现代谱估计

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现代谱估计-有理谱估计

，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性，而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测平稳随机过程的波形估计最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理滤波、预测、平滑线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等）最优前向预测误差滤波器的最小相位特性线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。。这是现代谱估计与经典谱估计最主要的区别。

现代信号处理功率谱估计

现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性，最大熵代表最大的不确定性，或者说最大的随机性。下面我们研究对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为

谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题

谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。

功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。

研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。

则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。

此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。

经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。

采用经典的傅里叶变换及窗口截断。

对长序列有良好估计。

现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。

对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。

是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。

应用广泛，发展迅速。

1、谱密度意义一、能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。

根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。

由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。

在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。

为信号的能谱密度。

当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。

对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。

) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。

现代谱估计在苏通大桥钢箱梁振动信号分析中的应用

ＳｇａａｙｉｆＳｔｎｉｄｅ’ ｔｅｘＧｉｄｒｉｎｌＡｎｓｓｏｕｏｇＢｒｇＳＳｅｌＢｏｒｅｌ
ＺＡＧＹｎ，ＹＥＤｎ—ｅＧｈ—ｉｇＺＡｕ —ｉＨＮａｇＵｏｇｉ，ＵＺｉａ，ＨＯＧｏｑｎｊｑｎｇ
获取的苏通大桥钢箱梁三维变形监测数据进行分析。首先根据观测数据估计ＡＲ参数模型，按照再
加速度计，但加速度计存在位移精度不高、法连续无
（ｏｌｅｆＥｒｃｎｅｎｎｉｅｎ，Ｈｈｉｎｅｉ，Ｎｎｎ，ｆｎｓ１０８ｈａＣｌｇａｔＳｉｃａｄＥｇｎｒｇｏａｉｒｔｅｏｈｅｅｉＵｖｓｙａｆｇｉｇｕ２０９，Ｃｉ）ｉａｎ
Ａｂｔａｔｔｉｆｇｅｔｓｇｉｃｎｅｔｂａｎｔｅｂｄｅｖｂａｉｎｆｅｕｎｙｔｌｎｄａｃｒｔｌｓｒｃ：Ｉｓｏｒａｉｎｆａｃｏｏｔｉｈｒｇｉｒｔｒｑｅｃｉｙａｃｕａｅｙ．Ｉｈｓｐｐｒｈｅｉｉｏｍｅｎｔｉａｅ，ｔｔｈｇｕｅｏｕｏｇＢｒｄｅ’ ｔｅｏｉｄｒｉｄｓｕｓｅｃｏｉｇｔｅｔｒｅｄｍｅｓｏａｅｏｍａｉｎｄｔｏ－ｉｃａｅｒｌｆＳｔｎｉｇＳｓｅｌｂｘｇｒｅｓｉｃｓｄａｃｒｎｏｔｅ — ｉｎｉｎｌｄｆｒｔｏａａｃｌｍｅｎｄｈｈｌｃｅｙＧＰｅｔｄｂＳ—ＲＴＫｙｍｉａｌｄｎａｃｌｙ．Ａｃｏｄｎｏｔｅｄｆｃｅｃｆｔａｉｉｎｌｓｅｔｕｅｔｍａｉｎａｇｒｔｍ，ｔｅｍｏｅｃｒｉｇｔｈｅｉｎｙｏｒｄｔａｐｃｒｍｓｉｔｌｏｈｉｏｏｉｈｄｍｓｅｔｕｅｔｔｏｇｒｔｍａｅｎＡＲｄｌｉｒｐｓｄｔａｙｅｔｅｓｅｔｕｏｎｔｒｎａａＳｏｉｅｔｙｐｃｒｍｓｉｉｎａｏｈｂｓｄｏｍａｌｉｍｏｅｓｐｏｏｅｏａｌｚｐｃｒｍｆｍｏｉｏｉｇｄｔＯａｔｄｎｉｎｈｓｆ

经典谱估计与现代谱估计

基于高阶谱的相位谱估计
❖ 自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱。
❖ 实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱已经够用。
27
基于高阶谱的模型参数估计
❖ 基本原理
• 与AR功率谱估计(即单谱估计)相类似，AR过程的多谱估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多
则有
H () H () e j ()
Bh (1,2 ) H (1) H (2 ) H (1 2 )
且有
(1,2 ) (1) (2 ) (1 2 )
By (1,2 ) Bh (1,2 )] [当y(n) h(n M )时]
这表明双谱包含信号模型的相位信息 ( )；
而功率谱 S()不含相位信息。 26
量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。
14
高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢物理意义
累积量衡量任意随机变量偏离正态(高斯)分布的程度
• 一阶累积量－数学期望:描述了概率分布的中心
• 二阶累积量－方差：描述了概率分布的离散程度
• 三阶累积量－三阶矩：描述了概率分布的不对称程度
➢偏态与峰态
❖ 性质
m1 m2
• 三阶相关函数的对称性 • 双谱的对称性、周期性和共轭性
25
三阶相关与双谱及其性质
❖确定性序列的双谱
设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为
Bh (1,2 ) H (1)H (1)H *(1 2 )
其中
H ( ) h(n)e jn
❖双谱中的相位信息n
设
Bh (1,2 ) Bh (1,2 ) e j (1,2 )
j (11 ｋ1ｋ1 ) k 1

现代信号处理论文(1)

AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真钱平（信号与信息处理 S101904010）一．引言现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。

现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。

目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。

现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。

基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。

在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。

这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、改进的协方差法，以及最大似然估计法。

本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。

实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。

功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。

功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。

现代功率谱估计

现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。

功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。

在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。

通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。

但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。

Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。

改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。

自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。

这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。

这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。

现代信号处理经典的功率谱估计

现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。

在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。

平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。

与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。

其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。

其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。

利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。

三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。

1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。

（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。

（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。

1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。

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现代谱估计实验报告
1实验目的
功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。

如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。

本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA模型、ARMA谱估计。

掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS算法等。

利用ARMA 功率谱估计中Cadzow谱估计子和Kaveh谱估计子来进行谱估计。

2实验原理
冃景
若离散随机过程｛x(n)｝服从线性差分方程
p q
x(n) a i X(n i) e(n) b j e(n j) (1)
i 1 j 1
式中e (n)是一离散白噪声，则称｛x(n)｝为ARMA过程，而式(1)所示的差分方程称为ARMA模型。

系数a1,a2・・p,和b1,b2•…b q,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p和q分别叫做AR阶数和MA阶数。

式(1)所示的ARMA过程，其功率谱密度为
jw I
/ 、2〔B(z)| 2 B(e)l
w両z e jw |B(e jw)| (2)
Px
ARMA谱估计的目的是使用N个已知的观测数据x(0)，x(1)：.x(N-1)计算出ARMA过程｛x(n)｝的功率谱密度估计。

在实际中，可以运用cadzow谱估计子和kaveh谱估计子来估计，cadzow谱估计子秩序确定AR阶数p和估计AR参数，而kaveh谱估计子也只需要确定AR 阶数p和估计AR参数以及MA阶数。

相关算法
AR阶数p的确定用奇异值分解(SVD,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS), 即应用(SVD-TLS算法来完成ARMA谱估计。

SVD-TLS 算法：
步骤1计算增广矩阵B的SVD,并储存奇异值和矩阵V;
步骤 2 确定增广矩阵 B 的有效秩p；
步骤 3 计算矩阵S;
步骤4求S的逆矩阵S--并计算出未知参数的总体最小二乘估计。

3 实验内容
仿真的观测数据由下式给出：
xn = square(W*n)+*randn(1,N) ( 3)
其中, fs = 20000, n = 0:1/fs: , N = length(n), W = 2000*pi 。

1、采样周期图法进行谱估计
2、假设AR阶数未知，用SVD-TLS^法确定AR阶数和参数，然后使用Cadzow 谱估计子进行谱估计。

4 Matlab 仿真
仿真的观测数据时域信号如图 1 所示
图1观测数据时域信号
1、经典功率谱估计
周期图法是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列。

直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k),然后再取其幅值的平方，并除以N,作为序列x(n)真实功率谱的估计。

仿真图如图2所示。

图2周期图法功率谱
2、现代功率谱估计
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求
参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。

主要是针对经典谱估计的分辨率低和
方差性能不好等问题提出的。

按照上面介绍的步骤，编写程序对观测信号x(n)进行仿真，可以设置不同的M ,qe,pe的值，以便分析对比。

图3是设置了M=2001，qe=100, pe=50,后得出的x(n)的功率谱图形。

图3 ARMA模型功率谱
5实验总结
本次实验分别用了周期图法和ARMA模型的参数估计方法对方波信号进行了功率谱估计，通过实验和得到的仿真图对比可以发现：
通过周期图法得到的功率谱估计频谱分辨率较低，不能适应高分辨率功率谱
估计的要求，参数化的谱估计可以获得高频率分辨率的功率谱。

经典功率谱估计的分辨率反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率可以不受此限制。

这是因为对于给定的N点有限长序列x(n),虽然其估计出的自相关函数也是有限长的，但是现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，不像经典谱估计那样受窗函数的影响。

因而现代谱的分别率比较高，而且现代谱线要平滑得多，从上图可以清楚看出。

6 附录
Matlab 程序如下：
clear; close all fs = 20000;
n = 0:1/fs:;
N = length(n);
W = 2000*pi; x1n = square(W*n); x2n = randn(1,N); xn = x1n+*x2n; figure;plot(n,xn); title( '时域信号'); Nfft = 100;
[Pxx,f] = period(xn,fs,Nfft); figure;plot(f,Pxx);
title( '周期图法功率谱');
%ARMA谱估计
pe = 50;
qe = 100;
NARMA = length(xn);
M = length(n);
[a,Rx,p] = ARMA (xn,qe,pe,M);
%CadzoW谱估计子
[Pw] = Cadzow(a,Rx,p,NARMA);
%功率谱X
figure;plot((0:length(Pw)-1)*fs/length(Pw),Pw);
title('ARMA模型');
function [Pxx,f] = period(xn,fs,Nfft)
Pxx = abs(fft(x n, Nfft)42)/Nfft;
f = (0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);
function [a,Rxx,p] = ARMA(xn,qe,pe,M) Rxx = xcorr(xn',unbiased'); for(i = 1:M) for(j = 1:pe+1)
Re(i,j) = Rxx(pe+i+1-j);
end
end [U,S,V] = svd(Re);
Ak = 0; for(i = 1:pe+1)
Ak = Ak + S(i,i)A2;
end;
Akf = 0;
v = Akf/Ak;
p = 0;
while v <
p = p+1;
Akf = Akf + S(p,pF2; v = Akf/Ak;
end
Sp = 0;
for j =1:p
for i =1:pe+1-p
Sp=Sp+S(i,iF2*V(i:i+p,j)*V(i:i+p,j)： end end invSp = inv(Sp);
for(i = 1:p)
a(i) = invSp(i+1,1)/invSp(1,1);
end function [Pw] = Cadzow(a,Rx,p,N) Ro = Rx;
Ro(N) = *Rx(N);
p = p-1;
n = zeros(1,p+1);
for k=1:p+1
n(k) = a(1:p+1)*Ro(k+N:-1:k-p+N)';
end wfreq = linspace(0,2*pi,N);
z = exp(sqrt(-1)*wfreq);
Pw = polyval( n, z)./polyval(a,z)+polyval( n, z.A-1)./polyval(a,z.A-1); Pw = abs(Pw);。