高一数学教案[苏教版]平面向量基本定理1

第六课时 平面向量基本定理

教学目标：

了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.

教学重点：

平面向量基本定理.

教学难点：

平面向量基本定理的理解与应用.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.

这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.

Ⅰ.讲授新课

平面向量基本定理：

如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一；

(5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解。

［例1］如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使

BF ＝13 BC ，以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →. 分析：以a ，b 为基底分解向量AB →与HF →，实为用a 与b

表示向量AM →与HF →.

解：由H 、M 、F 所在位置有：

AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12 DC →＝AD →＋12 AB →＝b ＋12

a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13 BC →－12 AD →＝AB →＋13 AD →－12 AD →＝a －16

b ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ⅠBC ，且

PQ BC

＝t ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，

求OP →与OQ →.

分析：由平面几何的知识可得ⅠAPQ ⅠⅠABC ，且对应边的比为t ， ⅠAP AB ＝AQ AC

＝t ，转化向量的关系为：AP →＝tAB →，AQ →＝tAC →， 又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用

以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.

解：ⅠPQ ⅠBC ，且PQ BC

＝t ，有ⅠAPQ ⅠⅠABC ，且对应边比为 t (＝PQ BC )，即AP AB ＝AQ AC

＝t . 转化为向量的关系有：AP →＝tAB →，AQ →＝tAC →，又由于：AP →＝OP →－OA →，AQ →＝OQ →－OA →，AB

→＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →.

ⅠOP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝a ＋t (b －a )＝(1－t )a ＋t b ，

OQ →＝OA →＋AQ →＝OA →＋t (OC →－OA →)＝t (c －a )＋a ＝(1－t )a ＋t c .

Ⅰ.课堂练习

课本P 71练习1，2，3，4.

Ⅰ.课时小结

通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.

Ⅰ.课后作业

预习课本P 73