华中科技大学2018年数学分析试题解答

1．
解
由1n n n a x x -=-（1n ≥），得
2．
证明 将(1)f 、(0)f 在x 点（01x <<）用Taylor 公式展开并相减，则得
2211
(1)(0)'()''()(1)''()(0)22
f f f x f x f x ξη-=+
---（0,1ξη<<）
，由于(0)(1)f f =，因此得
此不等式可以改进为：'()1f x <（01x <<），因为01x <<时，上式22(1)1x x -+<． 3． 证明 1
221112220
(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt -++⎰
4．
证明 （反证法），假设00(,)f x y 不是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。

由于
22
lim (,)0x y f x y +→∞
=，存在0r >，当22
,0,0x y r x y +≥≥≥时，00(,)(,)f x y f x y <。

考察闭区域22{(,):0,0,}D x y x y x y r =≥≥+≤，显然00(,)x y D ∈，由已知(,)f x y 在D 上连续，从而(,)f x y 在D 上取得最大值，设为11(,)f x y 。

显然在D ∂上，总有
00(,)(,)f x y f x y <，因而必有：1111'(,)'(,)0x y f x y f x y ==。

当22,0,0x y r x y +≥≥≥时，0011(,)(,)(,)f x y f x y f x y <≤，因此
11(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。

由假设，1100(,)(,)x y x y ≠。

这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有''()0f x >．证明：曲线()y f x =位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．
证明 设00(,)x y 为曲线()y f x =上任一点，在该点处曲线的切线方程为 对曲线()y f x =上任意点，按Taylor 公式展开，得
由''()0f x >知，当0x x ≠时，000()'()()f x f x x x +-()f x <，而00(,)x y 为唯一公共点．得证．
6．求22
49L
xdy ydx
I x y -=+⎰，L 是取反时针方向的单位圆周．
解 L 的参数方程：cos ,sin ,02x y θθθπ==≤≤ 7．
证明 2
2
2
2
222
2222222
()()()()x y z t
x y t f x y z dxdydz
F t x y f x y dxdy
++≤+≤++=++⎰⎰⎰
⎰⎰
2203
2
()2
()t
t r f r dr
r
f r dr
=⎰⎰，当0t >时
因此，()F t （0t >）是严格单调减函数。

8．设级数01n n a n ∞
=+∑收敛，证明10001
n
n n n n a a x dx n ∞∞===+∑∑⎰．
证明 由01n n a n ∞
=+∑收敛知，10()1
n n n a
S x x n ∞
+==+∑在[]0,1上一致收敛，从而
10
()1n n n a S x x n ∞
+==+∑左连续，即110lim 1n n x n a x n -∞+→=+∑01n
n a n ∞
==+∑．对(0,1)x ∀∈，有1
0()1
x
x
n
n
n n n n n n n a a t dt a x dx x n ∞
∞
∞
+=====+∑∑∑
⎰
⎰， 于是100100lim ()x
n
n
n n x n n a x dx a t dt -∞
∞
→===∑∑⎰⎰1100lim 11
n n n
x n n a a x n n -
∞
∞+→====++∑∑． 9．设()f x 在[0,)∞上连续，其零点为01:0n n x x x x =<<<<L L ，
()n x n →∞→∞．证明：积分0
()f x dx ∞
⎰收敛⇔级数1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰
收敛．
证明
1
1
()()n N n
N
x x x n f x dx f x dx ++==∑⎰
⎰
，若0
()f x dx ∞
⎰收敛，则
1
1
1
10
()lim ()lim
()()n N N n
N x x x x n x n f x dx f x dx f x dx f x dx ++++∞
+∞
→∞→∞====∑⎰
⎰
⎰
⎰
，即1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰
收敛。

若0()f x dx ∞
⎰不收敛，同理可知1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰不收敛。

10．设a b <，()n f x 在[,]a b 上连续，()0b
n a f x dx ≥⎰（1,2,n =L ），当n →∞时，
()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．证明：至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．
证明 由()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ，得知()f x 在[,]a b 上连续，且数列
()b
n a f x dx ⎰
收敛于
()b
a
f x dx ⎰
，即lim ()()b b
n a
a
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰，由于
()0b
n a
f x dx ≥⎰
，得
()0b
a
f x dx ≥⎰
，至少存在一点
0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．
注 或用反证法：若对[,]x a b ∀∈，有()0f x <，由()f x 的连续性得()0b
a f x dx <⎰，与上面相同证法，推出矛盾．。