附加应力
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2.3地基附加应力的计算
2.3 竖向荷载作用下地基附加 应力的计算
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。
• 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论 计算。
2.3.1 竖向集中荷载作用下 土中附加应力的计算
布辛奈斯பைடு நூலகம்（法）公式：
y
P z
。
z2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减 少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P
2.3 地基附加应力的计算
两种情况： a.矩形面积内
BA
CD
p z (cA cB cC cD ) 。
2.3 地基附加应力的计算
b.矩形面积外
h
ig
a
df
b
ce
p z
(cbegh
afgh c
cegi c
dfgi c
)
。
2.3 地基附加应力的计算
说明：荷载主要由较浅 处的土层来承受，达到 一定深度后，应力就减 少了。
2.3 地基附加应力的计算
P
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
说明：集中力Ｐ在地集中引起的附加应力σz的分布是 向下、向四周无限扩散开的。
例题分析
【例2-3】在地面作用一集中荷载P=200KN,试确定： （1）在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=1m、
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。
• 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论 计算。
2.3.1 竖向集中荷载作用下 土中附加应力的计算
布辛奈斯பைடு நூலகம்（法）公式：
y
P z
。
z2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减 少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P
2.3 地基附加应力的计算
两种情况： a.矩形面积内
BA
CD
p z (cA cB cC cD ) 。
2.3 地基附加应力的计算
b.矩形面积外
h
ig
a
df
b
ce
p z
(cbegh
afgh c
cegi c
dfgi c
)
。
2.3 地基附加应力的计算
说明：荷载主要由较浅 处的土层来承受，达到 一定深度后，应力就减 少了。
2.3 地基附加应力的计算
P
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
说明：集中力Ｐ在地集中引起的附加应力σz的分布是 向下、向四周无限扩散开的。
例题分析
【例2-3】在地面作用一集中荷载P=200KN,试确定： （1）在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=1m、
附加应力系数和平均附加应力系数的推导及解析
附加应力系数和平均附加应力系数的推导及解析
附加应力系数与平均附加应力系数是有关解决构件应力集中或弯矩破坏问题的
重要指标，一般会在期望模型内取得它们，其计算公式如下：
附加应力系数K=σ_max/σ_p，
平均应力系数K_m=1/2[K_max+(K_min)^2/K_max]。
式中，σ_max表示模型内的最大应力；σ_p是构件的预设工作态应力；K_min、K_max则表示预设应力De和实际应力Ae在模型内的位移比值。
计算公式经Jia et al.（1985）修改并改良成
K_m=1/2[K_max+(K_min)^3/Kmax^2]，它可以更好地表示构件应力的变化，使计算
适用于弹性、半弹性及形变问题。
附加应力系数和平均附加应力系数均能提供结构性能的重要参考，可用于结构
失效分析及改进。
两者的定义可帮助工程师正确分析构件应力的集中或弯矩的影响，从而协助实现正确的设计和施工。
此外，合理的估算附加应力系数及平均附加应力系数能够指示结构极限量等强
度特性，从而大大降低结构失效风险。
以上，附加应力系数和平均附加应力系数都具有重要的工程意义，势必会受到广大工程师们的青睐。
地基中的附加应力ppt课件
本章主要内容
2.1 概述 2.2 土的自重应力 2.3 自重应力系 有效应力原理 2.4 基底接触应力分布及简化计算 2.5 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 2.6 地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 2.7 非均质和各向异性地基中的附加应力 2.8 其他条件下地基中的应力计算
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
1-1面
土的自重应力
c1z γ 1 h 1 1.2 8 3 2 .5 ＝ 4.5 5 k 8p aO
2-2面
h1=2.5m r1=18.23KN/m3
1
1
σ cz24σ 5cz1 .5γ12 h882 .62 282.82kh2p =2.0 am r2=18.62KN/m3
3-3面
2
2
h3=1.5m r1 '=9.80KN/m3
影响基底接触应力分布图形的因素
基底接触应力及简化计算
•大小 •方向 •分布
荷载条件
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
支承建筑物荷载的土层称为地基 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层 将持力层下面的土层称为下卧层
F 基础
概述
地基
G
主
持力层（受力层）
要
下卧层
受 力
层
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
地基中的附加应力计算
冻胀力
寒冷地区，地基土中的水分冻结膨胀，对基础产生冻胀力。
膨胀土胀缩
膨胀土在湿度变化时会发生体积胀缩，对基础产生附加应力。
地面堆载
地面上的堆载会对地基产生额外的压力，增加地基中的附加应力 。
03 附加应力的计算方法
弹性力学方法
弹性力学方法基于弹性力学理 论，将地基视为弹性体，通过 求解弹性力学方程来计算附加 应力。
02
在地基表面，水平向附加应力最大，随着离地表距 离的增加，应力逐渐减小。
03
水平向附加应力的分布还受到地基土的性质、基础 形状和荷载大小等因素的影响。
垂直向附加应力分布
01
垂直向附加应力在地基中的分布通常呈现出 先增大后减小的趋势。
02
03
在地基表面，由于荷载的作用，垂直向附加 应力较大。
随着深度的增加，垂直向附加应力逐渐减小 ，直至某一深度处达到最小值。
03
准确计算地基中的附加应力可以为工程师提供重要的设 计依据，确保建筑物的稳定性和安全性。
附加应力的定义和重要性
附加应力是指建筑物或其他 荷载在地基中引起的超过原 有应力的那部分应力。
附加应力的大小和分布直接 影响地基的变形和稳定性。
对于不同类型和性质的地基 土，附加应力的计算和评估 方法也有所不同。
工程处理措施及效果评价
处理措施
针对地基中的附加应力问题，采取了以下处理措施：对地基 进行加固处理，提高地基的承载力；采用桩基础，将建筑物 荷载传递至更深层的土层中；加强建筑物的结构刚度，减小 荷载对地基的影响。
效果评价
经过处理措施的实施，地基中的附加应力得到了有效控制， 建筑物的沉降和倾斜等变形指标均满足规范要求。同时，通 过对处理前后地基性状进行对比分析，发现处理措施对改善 地基性状具有显著效果。
第三章附加应力
Z γ2 H2
γ3 H3
容重：地下水位以上用天然容重γ 地下水位以下用浮容重γ’
第三章 地基中的应力
总结
二、基底压力计算
矩形面积中心荷载
P
矩形面积偏心荷载
P
p(x, y) P Mxy Myx
A Ix
Iy
b
b
Mx Pey;
My Pex
x
L
x
e
L
ex y
y
y
pP A
pmax
P 1 A
6e b
dF p0dx • dy
d z
2
3 p0 z3 x2 y2 z2
5 2
dxdy
z
3 p0 z3
2
1
A
x2 y2 z2
5 2
dxdy
y
dF pndxdy p
b
z
M
z
l
x
第三章 地基中的应力 利用三角函数的变换可得到：
z c p0
式中： c
1 2
mn 1 m2 n2
1
o x
平面应变条件下，土体在
x, z平面内可以变形，但在
y
z
y方向没有变形。
第三章 地基中的应力
3.6.1 费拉曼解及其应用
竖直线荷载作用下的地基附加应力 线荷载：作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线
均布的荷载。
思路： dF pdy
d z
3z 3
2
p
x2 y2 z2
5 2
dy
z
（3）E点下应力。通过O点将矩形荷载分为4个相等矩形 OEAJ,OJDI,OICK,OKBE
l/b=2 ,z/b=2
第四章-3附加应力
• 附加应力叠加原理： 多个集中力引起的附加应力等于每个集中力引起的附 加应力的叠加。 由P1、P2、P3、Pn引起地基土体中M点的铅直向附加应 力为：
• 应力集聚现象： 地基土体中某一点的附加应力由于叠加而增大的现象。
铅直向附加应力讨论-3
• K-r/z关系： 随着r/z的增大，K逐渐减小； 当r/z=2.0时，附加应力分布系数K=0.01； 这时，铅直向附加应力z很小。 K
• 应力分布边界： r/z=2.0的线称为附加应力分布边界。 • 应力扩散现象：
r/z
地基土体中的潜质向附加应力随空间距离增大而逐 渐减小的现象。
铅直向附加应力讨论-4
• 铅直向附加应力分布系数： 同一3 2
1 [1 ( ) ]
• 角点法的基本公式 用于计算矩形基础4个角点下的铅直向附加应力。 积分结果：
zc K c p
p是基底附加压力（铅直均布荷载）； Kc是附加应力分布系数，取决于基础的长度L、 宽度B和计算点的深度z。 • 这时计算出的附加应力只是矩形基础4个角点下的 附加应力。
矩形基础附加应力计算-1
• 铅直向附加应力分布系数：
Kc1、Kc2 、Kc3、Kc4由m、n确定。
矩形基础附加应力计算-1
• 分部综合角点法计算： 图b： 1）求矩形荷载面内任一点M下的附加应力： 2）过M点作辅助线，划分为2个矩形； 3）这样M点就在各矩形的角点下； 4）先分别求出各矩形在角点M下的附加应力； 5）然后进行叠加即可。 即： K p K p
水平向集中力
• 计算简图： x、y坐标在地面上，z坐标垂直地面向下为正 R是M点的空间坐标，r是M点的平面坐标 M点在地面下一定深度z，Ph是水平向集中力 坐标原点取在地面上集中力作用点
• 应力集聚现象： 地基土体中某一点的附加应力由于叠加而增大的现象。
铅直向附加应力讨论-3
• K-r/z关系： 随着r/z的增大，K逐渐减小； 当r/z=2.0时，附加应力分布系数K=0.01； 这时，铅直向附加应力z很小。 K
• 应力分布边界： r/z=2.0的线称为附加应力分布边界。 • 应力扩散现象：
r/z
地基土体中的潜质向附加应力随空间距离增大而逐 渐减小的现象。
铅直向附加应力讨论-4
• 铅直向附加应力分布系数： 同一3 2
1 [1 ( ) ]
• 角点法的基本公式 用于计算矩形基础4个角点下的铅直向附加应力。 积分结果：
zc K c p
p是基底附加压力（铅直均布荷载）； Kc是附加应力分布系数，取决于基础的长度L、 宽度B和计算点的深度z。 • 这时计算出的附加应力只是矩形基础4个角点下的 附加应力。
矩形基础附加应力计算-1
• 铅直向附加应力分布系数：
Kc1、Kc2 、Kc3、Kc4由m、n确定。
矩形基础附加应力计算-1
• 分部综合角点法计算： 图b： 1）求矩形荷载面内任一点M下的附加应力： 2）过M点作辅助线，划分为2个矩形； 3）这样M点就在各矩形的角点下； 4）先分别求出各矩形在角点M下的附加应力； 5）然后进行叠加即可。 即： K p K p
水平向集中力
• 计算简图： x、y坐标在地面上，z坐标垂直地面向下为正 R是M点的空间坐标，r是M点的平面坐标 M点在地面下一定深度z，Ph是水平向集中力 坐标原点取在地面上集中力作用点
土力学---附加应力
begh σ z = (kc − kcafgh − kccegi + kcdfgi ) p0
h
i
d
g
a
f
例题4-6 P72 例题
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
σz = ∫
B L 0
§3.4 地基中附加应力的计算
y
dP
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
0
∫ dσ
P σz = k ⋅ 2 z
集中力作用下的 应力分布系数
查表3 查表3-1
4
§3 土体中的应力计算
P σz = k ⋅ 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 k= 2π [1+ (r / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上， 1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 ， ， 2.在某一水平面上 在某一水平面上， 最大; r↑， 减小， 2.在某一水平面上，r=0, σ 最大; r↑，a减小，σz减小
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σ z = k pt
t z
x z k = F(B, x, z) = F( , ) = F(m, n) B B
t z
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
P84 例题 例题3.3
x z 根据 , B B
查表4-15 查表
23
§3 土体中的应力计算
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
h
i
d
g
a
f
例题4-6 P72 例题
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
σz = ∫
B L 0
§3.4 地基中附加应力的计算
y
dP
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
0
∫ dσ
P σz = k ⋅ 2 z
集中力作用下的 应力分布系数
查表3 查表3-1
4
§3 土体中的应力计算
P σz = k ⋅ 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 k= 2π [1+ (r / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上， 1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 ， ， 2.在某一水平面上 在某一水平面上， 最大; r↑， 减小， 2.在某一水平面上，r=0, σ 最大; r↑，a减小，σz减小
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σ z = k pt
t z
x z k = F(B, x, z) = F( , ) = F(m, n) B B
t z
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
P84 例题 例题3.3
x z 根据 , B B
查表4-15 查表
23
§3 土体中的应力计算
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
地基中的附加应力计算
地基中的附加应力计算
1.经验公式法：
经验公式法是根据实际工程经验得出的结论，通过对已有工程案例的分析总结，得出了一系列与地基附加应力相关的经验公式。
这些经验公式可以根据地区、地质条件、地基材料等不同的情况进行选择和调整。
常用的经验公式有：
- 弗里斯(Prandtl)公式：适用于单轴受力的情况，可以计算地基中的垂直和水平附加应力。
-托伯公式：适用于地下水位以上的地表载荷作用的情况，可以计算地基中的垂直附加应力。
-迈尔公式：适用于地下水位以下的地表载荷作用的情况，可以计算地基中的垂直附加应力。
2.有限元法：
有限元法是通过将地基划分为有限的单元，利用有限元软件进行数值计算，得出地基中附加应力的分布情况。
这种方法需要进行大量的地质和地基参数调查，并进行合理的边界条件设定，才能得到准确的结果。
有限元法可以考虑地基中的非线性和不均匀性，因此可以提供更精确的附加应力计算结果。
在进行地基中附加应力计算时，需要考虑以下因素：
-建筑物或地表载荷的性质和大小；
-地下水位的位置和变化；
-地质条件和地基参数的分布情况；
-土壤的应力-应变关系。
通过合理选择计算方法和准确输入参数，可以得到准确的地基中附加应力计算结果。
这些结果可以用于地基设计和土木工程的安全评估，为工程提供合理的地基设计方案和施工措施。
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例题4-6 P72
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
y
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
z
B
0Hale Waihona Puke L0d z z ( p0 , m, n)
dP
p0
L
z tc p0
L z tc F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
z p0
l z
——条形面积梯形分布荷载作用时
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
1. 非均匀性—成层地基 (1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
§3.3 地基中附加应力的计 算
B
成层 H
中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中； 应力集中程度与土层刚度和厚度有关； 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基 中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散； 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
32
饱和土的有效应力原理
（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’ 和u，并且
'u
通常,
总应力已知或易知
'u
有效应力
孔隙水压测定或算定
（2）土的变形与强度都只取决于有效应力
(3)在渗透固结过程中，伴随着u的逐渐扩散，有效应 力在逐渐增大，土的体积在逐渐减小，强度随之增高。
L
0
d z z ( p0 , m, n)
z c p0
z
M
m=L/B, n=z/B
z
L z c F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
查表4-9 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数
8
§3.4 地基中附加应力的计算 三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2 2 2 2
x
z
y
x
z
M
( x 2 z 2 ) 2
21
§3 土体中的应力计算
§3.4地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z p0
s z
p0
x
zs F ( B, x, z ) F ( , ) F (m, n)
z
4.σz 等值线－其空间曲面形状如泡状称为应力泡
P
P
0.1P
0.05 P 0.02 P
0.01
5
工程应用
当基础底面形状不规则或荷载， 分布较复杂时，可将基底分为若 干个小面积，把小面积上的荷载 当成集中力，然后利用上述计算 附加应力公式，进行叠加，可求 出附加应力总和。
Pi
ri
z
P z2
R
r
c
z
查表4-6
P69 例题4-5
z
Mi
7
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP p0 dxdy
3 p0 z 3 d z dxdy 5 2 R
dP
p0
y
x
B
L
z
B
0
'u
34
3
y
z
3P z 3 1 P z 5 2 R 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2 z 2
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
集中力作用下的 应力分布系数
P z 2 z
查表4-2
z Mi
如果小面积的最大边长小于计算应 力深度的1/3时，用此法所得的应 力值与正确应力之相比，误差不 超过5%。
Pi z i z i 1
6
i n
二. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z c p0
r z c F ( , ) R R
R--圆形面积的半径 R-计算点到z轴的距离
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载
竖直 集中力
条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
主要讨论 竖直应力
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
竖直 集中力
矩形内积分
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
23
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
例题：某条形基础上作用着荷载F=300KN，基础宽度 b=2m,基础埋深1.2m,γ=19KN/m3 ， M=42KN.m,求基础中 点下的附加应力。(下面曲线应该是光滑的)
24
25
26
§3 土体中的应力计算
小结
§3.4 地基中附加应力的计算
均匀 E
1
E2>E
1
B
成层 H
均匀
E
1
(3)土的变形模量随深度增大的地基 —应力集中现象
E2<E
1
§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
§3.3 地基中附加应力的计 算
(3)土的变形模量随深度增大的地基—应力集中现象 地基土的另一种非均质性表现在变形模量E随深度逐渐增大，在砂 土地基中尤为显著。这是一种连续非均质现象，是由土体在沉积过程 中的受力条件决定的。在此情况下沿荷载对称轴上的附加应力较均质 体时增大，应力集中的程度与变形模量沿深度变化规律及泊松比有关。 1942年O.K Frohlich提出了在竖向集中力作用下垂直附加应力计算半 经验公式。 3. 各向异性地基
r / z tg
x y z xy yz zx
u v
w
3
§3 土体中的应力计算
3P z 3 z 2 R 5
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o x α r R M’ β z M y
x
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
圆内积 分
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
x R α r
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
M’ β z M y
z
zx
xy
x
y
y yz
z
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
孔隙水压力（u):
对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献，并且水不能承 受剪应力，因而孔隙水压力对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身受到等向压力， 由于颗粒本身压缩模量很大，故土粒本身压缩变形极小。 因而孔隙水压力对变形也没有直接的影响，土体不会因为 受到水压力的作用而变得密实。
B
z
M
x
z
查表35
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
15
16
17
18
19
20
§3 土体中的应力计算
--B氏解的应用
§3.4 地基中附加应力的计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
z x zx
2p z
3
p
( x 2 z 2 ) 2 2p x 2 z ( x z ) 2p xz
4
§3 土体中的应力计算
P z 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 2.在某一水平面上，r=0, 最大; r↑，a减小，σz减小 3.在r>0的竖直线上，z=0, σz=0； 随z↑，σz先增加后减小
33
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态 自重应力 的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
水平地基中的自重应力
影响因素
基底压力计算
基底压力分布 实用简化计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
饱和土的有效应力 土的变形与强度都 原理 只取决于有效应力
Ex与Ez不相等，泊松比相等时
•当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 •当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
29
3.5饱和土的有效应力原理
孔隙流体
三相体系
+
孔隙气体 总应力
土＝
固体颗粒骨架
+
孔隙水
受外荷载作用 总应力由土骨架和孔隙流体共同承受
对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？
P z 2 z ——竖直集中荷载作用下 z c p0 ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下
z tc p0
——矩形面积三角形分布荷载作用角点下
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
y
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
z
B
0Hale Waihona Puke L0d z z ( p0 , m, n)
dP
p0
L
z tc p0
L z tc F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
z p0
l z
——条形面积梯形分布荷载作用时
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
1. 非均匀性—成层地基 (1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
§3.3 地基中附加应力的计 算
B
成层 H
中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中； 应力集中程度与土层刚度和厚度有关； 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基 中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散； 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
32
饱和土的有效应力原理
（1）饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为两部分σ’ 和u，并且
'u
通常,
总应力已知或易知
'u
有效应力
孔隙水压测定或算定
（2）土的变形与强度都只取决于有效应力
(3)在渗透固结过程中，伴随着u的逐渐扩散，有效应 力在逐渐增大，土的体积在逐渐减小，强度随之增高。
L
0
d z z ( p0 , m, n)
z c p0
z
M
m=L/B, n=z/B
z
L z c F ( B, L, z ) F ( , ) F (m, n) B B
查表4-9 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数
8
§3.4 地基中附加应力的计算 三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2 2 2 2
x
z
y
x
z
M
( x 2 z 2 ) 2
21
§3 土体中的应力计算
§3.4地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z p0
s z
p0
x
zs F ( B, x, z ) F ( , ) F (m, n)
z
4.σz 等值线－其空间曲面形状如泡状称为应力泡
P
P
0.1P
0.05 P 0.02 P
0.01
5
工程应用
当基础底面形状不规则或荷载， 分布较复杂时，可将基底分为若 干个小面积，把小面积上的荷载 当成集中力，然后利用上述计算 附加应力公式，进行叠加，可求 出附加应力总和。
Pi
ri
z
P z2
R
r
c
z
查表4-6
P69 例题4-5
z
Mi
7
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP p0 dxdy
3 p0 z 3 d z dxdy 5 2 R
dP
p0
y
x
B
L
z
B
0
'u
34
3
y
z
3P z 3 1 P z 5 2 R 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2 z 2
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
集中力作用下的 应力分布系数
P z 2 z
查表4-2
z Mi
如果小面积的最大边长小于计算应 力深度的1/3时，用此法所得的应 力值与正确应力之相比，误差不 超过5%。
Pi z i z i 1
6
i n
二. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z c p0
r z c F ( , ) R R
R--圆形面积的半径 R-计算点到z轴的距离
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载
竖直 集中力
条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
主要讨论 竖直应力
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
竖直 集中力
矩形内积分
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
23
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
例题：某条形基础上作用着荷载F=300KN，基础宽度 b=2m,基础埋深1.2m,γ=19KN/m3 ， M=42KN.m,求基础中 点下的附加应力。(下面曲线应该是光滑的)
24
25
26
§3 土体中的应力计算
小结
§3.4 地基中附加应力的计算
均匀 E
1
E2>E
1
B
成层 H
均匀
E
1
(3)土的变形模量随深度增大的地基 —应力集中现象
E2<E
1
§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
§3.3 地基中附加应力的计 算
(3)土的变形模量随深度增大的地基—应力集中现象 地基土的另一种非均质性表现在变形模量E随深度逐渐增大，在砂 土地基中尤为显著。这是一种连续非均质现象，是由土体在沉积过程 中的受力条件决定的。在此情况下沿荷载对称轴上的附加应力较均质 体时增大，应力集中的程度与变形模量沿深度变化规律及泊松比有关。 1942年O.K Frohlich提出了在竖向集中力作用下垂直附加应力计算半 经验公式。 3. 各向异性地基
r / z tg
x y z xy yz zx
u v
w
3
§3 土体中的应力计算
3P z 3 z 2 R 5
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o x α r R M’ β z M y
x
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
圆内积 分
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
x R α r
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
M’ β z M y
z
zx
xy
x
y
y yz
z
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
孔隙水压力（u):
对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献，并且水不能承 受剪应力，因而孔隙水压力对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身受到等向压力， 由于颗粒本身压缩模量很大，故土粒本身压缩变形极小。 因而孔隙水压力对变形也没有直接的影响，土体不会因为 受到水压力的作用而变得密实。
B
z
M
x
z
查表35
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
15
16
17
18
19
20
§3 土体中的应力计算
--B氏解的应用
§3.4 地基中附加应力的计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
z x zx
2p z
3
p
( x 2 z 2 ) 2 2p x 2 z ( x z ) 2p xz
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§3 土体中的应力计算
P z 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 2.在某一水平面上，r=0, 最大; r↑，a减小，σz减小 3.在r>0的竖直线上，z=0, σz=0； 随z↑，σz先增加后减小
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§3 土体中的应力计算
小结
应力状态 自重应力 的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
水平地基中的自重应力
影响因素
基底压力计算
基底压力分布 实用简化计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
饱和土的有效应力 土的变形与强度都 原理 只取决于有效应力
Ex与Ez不相等，泊松比相等时
•当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 •当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
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3.5饱和土的有效应力原理
孔隙流体
三相体系
+
孔隙气体 总应力
土＝
固体颗粒骨架
+
孔隙水
受外荷载作用 总应力由土骨架和孔隙流体共同承受
对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？
P z 2 z ——竖直集中荷载作用下 z c p0 ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下
z tc p0
——矩形面积三角形分布荷载作用角点下