人教版初一数学下册相交线与平行线的动点问题

第 2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

第2讲相交线与平行线动点提高题知识点:1、平行线得判定:①同位角相等,两直线平行。

②内错角相等,两直线平行。

③同旁内角互补,两直线平行。

2、推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。

3、平行线得性质:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。

4、平移:①平移前后得两个图形形状大小不变,位置改变。

②对应点得线段平行且相等。

平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定得距离,图形得这种移动叫做平移平移变换,简称平移。

对应点:平移后得到得新图形中每一点,都就是由原图形中得某一点移动后得到得,这样得两个点叫做对应点。

动点型问题就是最近几年中考得一个热点题型,所谓“动点型问题”就是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动得一类开放性题目、解决这类问题得关键就是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题、关键:动中求静、在变化中找到不变得性质就是解决数学“动点”探究题得基本思路,这也就是动态几何数学问题中最核心得数学本质。

典型例题例1、(1)如图(1),EF⊥GF,垂足为F,∠AEF=150°,∠DGF=60°. 试判断AB与CD得位置关系,并说明理由.(2)如图(2),AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=147°,∠C=______.(直接给出答案)(3)如图(3),CD∥BE,则∠2+∠3∠1=______.(直接给出答案)(4)如图(4),AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:BE∥CF.解(1):AB∥CD.理由:如答图,过点F作FH∥AB,则∠AEF+∠EFH=180°.∵∠AEF=150°,∴∠EFH=30°,又∵EF⊥GF,∴∠HFG=90°30°=60°.又∵∠DGF=60°,∴∠HFG=∠DGF,∴HF∥CD,则AB∥CD;(2)延长ED交BC于点F.∵AB∥DE,∴∠BFE=∠ABC=70°,则∠CFE=180°∠BFD=110°,∴∠C=∠CDE∠CFE=147°110°=37°,故答案就是:37°;(3)延长DC交AB于点F,作△ACF得外角∠4.∵CD∥BE,∴∠DFB=∠3,又∵∠DFB+∠2+∠4=360°,∴∠2+∠3+∠4=360°,即∠2+∠3=360°∠4.∴∠2+∠3∠1=360°∠4∠1=360°180°=180°,故答案就是:180°;(4)延长BE交直线CD于点G.∵AB∥CD,∴∠ABE=∠BGD,又∵∠ABE=∠DCF,∴∠BGF=∠DCF,∴BE∥CF.例2、平面内得两条直线有相交与平行两种位置关系.(1)如图1若AB∥CD点P在AB、CD外部求证:∠BPD=∠B∠D;(2)将点P移到AB、CD内部如图2(1)中得结论就是否成立若成立说明理由:若不成立则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系不必说明理由;(3)在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系并证明您得结论;(4)在图4中若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°则n=______.解(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠BOD,而∠BOD=∠BPD+∠D,∴∠B=∠BPD+∠D,即∠BPD=∠B∠D;(2)(1)中得结论不成立,∠BPD=∠B+∠D.作PQ∥AB,如图2,∵AB∥CD,∴AB∥PQ∥CD,∴∠1=∠B,∠2=∠D,∴∠BPD=∠B+∠D;(3)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.理由如下:连结QP并延长到E,如图3,∵∠1=∠B+∠BQP,∠2=∠D+∠DQP,∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP,∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD;(4)连结AG,如图4,∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=(52)×180°=6×90°,∴n=6.故答案为6.例3、如图,直线AC ∥BD ,连结AB ,直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分。

人教版七年级下数学第五章-相交线与平行线-知识点+考点+典型例题

【知识重点】1.两直线订交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。

3.对顶角（ 1）定义：有一个公共极点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线，这样的两个角互为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。

（ 2）对顶角的性质：对顶角相等。

4．垂直定义：当两条直线订交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线相互垂直。

5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。

6．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥ b”7．平行公义及推论（1）平行公义：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

注：（1）平行公义中的“有且只有”包括两层意思：一是存在性；二是独一性。

（2）平行拥有传达性，即假如a∥ b，b∥ c，则 a∥ c。

8．两条直线的地点关系：在同一平面内，两条直线的地点关系有订交和平行。

9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判断（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（ 2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（ 4）假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；增补：（5）平行的定义；（在同一平面内）（ 6）在同一平面内，垂直于同向来线的两直线平行。

．．．．．．11.平移的定义及特点定义：将一个图形向某个方向平行挪动，叫做图形的平移。

特点：①平移前后的两个图形形状、大小完整同样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。

【典型例题】考点一：对有关观点的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公义的差别等例 1：判断以下说法的正误。

初中数学相交与平行-动点问题含答案

相交与平行-动点问题一．解答题（共20小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．5．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．6．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是______°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝______°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝______°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．7．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A ＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．8．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．9．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？10．如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）问题发现：如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系______；（2）拓展探究：如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；（3）问题解决：如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠P AC、∠PBD、∠APB之间的关系．11．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝______．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．12．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．13．如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由14．已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C直线b上，点D在线段BC上．（1）如图，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1＝∠2；（2）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点，点H在AC上，FQ平分∠AFD交AC于Q，设∠HFQ＝x°，（此时点D为线段BC上不与点B、C重合的任一点），问当α、β，x之间满足怎样的等量关系时，FH∥a？并以此为条件证明FH∥a．15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过______秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）16．将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明．（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转的过程中，能否使CD⊥AB？若能，求出此时∠AOC的度数；若不能，请说明理由．17．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝______．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）18．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．（1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，求∠ACB的度数；若不存在，请说明理由；（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由；（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE 位置关系．19．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．20．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝20°时，则∠EOC＝______度；∠FOD＝______度．（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．相交与平行-动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．2．解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．3．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此时AC与BC共线，不符合题意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如图4中，当∠ACB＝120°时，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，综上所述，满足条件的t的值为140或100．故答案为：140或100．4．解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如图3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．5．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．6．解：（1）如图1，①∵∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝24°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝24°；②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°×3＝108°；当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝24°，∴∠BAD＝78°，∠AOB＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°﹣24°﹣78°＝54°，故答案为：①24°；②108，54；（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．∵AB⊥OM，∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝24°，∠ABO＝66°，①当AC在AB左侧时：若∠BAD＝∠ABD＝66°，则∠OAC＝90°﹣66°＝24°；若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣66°）＝57°，则∠OAC＝90°﹣57°＝33°；若∠ADB＝∠ABD＝66°，则∠BAD＝48°，故∠OAC＝90°﹣48°＝42°；②当AC在AB右侧时：∵∠ABE＝114°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣114°）＝33°，则∠OAC＝90°+33°＝123°．综上所述，当x＝24、33、42、123时，△ADB中有两个相等的角．7．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．∵AM∥BN，∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．∴∠DCN＝72°．∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．（3）不发生变化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC＝∠EBC，∴∠ADB＝∠AEB，∴＝．8．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，∴∠ABC＝∠ABN＝30°．9．解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1＝∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2＝∠DPE，∴∠3＝∠1+∠2，即∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2＝∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1＝∠EPC，∵∠3＝∠EPC﹣∠EPD，∴∠3＝∠1﹣∠2，即∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB；（3）∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PF A是△PCF的外角，∴∠PF A＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2＝∠PF A，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠3＝∠2﹣∠1，即∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．10．证明：（1）如图①，延长BP交AC于E，∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，∴∠3＝∠AEP，∴l1∥l2，故答案为：l1∥l2；（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，理由是：∵l1∥l2，∴∠CEP＝∠3∵∠CEP＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝∠3；（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠P AC．理由：过点P作PF∥l1，∠FP A＝∠1．∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠FP A＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3；即∠APB+∠PBD＝∠P AC．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．12．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．又∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．（3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°．理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝180°．13．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．如图，过点B作BP∥EF，则∠1＝∠ABP．∵EF∥GH，∴BP∥GH，∴∠2＝∠PBC，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．14．（1）证明：∵a∥b，∴∠2＝∠ABD．∵AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∴∠BAC＝90°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴AB∥DE，∴∠ABD＝∠1，∴∠2＝∠1；（2）解：当β﹣α＝4x时，FH∥a．理由：∵a∥b，∴∠α＝∠ABD．∵∠AFD是△BDF的外角，∴∠ABD+∠β＝∠AFD，即α+β＝∠AFD．∵FQ平分∠AFD交AC于Q，∴∠AFQ＝∠DFQ＝（α+β）．∵∠AFQ＝∠AFH+x＝∠DFH﹣x，∴∠DFQ﹣∠AFH＝2x．∵β﹣α＝4x，∴α+β﹣∠AFH＝β﹣α，∴∠AFH＝α，∴FH∥a．15．解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）如图②，∵∠CON＝5∠DOM∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，∴∠DOM＝30°∵∠OMN＝60°，∴MN⊥OD，∴MN∥BC，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）＝75°，或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，所以，t＝75°÷5°＝15秒，或t＝255°÷5°＝51秒；所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，故答案为：9．16．（1）解：如图1，∠AOC＝∠BOD，理由是：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD；（2）如图2，DO⊥AB，证明：∵CO∥AB，∠COD＝90°，∴∠NMD＝∠COD＝90°，∴DO⊥AB；（3）如图3，解：能使CD⊥AB，理由是：∵CD⊥AB，∴∠ANQ＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AQN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CQO＝∠AQN＝60°，∵∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠CQO﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．17．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，故α+β＝150°＝∠EQF，故答案为150°；②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°；③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），∠Q2018＝（）2018（α+β），故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．18．解：（1）存在，有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；②如下图，当CB平分∠ABN时，∵∠ABN＝90°+∠BAO，∵AC平分∠BAO，∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，∴∠ABE＝45°+∠CAB，∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，综上，∠ACB的度数为45°或135°；（2）如图②，∵∠AOB＝∠P＝90°，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠OAP+∠OBP＝90°，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，∵∠OBE+∠OEB＝90°，∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，∴∠OAD＝∠OEB，∴AD∥BE；（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，∴点P一直在以AB为直径的圆上，当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，理由是：∵∠OAP＝∠OBP，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠P AD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，∴∠P AD＝∠DBE，∵∠ADP＝∠BDG，∴∠APB＝∠AGB，∴AD⊥BE．19．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝19°48′，∴∠EOC＝90°﹣19°48′＝89°60°﹣19°48′＝70°12′，∠AOD＝180°﹣19°48′＝160°12′，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝×160°12′＝80°6′；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，10t﹣4t＝360﹣150，t＝35，答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒；（3）设射线OE转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+4t＝360﹣150或10t﹣（360﹣150）+4t＝90或360﹣10t＝4t﹣120，t＝或或．答：射线OE转动的时间为t＝秒或秒或秒．20．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝20°，∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，∠AOD＝180°﹣20°＝160°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝＝80°；故答案为：70，80；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，10t+8t＝150，t＝，答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒；（3）设射线OE'转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150，t＝或或或．答：射线OE'转动的时间为秒或秒或秒或秒．。

人教版七年级数学下册第五单元平行线中的动点问题教学设计

五、作业布置
为了巩固学生对平行线中动点问题的理解和应用，作业布置将遵循分层设计、适度适量的原则，旨在让学生在课后能够自主复习、深化理解和提升解题能力。
1.基础作业：
-完成课本上相关的练习题，重点是对动点问题的基础知识和基本解题方法的运用。
-选择两道与平行线动点问题相关的题目，要求学生详细写出解题过程，包括问题的分析、模型的建立、方程的列出和求解步骤。
人教版七年级数学下册第五单元平行线中的动点问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平行线的性质，特别是平行线之间的距离概念，并能够在实际情境中运用。
-学生能够识别平行线之间的距离，并运用到几何图形的求解中。
-学生能够运用平行线的性质解决实际问题，例如地图上的最短路径问题。
2.学会使用动点问题的解题方法，通过画图、列方程和求解等步骤，解决与平行线相关的动点问题。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的耐心和细心，提高学生对数学学习的兴趣。
-学生在学习中体会到解题的快乐，增强学习数学的自信心。
-学生通过解决实际问题，认识到数学与生活的密切联系。
2.培养学生团队合作意识和批判性思维。
-学生在小组合作中学会倾听他人意见，尊重不同解题方法。
-学生敢于质疑，勇于提出不同的观点，发展批判性思维。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：理解平行线中动点问题的解题思路，掌握求解动点问题的方法和步骤。
-学生需要能够从实际问题中抽象出动点模型，并运用几何和代数知识进行求解。
-强调对平行线性质的理解，以及如何将这些性质应用到动点问题的解决中。
2.难点：建立动态问题与静态图形之间的联系，以及如何将动态问题转化为方程求解问题。

平行线动点问题的解题技巧

平行线动点问题的解题技巧引言平行线动点问题是数学中常见的一类几何问题，涉及到平行线和动点的运动关系。

解决这类问题需要掌握一定的解题技巧和方法。

本文将详细介绍平行线动点问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

平行线的基本性质在讨论平行线动点问题之前，我们首先需要了解平行线的基本性质。

平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。

以下是平行线的几个重要性质： 1. 平行线的斜率相等：如果两条线的斜率相等，那么它们是平行线。

2. 平行线的距离相等：如果从一条线上任取一点，再从另一条线上任取一点，连接这两点并与两线垂直，那么这条垂线的长度对于两条平行线来说是相等的。

3. 平行线的交角为零：两条平行线之间的夹角为零，也就是说，它们相互平行。

解题思路解决平行线动点问题的一般思路如下： 1. 理清问题的要求和已知条件。

2. 画出清晰的图形，标出已知条件和需要求解的量。

3. 借助平行线的性质，利用已知条件进行分析和推导。

4. 根据已知条件和推导出的结论，建立方程或利用几何性质求解未知量。

5. 验证答案的合理性，并对所得结论进行分析和总结。

解题技巧投影法投影法是解决平行线动点问题常用的一种技巧。

它利用平行线的性质，通过对动点的投影进行分析，推导出解析式或几何关系。

下面以一个例子来说明投影法的应用。

例题：平面上有两条平行线l和m，动点P在直线l上，过P分别作m与直线l的两条垂线，分别交l于A和B，求线段AB的最短长度。

解题思路及步骤： 1. 这个问题涉及到了平行线和动点的关系，首先我们需要画出问题所描述的图形，标示出已知和未知量。

2. 由题意可知，线段AB的最短长度等于线段PA与PB的距离之差。

因此，首先需要求解线段PA和PB的长度。

3. 利用垂线的性质，我们可以知道PA是BP的投影，PB是AP的投影。

由此可得线段PA和PB的长度。

4. 然后，根据所得的线段PA和PB的长度，计算线段AB的最短长度。

人版七年级下数学第五章_相交线与平行线_知识点+考点+典型例题(K12教育文档)

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第五章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2。

邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角.3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角（或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角）。

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。

5。

垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。

6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“∥"表示,如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.注:（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性.(2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c,则a∥c。

8．两条直线的位置关系:在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

9．平行线的性质：（1)两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行,内错角相等（在同一平面内)(3）两直线平行,同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行;（在同一平面内）（3）同旁内角互补,两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；补充：(5)平行的定义；（在同一平面内)（6)在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。

初中数学相交与平行-动点问题含答案

相交与平行-动点问题一．解答题（共20小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．5．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．6．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是______°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝______°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝______°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．7．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A ＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．8．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．9．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？10．如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）问题发现：如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系______；（2）拓展探究：如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；（3）问题解决：如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠P AC、∠PBD、∠APB之间的关系．11．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝______．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．12．如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置．（1）若∠BOC＝60°，如图①，猜想∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝70°，如图②，猜想∠AOD的度数；（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由．13．如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由14．已知直线a∥b，点A在直线a上，点B、C直线b上，点D在线段BC上．（1）如图，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1＝∠2；（2）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点，点H在AC上，FQ平分∠AFD交AC于Q，设∠HFQ＝x°，（此时点D为线段BC上不与点B、C重合的任一点），问当α、β，x之间满足怎样的等量关系时，FH∥a？并以此为条件证明FH∥a．15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过______秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）16．将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明．（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转的过程中，能否使CD⊥AB？若能，求出此时∠AOC的度数；若不能，请说明理由．17．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝______．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）18．如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．（1）如图①，射线AC平分∠OAB，是否存在点C，使得BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），若存在，求∠ACB的度数；若不存在，请说明理由；（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试简要说明AD∥BE的理由；（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究，如果不变，直接回答；如果变化，画出图形并直接写出AD、BE 位置关系．19．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．20．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝20°时，则∠EOC＝______度；∠FOD＝______度．（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．相交与平行-动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．2．解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．3．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60，此时AC与BC共线，不符合题意，或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如图4中，当∠ACB＝120°时，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，综上所述，满足条件的t的值为140或100．故答案为：140或100．4．解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如图3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．5．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．6．解：（1）如图1，①∵∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝24°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝24°；②当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°×3＝108°；当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝24°，∴∠BAD＝78°，∠AOB＝24°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°﹣24°﹣24°﹣78°＝54°，故答案为：①24°；②108，54；（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．∵AB⊥OM，∠MON＝48°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝24°，∠ABO＝66°，①当AC在AB左侧时：若∠BAD＝∠ABD＝66°，则∠OAC＝90°﹣66°＝24°；若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣66°）＝57°，则∠OAC＝90°﹣57°＝33°；若∠ADB＝∠ABD＝66°，则∠BAD＝48°，故∠OAC＝90°﹣48°＝42°；②当AC在AB右侧时：∵∠ABE＝114°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣114°）＝33°，则∠OAC＝90°+33°＝123°．综上所述，当x＝24、33、42、123时，△ADB中有两个相等的角．7．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．∵AM∥BN，∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．∴∠DCN＝72°．∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．（3）不发生变化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC＝∠EBC，∴∠ADB＝∠AEB，∴＝．8．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，∴∠ABC＝∠ABN＝30°．9．解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1＝∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2＝∠DPE，∴∠3＝∠1+∠2，即∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2＝∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1＝∠EPC，∵∠3＝∠EPC﹣∠EPD，∴∠3＝∠1﹣∠2，即∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB；（3）∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PF A是△PCF的外角，∴∠PF A＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2＝∠PF A，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠3＝∠2﹣∠1，即∠CPD＝∠PDB﹣∠PCA．10．证明：（1）如图①，延长BP交AC于E，∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，∴∠3＝∠AEP，∴l1∥l2，故答案为：l1∥l2；（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，理由是：∵l1∥l2，∴∠CEP＝∠3∵∠CEP＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝∠3；（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠P AC．理由：过点P作PF∥l1，∠FP A＝∠1．∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠FP A＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3；即∠APB+∠PBD＝∠P AC．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．12．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．又∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD＝360°，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝70°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°．（3）猜想：∠AOD+∠BOC＝180°．理由：如图①∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝180°．13．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．如图，过点B作BP∥EF，则∠1＝∠ABP．∵EF∥GH，∴BP∥GH，∴∠2＝∠PBC，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．14．（1）证明：∵a∥b，∴∠2＝∠ABD．∵AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，∴∠BAC＝90°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴AB∥DE，∴∠ABD＝∠1，∴∠2＝∠1；（2）解：当β﹣α＝4x时，FH∥a．理由：∵a∥b，∴∠α＝∠ABD．∵∠AFD是△BDF的外角，∴∠ABD+∠β＝∠AFD，即α+β＝∠AFD．∵FQ平分∠AFD交AC于Q，∴∠AFQ＝∠DFQ＝（α+β）．∵∠AFQ＝∠AFH+x＝∠DFH﹣x，∴∠DFQ﹣∠AFH＝2x．∵β﹣α＝4x，∴α+β﹣∠AFH＝β﹣α，∴∠AFH＝α，∴FH∥a．15．解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）如图②，∵∠CON＝5∠DOM∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，∴∠DOM＝30°∵∠OMN＝60°，∴MN⊥OD，∴MN∥BC，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）＝75°，或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，所以，t＝75°÷5°＝15秒，或t＝255°÷5°＝51秒；所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，故答案为：9．16．（1）解：如图1，∠AOC＝∠BOD，理由是：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD；（2）如图2，DO⊥AB，证明：∵CO∥AB，∠COD＝90°，∴∠NMD＝∠COD＝90°，∴DO⊥AB；（3）如图3，解：能使CD⊥AB，理由是：∵CD⊥AB，∴∠ANQ＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AQN＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CQO＝∠AQN＝60°，∵∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠CQO﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．17．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，故α+β＝150°＝∠EQF，故答案为150°；②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°；③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），∠Q2018＝（）2018（α+β），故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．18．解：（1）存在，有两种情况：①当BC平分∠ABO时，如图1，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；②如下图，当CB平分∠ABN时，∵∠ABN＝90°+∠BAO，∵AC平分∠BAO，∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，∴∠ABE＝45°+∠CAB，∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，综上，∠ACB的度数为45°或135°；（2）如图②，∵∠AOB＝∠P＝90°，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠OAP+∠OBP＝90°，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，∵∠OBE+∠OEB＝90°，∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，∴∠OAD＝∠OEB，∴AD∥BE；（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，∴点P一直在以AB为直径的圆上，当P在直径AB的上方时，如图2，有AD∥BE，当P在直径AB的下方时，如图3，有AD⊥BE，理由是：∵∠OAP＝∠OBP，∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，∴∠P AD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，∴∠P AD＝∠DBE，∵∠ADP＝∠BDG，∴∠APB＝∠AGB，∴AD⊥BE．19．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝19°48′，∴∠EOC＝90°﹣19°48′＝89°60°﹣19°48′＝70°12′，∠AOD＝180°﹣19°48′＝160°12′，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝×160°12′＝80°6′；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，10t﹣4t＝360﹣150，t＝35，答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒；（3）设射线OE转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+4t＝360﹣150或10t﹣（360﹣150）+4t＝90或360﹣10t＝4t﹣120，t＝或或．答：射线OE转动的时间为t＝秒或秒或秒．20．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝x＝20°，∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，∠AOD＝180°﹣20°＝160°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD＝∠AOD＝＝80°；故答案为：70，80；（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，10t+8t＝150，t＝，答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒；（3）设射线OE'转动的时间为t秒，由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150，t＝或或或．答：射线OE'转动的时间为秒或秒或秒或秒．。

第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题(汇编)

第2讲相交线与平行线动点提高题知识点：1、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

3、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。

②对应点的线段平行且相等。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

典型例题例1.（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD 的位置关系，并说明理由．（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案）（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．解（1）：AB∥CD．理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°，又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．又∵∠DGF=60°，∴∠HFG=∠DGF，∴HF∥CD，则AB∥CD；（2）延长ED交BC于点F．∵AB∥DE，∴∠BFE=∠ABC=70°，则∠CFE=180°-∠BFD=110°，∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°=37°，故答案是：37°；（3）延长DC交AB于点F，作△ACF的外角∠4．∵CD∥BE，∴∠DFB=∠3，又∵∠DFB+∠2+∠4=360°，∴∠2+∠3+∠4=360°，即∠2+∠3=360°-∠4．∴∠2+∠3-∠1=360°-∠4-∠1=360°-180°=180°，故答案是：180°；（4）延长BE交直线CD于点G．∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGD，又∵∠ABE=∠DCF，∴∠BGF=∠DCF，∴BE∥CF．例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1若AB∥CD点P在AB、CD外部求证：∠BPD=∠B-∠D；（2）将点P移到AB、CD内部如图2（1）中的结论是否成立若成立说明理由：若不成立则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系不必说明理由；（3）在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系并证明你的结论；（4）在图4中若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°则n=______．解（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，而∠BOD=∠BPD+∠D，∴∠B=∠BPD+∠D，即∠BPD=∠B-∠D；（2）（1）中的结论不成立，∠BPD=∠B+∠D．作PQ∥AB，如图2，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠1=∠B ，∠2=∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D ；（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ．理由如下：连结QP 并延长到E ，如图3，∵∠1=∠B+∠BQP ，∠2=∠D+∠DQP ，∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP ，∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ；（4）连结AG ，如图4，∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=（5-2）×180°=6×90°，∴n=6．故答案为6．例3.如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。

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