高一数学教案[苏教版]平面向量基本定理1
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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江苏省高一数学下册 第二单元《平面向量》全套教案
江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1） 向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； （2） 若a b =，则a b =或a b =-； （3） 若a 与b 是平行向量，则a b =； （4） 若//,//a b b c ，则//a c ．（5） 已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形： （1） 把所有单位向量起点平移到原点；（2） 把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点； （3） 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1） 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 （1） 写出与向量相等的向量__________________ （2） 写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级 姓名 得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=． 其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则 （1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向 长度 ．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是 ．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１） 分别写出与,AO BO 相等的向量；（２） 写出与AO 共线的向量； （３） 写出与AO 的模相等的向量； （４） 向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +； （2）BC FE +； （3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+； （2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级 姓名 得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当 （ ） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________． （2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的 方向飞行1500km 到达丙地。
苏教版高中数学高一课件 平面向量基本定理
方法技巧 用待定系数法确定向量的表示 例4 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC， AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
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1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 基底的是_②___.(填序号)
反思与感悟
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跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④__.(写出所有满足 条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
解析答案
题型二 用基底表示向量 例 2 如图所示，已知▱ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 边上的中点，
若A→B＝a，A→D＝b，试以 a、b 为基底表示D→E、B→F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等
分点，若A→B＝a，A→C＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F. 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C ＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝A→B＋23B→C＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何 问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归， 使问题得以解决.
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第二册 9-3-1 平面向量基本定理讲课教案
学习目标：1. 了解平面向量基本定理的定义和含义。
2. 熟悉平面向量基本定理的应用方法。
3. 能够运用平面向量基本定理解决几何问题。
学习重点：1. 平面向量基本定理的定义和含义。
2. 平面向量基本定理的应用方法。
学习难点：1. 能够运用平面向量基本定理解决几何问题。
2. 掌握平面向量基本定理的具体运用方法。
教学方法：归纳法、演示法、实践探究法教学步骤：一、引入（5分钟）提问：在平面内，两个向量垂直的条件是什么？二、讲解（30分钟）（1）平面向量基本定理的定义和含义对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 的充要条件是$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直。
含义：如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。
（2）平面向量基本定理的应用方法通过向量的数量积判断两个向量是否垂直，具体步骤如下：步骤一：求出两个向量的数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
步骤二：根据平面向量基本定理判断两个向量是否垂直。
（3）平面向量基本定理的应用例如：已知点 $A(-1,3)$、$B(2,-4)$、$C(-3,-6)$，求证 $\overrightarrow{AB}$ 与$\overrightarrow{AC}$ 垂直。
解：首先求得 $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix}$ 和$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \end{pmatrix}$，然后计算$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-7) \times (-9) = 57$。
因为$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 不为零向量，所以它们垂直当且仅当$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$，即 $57=0$，矛盾！因此，可证得$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 不垂直。
苏教版平面向量基本定理教案
苏教版平面向量基本定理教案教案标题：苏教版平面向量基本定理教案教案目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质。
2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。
3. 理解平面向量的基本定理及其应用。
教学重点：1. 平面向量的概念和基本性质。
2. 平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。
3. 平面向量的基本定理及其应用。
教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解和应用。
2. 解决与平面向量相关的实际问题。
教学准备：1. 教材：苏教版高中数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪、计算器。
教学过程：Step 1: 引入1. 利用投影仪或黑板上展示平面向量的定义和基本性质，引起学生对平面向量的兴趣。
2. 通过举例说明平面向量的实际应用，如力的合成、位移等。
Step 2: 知识讲解1. 讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则，并通过示例进行演示和解释。
2. 介绍平面向量的基本定理，即平面向量的模长和方向可以唯一确定一个向量。
Step 3: 理解与应用1. 引导学生理解平面向量的基本定理，并通过实例演示如何利用基本定理解决与平面向量相关的问题。
2. 给学生提供一些练习题，让他们运用基本定理解决问题，并进行讲解和梳理。
Step 4: 拓展与巩固1. 提供一些拓展的问题，让学生运用平面向量的基本定理解决复杂的实际问题。
2. 给学生布置一些作业，巩固所学知识。
Step 5: 总结与评价1. 对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的基本定理的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生积极思考和提问，对所学内容进行评价和反馈。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习平面向量的其他性质和定理，并进行拓展应用。
2. 提供更多的实际问题，让学生锻炼解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习检查学生对平面向量基本定理的理解和应用能力。
2. 作业评价：对学生完成的作业进行批改和评价，发现问题并及时纠正。
教学反思：本节课采用了引入、知识讲解、理解与应用、拓展与巩固、总结与评价等教学步骤，使学生在实际操作中逐步理解和掌握平面向量的基本定理。
高中数学苏教版必修精品教学案全集： 第六课时 平面向量基本定理
第六课时平面向量基本定理教学目标：了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.Ⅱ.讲授新课平面向量基本定理：如果e１、e２是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ１、λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２.说明：（１）我们把不共线向量e１、e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（２）基底不唯一，关键是不共线；（３）由定理可将任一向量a在给出基底e１、e２的条件下进行分解；（４）基底给定时，分解形式唯一；（５）一个平面向量用一组基底e１、e２表示成a＝λ１e１＋λ２e２的形式，我们称它为向量的分解。
当e１、e２互相垂直时，就称为向量的正交分解。
［例１］如图，平行四边形ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝错误!BC，以a、b为基底分解向量错误!与错误!.分析：以a，b为基底分解向量错误!与错误!，实为用a与b表示向量错误!与错误!.解：［例２］如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且错误!＝t，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，求错误!与错误!.分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为t，∴错误!＝错误!＝t，转化向量的关系为：错误!＝t错误!，错误!＝t错误!，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.解：Ⅲ.课堂练习课本P7１练习１，２，３，４.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业预习课本P7３。
36.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.3.1平面向量基本定理
ab§2.3.1 平面向量基本定理学习目标：⒈理解向量数乘的意义，掌握向量的数乘与这个向量的模和方向之间的关系．⒉掌握实数与向量数量积的运算律，并会用它们进行计算． ⒊理解两个向量共线的条件，会根据条件判定两个向量共线．教学重点：平面向量基本定理． 教学难点：平面向量基本定理． 教学方法：讲授、讨论式．教具准备：用《几何画板》演示平面向量基本定理、向量的正交分解． 教学过程：课前练习:1. 如图,已知=a , =b, 求作①a +2b . ② -2a +3b . ③a －b .④-2a -3b.（Ⅰ）新课引入：上节课，我们一起学习了向量的数乘运算，掌握了平面向量数乘的定义及运算律以及两向量共线的条件．根据上述知识，给定平面内任意两个向量e 1，e2，我们可以作出形如3e 1+2e 2、e 1-2e2的向量．那么，平面内的任一向量是否都可以用形如1λe 1+2λe2的向量表示呢？为了解决上面的问题，我们今天学习平面向量基本定理及其应用．（Ⅱ）讲授新课： ⒈平面向量基本定理如图，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量．在平面内任取一点O ，作OA = e 1，OB = e 2，OC = a．过点C 作直线OB 的平行线，交直线OA 于点M ；过点C 作直线OA 的平行线，交直线OB 于点N ．由向量线性运算的性质可知，存在实数1λ、2λ，使得OM = 1λe 1，ON =2λe 2．由于OC OM ON =+，所以a ＝1λe 1+2λe 2．也就是说，任一向量a 都可以表示成1λe 1+2λe2的形式．另一方面，对于同一平面内两个不共线的向量e 1、e2，如果有a ＝1λe 1+2λe 2且a ＝1m e 1+2m e2，那么1λe 1+2λe 2＝1m e 1+2m e2，∴ (1λ-1m )e 1+＝(2m -2λ)e2．由向量e 1、e2不共线，得1λ-1m ＝2m -2λ＝0， ∴1λ=1m 且2m =2λ．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来；当e 1、e2确定后，这种表示形式是唯一的．（用《几何画板》演示）我们得到了如下的平面向量基本定理：如果e 1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.说明：⑴不共线的向量e 1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； ⑵同一平面可以有不同的基底，关键是不共线的向量才可以作为基底；⑶由此定理可将任一向量a 对给定的基底e 1、e2进行分解，并且这种分解的形式唯一确定．理解： ①λ1>0, λ2>0, 则a向量的终点在区域Ⅰ; ②λ1<0, λ2>0, 则a 向量的终点在区域Ⅱ; ③λ1<0, λ2<0, 则a向量的终点在区域Ⅲ;④λ1>0, λ2<0, 则a向量的终点在区域Ⅳ;⑤λ1+λ2=1, 则a 向量的终点与向量e1、e2终点在一条直线上.平面向量共线定理可知,任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示,而且这种表示是惟一的; 平面向量基本定理是向量共线定理的推广.在“空间向量”一章中我们将对平面向量基本定理作进一步推广,得到空间向量基本定理,这一定理表明任意一个空间向量可以用不共面的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是惟一的.这三个定理可以看成(在一定范围内的)向量分解“惟一性”定理.分析:利用关系AC AB AD =+ ,和12MC AC =来求解.练习:(课时训练P48练习6)解析:⒉向量的夹角不共线的向量有不同的方向，怎样来区别它们的位置呢？我们可以用向量间的夹角来表示它们之间的位置关系．这就需要我们来规定出两个向量夹角的意义：已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b，则AOB θ∠=(0180)θ≤≤叫做向量a 与b 的夹角．说明：⑴在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.⑵当θ＝0 时，a 与b 同向；当θ＝180时，a 与b 反向．⑶如果向量a 与b 的夹角是90，我们称a 与b 垂直，记a ⊥b ．⒊平面向量的正交分解如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．练习:如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△OAC 中，∠AOC =∠BOC =60°，∠OAC =90°.OAB||=||cos30°=23×300=1503（N ）（见图示）.由图|AC |=|OC |sin30°=21×300=150（N ），|OB |=|AC |=150（N ）. 故与铅垂线方向成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线方向成60°角的绳子的拉力为150 N.证明: AD ABBC CD =++请同学们将点换成点B再证明一次! 练习: (课时训练P47例2)证明:强化突破:如图所示，在△OAB 中，OC =14OA,OD =21OB ,线段AD 与BC 交于点M ，设OA =a ， OB =b ，试用a 、b表示OM .解析：-==b －a2121=-=-=OA OB OA OD AD b－a4141=-=-=OB OA OB OC BC a－b设μλ==, (λ,μ＞0) 由AB ≠AM BM =(b －a )+μ(41a－b )=λ(－a +21b )∴(41μ+λ－1)a +(1－μ－2λ)b=0∵a 、b不共线.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+0210141λμλμ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7476μλ∴ 17OM OA AM =+= a +73b .练习:在△OAB 中，AB 上有一点P （点P 不与A 、B 重合），设=a ，OB =b ，OP =x a +y b （x 、y 均为非零实数）.求证：x +y =1且x y AP =PB .证明：设=λ（λ>0）， 则AP =1+λλAB =1+λλ（－）=1+λλ（b －a ），= +=a +1+λλ（b +a ）=λλ+1a +λλ+1b . 又∵=x a +y b ，所以x =λλ+1，y =λλ+1. ∴x +y =λ+11+λλ+1=1且x y =λ，即AP =x y PB .（Ⅲ）课后练习：课本P72 练习（Ⅳ）课时小结:同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．（Ⅴ）课后作业：⒈课时训练⒉预习课本P72～P75，思考下列问题：⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？⑷例4结论，在解题思路上与2.2.3小节的例4有什么联系？板书设计：在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC === ，M 为BC 的中点，则MN = _______.（用a b 、表示） 【解析】本题考查了平面向量的线性表示,考查了向量的平面几何性质.1124MN MC CN b AC =+=- 1111()()2424b AB AD b a b =-+=-+ 1144a b =-+ .(06·湖南文)10.A如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线 围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41(B . )32,32(- C. )43,41(- D . )57,51(-【解析】本题考查了平面向量的几何意义及平行四边行法则,平面向量基本定理的掌握. 由已知在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内, 则有 (01,0)OP OB AB λμλμ=+<<>∵()()OP OB OB OA OA OB λμμλμ=+-=-++ ,又由已知OB y OA x OP +=得0x μ=-<, 且(,1)y x x x λμλ=+=-∈-- .经验证实数对（x ,y ）仅C 答案43,41(-符合上述条件.故应选C.(06·湖南理)15.如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+ ,则x 的取值范围是 ;当12x =-时,y 的取值范围是 . 【解析】本题考查了平面向量的几何意义及平行四边行法则,平面向量基本定理的掌握.由已知在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内, 则有 (01,0)OP OB AB λμλμ=+<<>∵()()OP OB OB OA OA OB λμμλμ=+-=-++A∴,,xyμλμ=-⎧⎨=+⎩即得0xμ=-<.∴x∈(,0)-∞ .当12x=-时12μ=,∵01λ<<, ∴yλμ=+∈13(,)22.。
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第六课时 平面向量基本定理
教学目标：
了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.
教学重点：
平面向量基本定理.
教学难点：
平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.
Ⅰ.讲授新课
平面向量基本定理：
如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式唯一；
(5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。
当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
［例1］如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使
BF ＝13 BC ，以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →. 分析：以a ，b 为基底分解向量AB →与HF →，实为用a 与b
表示向量AM →与HF →.
解：由H 、M 、F 所在位置有：
AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12 DC →＝AD →＋12 AB →＝b ＋12
a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13 BC →－12 AD →＝AB →＋13 AD →－12 AD →＝a －16
b ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ⅠBC ，且
PQ BC
＝t ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，
求OP →与OQ →.
分析：由平面几何的知识可得ⅠAPQ ⅠⅠABC ，且对应边的比为t ， ⅠAP AB ＝AQ AC
＝t ，转化向量的关系为：AP →＝tAB →，AQ →＝tAC →， 又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用
以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.
解：ⅠPQ ⅠBC ，且PQ BC
＝t ，有ⅠAPQ ⅠⅠABC ，且对应边比为 t (＝PQ BC )，即AP AB ＝AQ AC
＝t . 转化为向量的关系有：AP →＝tAB →，AQ →＝tAC →，又由于：AP →＝OP →－OA →，AQ →＝OQ →－OA →，AB
→＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →.
ⅠOP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝a ＋t (b －a )＝(1－t )a ＋t b ，
OQ →＝OA →＋AQ →＝OA →＋t (OC →－OA →)＝t (c －a )＋a ＝(1－t )a ＋t c .
Ⅰ.课堂练习
课本P 71练习1，2，3，4.
Ⅰ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅰ.课后作业
预习课本P 73。