高一数学教案：苏教版高一数学向量的数乘4

第四课时向量的数乘

教学目标：

掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算

律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；

教学难点：

对向量共线的理解•

教学过程：

I •复习回顾

前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算•这一节，我们将在加法运算基础上研究相

同向量和的简便计算及其推广•

n •讲授新课

在代数运算中，a+ a+ a = 3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算•

已知非零向量a,我们作出a+ a + a和(一a) + (-a)+ (—a).

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A 5C

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N M Q

由图可知，OC= OA + AB+ BC= a + a+ a,我们把a+ a+ a记作3a，即OC = 3a，显然3a 的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即丨3a |= 3 | a | .

同样，由图可知，PN = PQ + QM + MN = (—a)+ (—a) + (—a),我们把(一a) + (—a)+ (—a)记作一3a,即PN = —3a,显然一3a的方向与a的方向相反，一3a的长度是a的长度的3 倍，即|— 3 a | = 3 | a | .

上述过程推广后即为实数与向量的积•

1•实数与向量的积

实数入与向量a的积是一个向量，记作扫，其长度和方向规定如下：

(1) | 扫 | = | 入 || a |

(2) 当X>0时，入a与a同向；当X< 0时，入a与a反向；当入=0时，^a= 0. 根据实数与向量

的积的定义，我们可以验证下面的运算律

2•实数与向量的积的运算律

⑴入([B.)=(入©a

(2) ( W©a = ?a+ ©a

(3) 入(a+ b)= ?a+ 血

说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行

3•向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数

入使b =?a .

说明：(1)推证过程引导学生自学； (2)可让学生思考把 非零向量”的非零”去掉后，是否正确，目的是通过

0与任意向量的

平行来加强学生对于充要条件的认识 下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要 条件的应用•

［例1］若3m + 2n = a , m — 3n = b ,

其中a , b 是已知向量，求

分析：此题可把已知条件看作向量

解：记 3m + 2n = a

m — 3n = b

3 X ②得 3m — 9 n = 3b

①—③得 11n = a — 3b .

••• n = 1 a —3 b 11 11 将④代入②有： 3 2

m = b + 3n =石 a + 石 b 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从 而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致

［例2］凸四边形 ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为 E 、F ，求证EF = * (AB + IDC).

证法一：构造三角形，使 EF 作为三角形中位线，借助于 三角形中位线定理解决.

过点C 在平面内作CG = AB ，则四边形ABGC 是平行 四边形，故F 为AG 中点.

••• EF 是厶ADG 的中位线，

EF^1 DG ，• EF =1 DG.

而 DG = DC + CG = DC + AB ，

•- EF = 2 (AB + DC).

证法二：创造相同起点，以建立向量间关系 如图，连 EB ，EC ，则有 EB = EA +AB ，

EC = E D + DC ，又••• E 是 AD 之中点，

•••有 E A + ED = 0.

m , n . m 、n 的方程，通过方程组的求解获得 m 、 n .

即有E B + EC=A B + DC ；

以EB与EC为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.

••• EF = 2 E G=2(E B + EC)=1(AB + DC)

川•课堂练习

课本P66练习1, 2，3，4.

IV•课时小结

通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用

V•课后作业

课本P68习题5, 6, 7