初一数学动点问题答题技巧与方法

初一数学动点问题答题技巧与方法关键：化动为静，分类讨论。

解决动点问题，关键要抓住动点，我们要化动为静，以不变应万变，寻找破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等）建立所求的等量代数式，攻破题局，求出未知数等等。

动点问题定点化是主要思想。

比如以某个速度运动，设出时间后即可表示该点位置；再如函数动点，尽量设一个变量，y尽量用x来表示，可以把该点当成动点，来计算。

步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解。

数轴上动点问题数轴上动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

为了便于大家对这类问题的分析，首先明确以下几个问题：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

问题引入：如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数．【考点】数轴；比较线段的长短．【专题】数形结合．【分析】（1）由于OA=OB，可得点B所对应的数是点A所对应的数的相反数；（2）先求出AB的距离，再根据速度=路程÷时间求解；（3）先求出AC的距离，得到点C所对应的数，由KC=KA，得到点K所对应的数．【解答】解：（1）∵OA=OB，点A所对应的数是﹣1，∴点B所对应的数是1；（2）[1﹣（1）]÷3=3÷3=1．故该点的运动速度每秒为1．（3）1×9=9，9÷2=4.5，∴点C所对应的数为﹣1+9=7，点K所对应的数为﹣1+4.5=3．故点C所对应的数为7，点K所对应的数为3．【点评】考查了数轴和路程问题，熟练掌握数轴上两点间的距离的求法，本题虽有几题，但基础性较强，难度不大．练习：1.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：单位长度/秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等？例题精讲：例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？⑵乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D 点对应的数。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？当堂练习：1．A 1，A 2，A 3，…A n （n 为正整数）都在数轴上，点A 1在原点O 的左边，且A 1O=1；点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1=2；点A 3在A 2的左边，且A 3A 2=3，点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3=4…依照上述规律，点A 2015，A 2016所表示的数分别为（ ）A ．1007，﹣1008；B ．﹣1007，1008；C ．1008，﹣1008；D ．-1008，1008。

2．已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2，4，P 为数轴上一动点，对应数为x⑴若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数。

⑵数轴上是否存在P 点，使P 点到A 、B 距离和为10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A 、点B 和P 点（P 点在原点）同时向左运动。

它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P 为AB 的中点？3．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3跳4个单位到K 4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是20，试求电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数．4．如图，已知数轴上有三点A,B,C,AB=21AC,点C 对应的数是200. （1）若BC=300，求点A 对应的数；（2）在(1)的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN （不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；（3）在(1)的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32QC-AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由.5．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度，已知动点A、B的速度比是1:4 （速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？（3）在(2)中A、B两点同时向数轴负方向运动时，另一动点C和点B同时从B点位置出发向A 运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？参考答案：1.【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，那么动点B的速度是4x单位长度/秒，然后根据3秒后，两点相距15个单位长度即可列出方程解决问题；（2）设x秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等，那么A运动的长度为x，B运动的长度为4x，然后根据（1）的结果和已知条件即可列出方程解题．【解答】解：（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，根据题意得3（x+4x）=15，∴15x=15，解得：x=1，则4x=4．答：动点A的速度是1单位长度/秒，动点B的速度是4单位长度/秒；标出A，B点如图，；（2）设x秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：3+x=12﹣4x，∴5x=9，∴x=答：秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等．【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．例1. 【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分甲应为于AB或BC 之间两种情况讨论即可求解；（2）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为34，可列出方程求解即可；（3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分甲应为于AB或BC之间两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）设x秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位．B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应位于AB或BC之间．①AB之间时：4x+（14﹣4x）+（14﹣4x+20）=40，x=2s；②BC之间时：4x+（4x﹣14）+（34﹣4x）=40，x=5s，（2）设xs后甲与乙相遇，4x+6x=34，解得：x=3.4s，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4 （3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C 点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间．①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40，解得y=2；②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40，解得y=5．①甲从A向右运动2秒时返回，设y秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同．甲表示的数为：﹣24+4×2﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×2﹣6y，依据题意得：﹣24+4×2﹣4y=10﹣6×2﹣6y，解得：y=7，相遇点表示的数为：﹣24+4×2﹣4y=﹣44（或：10﹣6×2﹣6y=﹣44），②甲从A向右运动5秒时返回，设y秒后与乙相遇．甲表示的数为：﹣24+4×5﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×5﹣6y，依据题意得：﹣24+4×5﹣4y=10﹣6×5﹣6y，解得：y=﹣8（不合题意舍去），即甲从A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为﹣44．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第（3）问注意分类思想的运用．例2. 【考点】有理数的混合运算．【分析】（1）求﹣20与100和的一半即是M；（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数；（3）此题是追及问题，可先求出P追上Q所需的时间，然后可求出Q所走的路程，根据左减右加的原则，可求出点D所对应的数．【解答】解：（1）M点对应的数是40；（2）28；它们的相遇时间是120÷（6+4）=12，即相同时间Q点运动路程为：12×4=48，即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）﹣260．P点追到Q点的时间为120÷（6﹣4）=60，即此时Q点起过路程为4×60=240，即从数﹣20向左运动240个单位到数﹣260．【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间．变式1：已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）则AB中点M对应的数是；（M点使AM=BM）（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动；①PQ多少秒以后相遇？②设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？【考点】数轴．【专题】探究型．【分析】（1）直接根据中点坐标公式求出M点对应的数；（2）①先求出AB的长，再设t 秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值即可；②由①中t的值可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数．【解答】解：（1）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100，∴=60；则AB中点M对应的数是100﹣60=40；故答案为：40．（2）①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100，∴AB=100+20=120，设t秒后P、Q相遇，∵电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，∴6t+4t=120，解得t=12秒；答：PQ经过12秒以后相遇；②∵由①可知，经过12秒P、Q相遇，∴此时点P走过的路程=6×12=72单位，∴此时C点表示的数为100﹣72=28．答：C点对应的数是28．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间距离的定义是解答此题的关键．变式2：已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为X．（1）若点P到点A、点B的距离相等，请直接写出点P对应的数X；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为18？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，说明理由．（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以18个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？【考点】数轴．【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．（2）根据当P在A的左侧以及当P在A的右侧分别求出即可；（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出x 的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，∴点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB=18（不可能有）当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=18，得x=﹣8；当P在A的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=18，得x=10．故点P对应的数为﹣8或10；（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=4+x，解得x=4．则18x=18×4=72．答：点P所经过的总路程是72个单位长度．【点评】本题考查了绝对值、路程问题．比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．例3. 【考点】一元一次方程的应用．【专题】行程问题；数形结合．【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据数轴即可确定点P对应的数；（2）①由于点P的速度小于点A的速度，所以点P不能超过点A，而P到点A、点B的距离相等，所以点B不能超过点P，设x分钟时点P到点A、点B的距离相等，那么AB此时的距离为（5x+4﹣20x），AP的距离为（5x+1﹣x），然后点P到点A，点B的距离相等即可列出方程解决问题．②当点B和点A重合时，也满足题意．【解答】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段AB的中点，∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，∴点P对应的数是1；（2）①∵点P的速度小于点A的速度，∴点P不能超过点A，∵P到点A、点B的距离相等．∴点B不能超过点P．设x分钟时点P到点A、点B的距离相等，根据题意得：=5x+1﹣x，解得：x=，即分钟时点P到点A、点B的距离相等．②当点B和点A重合时，设x分钟时点A、点B重合，则20x=5x+4，解得：x=，即分钟时点P到点A、点B的距离相等．答：当经过或分钟时，点P到点A，点B的距离相等【点评】此题比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．当堂练习：1. 【考点】数轴．【专题】规律型．【解答】解：根据题意得：A1=﹣1，A2=1，A3=﹣2，A4=2，…，当n为奇数时，An=﹣，当n为偶数时，An=，∴A2015=﹣=﹣1008．A2016=20162=1008，故选：D．【点评】此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．2. 【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）根据题意结合图形即可解决问题；（2）分点P在线段AB的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题．（3）根据三点的运动速度，准确表示出某一时刻三点对应的数，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵P为线段AB的三等分点，且点A、B的对应的数分别为﹣2，4，∴点P对应的数为0，2．（2）存在．设点P对应的数为x，∵P点到A点、B点距离之和为10，∴﹣2﹣x+4﹣x=10或x+2+x﹣4=10，解得：x=﹣4或x=6．（3）设经过t 分点P为AB的中点，由题意得：（﹣t﹣2）+（﹣2t+4）=2（﹣t），解得：t=2，即经过2分钟点P为AB的中点．【点评】该命题主要考查了一元一次方程在数轴方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，明确命题中的数量关系，正确列出方程来分析、解答．变式：已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，且a、b满足等式（a+9）2+|7﹣b|=0，P 为数轴上一动点，对应数为x．（1）求线段AB的长．（2）数轴上是否存在P点，使PA=3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若点M、点N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。