直角三角形．综上可知t的值为4或7或9或12，故答案为：4或7或9或1215．解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则CE＝CF，∴∠CFE＝∠BEC＝2∠ABC，∵∠CFE＝∠ABC+∠BCF，∴∠ABC＝∠BCF，∴BF＝CF，∵CD⊥AB，∴DF＝DE＝1，设BF＝CF＝x，∵AB＝9，∴AD＝8﹣x，∵∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD•BD＝x（8﹣x），又∵CD2＝CF2﹣DF2＝x2﹣12，∴x（8﹣x）＝x2﹣12，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴BF＝，∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝9﹣﹣1＝．故答案为：．16．解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，∴A（6，6），B（8，2），∵E是AB中点，∴E（7，4），故答案为：（7，4）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝．（2）∵＝，∴﹣1＝﹣1，∴＝，∵＝，∴÷＝÷，∴＝．18．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．21．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．22．解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．。

人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试(含答案)

人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试（含答案）一、选择题1、如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．42、已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（）A． B． C．2﹣4 D．6﹣23、已知=，那么的值为（）A． B． C． D．4、矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣15、正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．6、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．7、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：98、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A． B． C． D．二、填空题10、已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．11、在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是__________千米．12、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为．13、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，A P= ．14、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，四边形DEFB是菱形，AB=6，BC=4，那么AD= ．15、如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为．16、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．17、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .三、简答题18、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．19、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．20、如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°求证：（1）△PAC∽△BPD；（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．21、已知，如图，Rt△ABC中∠B=90°，Rt△DEF中∠E=90°，OF=OC，AB=6，BF=2，CE=8，CA=0，DE=15．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）求线段DF，FC的长．22、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1) 等边三角形“內似线”的条数为；(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.参考答案一、选择题1、C解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得，EF=8，2、D解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，∴PB=4×=6﹣2；3、B解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．4、D解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，∴=，∴a=2，b=﹣1，5、B解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC=90°∠APB+∠BAP=90°∴∠BAP=∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x=2时，y有最大值1cm易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO=CQ=，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM=1，6、D解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；7、A解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴=8、A解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；∵∠C=∠AED=90°，，∴，即sin∠B=sin∠DAE，∴∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；∵AD∥BC，∴∠B=∠DAE，∵∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；9、C二、填空题10、6．解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．11、30 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，可知实际距离=图上距离÷比例尺．【解答】解：根据题意，3÷=3000 000厘米=30千米．即实际距离是30千米．故答案为：30．【点评】本题考查了比例线段的定义及比例尺，属于基础题型，比较简单．12、2．【解答】解：连接BO并延长交AC于F，如图，∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC，∵直径MN⊥BC，∴BD=CD，∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===，设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．故答案为13、3【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．14、；解：∵四边形DEFB是菱形，∴BD=BF=DE，DE∥BF，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD=15、45解：∵点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为：1：3，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为：1：9，∵四边形ABCD的面积为5，∴四边形A1B1C1D1的面积为：5×9=45．16、（3，4）或（0，4）．【解答】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，同理可得：直线AB的解析式为：y=x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），∴过这两点的直线为：y=2x+1，∴过这两点的直线与直线AC平行，①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），则B1C1∥BC，B1A1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，∴﹣2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），则B1A1∥BC，B1C1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，∴×2+c=5，﹣1+d=3，解得：c=4，d=4，∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．故答案为：17、6．解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，∴DE=6．三、简答题18、【解答】解：（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．19、（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，AB=BC，∠ABC=∠C，CP=BM，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABM=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．20、证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，∴∠APC+∠BPD=45°，又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，∵∠PCA=∠PDB，∴△PAC∽△BPD；（2）∵=，PC=PD，AC=3，BD=1∴PC=PD=，∴CD==．21、（1）证明：∵OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∵∠B=90°，∠E=90°，∴△ABC∽△DEF；（2）解：∵△ABC∽△DEF，∴==，∵AB=6，DE=15，AC=10，BF=2，CE=8，∴==，∴DF=25，CF=2．22、(1) 解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；故答案为：3；(2) 证明：∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，∴BD是△ABC的“內似线”；(3) 解：设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內似线”，∴△CEF与△ABC相似；分两种情况：①当==时，EF∥AB，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，作DN⊥BC于N，如图2所示：则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，∵CD平分∠ACB，∴=，∵DN∥AC，∴=，即，∴CE=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：EF=；②当==时，同理得：EF=；综上所述，EF的长为．人教版九年级下数学第二十七章《相似》单元练习题（含答案）一．选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正确的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则等于（）A ．B ．C ．D ．3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（）A ．60mmB ． mmC ．20mmD ． mm4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（）A ．12B ．11.52C ．13D ．85．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（）A ．2﹣2B ．6﹣2√5C ．D ．4﹣26．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝，则OQ 长为（）A ．6B ．C ．D ．8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（）A ．如果∠BAC ＝90°，AB 2＝BD •BC ，那么AD ⊥BCB ．如果AD ⊥BC ，AD 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°C ．如果AD ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（）A ．（3，﹣2）B ．（6，﹣4）C ．（4，﹣6）D ．（6，4）11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（）A ．3200mB ．3000mC ．2400mD ．2000m12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．16．若＝，则＝．17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF1＝，S1：S2：S3＝．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．三．解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．参考答案一．选择题1．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，∴＝，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选：C．2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AD＝3ED，∴＝，∵AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，故选：A．3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，矩形AGDH当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．故选：A．6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴△DBF∽△ADE，∴＝（）2＝＝﹣1，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2＝BD•CD，∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD＝∠C，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴BE＝OE，CF＝OF，∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，∵△ABC的周长为8，BC＝x，∴AB+AC＝8﹣x，∴y＝8﹣x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8﹣x＞x，∴0＜x＜4，即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），故选：A．10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，∵点B的坐标为（﹣3，2），∴点C的坐标为（6，﹣4），故选：B．11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：8000＝25：x，解得：x＝200000，∵200000cm＝2000m，∴该路段实际长度约为2000m．故选：D．12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE＝AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△DBA，∴＝，∴△ABC的周长＝2×2＝4．故选：B．二．填空题（共7小题）13．【解答】解：∵∠A是公共角，如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ABC；如果＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝，即＝，解得CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，故答案为：．15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝2，CF＝DE，∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，∴，即＝，∴CF＝1，∴EC的长＝＝＝，故答案为：．16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，所以＝＝4．故答案是：4．17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．18．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，∵EM：BC＝2：5，∴＝＝，设AM＝2x，则AC＝5x，故MC＝3x，∴＝＝，故答案为：．19．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，∴AD＝3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠EAF，∵∠ADE＝∠C，∴△ADF∽△ACG；∴＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题）20．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴＝，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴＝．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴＝，∴AF•BC＝AD•BE．21．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．22．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF＝BG＝2k，∵DE∥BC，FH∥AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF＝HC＝3k，∴DE＝5k∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∵FG∥AB∴∠FGH＝∠B，∴∠ADE＝∠FGH，同理可得：∠AED＝∠FHG∴△ADE∽△FGH∴＝（）2＝，23．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．24．【解答】解：△DBH∽△HBC，理由：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，∴A，B，C，D在一条直线上，∠A＝90°，设AB＝x，则AH＝BC＝CD＝x，∴BH＝x，BD＝2x，∴，∵∠HBC＝∠HBC，∴△DBH∽△HBC．25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即 ED ＝AD ，又∵ED ＝BE ＝BD ，∴BD ＝AD ，∴AB ＝BD ．人教版九年级下数学第二十七章相似单元练习题（含答案）.doc一、选择题1.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠AEDB．＝C．∠B＝∠DD．＝2.如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()A．(0,3)B．(0,2.5)C．(0,2)D．(0,1.5)3.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是()A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③4.如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有()A．2对B．3对C．4对D．5对5.下列各组图形中可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形6.如图，把一个长方形划分为5个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是()A．a＝5bB．a＝10bC．a＝bD．a＝2b7.如图，己知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是()①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.A．1B．2C．3D．48.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为()A．B．C．D．9.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2∶1，则点C′的坐标为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1，－1)D．(1,0)10.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是() A．平移B．旋转C．轴对称D．位似二、填空题11.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.12.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE 交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.13.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．14.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．15.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm.16.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2 m，b＝4 m，c＝5 m，则d＝__________ m.17.汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB ＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.18.△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.以点C为位似中心将△ABC按∶1放大，A、B 的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为__________．19.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是__________米．20.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距4.7 m，则路灯AD 的高度是____________．三、解答题21.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F.请找出一对相似三角形，并加以证明．22.作图：如图所示，O为△ABC外一点，以O为位似中心，将△ABC缩小为原图的.(只作图，不写作法和步骤)23.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.24.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx＋b 与y＝－2x＋4是“平行一次函数”(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3,1)，求b的值；(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．25.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？26.如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．27.如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,4)，C(－3,2)．(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；(2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．答案解析1.【答案】D【解析】∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE.A．∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，错误；B．∵＝，∴△ABC∽△ADE，错误；C．∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，错误；D．∵＝，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，正确．故选D.2.【答案】C【解析】连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为(0,2)，故选C.3.【答案】D【解析】∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D.4.【答案】C【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有4对，分别是△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA.故选C.5.【答案】A【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选A.6.【答案】C【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a2＝5b2，∴a＝b.故选C.7.【答案】C【解析】根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.故选C.8.【答案】A【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACE＝90°，∵∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7，。

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试题【含答案】

人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试题【含答案】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（每小题3分，共10小题）1．已知a=2b，则下列选项错误的是（）A．a+c=c+2b B．a﹣m=2b﹣m C．D．2．如图，在△ABC中，点D、E分不在边AB、AC上，联结DE，如果AD：BD=2：3，那么下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：94．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE的长为（）A．B．4 C． D．6．下列讲法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比7．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE=25：9，则C E：BC等于（）A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：258．如图，l1∥l2∥l3，BC=1，=，则AB长为（）A．4 B．2 C．D．9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（）A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：410．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分不交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（每小题3分，共8小题）11．如图，在△ABC中，点D、E分不在AB、AC边上，DE∥BC，若=，AE=4，则EC等于．12．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么AC=．13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分不在边AB、AC上，如果BC= 5，△ABC的面积是10，那么那个正方形的边长是．14．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知=，则等于．15．从美学角度来讲，人的上身长与下身长之比为黄金比时，能够给人一种和谐的美感．某女老师上身长约61. 8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感成效（精确到1cm）．16．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则F C：FB=．17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）．18．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，若∠DFE=45°，PF=，则DP的长为；则CE=．评卷人得分三．解答题（共7小题）19．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分不是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分不为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA2C2C的面积是平方单位．[来源:学科网ZXXK]21．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．22．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFMN的一边MN在边BC上，顶点E、F分不在AB、AC上，其中BC=24cm，高AD=12cm．（1）求证：△AEF∽△ABC：（2）求正方形EFMN的边长．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分不是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．24．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长．（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE=OF，求的值．25．已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接D H．（1）求证：BG=2DG；（2）求AH：HG：GE的值；（3）求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、因为a=2b，因此a+c=c+2b，正确；B、因为a=2b，因此a﹣m=2b﹣m，正确；C、因为a=2b，因此，正确；D、因为a=2b，当b≠0，因此，错误；故选：D．2．【解答】解：只有选项B正确，理由是：∵AD：BD=2：3，∴=，∵=，∴=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，按照选项A、C、D的条件都不能推出DE∥BC，故选：B．3．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应面积的比为（）2=9：4，[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网]故选：C．4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM=ME=BC．∴△NDM∽△NBC，==．∴=．故选：B．5．【解答】解：∵BE，CF为△ABC的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=5，EF=3，∴=，∴AE=，故选：A．6．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④对应面积的比等于相似比的平方，故选：D．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD，CD∥AB∴△AOB∽△EOD∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9∴AB：DE=5：3∴设AB=5a，则DE=3a∴BC=CD=5a，EC=2a故选：A．8．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，BC=1，=，∴==，∴AB=，故选：C．9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，∵E是BC的中点，∴BC=2CE=AB∴==，即S△ABE：S△ECF=4：1故选：B．10．【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，∵=，∴==，明显不可能，故①错误．②正确．连接OD．∵GD是切线，∴DG⊥OD，∴∠GDP+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，∴∠GPD=∠GDP，∴GD=GP，故②正确．③正确．∵AB⊥CE，∴=，∵=，∴=，∴∠CAD=∠ACE，∴PC=PA，∵AB是直径，∴∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ=PA，∵∠ACQ=90°，∴点P是△ACQ的外心．故③正确．④正确．连接BD．∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴=，∴AP•AD=AF•AB，∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，∴△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵DE∥BC，=，∴AE：AC=AD：AB=2：3，∴AE：EC=2：1．∵AE=4，∴CE=2，故答案为：2．12．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠DEB=∠DBE，∴DB=DE，∵DE=2AD，∴BD=2AD，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，∴AC=AE+EC=2+4=6，故答案为6．13．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是10，∴BC•AH=10，∴AH=4，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故答案为．14．【解答】解：作DG∥CE，如图，∵DG∥CE，∴==，设BG=2x，则GE=3x，∵EF∥DG，∴==1，∴AE=EG=3x，∴==．故答案为：．15．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，由题意得，=0.618，解得x=6，故答案为：6．16．【解答】解：作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAH=∠EHA=90°，∴四边形AHED是矩形，∴AD=BC=EH，DE=AH，∵AB=2BC，设AD=BC=a，则AB=CD=2a，在Rt△AEH中，AE=AB=2a，EH=AD=a，∴AH==a，∴EC=BH=2a﹣a，∵EC∥AB，∴△FEC∽△FAB，∴===，故答案为17．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=（）2=4，∵S△ABC=，∴S△ADE=，∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形，∴AD2=，∴AD=1．[来源:学科网ZXXK]如图，过点D作DH⊥AB于H．在△ADH中，∵∠HAD=45°，∴DH=AD•sin∠HAD=1×=．故答案为．18．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，∵点M是AB边的中点，∴AM=BM=1，在Rt△ADM中，DM==，∵AM∥CD，∴=，∴DP=，∵PF=，∴DF=DP﹣PF=﹣=，∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP=45°，∴△DEF∽△DPC，∴，∴，∴DE=，∴CE=CD﹣DE=2﹣=．故答案为：，．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠CEB=90°，∵∠B=∠B，∴△BAF∽△BCE．（2）∵△BAF∽△BCE，∴=，∴=，∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCA．20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，（3）四边形AA2C2C的面积是=；故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.521．【解答】解：依题意得BE∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴，即，则CD=12．22．【解答】（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴△AEF∽△ABC．（2）解：设正方形EFMN的边长为x．∵△AEF∽△ABC，AD⊥BC，∴=，∴=，∴x=8，∴正方形的边长为8cm．23．【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a，∵E为AD的中点，∴AE=ED=2a，∵FC=3DF，∴DF=a，FC=3a，∴=，=，∴=，又∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF；（2）∵AD=4，∴DE=2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴==3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=×BG×AB=20．24．【解答】解：（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，∴EF=9﹣x，在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，解得：x=4，则EF=9﹣x=5；（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，∴BE=MC，∵O为正方形中心，∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，在△OBE和△OCM中，∵，∴△OBE≌△OCM，∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，在△OFE与△OFM中，∵，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，∴∠AOE+∠FOC=135°，∵∠EAO=45°，∴∠AOE+∠AEO=135°，∴∠FOC=∠AEO，∵∠EAO=∠OCF=45°，∴△AOE∽△CFO．∴===，∴AE=OC，AO=CF，∵AO=CO，∴AE=×CF=CF，∴=．25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵AB∥CD，AB=CD，∵DE=CE，∴==，∴BG=2DG．（2）解：∵∵AB∥CD，AB=CD，∵DE=CE，∴===，在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=2，∴AE=2，∴EG=，同法可得BF=2，∵AB=AD，∠BAF=∠ADE，AF=DE，∴△BAF≌△ADE，∴∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAH=90°，∴∠ABF+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⊥BF，∴AH===，∴HG=2﹣﹣=，∴AH：HG：GE=：：=6：4：5．（3）作DM⊥AE于M．由（2）可知：DM=AH=，∴EM==，∴HM=EH﹣EM=，∴DH=，∵BH==，∴==．。

第27章相似单元测试卷(含答案)

第27章相似单元检测卷一、选择题.（每小题3分，共30分）1.下列四组线段中，不是成比例线段的为（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=1，b=2，c=6，d=3D.a=2，b=5，c=15，d=232.下列命题正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的正方形都相似D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A.12=DE BC B. =AD AEAB ACC.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶2第3题图第5题图第6题图4.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是（）A.1∶16B.1∶4C.1∶6D.1∶25.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）6.（2016·安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A.4B.42C.6D.437.如图，在下列由位似变换得到的图形中，其相似比为2的是（点A是原图形上的点）（）A.OA=OA′B.OA=AA′C.OA=12AA′D.OA′=2AA′8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：①△ABE∽△AEF；②AE⊥EF；③△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个第8题图第9题图第10题图9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4，BC=6，以斜边AB上一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A.2.5B.1.6C.1.5D.110.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E、F,则BFEF的值是（）A. 2-1B.2+ 2C. 2+1D. 2二、填空题.（每小题3分，共24分）11.若△ABC∽△A′B′C′,AB=16cm,A′B′=4cm,AD平分∠BAC,A′D′平分∠B′A′C′,A′D′=3cm,则AD= cm.12.若△ABC的三边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边长为15cm,那么△A′B′C′的最小边长为.13.已知E(-3，3),F(-1，-1),以坐标原点O为位似中心，按相似比为2∶1把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标为.14.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,且AD=12BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE=2∶1，则AEFCBFSSVV= .第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图15.如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部（点O）16m的点A 处，则小明的影子AM长m.16.（2016·湖南娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）17.（2016·四川成都）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H.若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= .18.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6,BC=8,沿DE将△ABC折叠，使点C落在AB边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ,则CD 的长是 .三、解答题.（共66分）19.（8分）（2016·广西南宁改编）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2,2），B （4,0），C （4，-4）.（1）请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2，并求出111222A B C A B C S S V V 的值.20.（8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：（1）△ACB ∽△DCE ;（2）EF ⊥AB .21.（8分）（2016·浙江杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED =∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且=AD DE AC CG . （1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若12=AD AC ，求AF FG的值.22.（8分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，连接DE .求证：∠AED =∠ABC .23.（10分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD ,BC =20cm,BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40cm 、8cm.为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50cm ，那么横梁EF 应为多长？（材质及厚度等忽略不计）24.（12分）如图，在直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使得AD=5.过点D作DH⊥OA，垂足为H.（1）求证：△ADH∽△BAO;（2）求点D的坐标.25.（12分）（2016·湖北襄阳）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=25，求BE的长.。

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案试卷分析解析

第27章相似一、选择题1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A. B. C. D.2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（）A. 3：4B. 2：3C. 9：16D. 3：23.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（）A. m＜nB. m＞nC. m=nD. 无法确定4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：45.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。

若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A. 5：2B. 2：5C. 4：25D. 25：46.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）．A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：27.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A. B. C. D.9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3。

若S1+ S3=20，则S2的值为( )A. 8B. 10C. 12D.10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 1311.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A. ∠D=∠BB. ∠E=∠CC.D.12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A. 0.6mB. 1.2mC. 1.3mD. 1.4m二、填空题13.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．14.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．15. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ________．16.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为________ ．17.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．18.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．19.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a：h b：h c=________．20.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________ cm221.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．22. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则AP n的长度是________．三、解答题（共3题；共15分）23.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，BG=3，求FG的长．24.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（=1.732，=1.414，=2.449，精确到1米）．25.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.6m；乙：我们相距36m．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）26. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27. 如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A ﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？参考答案一、选择题C D C A B B B D A D D D二、填空题13.1：314.415.（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）16.317.6或818.60m×120m19.6：3：420.5421.222.三、解答题23.证明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，∴∠AFM=∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵△AMF∽△BGM，∴，∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，∴FG== =．24.解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，∴DQ=QC=8sin45°=8×=4，在Rt△DQE中，QE=≈9.8（米）∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）答：旗杆的高度约为20米．25.解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，∴FH=，在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，∴DH=，而DH﹣FH=DF，∴﹣=36，即﹣=36，∴AH=18，∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．答：纪念塔的高度约为33m．26.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴=1．27.（1）解：△DOE是等腰三角形．理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，AC=AB= a，∴S△ABC= BC•AM= a2，∴P在边AB上时，y= •S△ABC= ax，P在边AC上时，y= •S△ABC= a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形（2）解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，∴AB= a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，由a=tan30°= ，得a= ，∴当a= 时，△DOE∽△ABC．第11页共11页。

第27章相似单元测试(含答案)-

第27章相似单元测试一.选择题：(每小题3分,共30分)1. 下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有（）.A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )3、Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F 。

图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（）A ．2类B ．3类C ．4类D ．5类4、如图4，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的 ( ) A ．F B.G C.H D.K5、厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（）A ．14B ．41C ．13D ．34第5题第6题6、（06枣庄）在△MBN 中，BM=6,点A,C,D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC=∠MDA 则□ABCD 的周长是 ( ) A.24 B.18 C.16 D.127、下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81中,正确的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个图 4A第3题A B C D EFO B NA QPNMDCBADC B A8、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，CMBMAN AM =，下列结论正确的是（） A ．∆ABM ∽∆ACB ； B ．∆ANC ∽∆AMB ； C ．∆ANC ∽∆ACM ； D ．∆CMN ∽∆BCA第8题第9题第10题9、如图，要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（）A. 3次以上B. 3次C. 2次D. 1次10、(06淄博)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米二、填空题：（30分）11、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= .D CB ADCB ME BA第11题第12题第13题第14题 12、如图，将①∠BAD = ∠C ；②∠ADB = ∠CAB ；③BC BD AB ⋅=2；④DBABAD CA =；⑤DA AC BA BC =；⑥ACDABA BC =中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是__________，结论是_______.（注：填序号）13、如图，Rt ∆ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________。

人教版初3数学9年级下册第27章(相似)单元测试卷(含答案)

人教版数学九年级下册《第二十七章相似》单元测试一、单选题（本大题共12小题，共36分）1.（3分）如图，两条直线被三条平行线所截，若AC=8，CE=12，BD=6，则DF的值是( )A. 15B. 14C. 10D. 92.（3分）如图，在ΔABC中，DE//BC，AD=4，BD=2，AE=3，则AC的长是( )A. 32B. 6 C. 72D. 923.（3分）如图，点D、E分别在ΔABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE//AC的是( )A. ADDB =BECEB. BDAD=BEECC. ADAB=CEBED. BDBA=DEAC4.（3分）如图，在ΔABC中，DE//BC，ADBD=2，若AE=6，则EC的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 95.（3分）如图，ΔABC与ΔDEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，则ΔABC 与ΔDEF的面积比是( )A. 1：2B. 2：5C. 2：5D. 1：36.（3分）如图▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE平分∠DCB，交AB于点E，交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连结OE，下列结论：①OE⊥AC；②S▱ABCD=AC ⋅BC；③OE：AC=3：6；④SΔAOE=3SΔOEF.其中结论正确的个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是( )A. EAAB =AFBCB. EAAB=FDAFC. AFBC=EACDD. EAEB=AFAD8.（3分）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是( )A. 121.17mmB. 43.62mmC. 43.36mmD. 29.08mm9.（3分）在小孔成像问题中，如图所示，若点O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则物体AB 的长是像CD 长的( )A. 2倍B. 3倍C. 12倍D. 13倍10.（3分）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA =3OD ，OB =3OC )，然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD =3cm ，则AB 的长是( )A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm11.（3分）如图，已知ΔABC 与ΔDEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD =1：3，且ΔABC 的周长为2，则ΔDEF 的周长为( )A. 4B. 6C. 8D. 1812.（3分）点D 、E 、F 分别是ΔABC (AB >AC )各边的中点，下列说法中错误的是( )A. EF=12BC B. EF与AD互相平分C. ΔAFE是ΔABC的位似图形D. BDDC =EDAC二、填空题13.（3分）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC，SΔABDSΔBCD =12，则SΔBOCSΔBCD=______.14.（3分）如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，作EF⊥AE交CD于F ，则CF=______.15.（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AC的中点，点E在BC 上，分别连接BD，AE交于点F.若∠BFE=45°，则CE的长是______________.16.（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量某建筑物的高度，已知标杆BE高1.5米，测得AB=1.8米，AC=9米，则建筑物CD的高是 ______米．17.（3分）如图，ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且SΔA1B1C1=3，则ΔABC的面积为 ______.三、解答题18.（8分）如图，在ΔABC中，D、E在边AB、AC上，DE//BC，AB=3，AC=4，EC=1，求AD的长度．19.（8分）如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． (1)若P，Q两点同时出发，几秒后可使ΔPQC的面积为8c m2？ (2)若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为35cm.20.（8分）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠ABC. (1)求证：ΔACD∽ΔABC； (2)若AD=2，AB=5.求AC的长．21.（8分）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE//BC.经测量BC=25米，BD=12米，DE=35米，求河的宽度AB为多少米？22.（8分）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC. (1)作出ΔABC关于x轴对称的ΔA′B′C′； (2)以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出ΔA′B′C′的位似图形ΔA′′B′′C′′，使ΔA′B′C′与ΔA′′B′′C′′的位似比为1：2； (3)若ΔABC的面积为3.5平方单位，求出ΔA′′B′′C′′的面积．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：∵a//b//c， ∴ACCE =BDDF， ∴812=6DF， ∴DF=9，故选：D. 利用平行线分线段成比例定理求解即可．此题主要考查平行线分线段成比例定理，解答该题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．2.【答案】D;【解析】解：∵DE//BC， ∴ADDB =AEEC， ∴42=3EC， ∴EC=1.5， ∴AC=AE+EC=3+1.5=4.5，故选：D. 利用平行线分线段成比例定理求解即可．此题主要考查平行线分线段成比例定理，解答该题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．3.【答案】B;【解析】解：A.因为ADDB =ECBE，所以DE//AC，故A不符合题意； B.因为BDAD =BECE，所以DE//AC，故B符合题意； C.因为ADAB =CEBC，所以DE//AC，故C不符合题意； D.因为BDAB =BEBC，所以DE//AC，故D不符合题意；故选：B. 根据平行线分线段成比例判断即可．此题主要考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解答该题的关键．4.【答案】A;【解析】解：∵DE//BC，ADBD=2， ∴AEEC =ADBD=2， ∵AE=6， ∴6EC=2， ∴EC=3. 故选：A. 根据平行线分线段成比例定理即可求解．此题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：由题意可得：AB=22，AC=2，BC=10，DE=5，EF=25，DF =5， ∴ACDE =ABEF=BCDF=25=105， ∴ΔABC∽ΔEFD， ∴SΔABCSΔEFD =(ACDE)2=25，故选：B. 通过证明ΔABC∽ΔEFD，可求解．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵CE平分∠BCD交AB于点E， ∴∠DCE=∠BCE=60° ∴ΔCBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=∠ECA=30°， ∴AE=EC， ∵O是▱ABCD的对角线AC、BD的交点， ∴AO=CO， ∴OE⊥AC，故①正确； ∵AC⊥BC， ∴S▱ABCD=AC⋅BC，故②正确，在RtΔACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=3， ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=12BC， ∴OE：AC=12BC3BC， ∴OE：AC=3：6，故③正确； ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE//BC， ∴ΔOEF∽ΔBCF， ∴CFEF=2：1， ∴SΔOCF：SΔOEF=CFEF=2， ∴SΔOCF=2SΔOEF， ∵SΔOCF=SΔAOE， ∴SΔAOE=2SΔOEF. 故④错误．故选：C. 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出ΔCBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD =∠CAB=∠ECA=30°，得出AE=CE，O为AC中点，所以OE⊥AC，故①正确；由AC ⊥BC，得到S▱ABCD=AC⋅BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=3BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC，于是得到OE：AC=3：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到CFEF=2，求得SΔOCF=2SΔOEF；故④错误．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ΔBCE是等边三角形，OE是ΔABC的中位线是关键．7.【答案】D;【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD//BC， ∴ΔEAF∽ΔEAB， ∴EAEB =AFBC，AFBC=EAEB， ∴A、C不符合题意； D符合题意； ∵AB//CD， ∴ΔAEF∽ΔCDF， ∴AECD =AFFD， ∵AB=CD， ∴AEAB =AFFD， ∴B不符合题意；故选：D. 由四边形ABCD是平行四边形，推得AB=CD，AD//BC，AB//CD，得ΔEAF∽ΔEAB，ΔAEF∽ΔCDF，推比例线段即可判断是否符合题意．此题主要考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．8.【答案】A;【解析】解：如图，依题意得ΔOAB∽ΔOCD 则CDAB =DOBO，即72.7b =53，解得：b≈121.17. 故选：A. 如图，易得ΔOAB∽ΔOCD，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论．此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．9.【答案】B;【解析】解：由题意知，ΔABO∽ΔDCO， ∴ABCD =186=3， ∴物体AB的长是像CD长的3倍，故选：B. 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解答该题的关键．10.【答案】A;【解析】解：∵OA=3OD，OB=3CO， ∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC， ∴ΔAOB∽ΔDOC， ∴AOOD =ABCD=31， ∴AB=3CD， ∵CD=3cm， ∴AB=9cm，故选：A. 首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．此题主要考查相似三角形的应用，解答该题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．11.【答案】B;【解析】解：∵ΔABC与ΔDEF位似，点O为位似中心． ∴ΔABC∽ΔDEF，AC：DF=OA：OD=1：3， ∴ΔABC的周长：ΔDEF的周长=1：3， ∴ΔDEF的周长为3×2=6. 故选：B. 利用位似的性质得ΔABC∽ΔDEF，AC：DF=OA：OD=1：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．此题主要考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．12.【答案】D;【解析】解：A、∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是ΔABC的中位线， ∴EF=12BC，本选项说法正确，不符合题意； B、∵点D、E、F分别是ΔABC各边的中点， ∴EF//BC，ED//AC， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴EF与AD互相平分，本选项说法正确，不符合题意； C、∵EF//BC， ∴ΔAEF∽ΔABC， ∵ΔAFE和ΔABC对应点的连线都经过同一点、对应边平行， ∴ΔAFE是ΔABC的位似图形，本选项说法正确，不符合题意； D、∵ED//AC， ∴ΔBDE∽ΔBCA， ∴BDBC =EDAC，故本选项说法错误，符合题意；故选：D. 根据三角形中位线定理判断A；根据平行四边形的判定定理和性质定理判断B；根据位似图形的概念判断C；根据相似三角形的性质判断D. 此题主要考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念是解答该题的关键．13.【答案】23;【解析】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，如图： ∵AD//BC ，DM ⊥BC ，BN ⊥AD ， ∴四边形BMDN 是矩形，DM =BN ， ∵S ΔABD SΔBCD =12， ∴12AD .BN 12BC .DM =12， ∴AD BC =12， ∵AD//BC ， ∴OD OB =AD BC =12， ∴OB BD =23， ∴S ΔBOCS ΔBCD =23，故答案为：23. 过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，由四边形BMDN 是矩形，可得DM =BN ，AD BC =12，根据AD//BC ，可得OD OB =AD BC =12，OB BD =23，即可得到S ΔBOCS ΔBCD =23. 此题主要考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同(等)底三角形面积比等于高之比，同(等)高的三角形面积比等于底之比是解答该题的关键．14.【答案】1;【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC =CD =4，∠B =∠C =90°， ∵AE ⊥EF ， ∴∠AEF =90°， ∴∠BAE +∠AEB =90°，∠AEB +∠FEC =90°， ∴∠BAE =∠FEC ， ∴ΔABE ∽ΔECF ， ∴AB EC =BE CF ， ∵AB =2BE =2EC =4， ∴BE=EC=2， ∴CF=1，故答案为：1. 证明ΔABE∽ΔECF，利用相似三角形的性质解决问题即可．此题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．15.【答案】3011;【解析】16.【答案】7.5;【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB//DC， ∴ΔABE∽ΔACD， ∴ABAC =BECD， ∵BE=1.5米，AB=1.8米，AC=9米， ∴1.89=1.5CD，解得，DC=7.5，即建筑物CD的高是7.5m，故答案为：7.5. 根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．17.【答案】12;【解析】解：∵ΔABC和ΔA1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴A1C1//AC， ∴ΔOA1C1∽ΔOAC， ∴A1C1AC =OC1OC=12， ∴ΔABC和ΔA1B1C1的面积比为1：4， ∵SΔA1B1C1=3， ∴SΔABC=4×3=12，故答案为：12. 根据位似变换的概念得到A1C1//AC，进而证明ΔOA1C1∽ΔOAC，根据相似三角形的性质求出A1C1AC =12，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．此题主要考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据题意求出ΔABC和ΔA1 B1C1的面积比是解答该题的关键．18.【答案】解：∵DE∥BC， ∴AD AB =AE AC， ∵AB=3，AC=4，EC=1， ∴AD3=24，解得：AD=32．;【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．此题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解答该题的关键．19.【答案】解：P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP=6-x，则CQ=2x，（1）△PQC的面积为8c m2，即12×2x（6-x）=8，解得x=2或4，故2秒或4秒后△PQC的面积为8c m2；（2）PQ的长度为35cm．即（2x）2+（6-x）2=45，解得x=3或x=-35（舍去），故3秒后PQ的长度为35cm．;【解析】 P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP=6−x，则CQ=2x，根据题目中的要求解x的值即可解题．此题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了一元二次方程的求解，本题中列出关于x的方程并求解是解答该题的关键．20.【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴AC AB =AD AC ， ∴AC 2=AD•AB ， ∵AD=2，AB=5， ∴AC 2=10， ∴AC=10．;【解析】 (1)根据两角相等的两个三角形相似证明即可； (2)利用(1)的结论可得相似三角形的对应边成比例即可解答．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解答该题的关键．21.【答案】解：∵BC ∥DE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴BC DE =AB AD ，即2535=AB AB +12， ∴AB=30．答：河的宽度AB 为30米．;【解析】先证明ΔABC ∽ΔADE ，利用相似比得到BC DE =AB AB +BD ，然后根据比例的性质求AB 的长度．此题主要考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出ΔABC ∽ΔADE 是解答该题的关键．22.【答案】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，△A″B″C″为所作；（3）∵△A'B'C'∽△A″B″C″且位似比为1：2，△ABC 的面积为3.5平方单位， ∴△A″B″C″的面积=4×3.5=14（平方单位）．;【解析】 (1)画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1即可； (2)延长A′C 到A′′使A′′C =12A′C ，延长B′C 到B′′使B′′C =12B′C ，从而得到ΔA′′B′′C′′； (3)根据相似三角形的性质即可得到结论．此题主要考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换。

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第27章单元测试卷
(时间45分钟，满分100分)
一．选择题(每题４分，共24分)
1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（）
A.ΔABC 放大后角是原来的2倍
B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍
C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍
D.以上的命题都不对
2．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m ，他在地面上的影长为2.1m ．若小芳比爸爸矮0.3m ，则
她的影长为（）．
A ．1.3m
B ．1.65m
C ．1.75m
D ．1.8m |
`
"
3．如图所示，图中共有相似三角形( )
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．如图，△ABC 中，∠B=900
，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ´处，并且C ´D∥BC，
则CD 的长是( )
Ａ．409 Ｂ．509 Ｃ．154 Ｄ．254
5．如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在( )
A ．P 1处
B ．P 2处
C ．P 3处
D ．P 4处
—
#
6．如图，在正方形
ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1
4
CF CD =，下列结论：①
30BAE ∠=，
②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
二．填空题(每题４分，共２4分)
7．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2
，则这个地
区的实际周长_________m ，面积是___________m 2
8．如图，在Ｒt △ABC 中,∠C=90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个》
条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是________________________.
9．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13
，把线段AB 缩小后得到线段A /
B /
，则A /B /
的长度等于____________．
10．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是______________.
、
~
11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
[
O D
C
B
A
P
A ?
B
C
F D E
· /
P
北岸南岸
2
o y
x 2.1m
太阳光线
E D
C
B
A (第5题) (第6题)
(第2题)
(第3题)
(第4题)
C
(第8题)
(第10题)
(第10题)
(第12题)
、
12．某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图).则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是____________________. 三．解答题(每题10分，共40分)
13．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点0；
(2)求出△ABC 与△A′B′C′的位似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于．
&
14．在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似并说明为什么（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似证明你的结论．
|
15．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .
（1）求证：△CEB ∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.
'
16．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′
的位置，
(1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /
是菱形
(2)若重叠部分的四边形B /EDF /
面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离． ,
四．探究题：（12分） —
17．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，1
2BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：
（1）按要求填表
n
1 2
3 n x
>
（2）第n 个正方形的边长n x = ；
（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p q ，，，的关系．
|
,
A B
'
C D
E
F
F E /C B /
A
/
D B B C A
（
2x
3x
1x
》
￥
答案或提示
１．B ２．C ３．C ４．A ５．C ６．B ７．2400，4105
8．∠AED=90°,
∠ADE=90°,AE ∶AC=AD ∶AB,AE ∶AB=AD ∶AC 9．
5
3
10．78 11． 12．(-2a,-2b) 13．(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1：2．(3)略． 14．（1）不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，90D ∠=°，
32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴
，．AB AC
DE DF
≠
∴．Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
N
M F
E D
C B
A
具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．
由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．
BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°，FDN C ∠=∠∴． ∴AMC FND △∽△． 15．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB ∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD
（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD
=
∴CD=2
252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 16．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´
∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形
∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´
=FD
∴四边形B ´
EDF 为菱形.
(2)∵菱形B ´
EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等又对应边成比例
∴此两个菱形相似 ∴
12B D BD '=∴2
212
B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´21 17．（1）2483927，，（2）23n
⎛⎫
⎪⎝⎭
．（3）m n p q x x x x = 22223333m
n
p
q
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2233m n
p q
++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．m n p q ∴+=+。