2021年广东省新高考数学专题复习：抛物线(含答案解析)
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
超实用高考数学专题复习教学课件：9.7 抛物线
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物
线.( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( × )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).( × )
l,A,B
2π
是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB= ,设线段
3
的投影为
||
N,则 || 的最大值是(
√3
A. 4
√3
B. 3
AB 的中点 M 在 l 上
标准方程
顶 点
对称轴
焦 点
离心率
y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
O (0,0)
x轴
y轴
p
F(2 ,0)
p
F(-2 ,0)
p
F(0,2 )
p
F(0,-2 )
p
x=2
p
y=-2
pห้องสมุดไป่ตู้
y=2
e= 1
由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,
与抛物线准线的交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(
A.8
B.9
)
C.10 D.12
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,
Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若 =4
|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第7节抛物线跟踪检测文含解析
第九章 解析几何第七节 抛物线A 级·基础过关|固根基|1.抛物线y ＝ax 2(a<0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B 抛物线y ＝ax 2(a<0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a.故选B.2．(2019届四川成都检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A(0，－3)．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则|MF|＝( )A.43 B.53 C.23D.33解析：选A 由题意，F(1，0)，|AF|＝2，设|MF|＝d ，则M 到准线的距离为d.M 的横坐标为d －1，由三角形相似，可得d －11＝2－d 2，所以d ＝43，故选A.3．直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2，所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x.故选B.4．(2019届太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意，知l ：x ＝－2，则抛物线C ：y 2＝8x ，过点M 作MM′⊥l，垂足为M′，过点N 作NN′⊥l，垂足为N′，则|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM ′|≥|NN ′|＝3，故选B.5．(2020届陕西省百校联盟高三模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF|＝( )A ．1 B.32 C ．2D.52解析：选B 依题意得F(1，0)．设l 与x 轴的交点为M ，则|FM|＝2.如图，过点Q 作l 的垂线，垂足为Q 1，则|QQ 1||FM|＝|PQ||PF|＝34，所以|QQ 1|＝34|FM|＝32，所以|QF|＝|QQ 1|＝32，故选B.6．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2，1)，则直线l 的方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.答案：y ＝2x －37．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：68．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．解析：因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝ca＝1＋b 2a 2，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.因为抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y.答案：x 2＝16y9．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN⊥FA，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，由题意可得4＋p 2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x.(2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以k FA ＝43，且FA 的方程为y ＝43(x －1)，①因为MN⊥FA，所以k MN ＝－34，且MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，|AB|＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F(1，0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k>0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得，AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. B 级·素养提升|练能力|11.已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.522＋2 B.522＋1 C.522－2 D.522－1 解析：选D 抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，由抛物线的定义可得d 1＝|PF|－1，则d 1＋d 2＝|PF|＋d 2－1，而|PF|＋d 2的最小值等于焦点F 到直线l 的距离，即(|PF|＋d 2)min ＝52＝522，所以d 1＋d 2的最小值是522－1.12．(一题多解)(2019届湖北武汉部分学校调研)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F ，且斜率为3的直线交抛物线C 于点M(M 在x 轴上方)，l 为抛物线C 的准线，点N 在l 上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 2解析：选B 解法一：因为直线MF 的斜率为3，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF 是边长为4的等边三角形，所以M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.解法二：由题意可得直线MF 的方程为x ＝33y ＋p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 可得y 2－233py －p 2＝0，解得y ＝－33p 或y ＝3p ，又点M 在x 轴上方，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p .因为MN⊥l，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p ，所以|NF|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋（0－3p ）2＝2p.由题意2p ＝4，解得p ＝2，所以N(－1，23)，F(1，0)，直线NF 的方程为3x ＋y －3＝0，且点M 的坐标为(3，23)，所以M 到直线NF 的距离为|33＋23－3|3＋1＝23，故选B.解法三：由题意可得直线MF 的方程为x ＝33y ＋p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 可得y 2－233py －p 2＝0，解得y ＝－33p 或y ＝3p ，又点M 在x 轴上方，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p .因为MN⊥l，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p ，所以|NF|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋（0－3p ）2＝2p.由题意2p ＝4，解得p ＝2，所以N(－1，23)，F(1，0)，M(3，23)，设M 到直线NF 的距离为d ，在△MNF 中，S △MNF ＝12|NF|×d ＝12|MN|×y M ，所以d ＝14×4×23＝23，故选B.13．已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)因为抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9， 即5p4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x.(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2. 所以A(1，－22)，B(4，42)．则OC →＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)．因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.14．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)． 因为点P(1，2)在抛物线上， 所以22＝2p×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB . 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.。
高考数学专题复习：抛物线及其方程
高考数学专题复习：抛物线及其方程一、单选题 1．抛物线212y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(1,0)- C ．1(0,)16-D ．1(0,)163．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()2,04．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于点,A B .若8AB =，则AB 中点的横坐标的值为（ ） A ．1B ．52C ．3D ．55．已知动点M 34125x y +-=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．在抛物线22(0)y px p =>上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．47．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ）．A B ．C ．D ．8．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H 两点，则||GH 的长为（ ）A ．12B C ．1D9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB =，则l 的斜率为（ ）A ．±1B ．C ．D ．±10．抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．411．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2102y x n n=＞上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A B C 2D ．112．已知P 为曲线:C x =90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,3A ，则PT PA +的最小值为（ ）A ．6B ．234C ．5D ．214二、填空题13．已知抛物线方程为214y x =-，则其焦点坐标为________．14．二次函数()20y axa =>图象上的A 、B 两点均在第一象限．设点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，当4AF =，2BF =，3AB =时，直线AB 的斜率为________．15．准线方程为1x =的抛物线标准方程为________.16．已知抛物线28y x =的焦点与2221x y a+=()0a >的右焦点重合，则a =________.三、解答题17．已知拋物线C ：28x y =，点F 是拋物线的焦点，直线l 与拋物线C 交于AB 两点．点M 的坐标为()2,2-．（1）若直线l 过抛物线的焦点F ，且1MA MB ⋅=，求直线l 的斜率；（2）分别过A ，B 两点作拋物线C 的切线，两切线的交点为M ，求直线l 的斜率．18．已知抛物线1C ：22y px =(0p >)的焦点与双曲线2C ：221412x y-=右顶点重合.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）设过点()0,1的直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线1C 的焦点，且1FA FB ⋅=，求直线l 的方程.19．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．20．已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，，(,)M x y 为曲线C 上任意一点，满足MA MB +()2OM OA OB =⋅++．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，,R S 为曲线C 上的不同两点，且PR PS ⊥，PD RS ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使||DQ 为定值．21．如图所示，已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.（1）当直线AB 的斜率为1时，求弦长AB 的长度；（2）点()0,0P x 在x 轴正半轴上，连接PA ，PB 分别交抛物线于C ，D ，若//AB CD 且3AB CD =，求0x .22．已知点(1,0)F ，直线:2l x =-，P 为y 轴右侧或y 轴上动点，且点P 到l 的距离比线段PF 的长度大1，记点P 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线1:1l x =交曲线E 于A ，B 两点（点A 在点B 的上方），C ，D 为曲线E 上两个动点，且CAB DAB ∠=∠，求证：直线CD 的斜率为定值.参考答案1．A 【分析】抛物线化为标准方程，即可求解 【详解】 将抛物线212y x =化为标准方程得： 22x y =，故1p =，焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：A 2．D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标 【详解】解：由24y x =，得214x y =， 所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =， 所以18p =，1216p =， 所以焦点坐标为1(0,)16， 故选：D 3．D 【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果. 【详解】由抛物线28y x =的方程知其焦点在x 在正半轴上， 且22p=，∴其焦点坐标为()2,0. 故选：D. 4．B 【分析】先求出抛物线3p =，再逆用焦点弦长公式即可得出答案. 【详解】由于抛物线26y x =，所以3p =，则过点3(,0)2F 作直线交抛物线于点,A B ，设点,A B 横坐标分别为12,x x ，则AB 中点的横坐标12015()222x x x AB p +==-=. 故选:B 5．C 【分析】(),x y 到坐标原点的距离，34125x y +-表示动点(),x y 到34120x y +-=的距离，再根据抛物线的定义判断即可； 【详解】解 |3412|5x y +-，此式表示的是动点(,)M x y 到定点(0,0)与定直线34120x y +-=的距离相等且定点不在定直线上，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点()0,0为焦点，定直线34120x y +-=为准线的一条抛物线． 故选：C ． 6．D 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离. 【详解】由题知，抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则由抛物线的定义知，352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得4p =. 故选：D. 7．C 【分析】由题意可知焦准距为2，由直线的斜率为MAF △是以4为边长的正三角形，从而求出三角形的面积.设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF的斜率为60AFN ∠=︒，所以4AF =，由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以424= 故选C ． 8．D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用勾股定理求解即可 【详解】易知抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，由点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，可知1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，||1MF =以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H两点，则||GH =故选：D 9．D 【分析】由条件得到1p =，设l 的直线方程为12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，然后结合2AF FB =解出12,y y 的值即可. 【详解】由题知1p =，抛物线方程为22y x =，设l 的直线方程为12x my =+，代入抛物线方程，得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，121y y =-.因为2AF FB =所以12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故m =，即l的斜率为±. 故选：D【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可； 【详解】解：抛物线()20y ax a =>即()201y ax a =>，可得准线方程14y a =-，抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，可得：11124a+=，解得12a =. 故选：B . 11．D 【分析】利用坐标表示直线OM 的斜率00012112882y k x ny nny ==++，再利用基本不等式求最大值. 【详解】设()00,P x y ，,180F n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是线段PF 的中点，所以00,2218M n x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.直线OM 的斜率为：020000001211228821188y y y k x x ny ny nny nn====++++. 显然00y >时的斜率较大，此时0011128k ny ny =≤=+，当且仅当00128ny ny =，014y n=时，斜率最大为1. 故选：D. 12．D 【分析】利用抛物线的定义知||PT 等于P 到准线94y =-的距离，则PT PA +最小值为A 到准线94y =-的距离，即可求PT PA +的最小值.【详解】由题意知：曲线C 是抛物线29x y =的右半部分且90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭是焦点，∵P 为曲线C 上一点，若P 到准线94y =-的距离为d ，则||d PT =，∴PT PA d PA +=+，要使其值最小，则d PA +即为A 到准线94y =-的距离，∴PT PA +的最小值为921344+=. 故选：D 13．()0,1- 【分析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式24x y =-，即可判断抛物线的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而解得答案. 【详解】解：因为抛物线方程为214y x =-，即24x y =-，所以24p =-，12p=-， 所以抛物线的焦点坐标为()0,1-， 故答案为：()0,1-.14 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据抛物线的定义结合作差法可得出12y y -的值，再利用两点间的距离公式求出12x x -的值，再利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，该抛物线的焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得1144AF y a =+=，2124BF y a=+=， 所以，122y y -=，因为A 、B均在第一象限，且12x x =>， 因为3AB ==，所以，12x x -因此，直线AB的斜率为1212y y k x x -==-. . 15．24y x =- 【分析】 由准线方程可得12p=，抛物线的焦点在x 的负半轴上，从而可求得抛物线的标准方程 【详解】解：因为抛物线的准线方程为1x =， 所以12p=，且抛物线的焦点在x 的负半轴上， 得2p =，所以抛物线标准方程为24y x =-， 故答案为：24y x =- 16【分析】求出抛物线的焦点坐标即为2221x y a+=()0a >的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为()2,0， 由题意知2221x y a+=表示焦点在x 轴的椭圆，在椭圆中：2221,14b c a ==-=，所以25a =， 因为0a >，所以a =17．（1）14k =或34；（2）12k =．【分析】（1）设直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，由韦达定理求出12x x +、12x x ⋅、12y y ⋅、12y y +，再根据()()1212121224241MA MB x x x x y y y y ⋅=-++++++=即可求解．（2）由导数的几何意义求出过点A ，B 的切线方程，将()2,2M -代入两切线方程，即可得直线AB 的方程，进而可得直线l 的斜率. 【详解】解：（1）由题知，焦点()0,2F ，设过点F 的直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，1212816x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()2121212244y y k x x k x x ⋅=⋅+++=，所以()()11222,22,2MA MB x y x y ⋅=-+⋅-+()()121212122424x x x x y y y y =-++++++216164k k =-+1=，解得14k =或34． （2）由抛物线方程得28x y =，24x y '=，所以过点A ，B 的切线方程分别为()1114x y y x x -=-和()2224x y y x x -=-，因为()2,2M -为两切线的交点，所以()111224x y x --=-，()222224xy x --=- 所以过A ，B 的直线方程为()22224242x x x xy x y --=-=-=-，即240x y -+=，所以12k =． 18．（1）28y x =；（2）1y x =+或51y x =-+. 【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，由判别式､韦达定理得出12x x +，12x x ，结合已知条件求出k 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）由题设知，双曲线222:1412x y C -=的右顶点为()2,0， ∴22p=，解得4p =， ∴抛物线1C 的标准方程为28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，联立218y kx y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得()222810k x k x +-+=，由0∆>得()222840k k -->，即2k <， ∴12228k x x k -+=-，1221x x k =. 又∵1FA FB ⋅=，()2,0F ，∴()()1212221FA FB x x y y ⋅=--+=，∴()()()()()()2121212121224111251x x x x kx kx k x x k x x -+++++=++-++=，即2450k k +-=， 解得1k =或5k =-，∴直线l 的方程为1y x =+或51y x =-+.19．（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=； （2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -=-，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示. 20．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，算出MA ，MB 的坐标，进而求出+MA MB ，再利用平面向量数量积的坐标表示求出()2OM OA OB ⋅++，根据已知即可求解.（2）若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意； 设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x=+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，可得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -， 进而在PDM △中，当(3,0)Q 为PM 中点时，DQ 为定值.【详解】解：（1）由(1,2)MA x y =--- ，(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--， +=2(1MA MB ∴，()2(,)(2,0)222OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+所以，由已知得2x +，化简得24y x =， 所以，曲线C 方程为24y x =.（2）证明：若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，则2=16160m n ∆+>，可得20m n +>，设1122(,)(,)R x y S x y ，，则12124,4y y m y y n +==-，21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为PR PS ⊥，所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016y y y y PR PS y y --++⋅=--，所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++，点(1,2)P 在曲线C 上，显然12y ≠且22y ≠， 所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+， 所以=25n m +，所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++，因此直线过定点(5,2)M -，所以PM =PDM △是以PM 为斜边的直角三角形， 所以PM 中点(3,0)Q满足1=2DQ PM 所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值. 【点睛】关键点点睛：设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x =+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -是解决本题的关键. 21．（1）8；（2【分析】(1)写出直线AB 方程，把它与抛物线方程联立消元，用弦长公式即可得解；(2)利用给定条件建立起关于A 、B 的横坐标与0x 的关系式，再利用直线AB 与抛物线相交时A 、B 的横坐标的关系即可得解. 【详解】（1）依题意得焦点(0,1)F ，所以直线AB 方程为1y x =+，把1y x =+与24x y =联立得2440x x --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，于是124x x +=，124x x ⋅=-，所以12||AB x =-=8=； （2）设()22,A t t，(,)CC C xy ，()0,0P x ，由 ||3||AB CD =，//AB CD ，可得||3||AP CP =，即200323()C C t y x t x x ⎧=⎨-=-⎩2013223C C y t t x x ⎧=⎪⎪⇔⎨+⎪=⎪⎩，而点C 在抛物线24x y =上， 则有22022433t x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭2200220t x t x ⇔--=，令()22,B s s ，同理2200 220s x s x --=， 即t ，s 关于x 的方程2200220x x x x --=的两根，于是0s t x +=，202x st =-， 直线AB 斜率k (k>0)，联立直线AB 方程：y =kx +1与抛物线方程24x y =得2440x kx --=，则2t ，2s 是此方程的两个根，即224t s ⋅=-，即1ts =-，2012x -=-，解得0x所以0x 【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB x x =-； 直线l ：x =my +t 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB y y -. 22．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】(1)由题设条件分析讨论，再用抛物线定义即可得解；(2)求出点A 坐标，利用抛物线方程设出点C ，D 坐标，由条件探求出这两点纵坐标关系即可得解. 【详解】（1）依题意，线段PF 的长度等于P 到0:1l x =-的距离，由抛物线定义知， 点P 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，0:1l x =-为准线的抛物线， 所以E 的方程为24y x =；（2）将1x =代入24y x =得2y =±，则(1,2)A ，(1,2)B -，如图：设抛物线E 上动点221212(,),(,)44y y C y D y ，显然直线AC ，AD 斜率存在，121124214AC y k y y -==+-，同理242ADk y =+，因为CAB DAB ∠=∠，则0AC AD k k +=，121212440220422y y y y y y +=⇒+++=⇒+=-++， 直线CD 的斜率122212124144y y k y y y y -===-+-， 即直线CD 的斜率为定值-1.。
2021全国(新高考2卷)数学：答案详细解析(二0二一年)
数学（新高考Ⅱ卷）答案详解（精编版）适用地区：海南､辽宁､重庆。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）复数213ii--在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】∵()()()()213255111313131022i i i i i i i i -+-+===+--+，∴在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.2.（集合）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =ðA .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}【答案】B【解析】因为{}1,5,6U B =ð，所以有(){}1,6U A B = ð.3.（解析几何）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为，则p =A.1B.2C. D.4【答案】B【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线1y x =+（即10x y -+=）的距离为d ==解得2p =.4.（三角函数）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：km 2），则S 占地球表面积的百分比约为A .26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】设轨道高度为h ，由图A4可知，地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值α的余弦cos r r hα=+，图A4地球表面积为24πr ，由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为()()22212π(1cos )1cos 360000.4242%4π4π2222640036000rS r h r h r r r h αα---+=====≈=+⨯+.5.（立体几何）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为A.20+B. C.563D.2823【答案】D【解析】由棱台的体积公式可知，本题关键是求得棱台的高.由图A5可知，1111A O AB ==，AO AB ==，∴()221111O O AA AO A O =--=∵棱台上底面面积21114S A B ==，下底面面积216S AB ==，∴棱台的体积为((11141633V h S S =++=++=图A56.（概率统计）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.A 、2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；B 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；C 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；D 、因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误.7.（函数）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是A.c b a << B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<【答案】C【解析】125551log 2log log 52a c =<===，故a c <，128881log 3log log 82b c =>===，故b c >，故a c b <<.8.（函数）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =【答案】B【解析】∵()21f x +为奇函数，∴()()02121f x f x +-++=，取0x =则有()21=0f ，即()10f =，又∵()2f x +为偶函数，∴()()22f x f x =+-+，∴()()()()24222f x f x f x f x =+=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎣⎦+⎦()1231213322x x f x f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣-⎦⎣-⎦-()()132f x f x =-+=-⎡⎤⎣⎦--，∴()()20f x f x -+=，取1x =，有()()011f f +-=，∴()()011f f -=-=.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（概率统计）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.10.（立体几何）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP 的是A. B.C. D.【答案】BC【解析】A 、如图A10(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，很显然，∠POC ≠90°，故A 不符合题意；图A10B 、如图A10(2)所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，很容易证明OQ NTMS ⊥面，故OQ NM ⊥；在正方形NTMS 中，很容易证明PQ NM ⊥；∴NM OPQ ⊥面，∴NM OP ⊥，故B 正确.（因为是选择题，证明过程写的比较简单，但逻辑关系一定要正确）C 、如图A10(3)所示，连接BD ，则BD ∥MN ，由选项B 的判断可得BD OP ⊥，故MN OP ⊥，故C 正确.图A10D 、如图A10(4)所示，延长QS 至点T ，使QS ＝2ST ，连接NT 、MT ，很容易证明NT ∥OP ，故∠MNT （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，设SM ＝2a ，在△MNT 中，2225MT NT a ==，228MN a =，因222MT NT MN ≠+，故∠MNT ≠90°，故D 不符合题意.故选BC.11.（解析几何）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【解析】圆222:C x y r +=的圆心为(0,0)C ，其到直线l的距离为2d ==12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+D.()21n nω-=【答案】ACD【解析】利用()n ω的定义判断.A 、()01k n a a a ω=+++ ，02101112022222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()0120k n a a a n ωω=++++= ，A 选项正确；B 、()010112323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()0211101212222k k k k a a a a -=⋅++⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()232n n ωω+=+，B 选项错误；C 、因()33010118525222225k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01242301131202122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()852n n ωω+=+；()22010114323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01321201112122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()432n n ωω+=+；因此()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；D 、02121121212nn --=⋅+⋅++⋅ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.（解析几何）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_____.【答案】y =【解析】双曲线的离心率为2，∴2c a =，即2c a =，∴b =，∴by x a=±=.14.（函数）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】2()f x x =（答案不唯一）【解析】取2()f x x =，则()22212121212()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②，()2f x x '=为奇函数，满足③.（答案不唯一，由函数的性质和导函数知识可知，()2*()nf x xx N =∈均满足）15.（平面向量）已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-16.（函数）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（数列）（10分）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244a S a a S ==，．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）26n a n =-；（2）7【解析】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.（1）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）4；（2）存在正整数a ，2a =【解析】在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若23AD QD QA QC ====，．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）如图A19(1)，取AD 的中点为O ，连接QO 、CO ，图A19(1)∵OA OD QA QD ==，，∴QO AD ⊥，在Rt △QAO 中，112AO AD QA ===，2QO =，在Rt △DCO 中，1122DO AD CD ===，，∴CO =，∵3QC =，∴222QC QO CO =+，故△QCO 为直角三角形，且QO OC ⊥，∵AD OC O = ，∴QO ⊥平面ABCD ；∵QO ⊂平面QAD ，∴平面QAD ⊥平面ABCD .（2）如图A19(2)，在平面ABCD内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，可建如图A19(2)所示的空间坐标系：图A19(2)则(0,0,2)Q ，(0,1,0)D ，(2,1,0)B -，(0,1,0)A -，故(2,1,2)QB =-- ，(0,1,2)DQ =-，设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，20.（解析几何）（12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】21.（概率统计）（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）设()232301230123()1f x p p x p x p x p p x p x p x x -=++++++=-，则0(1)f =，则()12321()23f x p p x p x '=++-，故()f x '有两个不同零点1x 、2x ，且1201x x <<≤，且12(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；12()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在12()x x ，上为减函数.1）若21x =，当212(0)()x x x x ∈⊂，，时，因()f x 为减函数，故2()()(1)0f x f x f >==，当2(,)x x ∈+∞时，因()f x 为增函数，故有2()()(1)0f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；2）若21x >，因为(1)0f =且()f x 在2(0)x ，上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；综上，()1E X ≤时，则1p =.②若()1E X >，即123()231E X p p p =++>，故1230123p p p ++->，此时10(0)1p f '-=<，123(1)1203f p p p '=-+>+，故()f x '有两个不同零点3x 、4x ，且3401x x <<<，且34(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；34()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在34(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在34()x x ，上为减函数.因41x <，0(1)f =，所以4()0f x <，又00(0)f p =>，故()f x 在4(0)x ，存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝；若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22.（函数）（12分）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由函数的解析式可得：()2(2)xxf x xe ax x e a '=-=-，①若0a ≤，有20xea ->恒成立，故当(,0)x ∈-∞，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增；②若102a <<，当(,In(2))x a ∈-∞，则20xe a -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(In(2),0)x a ∈，则20xe a ->且0x <，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；③若12a =，有()(1)0xf x x e '=-≥恒成立，故()f x 在R 上单调递增；④若12a >，当(,0)x ∈-∞，则20xea -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,In(2))x a ∈，则20xe a -<且0x >，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(In(2),)x a ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增.（2）选择条件①：数学（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2021新高考数学新课程一轮复习：第八章 第7讲 抛物线含解析
第7讲 抛物线组 基础关1．(2019·厦门一模)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4 答案 C解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2.2．(2019·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( )A ．4B ．12C ．2 3D ．6 答案 C解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知1＋p 24＝2，且p >0，解得p ＝2 3.3．(2020·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0) 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．4．(2019·哈尔滨三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．16 答案 D解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝33，则直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得13(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16.5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)答案 A解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN→＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.7．(2019·怀化三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，则下列等式正确的是( )A ．k 1＋k 2＝k B.1k ＝k 1＋k 2 C.1k ＝1k 1＋1k 2D ．k 2＝k 1·k 2答案 C解析 由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21，2p k 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22，2p k 2，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 22＝11k 1＋1k 2，∴1k ＝1k 1＋1k 2.故选C.8．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，则实数p 的值为________．答案2解析 由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，k AP＝p p ＝1，则直线AP 的方程为x －y ＋p2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径为R ＝p 2，则O 到直线AP 的距离为d ＝p 22＝2p4，则圆O 截直线AP 所得的弦长为1＝2R 2－d 2＝2p 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42，解得p ＝ 2.9．(2019·武汉4月调研)已知过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 的方程为________．答案 2x ＋y －2＝0解析 当直线AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝2x消去y 并整理，得k 2x 2－2(k 2＋1)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2(k 2＋1)k 2，x 1x 2＝1.∴直线OA ，OB 的斜率之和为y 1x 1＋y 2x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2(k 2＋1)k ＝1，解得k ＝－2，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0.10．(2019·河南六市第二次联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为l ，过点M (5,25)作直线l 的垂线，垂足为H ，则∠FMH 的平分线的斜率为________．答案55解析 连接HF .因为点M 在抛物线y 2＝4x 上，所以由抛物线的定义可知|MH |＝|MF |.所以△MHF 为等腰三角形．所以∠FMH 的平分线所在的直线经过HF 的中点．因为点F (1,0)，H (－1,25)，所以HF 的中点坐标为(0，5)，所以∠FMH 的平分线的斜率为25－55－0＝55.组 能力关1．(2020·重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y 2＝2x 上一点A (2,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC ，分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的斜率为( )A ．－23B ．－14C ．－34D ．－12 答案 D解析 依题意，可设直线AB 的方程为y －2＝k (x －2)，则直线AC 的方程为y －2＝－k (x －2)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)(y 1≠2，y 2≠2)．由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y －2＝k (x －2)，得y 1＝2－2k k .同理，得y 2＝2＋2k －k .所以直线BC 的斜率为y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112y 22－12y 21＝2y 2＋y 1＝－12.故选D.2．(2019·华中师大第一附中模拟)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是( )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)．由抛物线定义，得|AF |＝x A ＋2.因为圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝16， 得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4，则x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)．3．(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，若点P (m,1)是抛物线D 与双曲线C 的一个公共点，则下列选项正确的是( )A ．a ＝3bB ．抛物线D 的方程为x 2＝18yC ．m ＝±3 2D ．双曲线C 的方程为x 29－y 2＝1 答案 ABCD解析 由已知可得e 2＝a 2＋b 2a 2＝109，所以a 2＝9b 2，即A 正确；由抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，得－p 2＝－92，解得p ＝9，所以抛物线D 的方程为x 2＝18y ，B 正确；由点P (m,1)在抛物线D 上，得m 2＝18，解得m ＝±32，C 正确；又点P (m,1)在双曲线C 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2－1b 2＝1，b ＝13a ，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 29－y 2＝1，D 正确．故选ABCD.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． 因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴． 因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.5．(2020·银川摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．答案22 x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)， ∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号．故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)， ∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.6．(2019·洛阳模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．解 (1)根据题意，知4＝2py 0，① 因为|AF |＝2，所以y 0＋p2＝2.②联立①②解得y 0＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)． 由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入x 2＝4y ， 得x 2－4kx －4b ＝0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上， 得P (x 2，x 2－3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理，得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0. 将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0. 由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0， 所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3.即直线BM 恒过定点(2,3)．组 素养关1．(2019·衡水一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC→，求λ的取值范围．解 (1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1，0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2，∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20， ∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74，故λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74.2．(2020·安徽百所重点高中模拟)如图，设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0，p 为常数)交于不同的两点M ，N ，且当k ＝12时，抛物线C 的焦点F 到直线l 的距离为255.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点B (1，－1)，求证：直线NQ 过定点．解 (1)当k ＝12时，直线l ：y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，即2x －4y ＋p ＝0，抛物线C 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0到直线l 的距离d ＝|2p |22＋(－4)2＝5|p |5＝255， 解得p ＝±2，又p >0，所以p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设点M (4t 2,4t )，N (4t 21，4t 1)，Q (4t 22，4t 2)，易知直线MN ，MQ ，NQ的斜率均存在，则直线MN 的斜率是k MN ＝4t －4t 14t 2－4t 21＝1t ＋t 1，从而直线MN 的方程是y ＝1t ＋t 1(x －4t 2)＋4t ，即x －(t ＋t 1)y ＋4tt 1＝0. 同理可知MQ 的方程是x －(t ＋t 2)y ＋4tt 2＝0， NQ 的方程是x －(t 1＋t 2)y ＋4t 1t 2＝0.又易知点(－1,0)在直线MN 上，从而有4tt 1＝1，即t ＝14t 1，点B (1，－1)在直线MQ 上，从而有1－(t ＋t 2)·(－1)＋4tt 2＝0， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14t 1＋t 2·(－1)＋4×14t 1×t 2＝0，化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0. 即(x－1)－(t1＋t2)(y＋4)＝0.所以直线NQ过定点(1，－4)．。
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习60---抛物线(二)
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题60 抛物线（二）一、单项选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN|＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－32．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点M(1，y 0)在抛物线C 上，|MF|＝5y04，则tan ∠FAM ＝( ) A.25 B.52 C.54 D.453．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，a (a>0)在C 上，|AF|＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．4.54．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0，0) C ．(1，2) D ．(1，4) 5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y1y2x1x2的值一定等于A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 26．已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，焦点为F ，则cos ∠AFB=A.45B.35 C ．－35 D ．－457．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3 9．(2021·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的点，则y 12＋y 22的最小值为( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 10．(2021·石家庄市模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M(3，0)．若△MAB 的面积为42，则|AB|＝( )A ．2B ．4C ．2 3D ．8 二、多项选择题11．(2021·山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，以下四个结论中正确的是( ) A ．x 1x 2＝－4B ．|AB|＝y 1＋y 2＋1C ．∠A 1FB 1＝π2D ．AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为212．(2021·山东高考统一模拟)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM|＋|ON|≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2，0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 三、填空题与解答题 13．(2021·山东高考统一模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线l ：4x －3y －2p ＝0在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF →|＝λ|FB →|，则λ＝________． 14．(2020·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 15．(2021·四川遂宁市高三三诊)已知点M(0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若AM →·FM→＝0，则点B 的纵坐标为________． 16．(2021·广西柳州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝3FB →，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为点C ，求四边形OACB 面积的最小值．17．(2021·八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A(2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 18．(2019·课标全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．参考答案1．答案 D 解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线C 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，知AF ，BF 的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y22－y12＝12|y 2－y 1|＝43，所以|y 2－y 1|＝8 3.由题意知直线AB 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x ，得y ＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫y22p －p 2，即3y 2＋2py －3p 2＝0，所以y 1＋y 2＝－2p 3，y 1y 2＝－p 2，于是由|y 2－y 1|＝83，得(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝192，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2p 32＋4p 2＝192，解得p ＝6，p 2＝3，所以抛物线C 的准线方程为x ＝－3.故选D.2．答案 D 解析 过点M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则|MN|＝y 0＋p2＝5y04，故y 0＝2p.又M(1，y 0)在抛物线上，故y 0＝12p ，于是2p ＝12p ，解得p ＝12， ∴|MN|＝54，∴tan ∠FAM ＝tan ∠AMN ＝|AN||MN|＝45.故选D.3．答案 C 解析 结合抛物线的性质可得p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以点A 的坐标为(1，22)，所以直线AB 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线方程，计算B 的坐标为(4，－42)，所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝9.故选C.4．答案 A 解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选A.5．答案 A 解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋p2k24＝0，则x 1x 2＝p24.∵y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.6．答案 D 解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－810＝－45.故选D.7．答案 D 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F(1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.8．答案 A 解析 方法一：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A.方法二：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF|∶|MF|＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2.故选A. 方法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A. 9．答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 12＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上可知，y 12＋y 22≥32. ∴y 12＋y 22的最小值为32.故选D. 10．答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1，0)，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 代入抛物线方程，可得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，则|AB|＝1＋t2·|y 1－y 2|＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋t2·16t2＋16， △MAB 的面积为12|MF|·|y 1－y 2|＝12×2|y 1－y 2|＝42，即16t2＋16＝42，解得t ＝±1，则|AB|＝1＋1·16＋16＝8.故选D. 11．答案 ACD解析 抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，A 正确； |AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2，B 不正确；FA1→＝(x 1，－2)，FB1→＝(x 2，－2)，∴FA1→·FB1→＝x 1x 2＋4＝0，∴FA1→⊥FB1→，∠A 1FB 1＝π2，C 正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(y 1＋y 2＋2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1＋2)＝12(4k 2＋4)≥2.当k ＝0时取得最小值2，D 正确．故选ACD. 12．答案 CD 解析 不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON ＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为：y ＝22x 和y ＝－22x.与抛物线方程联立，得M(2，2)，N(2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM|＋|ON|＝26， 以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k ，因为k OM ·k ON ＝－12，所以y1x1·y2x2＝－12， 则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 22y 12，则y 1y 2＝－2，所以mk ＝－2，即m ＝－2k ， 所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k(x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q(2，0)的动直线，故C 正确； 易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故D 正确．故选CD. 13．答案 4解析 直线l ：当y ＝0时，x ＝p2，∴直线l 过抛物线的焦点，A ，F ，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y2＝2px ，4x －3y －2p ＝0，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，解得：x A ＝2p ，x B ＝p 8，∴|AF|＝x A ＋p 2＝52p ，|BF|＝x B ＋p 2＝58p ，λ＝|AF→||FB →|＝4.14．答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.15．答案 －1解析 因为点M(0，2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2，由AM →·FM →＝0可得AM ⊥FM ，所以直线AM 的斜率k AM ＝12，所以直线AM 的方程为y －2＝12x ，即y ＝12x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y2＝4x 化简得x 2－8x ＋16＝0，解得x ＝4，可得点A(4，4)， 所以直线AF 的斜率k AF ＝44－1＝43，所以直线AF 的方程为：y ＝43(x －1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝43（x －1），消去x 可得：y 2－3y －4＝0，解得y ＝－1或y ＝4，所以点B 的纵坐标为－1. 16．答案 (1)3或－ 3 (2)4解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1，将直线AB 与抛物线联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ⇒y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∵AF →＝3FB →⇒y 1＝－3y 2⇒m 2＝13，∴斜率为1m＝3或－ 3. (2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12|OF|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝16m2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 17．答案 B解析 方法一(设而要求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p ，∴p ＝1，∴y 2＝2x ，过A(2，2)作圆C 的切线，设切线斜率为k.则切线方程为：y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴|2k －0－2k ＋2|k2＋1＝1，∴k ＝±3.当k ＝3时，切线方程为：y －2＝3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8－433，y ＝233－2，则B ⎝⎛⎭⎪⎫8－433，23－63，当k ＝－3时，切线方程为：y－2＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝－3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋433，y ＝－233－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋433，－23＋63， ∴k BC ＝－12，y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0，故选B. 方法二(设而不求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p.∴p ＝1.∴y 2＝2x.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c22，c ，则BC ：2x －(b ＋c)y ＋bc ＝0，AC ：2x －(2＋c)y ＋2c ＝0，可得：|4＋2c|4＋（2＋c ）2＝1，化简，得：3c 2＋12c ＋8＝0.同理，3b 2＋12b ＋8＝0，于是b ，c 是方程3t 2＋12t ＋8＝0的两个根，∴b ＋c ＝－4，bc ＝83，BC ：2x ＋4y ＋83＝0，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B.18．答案 (1)证明略 (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2 解析 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A(x 1，y 1)，则x 12＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y1＋12x1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B(x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t2＋12. 由于EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t)平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4； 当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.。
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（2）若直线l过点Q（0，1），设O（0，0）， λ ， μ ，求 的值；
（3）若直线l过抛物线Γ的焦点F，交y轴于点D， λ ， μ ，求λ+μ的值．
8．已知点 ， 是坐标轴上两点，动点P满足直线PA与PB的斜率之积为 （其中m为常数，且m＞3）．记P的轨迹为曲线C．
14．已知椭圆C： ，过Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与y轴相交于P点．
（1）若 ，求直线l的方程；
（2）设A关于x轴的对称点为C，证明：直线BC过x轴上的定点．
15．已知以线段EF为直径的圆内切于圆O：x2+y2＝16．
（1）若点F的坐标为（﹣2，0），求点E的轨迹C的方程．
（2）在（1）的条件下，直线l：y＝x+b与轨迹C交于M、N两点，轨迹C上存在点T，使得 ，求直线l的方程．
2021年广东省新高考数学专题复习：抛物线
1．已知过A（0，2）的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．
（Ⅰ）求C点轨迹E的方程；
（Ⅱ）当AC不在轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．
2．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（1）求直线l'的斜率的取值范围；
（2）求△AOB面积的取值范围．
12．已如椭圆：C1： （a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为 ，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为 ．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．
（1）求证：y1y2为定值；
（2）过A，B两点分别作曲线C的切线l1，l2，两切线交于点P，求△AMP与△BNP面积之积的最小值．
18．已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0）与双曲线 1的渐近线相同，且经过点（2，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0（m＞0）与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝10上，求实数m的值；
（1）用k表示椭圆C的离心率；
（2）若 ，求椭圆C的离心率．
6．已知椭圆满足方程 1．
（1）求椭圆的长轴长以及焦点坐标；
（2）若抛物线焦点与椭圆有集点重合，求抛物线方程；
（3）若抛物线上有一点Q到准线的距离为9，求Q点坐标．
7．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2），直线l与抛物线Γ有两个不同的交点A、B，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
4．已知抛物线：y2＝4x与圆O：x2+y2＝r2交于A，B两点，△OAB的面积为2，
（1）求圆O的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k＜0）与圆O相交于M，N两点．点P（3，0），记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，求 的最大值，并求此时直线的方程．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．
（1）求抛物线E的方程；
（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
3．已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M（1，t），直线m是线段AB的垂直平分线，试问直线m是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若双曲线C的右顶点为A2，求△A2AB的面积．
19．给定椭圆 ，称圆心在原点O，半径为 的圆是椭圆C的“卫星圆”．若椭圆C的离心率 ，点 在C上．
（I）求椭圆方程和其“卫星圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．
16．已知点A（0，2），动点M到点A的距离比动点M到直线y＝﹣1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）Q为直线y＝﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值
17．过抛物线C：x2＝4y的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，交圆F：x2+（y﹣1）2＝1于M，N两点（A，M两点相邻）．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
11．如图，已知圆Q：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线l'与圆Q有交点．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点A斜率为k（k＞0）的直线与曲线C交于点M，点N在曲线C上，且AM⊥AN，若3|AM|＝|AN|，求k的取值范围．
9．根据下列条件求曲线的标准方程：
（1）准线方程为 的抛物线；
（2）焦点在坐标轴上，且过点 、 的双曲线．
10．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足 （2，2 ）
13．已知抛物线Γ：y2＝8x和圆Ω：x2+y2﹣4x＝0，抛物线Γ的焦点为F．
（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；
（2）若点T（x，y）在抛物线Γ上，且满足x∈[1，4]，过点T作圆Ω的两条切线，记切点为A、B，求四边形TAFB的面积的取值范围；
（3）如图，若直线l与抛物线Γ和圆Ω依次交于M、P、Q、N四点，证明：“ ”的充要条件是“直线l的方程为x＝2”．