二次函数一轮复习课件
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二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
高考一轮复习理科数学课件二次函数
例题1
分析题目中给出的二次函数不等式，通过适当的变形和转化，求解 不等式的解集或参数的取值范围。
例题2
针对含有绝对值符号的二次函数不等式，采用上述提到的处理方法 进行求解，并给出详细的解题步骤和答案解析。
例题3
选取一道综合性较强的二次函数不等式题目，展示完整的解题思路和 答案解析过程，帮助学生理解和掌握相关知识点。
通过观察二次函数的图像，可以直接 判断函数的单调性。
对于一般形式的二次函数，可以通过 判别式的正负来判断函数的单调性。
极值存在条件及求解方法
极值存在条件
二次函数在其定义域内存在极值的条件是其一阶导数等于0，且二阶导数不等 于0。
求解方法
对于一般形式的二次函数，可以通过完成平方或配方的方法将其转化为顶点式 ，从而直接求出函数的极值。另外，也可以利用导数法求解函数的极值。
判别式Δ在方程中的应用
判别方程根的情况
当$Delta>0$时，方程有两个不相等 的实根；当$Delta=0$时，方程有两 个相等的实根；当$Delta<0$时，方 程无实根。
在实际问题中应用
判别式Δ在解决实际问题，如抛物线与 x轴交点、最值问题等中，具有广泛的 应用。
韦达定理及其推广形式
韦达定理
应用题中的最值问题
利润最大化
在生产、销售等实际问题中，经 常需要求解使得利润最大化的产 量或售价，这类问题可以通过建 立二次函数模型并求解最值来解
决。
成本最小化
在成本控制等问题中，需要求解 使得成本最小化的生产方案，同 样可以通过建立二次函数模型并
求解最值来解决。
面积、体积最优化
在几何问题中，经常需要求解使 得面积或体积最大化的设计方案 ，这类问题也可以转化为二次函
分析题目中给出的二次函数不等式，通过适当的变形和转化，求解 不等式的解集或参数的取值范围。
例题2
针对含有绝对值符号的二次函数不等式，采用上述提到的处理方法 进行求解，并给出详细的解题步骤和答案解析。
例题3
选取一道综合性较强的二次函数不等式题目，展示完整的解题思路和 答案解析过程，帮助学生理解和掌握相关知识点。
通过观察二次函数的图像，可以直接 判断函数的单调性。
对于一般形式的二次函数，可以通过 判别式的正负来判断函数的单调性。
极值存在条件及求解方法
极值存在条件
二次函数在其定义域内存在极值的条件是其一阶导数等于0，且二阶导数不等 于0。
求解方法
对于一般形式的二次函数，可以通过完成平方或配方的方法将其转化为顶点式 ，从而直接求出函数的极值。另外，也可以利用导数法求解函数的极值。
判别式Δ在方程中的应用
判别方程根的情况
当$Delta>0$时，方程有两个不相等 的实根；当$Delta=0$时，方程有两 个相等的实根；当$Delta<0$时，方 程无实根。
在实际问题中应用
判别式Δ在解决实际问题，如抛物线与 x轴交点、最值问题等中，具有广泛的 应用。
韦达定理及其推广形式
韦达定理
应用题中的最值问题
利润最大化
在生产、销售等实际问题中，经 常需要求解使得利润最大化的产 量或售价，这类问题可以通过建 立二次函数模型并求解最值来解
决。
成本最小化
在成本控制等问题中，需要求解 使得成本最小化的生产方案，同 样可以通过建立二次函数模型并
求解最值来解决。
面积、体积最优化
在几何问题中，经常需要求解使 得面积或体积最大化的设计方案 ，这类问题也可以转化为二次函
二次函数复习课件PPT
个单位,再向 平移
个单位可
得到抛物线 y=3(x+2)2 -3.
16、将函数y＝－3（x－1）2－1的图象 (1) 沿y轴翻折后得到的函数解析式_____. (2) 沿X轴翻折后得到的函数解析式_____. (3) 沿原点旋转180°后得到的函数解析式
_____. (4) 沿顶点旋转180°后得到的函数解析式
解: y ax2 bx c
a x2 b x c 提取二次项系数
a x2
a a
b x b 2 b 2 a 2a 2a
c a
配方:加上再减去一 次项系数绝对值一 半的平方
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
y的 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴
（0，0）
最小值 是0
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
a＜0 向下
y轴
（0，0）
最大值 y随x的增 是0 大而增大
y随x的增 大而减小
y=ax2+c
a＞0 向上 a＜0 向下
y轴 y轴
（0，c）
最小值 是C
y随x的增 y随x的增 大而减小 大而增大
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点 是抛物线上的最低点；
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点.
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
确定二次函数的解析式时，应该根据 条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
高三年级第一轮复习二次函数与幂函数课件 PPT
4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，
二次函数复习课课件
提升习题
提升习题1
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 单调递增，求$a, b, c$的取值范围。
提升习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 有两个不同的零点，求$a, b, c$的取值范围。
综合习题
综合习题1
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内沿x 轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括横向和纵向的缩放。横向缩放 是指图像在x轴方向上缩小或放大，纵向缩 放是指图像在y轴方向上缩小或放大。在伸 缩变换过程中，二次函数的解析式会相应地 乘以或除以一个大于0的常数。例如，将二 次函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴方向缩 小k倍，解析式变为y=a(x/k)^2+b(x/k)+c；
二次函数的性 质
总结词
二次函数具有开口方向、对称轴、顶点 和与坐标轴交点等性质。
VS
详细描述
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、 顶点、与坐标轴交点等。根据系数$a$的 正负，抛物线有不同的开口方向：当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时， 抛物线开口向下。对称轴为直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。与y轴的交点 为$(0, c)$，与x轴的交点可以通过求解方 程$ax^2 + bx + c = 0$得到。
沿y轴方向缩小k倍，解析式变为 y=ax^2+bx/k+c/k。
对称变换
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—二次函数的图象与性质
前提条件
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
顶点式求其表达式.
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题
【详解】解：∵二次方程 2 + + = 0的两根为−1和 5，
∴
1−+ =0
= −4
，解得
，
25 + 5 + = 0
= −5
∴二次函数 = 2 + + = 2 − 4 − 5 = ( − 2)2 − 9，
∵ 1 > 0，
∴当 = 2时，有最小值，最小值为−9，
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
状相同，
∴可设该二次函数的解析式为 = ±3 − ℎ
2
+ ，
∵该二次函数的顶点为 1，4 ，
∴该二次函数的解析式为 = ±3 − 1
2
+ 4，
∴该二次函数的解析式为 = 3 2 − 6 + 7或 = −3 2 +
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2
已知任意三点坐标
2、顶点式：y a( x h) k
2
已知顶点坐标、对称轴或最值
3、交点式：y a( x x1 )( x x2 )
已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)
12.已知抛物线
y＝x² -mx+m-1.
＞1
=1 (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
=0 (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。 =2 (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
13、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0
a>0, -4ac<0 _ ）的值永远为正的条件是____ b²
14、求抛物线
注意：顶点式中，上＋下－，左＋右－
例题
1 2 x 如何平移， 将抛物线 y 3
可使平移后的抛物线经过点（3，-12）？(说 出一种平移方案）
2+bx+c(a≠0)与一 8、二次函数y=ax
次函数y=ax+c在同一坐标系内的大 致图象是（ C ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
是二次函数，
2 则k _______ .
点评：定义要点 (1)a≠0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.
-
3、抛物线 y 4 x 3 的对称轴及顶点坐标分 别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
2
4、二次函数 图象的顶点坐 标和对称轴方程为（ A ） A、（1，-2）， x＝1 B、（1，2)，x＝1 C、（-1，-2），x＝-1 D、（-1，2），x＝-1
画二次函数的大致图象: ①画对称轴 ②确定顶点 x (-2,0) 0 (3,0) ③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 (1,-6) 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 4 2
25 1 （—，- —） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 1 x=— y 2
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 y ax (a 0)
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a( x h) (a 0) 2 ④、 y a( x h) k (a 0) 2 ⑤、 y ax bx c(a 0)
②、 y
2
o
x
(顶点式) (一般式)
y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0.
将 y
各种顶点式的二次函数的关系 y = a( x – h )2 + k (h,k)
左加右减 上加下减
上 下 平 移
左 右 平 移
y = ax2 + k (0,k)
上下平移
y = a(x – h )2 (h,0) y= (0,0) ax2
左右平移
性质
向 上
向 下
大
1 抛物线 y ( x 3) 2 2 关于x轴对称的抛物线 2 1 解析式是 y ( x 3) 2 2 2
b ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线 x
二次函数的图象: 是一条抛物线
二次函数的图象的性质: 对称轴; 顶点坐标;
开口方向;增减性;
最值
25 1 （—, - — ） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 1 x=— y 2
y ( x 1) 2
2
5、函数
1 向上 (1, ) ，对 向 ，顶点坐标是 6 称轴是 直线x 1 .
当x ＜－１ 时.y随x的增大而减小。
1 2 2 y x x 2 3
的开口方
1 当x ＝－１ 时.y有最 小 为 6 . 1 1 2 y ( x 1) 顶点坐标公式 2 6
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(-2,0) 0
x (3,0) 最值: 1 x 时,y有最 小值,是 25 当 2 4 (1,-6) 函数值y的正负性: 25 (0,-6) 1 （—，- —） 当 x<-2或x>3 时,y>0 4 2
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2
y 10( x 20) 9000
解：(1)10＋x 500－10x (2)设月销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(10＋x)(500－10x)． 整理，得 y＝－10(x－20)2＋9 000. 当 x＝20 时，y 有最大值为 9 000,20＋50＝70(元)． 答：8 000 元不是最大利润，最大利润是 9 000 元，此时篮 球售价应定为 70 元．
(D)
9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y 1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
2）、当x=-1时， y= a-b+c ＜０
-1 -2 o1 2 x
3）、当x=2时， y= 4a+2b+c ＞０
4）、当x=-2时， y= 4a-2b+c ＜０
5）、b² -4ac
＞ 0.
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
二次函数y=ax² +bx+c的图象如图所示，则在下列 各不等式中成立的个数是____________
y -1 0 x
1
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
开口方向:向上a>0;向下a<0 对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
(2012 年四川巴中)某商品的进价为每件 50 元，售价为 每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品 的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；
选择合适的方法求二次函数解析式：
10、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。
y x x2
2
11、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 X轴的一个交点的横坐标是8。
1 1 2 2 y ( x 6) 2 x 6 x 16 2 2
三种思路:
1、一般式：y ax bx c
解题思路:
关于x轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k 关于y轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
中考一轮复习课
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并 体会二次函数的意义． 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次 函数的性质． 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不 要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题．
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0
与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0 a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定
1 2 x 向左平移3个单位,再向下平移2个单位 2 1 后,所得的抛物线的关系式是 y ( x 3) 2 2 2
如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
有
关
练 习
2 练习1、 在 y＝－x2， y＝2x2－ ＋3 ， x y＝100－5x2， y=－2x2＋5x3－3 中
有 2 个是二次函数。
k 2 k
练习2、函数y ( k 1) x
y
o
x
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0.
已知任意三点坐标
2、顶点式：y a( x h) k
2
已知顶点坐标、对称轴或最值
3、交点式：y a( x x1 )( x x2 )
已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)
12.已知抛物线
y＝x² -mx+m-1.
＞1
=1 (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
=0 (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。 =2 (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
13、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0
a>0, -4ac<0 _ ）的值永远为正的条件是____ b²
14、求抛物线
注意：顶点式中，上＋下－，左＋右－
例题
1 2 x 如何平移， 将抛物线 y 3
可使平移后的抛物线经过点（3，-12）？(说 出一种平移方案）
2+bx+c(a≠0)与一 8、二次函数y=ax
次函数y=ax+c在同一坐标系内的大 致图象是（ C ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
是二次函数，
2 则k _______ .
点评：定义要点 (1)a≠0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.
-
3、抛物线 y 4 x 3 的对称轴及顶点坐标分 别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
2
4、二次函数 图象的顶点坐 标和对称轴方程为（ A ） A、（1，-2）， x＝1 B、（1，2)，x＝1 C、（-1，-2），x＝-1 D、（-1，2），x＝-1
画二次函数的大致图象: ①画对称轴 ②确定顶点 x (-2,0) 0 (3,0) ③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 (1,-6) 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 4 2
25 1 （—，- —） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 1 x=— y 2
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 y ax (a 0)
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a( x h) (a 0) 2 ④、 y a( x h) k (a 0) 2 ⑤、 y ax bx c(a 0)
②、 y
2
o
x
(顶点式) (一般式)
y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0.
将 y
各种顶点式的二次函数的关系 y = a( x – h )2 + k (h,k)
左加右减 上加下减
上 下 平 移
左 右 平 移
y = ax2 + k (0,k)
上下平移
y = a(x – h )2 (h,0) y= (0,0) ax2
左右平移
性质
向 上
向 下
大
1 抛物线 y ( x 3) 2 2 关于x轴对称的抛物线 2 1 解析式是 y ( x 3) 2 2 2
b ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线 x
二次函数的图象: 是一条抛物线
二次函数的图象的性质: 对称轴; 顶点坐标;
开口方向;增减性;
最值
25 1 （—, - — ） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x=— 对称轴是_________。 2 1 x=— y 2
y ( x 1) 2
2
5、函数
1 向上 (1, ) ，对 向 ，顶点坐标是 6 称轴是 直线x 1 .
当x ＜－１ 时.y随x的增大而减小。
1 2 2 y x x 2 3
的开口方
1 当x ＝－１ 时.y有最 小 为 6 . 1 1 2 y ( x 1) 顶点坐标公式 2 6
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(-2,0) 0
x (3,0) 最值: 1 x 时,y有最 小值,是 25 当 2 4 (1,-6) 函数值y的正负性: 25 (0,-6) 1 （—，- —） 当 x<-2或x>3 时,y>0 4 2
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2
y 10( x 20) 9000
解：(1)10＋x 500－10x (2)设月销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(10＋x)(500－10x)． 整理，得 y＝－10(x－20)2＋9 000. 当 x＝20 时，y 有最大值为 9 000,20＋50＝70(元)． 答：8 000 元不是最大利润，最大利润是 9 000 元，此时篮 球售价应定为 70 元．
(D)
9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y 1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
2）、当x=-1时， y= a-b+c ＜０
-1 -2 o1 2 x
3）、当x=2时， y= 4a+2b+c ＞０
4）、当x=-2时， y= 4a-2b+c ＜０
5）、b² -4ac
＞ 0.
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
二次函数y=ax² +bx+c的图象如图所示，则在下列 各不等式中成立的个数是____________
y -1 0 x
1
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
开口方向:向上a>0;向下a<0 对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
(2012 年四川巴中)某商品的进价为每件 50 元，售价为 每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品 的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；
选择合适的方法求二次函数解析式：
10、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。
y x x2
2
11、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 X轴的一个交点的横坐标是8。
1 1 2 2 y ( x 6) 2 x 6 x 16 2 2
三种思路:
1、一般式：y ax bx c
解题思路:
关于x轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k 关于y轴对称:
x x, y y
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k ②写出顶点(h,k) ③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k) 则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
中考一轮复习课
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并 体会二次函数的意义． 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次 函数的性质． 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不 要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题．
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0
与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0 a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定
1 2 x 向左平移3个单位,再向下平移2个单位 2 1 后,所得的抛物线的关系式是 y ( x 3) 2 2 2
如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
有
关
练 习
2 练习1、 在 y＝－x2， y＝2x2－ ＋3 ， x y＝100－5x2， y=－2x2＋5x3－3 中
有 2 个是二次函数。
k 2 k
练习2、函数y ( k 1) x
y
o
x
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0.