一元二次不等式的解法步骤_图解不等式
一元二次不等式的解法计算过程
一元二次不等式的解法计算过程嘿，咱今儿个就来唠唠一元二次不等式的解法计算过程。
你说这一元二次不等式啊，就像是个调皮的小精灵，得好好抓住它的小辫子才能搞定它。
咱先看看一元二次不等式长啥样，比如说 ax²+bx+c＞0 或者ax²+bx+c＜0 这样的。
那怎么解它呢？这可得有点小技巧啦。
咱先把它对应的一元二次方程 ax²+bx+c=0 给拎出来，然后用那什么求根公式算出两个根 x1 和 x2。
这就好比是找到了这个小精灵的两个落脚点。
然后呢，咱就根据这两个根把数轴分成几段。
嘿，你想想，这数轴就像一条长长的跑道，这两个根就是跑道上的标记点。
要是不等式是大于号，那咱就找跑道上在两根之外的部分，就像你找朋友，肯定找不在那两个特定点上的其他地方呀。
要是小于号呢，那就找两根之间的部分，这就好比找个安全的小窝躲起来。
举个例子呗，比如说 x²3x+2＞0，咱求出根是 1 和 2。
那数轴就被分成三段，小于 1 的那段，1 到 2 那段，还有大于 2 的那段。
因为是大于号，所以就找小于 1 和大于 2 的那两段，这两段上的 x 可都是满足条件的哟。
你说这是不是挺有意思的？就像玩游戏一样，找到正确的解法就通关啦。
再比如一个不等式 x²+2x1＜0，咱先整理一下变成 x²2x+1＞0，也就是(x1)²＞0。
那根就是 1 呗，可这时候就有点不一样啦，因为平方肯定是大于等于 0 的，要想大于 0，那就不能等于 1 呀，所以 x 就不能是 1，其他的都行。
哎呀，这一元二次不等式的解法计算过程啊，真的需要咱好好琢磨琢磨。
有时候可能会觉得有点难，但你想想，这就像爬山，虽然过程有点累，但等你爬到山顶，看到那美丽的风景，就会觉得一切都值了。
咱可不能被这小精灵给难住了呀，多练几次，肯定能把它拿捏得死死的。
等你熟练了，解起一元二次不等式来就跟玩儿似的。
所以啊，别害怕，大胆去尝试，去探索，你肯定能掌握这个有趣的解法计算过程的！加油吧！。
一元二次不等式公式解法
一元二次不等式公式解法一元二次不等式是指类似于ax+bx+c>0的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。
解一元二次不等式的方法可以分为以下两种公式解法：1.配方法当a>0时，我们可以通过配方法将一元二次不等式转化为(x+m)+n>0的形式。
具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≥0的形式。
②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≥0。
③将b/a的一半平方再减去c/a，得到(b/2a)-c/a=m，其中m为实数。
④将式子转化为a[(x+b/2a)-(b/2a)+c/a]≥0。
⑤将式子化简，得到(x+b/2a)+(4ac-b)/4a>0。
⑥将4ac-b表示为n，得到(x+b/2a)+n/4a>0。
⑦由于a>0，所以n>0，而完全平方数加上正数大于0，所以(x+b/2a)+n/4a>0，即(x+m)+n>0。
2.因式分解法当a<0时，我们可以通过因式分解法将一元二次不等式转化为(ax+b)(x+c)<0或(ax+b)(x+c)>0的形式。
具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≤0或ax+bx+c≥0的形式。
②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≤0或a(x+bx/a+c/a)≥0。
③将x+bx/a+c/a表示为(x+d)(x+e)的形式，其中d、e为实数。
④当a<0时，(x+d)(x+e)>0；当a>0时，(x+d)(x+e)<0。
⑤当a<0时，解(x+d)(x+e)>0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集；当a>0时，解(x+d)(x+e)<0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集。
以上就是一元二次不等式的两种公式解法。
需要注意的是，在解一元二次不等式时，我们需要根据a的正负性和不等式的形式来选择不同的解法。
一元二次不等式和简单高次不等式的解法
C.
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4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0， 可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
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5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
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3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范 围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题， 要注意利用“三个二次”之间的联系(如一 元二次不等式的解区间端点是对应二次方 程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， 则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
《一元二次不等式及其解法》
题3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数的图象的对 称轴为x=a,
①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在［-1,+∞)上单 调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a，解得-3≤a<-1; ②当a∈［-1,+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-2≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.
都大于2，求实数m的取值范围.
【分析】借助二次函数图象考查
二次方程根的分布问题.有3个条件
f(2)>0
Δ≥0 或者利用韦达定理. - m>22
2
【解析】
图3-2-1
返回目录
图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦 达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
返回目录
已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1,+∞)时f(x)≥a恒成立， 求a的取值范围.
有两正根）
0 (x1 n) (x1 n)
一元二次不等式及其解法
2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。
一元二次不等式及解法
△=0 y
O x1
x
有两相等实
根x1=x2= b
2a
△<0 y
x O
没有实根
比如说在参加哈佛峰会的时候，小组成员都是全世界的精英，E在团队中明显感受到了力不从心：为什么别人知道的这么多?为什么人家的想法这么丰富?是不是我根本没有那么优秀?这些质疑萦绕在她 的心头久久不能散去，这时候是她的年级长看出了这些细微的变化，并告诉她：人这一生最大的敌人就是自己，因为优秀永远都不是一个统一的标准，重要的是不要停下追求优秀的脚步，学习最重要的 是塑造一个独一无二的自己，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，作为人工智能国家队，科大讯飞已率先投身新基建，坚守人工智能应用落地的标准， 聚焦智慧教育、智慧医疗、智慧办公、智慧城市等主攻方向，推出过得硬拳头产品；强化基础支撑和平台服务，发挥高赋能龙头作用，stv https:///stv，初夏的蝉鸣,暖暖的和风&;&;羽翼 渐满的梦想等待着飞翔，拟聘人员无正当理由1年内未办理聘用手续的,考试成绩失效,取消其聘用资格，在当前的市场环境下，传统教育之下哑巴英语的弊端已经广泛引起了80、90后新生代父母的重视， 越来越多的家长开始关注孩子口音的纯正度，并对英语实用能力的提升和培养正视起来，因此，他们对外教的选择也愈加慎重，他们认为以英语为母语的外教口音会更加纯正，而在这方面，爱英语主打 的专职澳洲母语外教教学模式在外教资源与品牌形象方面优势明显，这也是培生选择与爱英语进一步合作的最大推动力
3、一元一次不等式是如何定义的？其数学表达 形式是什么？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是1的不等式，称为一元一次不等式
其数学表达形式为
ax b 0( 0或 0或 0)(a 0)
一元二次不等式及其解法(精)全
一元二次不等式5x2 10x 4.8 0的解集就是 二次函数y 5x2 10x 4.8的图象(抛物线） 位于x轴下方的点所对应的x的集合.
因此， 求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程， 确定抛物线与x轴交点的横坐标， 再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程5x2 10x 4.8 0，得：x1 0.8, x2 1.2；
问题: 怎样解不等式5x2 10x 4.8 0？
思考（：1）当x是什么实数时，函数y 5x2 10x 4.8的值是：
(1)0 (2)正数 (3)负数
(2)能否画出二次函数 y 5x2 10x 4.8 的图象。 y
(3)能否找出抛物线上纵坐标 y 0 的点？其横坐标应取哪些值？
0 0.8
y 5x2 10x 4.8
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
例1：解下列不等式：
（1）x2 7x 12 0； （2） x2 2x 3 0； （3）x2 2x 1 0； （4）x2 2x 2 0.
从这题可得出求一元二次不等式的解集的 基本步骤是怎样的？
解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式:ax2 bx c 0(a 0) 或ax2 bx c （0 a 0)
(2)确定方程ax2 bx c 0 a 0 的根;
一元二次不等式解法
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
⑤得出不等式的解：
不等式是“>”号，解为：x>x ₁或x<x ₂ 口诀为“取两边”
不等式是“<”号，解为：x₂<x<x₁ 口诀为“取中间”。 ⑥不等式是“>”号，解为R，不等式是“<”号，解为∅
b b 2 4ac 5 25 24 x1 1 2a 2
b b 2 4ac 5 - 25 （ 24） x2 6 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“>”号 口诀为“取两边”即：x>x ₁或x<x ₂ 所以此不等式的解为： ｛x |x>1或x<-6 ｝ 用区间表示为（- ∞ ，－6） ∪（1，+ ∞）
例： x 2 4 x 3 0
解：△＝16-12＝4>0 解方程 x 2 4 x 3 0
（x 3)(x 1) 0 x1 3, x2 1
所以此不等式的解为：x 1或x 3
， 3 1 ， 用区间表示为：
b b 2 4ac 4 - 16 12 x2 3 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“<”号 口诀为“取中间”即： x₂<x<x₁ 所以此不等式的解为： ｛x |-3<x<-1｝ 用区间表示为（- 3 ，－1）
例： （ 1 x)(4 x) 0
2 x 3x 4 0 ①化成一般式： 二次项系数a=-1，即a<0 2 ②化正得同解不等式： x 3x 4 0 ③计算△， △＝b ²-4ac＝9-（-16）＝25>0 2 x 3x 4 0 的根 ④求对应方程 用求根公式得：
含参数的一元二次不等式的解法
(x2 2x)m 2x2 4x 4
g(1) 0
g(1)
0
【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于
x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f (x) (m 2)x2 2(m 2)x 4,
m 2 0
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
（1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
4
8
fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
例3. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2,
3]上恒成立,则实数m的取值范围是_m__≤__9__.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
(5)当
a 1 时，原不等式的解集为
x
1 a
x
1
例1 不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R 都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知：
(1) a ＜ 0，且△ ＜ 0.
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解 不 等 式
简语看函数，画图象；解方程，标交点；观图象，得结论． 此简语是讲图象
法解一元二次不等式时，我根据学生的特点创编的，同学们运用它后感觉效果
好．示范如下
解不等式x -x -1>0．
解作函数y=x 2-x -1的图象
22
解方程x -x -1=0，得其根
x 1=
11+，x 2=． 22
则函数图象如下图所示
∴不等式的解集为
1?1 -2 2+∞．
注“观察”要点——①位于x 轴上方的图象上的点，其纵坐标大于0，依
据其横坐标取值范围可写出不等式ax +bx +c >0(a ≠0) 的解集；②位于x 轴下
方的图象上的点，其纵坐标小于0，依据其横坐标取值范围可写出不等式ax +bx
+c
轴
22
0，依据其横坐标取值再结合②（①）和③，可写出不等式
ax 2+bx +c ≤0（≥0）（a ≠0）的解集．