苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》
专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。
那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
O
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。
苏教版高中数学必修42.5向量的应用word教案
第 12 课时：§ 向量的应用【三维目标】：一、知识与技术1.经历用向量方式解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的进程，体会向量是一种处置几何问题、物理问题等的工具，进展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在那个进程中培育学生探讨问题和解决问题的能力二、进程与方式1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处置平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同窗一路总结方式，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培育学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同窗们对用向量研究几何和其它学科有了一个初步的熟悉；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方式解决实际问题的大体方式；向量法解决几何问题的“三步曲”。
难点：实际问题转化为向量问题，表现向量的工具作用。
用向量的方式解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探讨式学习法(2)反馈练习法：以练习来查验知识的应用情形，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【讲课类型】：新讲课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭露课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多如此的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，咱们就来用向量知识研究解决一些实际问题。
2.研究的方式：用数学知识解决实际问题，第一要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对那个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。
苏教版数学高一必修四 作业 2.5向量的应用
一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．解析：∵AB＝(－4,3)，∴做功W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：14．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为________．解析：作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.答案：120°5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA·OB ＝__________.解析：如图，取D为AB的中点，∵OA＝1，AB＝3，∴∠AOD＝π3.∴∠AOB ＝2π3. ∴OA ·OB ＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ，由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12. 所以|a ＋b |2＝(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6. 故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝2AP ，求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－6.①由RA ＝(1－x 0，－y 0)，AP ＝(x －1，y )，又RA ＝2AP ，∴1－x 0＝2x －2，－y 0＝2y ，∴x 0＝3－2x ，y 0＝－2y ，代入①式得y ＝2x ，即为所求．8.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角，设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|F a |cos 45°＝|F b |cos 30°，|F a |sin 45°＋|F b |sin 30°＝100，解得|F a|＝1502－506，故A处受力的大小为(1502－506)N.。
高一数学苏教版必修4教师用书：2.5 向量的应用
2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0， 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ， 从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →， 所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)， 设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0， 即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】 设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0， 即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】 连结OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。
苏教版必修4《向量的应用》说课稿
苏教版必修4《向量的应用》说课稿一、教材分析《向量的应用》是苏教版必修4的一章内容，主要涵盖了向量在几何、力学和运动学中的应用。
本章内容紧密联系，具有一定难度，但通过生活中的实际例子，能帮助学生更好地理解和应用向量的概念。
该章节在必修4中的位置为第3章，共有4个小节，包括：1.向量的基本概念：讲解了向量的定义、向量的加法和减法，以及与数的乘法的区别。
2.平面向量及其坐标表示：介绍了平面向量的坐标表示和向量的数量等概念。
3.平面向量的共线、共面与线性运算：讲解了共线向量、共面向量的判定方法和向量与常数的乘法。
4.平面向量与几何应用：主要包括三角形的向量解法、平行四边形面积与叉积以及垂直平分线问题。
通过学习这些内容，学生将能够把向量概念应用到几何、力学和运动学的问题中，提高问题解决的能力。
二、教学目标本章的教学目标主要包括：1.理解向量的定义和基本运算规则，掌握向量的加法、减法和数乘运算。
2.掌握平面向量的坐标表示方法，能够在几何图形中使用坐标表示向量。
3.判断平面向量的共线、共面性质，掌握线性运算的性质。
4.运用向量解决几何问题，如利用向量求三角形的面积、判断平行四边形是否共面等。
5.培养学生的综合思考和解决问题的能力，培养学生合作学习和信息获取的能力。
三、教学内容及教学步骤1. 向量的基本概念1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，用加粗字母表示，如a。
2.向量的加法和减法：向量的加法是按照平行四边形法则进行，向量的减法是加上被减向量的相反数。
3.向量与数的乘法：向量与数的乘法是将向量的大小乘以一个数，方向不变。
2. 平面向量及其坐标表示1.平面向量的概念：平面向量是一个有大小和方向的有序对，在数学上可用有向线段表示。
2.平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示是用有序实数对表示，如向量a=(a₁, a₂)。
3.平面向量的数量：向量的数量等于其终点的坐标与起点的坐标之差。
3. 平面向量的共线、共面与线性运算1.共线向量的判定：若两个向量a和b的方向相同或相反，则它们共线；若向量a与b共线，且有一实数k使得a=k b，则a与b共向或反向。
苏教版必修4高中数学2.5《向量的应用》ppt课件1
课堂练习
如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作
DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF
与结G论H:是EF否∥平G行H .
A
E F G PH
B
D
C
课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思
路：几何问题向量化
向量运算关系
化2.用向量方向法量研关究系几几何何问化题. ，需要用向量
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
的观点看问题，将几何问题化归为向量问
题来解决.它既是一种数学思想，也是一种
数学能力.其中合理设置向量，并建立向量
关系，是解决问题的关键.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
最新中小学教学课件
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2019-2020学年苏教版必修4 2.5 向量的应用 课件(47张)
第2章 平面向量
向量在解析几何中的应用 已知 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)若使四边形 ABCD 是矩形，试确定点 C 的坐标，并求该矩 形的两对角线所成的锐角的余弦值．
栏目 导引
第2章 平面向量
【解】 (1)证明：因为 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以A→B ＝(1，1)，A→D＝(－3，3)， 所以A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0，
解：(1)由已知可设A→B＝D→C＝a，B→E＝F→D＝b，故A→E＝A→B＋B→E ＝a＋b，F→C＝F→D＋D→C＝b＋a.又 a＋b＝b＋a，则A→E＝F→C， 即 AE，FC 平行且相等，故四边形 AECF 是平行四边形．故 填平行四边形． (2)证明：设D→C＝λA→B(λ＞0)， 因为P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q－A→P ＝A→B＋12(B→D－A→C)
而A→H＝O→H－O→A＝h－a＝b＋c， C→B＝O→B－O→C＝b－c， 所以A→H·C→B＝(b＋c)·(b－c)＝|b|2－|c|2＝0. 所以A→H⊥C→B.
栏目 导引
第2章 平面向量
(3)在△ABC 中，O 是外心，
∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，所以∠BOC＝120°，∠AOC
＝90°.
栏目 导引
第2章 平面向量
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和 风向标，测得风向为东偏南 30°，风速为 4 m/s，这时气象台 报告实际风速为 2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
栏目 导引
第2章 平面向量
【解】 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度 为 v 车地，风对车的速度为 v 风车，风对地的速度为 v 风地．风对地 的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即 v 风地＝v 风车＋v ， 车地 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量 v 风地的有向线段A→D是平行四边形 ACDB 的对角线．
高中数学 2.5向量的应用教案 苏教版必修4
2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ． 变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？ （3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥． 题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？ （2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。
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最新版高中数学 2.5 向量的应用
一览众山小
诱学导入 材料：向量作为一种重要的工具,除了在数学中有广泛的应用之外,在物理学中也有广泛的应用,是研究物理问题的重要工具之一,如力、速度、加速度的合成与分解都与向量的合成与分解有关,由上节学习数量积的过程可知,功是力与位移的数量积.实际上在日常生活中有好多问题都可以用向量知识来解释.如“两个人同提一桶水,或共同提一个旅行包,夹角越大就越吃力”“在单杠上做引体向上时,两臂的夹角越小就越省力”等.
问题:你能用你所学解释这些现象吗？
导入：为了确切地描述这一问题,就需要将这一物理问题转化成数学问题.不考虑物理因素,只考虑向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识即可解决问题.
温故知新
1.什么是向量加法的平行四边形法则？
答:对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出OA =a ,OC =b ,以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC,则以O 为起点的对角线OB 就是向量a 与b 的和,这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.平面向量基本定理的内容是什么？
答:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.
3.直角三角形中锐角三角函数是怎样定义的？
答:在初中我们利用直角三角形定义了锐角的三角函数,如图2-5-1,在Rt △ABC 中,锐角A 的三角函数定义如下:
图2-5-1
sinA=
斜边的对边A ∠;cosA=斜边的邻边A ∠;t a nA=邻边
的对边A A ∠∠.。