2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：05(苏教版)

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2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：15(苏教版)

D 1 第十五教时教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。

过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法3．平移的有关概念、公式二、例题例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是的………………（C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2 ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b例二、向量a 与b 夹角为3π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。

解：|a +b |2 = |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = 4 + 2×2×1×cos 3π + 1 = 7 ∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2 = 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21 例三、中，AB = a ，= b ，= c ，DA = d ，且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0是矩形例四、如图△ABC 中，= c ，= a ，= b ，则下列推导不正确的是……………（D ）A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

江苏省白蒲中学高一数学平面向量教案03 苏教版

江苏省白蒲中学2013高一数学平面向量教案03 苏教版教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。

过程：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB CD 解：=++=++二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。

记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。

-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作= a , = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

注意：1︒表示a - b 。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

4． a ∥b ∥c a- b = a + (-b ) a - b OAa B’b -bBa + (-b ) a b A BO a bBa ba -ba -bB B’ a -ba a bbO A O Ba -b BA O-b三、例题：例一、（P101 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。

江苏省高一数学下册第二单元《平面向量》全套教案

江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1）向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）若a 与b 是平行向量，则a b =；（4）若//,//a b b c ，则//a c ．（5）已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形：（1）把所有单位向量起点平移到原点；（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点；（3）把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形（1）写出与向量相等的向量__________________ （2）写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级姓名得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=．其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则（1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向长度．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１）分别写出与,AO BO 相等的向量；（２）写出与AO 共线的向量；（３）写出与AO 的模相等的向量；（４）向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +；（3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+；（2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级姓名得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当（） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________．（2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的方向飞行1500km 到达丙地。

江苏省白蒲中学高一数学平面向量教案02 苏教版

- 1 -江苏省白蒲中学2013高一数学平面向量教案02 苏教版教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。

能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：一、复习：向量的定义以及有关概念强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。

长度相等、方向相同的向量相等。

2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

二、提出课题：向量是否能进行运算？1．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+2．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：=+ 3．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：=+ 4．船速为，水速为，则两速度和：AC BC AB =+提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： 1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点，A B CA BCA BCAA AB B BC C OAaaabb ba +b a +b aa b b b a a- 2 -作= = 则+=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中+的结果与+是否相同验证结果相同从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使=, =, =则(+) +==+ a + (b +c ) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

江苏省白蒲中学2012-2013学年高一数学教案第五章《平面向量》25(苏教版)

第二十五教时教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。

过程：复习：1．定义、其结果是一个数量。

2．a •b >0⇔0≤θ<90︒；a •b =0⇔=θ=90︒ 即a ⊥b ；a •b <0⇔90︒<θ≤180︒3．性质1︒ —5︒4．运算律一、例题：1．已知|a | = 5，|b | = 8，a 与b 的夹角为60︒，求 |a + b |解：a •b = |a ||b |cos60︒ = 5×8×21= 20 ∴|a + b |2 = (a + b )2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b = 129∴|a + b | =1292．求证：|a + b |≤|a | + |b |证：|a + b |2 = (a + b ) 2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b = |a |2 + |b |2 + 2|a ||b |cos θ≤ |a |2 + |b |2 + 2|a ||b | = ( |a | + |b | )2即：|a + b |≤|a | + |b |3．设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c ) b - (a •b )c ，求证：a ⊥d4．证：内积a •c 与a •b 均为实数，∴a •d = a •[(a •c ) b - (a •b )c ] = a •[(a •c ) b ] - a •[(a •b )c ]= (a •b )(a •c ) - (a •c )(a •b ) = 0∴a ⊥d5．已知非零向量a 、b ，满足a ≠±b ，求证：b -a 垂直于a +b 的充要条件是|a | = |b |证：由题设：b -a 与a +b 均为非零向量必要性：设b -a 垂直于a +b ，则(b -a )(a +b ) = 0又：(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2∴|b |2 - |a |2 = 0 即：|a | = |b |充分性：设|a | = |b |，则(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2 = 0即：(b -a )(a +b ) = 0 ∴(b -a ) ⊥ (a +b )5．已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。

江苏省白蒲中学高一数学平面向量教案25 苏教版

江苏省白蒲中学2013高一数学平面向量教案25 苏教版教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。

过程：一、复习：1．定义、其结果是一个数量。

2． a •b >0⇔0≤θ<90︒；a •b =0⇔=θ=90︒ 即a ⊥b ；a •b <0⇔90︒<θ≤180︒ 3．性质1︒ —5︒ 4．运算律二、例题：1．已知|a | = 5，|b | = 8，a 与b 的夹角为60︒，求 |a + b |解：a •b = |a ||b |cos60︒ = 5×8×21= 20 ∴|a + b |2= (a + b )2= |a |2+ |b |2+ 2a •b = 129 ∴|a + b | =1292．求证：|a + b |≤|a | + |b |证：|a + b |2 = (a + b )2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b = |a |2 + |b |2+ 2|a ||b |cos θ≤ |a |2 + |b |2 + 2|a ||b | = ( |a | + |b | )2即：|a + b |≤|a | + |b |3．设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c ) b - (a •b )c ，求证：a ⊥d证：内积a •c 与a •b 均为实数，∴a •d = a •[(a •c ) b - (a •b )c ] = a •[(a •c ) b ] - a •[(a •b )c ]= (a •b )(a •c ) - (a •c )(a •b ) = 0∴a ⊥d4．已知非零向量a 、b ，满足a ≠±b ，求证：b -a 垂直于a +b 的充要条件是|a | = |b | 证：由题设：b -a 与a +b 均为非零向量必要性：设b -a 垂直于a +b ，则(b -a )(a +b ) = 0又：(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2∴|b |2 - |a |2= 0 即：|a | = |b |充分性：设|a | = |b |，则(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2= 0即：(b -a )(a +b ) = 0 ∴(b -a ) ⊥ (a +b )5．已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直， a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。

高一数学《平面向量》教案-最新教学文档

高一数学《平面向量》教案：5.3实数与向量的积综合练习目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）3．向量共线的充要条件4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）1．当Z时，验证：( + )= +证：当=0时，左边=0( + )= 右边=0 +0 = 分配律成立当为正整数时，令=n, 则有：n( + )=( + )+( + )+…+( + )= + +…+ + + + +…+ =n +n即为正整数时，分配律成立当为负整数时，令=n（n为正整数），有n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n分配律仍成立综上所述，当为整数时，( + )= + 恒成立。

2．如图，在△ABC中， = , = AD为边BC的中线，G为△ABC 的重心，求向量解一：∵ = , = 则 = == + = + 而 =解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F∵△AEF∽△ABC3．在 ABCD中，设对角线 = ， = 试用 , 表示，解一： = = = =解二：设 = ， =则 + = + = = ( )即： = ( ) = ( + )4．设 , 是两个不共线向量，已知 =2 +k , = +3 , =2 , 若三点A, B, D共线，求k的值。

解： = =(2 )( +3 )= 4∵A, B, D共线 , 共线存在使 =即2 +k =( 4 ) k=85．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = , = ，试以 , 为基底表示 , ,解： = = 连ND 则DC╩ND又： = =6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30= cos60=1 =0.5 (kg)= cos30=1 =0.87 (kg)即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg。

苏教版平面向量基本定理教案

苏教版平面向量基本定理教案教案标题：苏教版平面向量基本定理教案教案目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质。

2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。

3. 理解平面向量的基本定理及其应用。

教学重点：1. 平面向量的概念和基本性质。

2. 平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。

3. 平面向量的基本定理及其应用。

教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解和应用。

2. 解决与平面向量相关的实际问题。

教学准备：1. 教材：苏教版高中数学教材。

2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪、计算器。

教学过程：Step 1: 引入1. 利用投影仪或黑板上展示平面向量的定义和基本性质，引起学生对平面向量的兴趣。

2. 通过举例说明平面向量的实际应用，如力的合成、位移等。

Step 2: 知识讲解1. 讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则，并通过示例进行演示和解释。

2. 介绍平面向量的基本定理，即平面向量的模长和方向可以唯一确定一个向量。

Step 3: 理解与应用1. 引导学生理解平面向量的基本定理，并通过实例演示如何利用基本定理解决与平面向量相关的问题。

2. 给学生提供一些练习题，让他们运用基本定理解决问题，并进行讲解和梳理。

Step 4: 拓展与巩固1. 提供一些拓展的问题，让学生运用平面向量的基本定理解决复杂的实际问题。

2. 给学生布置一些作业，巩固所学知识。

Step 5: 总结与评价1. 对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的基本定理的重要性和应用价值。

2. 鼓励学生积极思考和提问，对所学内容进行评价和反馈。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习平面向量的其他性质和定理，并进行拓展应用。

2. 提供更多的实际问题，让学生锻炼解决问题的能力。

教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习检查学生对平面向量基本定理的理解和应用能力。

2. 作业评价：对学生完成的作业进行批改和评价，发现问题并及时纠正。

教学反思：本节课采用了引入、知识讲解、理解与应用、拓展与巩固、总结与评价等教学步骤，使学生在实际操作中逐步理解和掌握平面向量的基本定理。

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第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a
作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a
+a
+a
=3a
PN
=MN QM PQ ++=(-a
)+(-a
)+(-a
)=-3a
讨论：1︒3a
与a
方向相同且|3a
|=3|a
|
2︒-3a
与a
方向相反且|-3a
|=3|a
| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a
的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a
的积是一个向量，记作：λa
1︒|λa
|=|λ||a
|
2︒λ>0时λa
与a
方向相同；λ<0时λa
与a
方向相反；λ=0时λa
=0 3．运算定律：结合律：λ(μa
)=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a
=λa
+μa
② 第二分配律：λ
(a
+b )=λa
+λb ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a
≠0有：|λ(μa
)|=|λ||μa
|=|λ||μ||a
|
|(λμ)a
|=|λμ|| a
|=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa
)|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。

从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则②式显然成立
a
a
a a
O A B C
a
-a -a -a
-N M
Q P
如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa
和μa
同向， ∴|(λ+μ)a
|=|λ+μ||a
|=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa
+μa
|=|λa
|+|μa
|=|λ||a
|+|μ||a
|=(|λ|+|μ|)|a
| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向即：|(λ+μ)a
|=|λa
+μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a
|=|λa
+μa
| ∴②式成立第二分配律证明：
如果a =0，b
=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a ≠0
，b
≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a
=AB b
=1OA λ
a
=11B A λb
则=OB a +b
=1OB λ
a
+λb
由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴
==
|
||||
|||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
∴
=|
|||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也
相同
λ
(a +b
)=λ
a
+λb
当λ<0时可类似证明：λ(a
+b )=λa +λb ∴ ③式成立
4．例一（见P104）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
O
A
B B 1
A 1
A
O
B
B 1
A 1
1．
若有向量a (a
≠0
)、b ，实数λ，使b =λa
则由实数与向量积的
定义知：a
与b 为共线向量
若a
与b
共线(a
≠0
)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa
当a
与b
反向时b =-μa
从而得：向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
使b =λa
2．例二（P104-105 略）三、小结：
四、作业：课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。