chap3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性与曲线凹凸性的判别法PPT课件
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
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例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
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如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
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将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
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y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
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x 3
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性第3章§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性燕列雅权豫西王兰芳李琪1. 函数单调性的判定法若定理1 设函数)(x f 0)(>'x f 则在I 内单调递增)(x f ,)0)((<'x f (递减) .证无妨设,,0)(I x x f ∈>'任取)(,2121x x I x x <∈由拉格朗日中值定理得))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ),(21x x ∈ξI>故.)()(21x f x f <这说明在I 内单调递增.)(x f 在开区间I 内可导,证毕三、函数的单调性与凹凸性yxo 说明:2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点. 例如,),(,3 2∞+-∞∈=x x y 332xy ='∞='=0x y 32xy =1) 驻点是函数单调区间可能的分界点.例如,2,(,)y x x =∈-∞+∞2,y x '=00='=x y yox3xy =),(,3∞+-∞∈=x x y 23xy ='00='=x y 2xy =yoxx =0是函数单调区间的分界点.而x =0不是函数单调区间的分界点.例1 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解12186)(2+-='x x x f )2)(1(6--=x x 令,0)(='x f 得2,1==x x x )(x f ')(x f )1,(-∞2001)2,1(),2(∞++-+21故)(x f 的单调增区间为(,1],-∞[2,);+∞)(x f 的单调减区间为[1,2].2xoy12注意:3x 1x 4x 2x 5x xa bo y41,x x 为极大点52,x x 为极小点3x 不是极值点1) 函数的极值是函数的局部性质.3) 函数的最值是函数的全局性质.2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数不存在的点.2. 函数极值的判定法由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.定理1(取得极值的充分条件),)(0的某邻域内连续在设函数x x f 且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当x x (1) )(x f '“左正右负”,;)(0取极小值在则x x f (2) )(x f '“左负右正”,.)(0取极大值在则x x f (证明略)例如,2,(,)y x x =∈-∞+∞3,(,)y x x =∈-∞+∞而容易验证x =0是的极小值点.x =0不是的极值点.例3 求函数32)1()(x x x f -=的极值.解1) 求导数23()f x x '=+132(1)3x x --?32553x x2) 求极值可疑点令,0)(='x f 得12;5x =令,)(∞='x f 得02=x 3) 列表判别x )(x f ')(x f ∞0520+-+33.0-)0,(-∞),0(52),(52∞+0=∴x 是极大值点，极大值为0)0(=f 是极小值点，极小值为52=x 33.0)(52-=f定义3. 曲线的凹凸与拐点PQ PQ 称曲线弧是凹凸弧的分界点都有切线，且切点这时也称曲线弧为凹弧称为拐点．定理2 (凹凸判定法))(x f (1) 在I 内,0)(>''x f 则在I 内图形是凹的;)(x f (2) 在I 内,0)(<''x f 则在I 内图形是凸的.)(x f +-设函数在区间I 上有OyPQ的,若其上每一点附近曲线总在切线的上方相应的函数称为凹二阶导数, 则（或凸）（或下方）．（或凸弧）,函数.（或凸）连续曲线上凹弧与例4 判断曲线4x y =的凹凸性.解,43x y ='212xy =''时，当0≠x ;0>''y ,0时=x ,0=''y 故曲线4x y =在),(∞+-∞上是凹的.说明:1) 若在某点二阶导数为0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=''x f 或不存在,但)(x f ''在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.号, 则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变xyo如下:例5 求曲线3xy=的拐点.解,3231='xy3592--=''xyxy''y)0,(-∞),0(∞+不存在+-因此点( 0 , 0 )为曲线3xy=的拐点.凹凸xx y 24362-='')(3632-=x x 例6 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解1) 求y ' ',121223x x y -='2) 求拐点可疑点坐标令0=''y 得,,03221==x x 对应3) 列表判别271121,1==y y )0,(-∞),0(32),(32∞+y ''x y 032+0012711-+故该曲线在(,0]-∞23[,)+∞及上是凹的,是凸的,点( 0 , 1 )及),(271132均为拐点.230[,]在上凹凹凸内容小结1. 可导函数单调性判别I x x f ∈>',0)()(x f 在I 上单调递增Ix x f ∈<',0)()(x f 在I 上单调递减3. 曲线凹凸与拐点的判别Ix x f ∈>'',0)(上向上凹在曲线I x f y )(=Ix x f ∈<'',0)(+–上向上凸在曲线I x f y )(=拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点2. 连续函数的极值导数为0 或不存在的点是可能的极值点取得极值的充分条件)(x f '过0x 由正变负)(0x f 为极大值)(x f '过0x 由负变正)(0x f 为极小值思考与练习]1,0[上,0)(>''x f 则,)1(,)0(f f '')0()1(f f -或)1()0(f f -的大小顺序是( ))0()1()0()1()(f f f f A ->'>')0()0()1()1()(f f f f B '>->')0()1()0()1()(f f f f C '>'>-)0()1()0()1()(f f f f D '>->'提示:利用)(x f '单调增加,)10()()0()1(<<'=-ξξf f f 及B设在。
第三章 第4节 函数单调性与曲线的凹凸性
f ( x ) 单调减少
f ( x ) f ( 0) 0
也就是
2 2 x x e x sin x (1 ) 0 e x sin x 1 12 2 2
1 3 例7. 证明 tan x x x 3
0 x
2
1 3 证：令 F ( x ) tan x x x 3 F ( x ) sec 2 x 1 x 2 tan 2 x x 2
8 8 如f ( x ) 2 x 在 ,2上f ( x ) 2 2 0 x x
7
（5）讨论函数单调性的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3. 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论 。 （6）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
10
例5
当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 1 x
证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x )
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
在[0,)上单调增加；
f ( 0 ) 0,
3
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
y 1 cos x 0, x (0,2 ), 解： y x sin x在[0,2 ]上单调增加。
例2 讨论函数y e x x 1的单调性.
高等数学-第三章 第4节 函数单调性与曲线的凹凸性
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
2
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
f (0) 0 f ( x) ex cos x 0
因此， f ( x)单调减少, f (x) f (0) 0
f (x)单调减少， f (x) f (0) 0
f(x)单调减少
f ( x) f (0) 0
也就是 ex
sin
x
(1
x2
)
0
2
ex sin x 1 x2 211
例7 证明x3 x2 x 1 0只有一个实根。 证明： 令f ( x) x3 x2 x 1
（2）如果函数在闭区间上为凹（凸）函数，则
最 大 （ 小 ） 值 在 边 界 达到 。
17
例2 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线的拐点.
15
证:
x1 , x2 [a, b], 利用一阶泰勒公式可得
f (x) f ( x1 x2 ) f ( x1 x2 )(x x1 x2 ) f ( ) (x x1 x2 )2
2
2
2
2
2
f
(x1)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(
x1
x1 x2 2
)
f
函数的单调性与曲线的凹凸性
x
1 ( , ) 5
1 5
(
1 ,0 ) 5
0 不存在 非拐点
(0,)
y(x)
y
－ 凸
拐点
0
1 6 1 ( , 3 ) 5 5 25
＋ 凹
＋ 凹
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
曲线的凹凸性反映的是不等式关系：
(1) 若曲线的图形是凹的（即 f ( x ) 0），则有
0 x 2k , ( k 0 , 1, 2 ,) f ( x ) 1 cos x 0 x 2k
f ( x ) 0 的点都是孤立点 , 所以 f ( x) 在 ( , )严格 单调增加.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
例2 讨论 y ( x 1)3 x 2 的凹凸性及拐点. y 解： y 5 x 2 x ,
3 3
1 4 10 3 2 3 2( 5 x 1) , y x x 4 9 9 9x 3
2 3
1 3
1 5
o
·
2 5
1 x
1 令y 0解得 x ; 当x 0时, y不存在. 现列表如下： 5
解.
D ( , ) . f ( x ) 32 , ( x 0) 3 x
当 x 0 时 , 导数不存在 .
y 3 x2
在 ( , 0) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 ( , 0 ] 上单调减少 ； f 在 ( 0 , ) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 [ 0 , ) 上单调增加 . f 单调区间为: ( , 0 ] , [ 0 , ) .
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
3.4函数的单调性与凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
§3-4曲线的凹凸性、拐点及函数图形的描绘
备课笔记
x O a c 图 3-11 由图 3-12 可以看出：对于凹的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜 率递增；对于凸的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜率递减．如果 y=f(x) 在区间(a，b)内可导，则 f(x)的单调性可以由 f(x)的符号确定．因 此可以利用函数 y=f(x)的二阶导数 f(x)的符号来判定曲线的凹凸性． y b
备课笔记
1 O 2 x
图 3-14 三、 函数图形的描绘 借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个 区间上下降，在什么地方有极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数 图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点.知道了函数 图形的升降、凹凸以及极值点和拐点后，也就可以掌握函数的性态，并把函 数的图形画得比较准确. 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：
y 12 x3 12 x 2 ，
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ) . 3
无锡职业技术学院 解方程 y 0 ，得 x1 0, x2
备课笔记
2 . 3
2 把 函 数 的 定 义 域 ( , ) 分 成 三 个 部 分 区 间 ： 3 2 2 (, 0],[0, ],[ ) . 3 3 x1 0, x2
( x0 , f ( x0 )) 是拐点，当两侧的符号相同时，点 ( x0 , f ( x0 )) 不是拐点．
强调 1.列表讨论曲线的凹凸性、拐点； 2.拐点要用坐标形式 ( x0 , f ( x0 )) 表示． 例3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的凹凸区间及拐点．
4 3 4 3
解：函数 y 3 x 4 x 1 的定义域为 ( , ) .
高数 3-4单调性与凹凸性
例6 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 .
∵ y′ = 3 x , y′′ = 6x , 当x < 0时， y′′ < 0,
解
2
∴曲线 在(−∞, 0]为严格凸的；
y 当x > 0时， ′′ > 0,
∴曲线 在[0, +∞ )为严格凹的
注意: 注意 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
五、曲线的拐点及其求法
拐点 ( 2 ,11 ) 3 27
方法2. 若f ''( x0 ) = 0, f '''( x0 ) ≠ 0, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π]内) 的拐点 .
解 y′ = cos x − sin x , y′′
y′′′ = − cos x + sin x . 3π 7π 令 y′′ = 0, 得 x1 = , x2 = . 4 4 7π 3π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = − 2 ≠ 0,
一、单调性的判别法
y
y = f (x)
A
B
y
A y = f (x)
B
b
o
a
f ′( x) ≥ 0
x
o a
f ′( x) ≤ 0
b
x
定理 设函数 y = f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
1 如 （ ） 果在(a, b)内f ′( x) > 0，那末函数 y = f ( x) 在[a, b]上严格单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ′( x) < 0， 那末函数 y = f ( x) 在[a, b]上严格单调减少.
3-4 曲线的凹凸性与拐点
• 3-1 微分中值定理 • 3-2 洛必达法则 • 3-3 函数的单调性与极值 • 3-4 曲线的凹凸性与拐点
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.1
曲线的凹凸性
3.4.2
3.4.3
曲线的拐点
函数曲线绘图
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.1 曲线的凹凸性 问题引入
3x 2 5 例 : 求曲线 y 2 的水平渐近线 x x 1
1 e 例: 求曲线 y 2
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x2 2
的水平渐近线
练： 求曲线 y arctan x 的水平渐近线
3-4 曲线的凹凸性与拐点
（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）
如果，xlim f ( x) , (或x x0 ( x0 ))，那么称 x=x0 直线为曲线 x
的垂直渐近线.
x3 例: 求曲线 y x 2 2 x 3 的垂直渐近线
0
x 2 3x 4 练： 求曲线 y 2 的水平渐近线 x 2x 3
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
（3）斜渐近线
f ( x) k , lim[ f ( x) kx] b ，那么称直线 y kx b 如果 lim x x x 为曲线 y f (x)的斜渐近线 .
需要说明的是：也可讨论当 x 及 x 时的情形.
x3 5 例: 求曲线 y 2 的渐近线 x x 2
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3 2
练： 讨论曲线
y xx
5 3 的凹凸性
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.2 曲线的拐点