九年级第一轮复习课课件《二次函数复习》(第一课时)
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【中考一轮复习】二次函数的图象与性质课件(1)
当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
课件 二次函数的图象与性质复习 第一课时
函数有最小值
函数变化情况：x＜ y随x的增大而增大。
1 时 4
活动四
活动4 求函数y=2x2+x-2与x轴的交点坐标。 解：令y＝0，即2x2+x-2＝0，
1 17 解得 x1 ， 4
1 17 x2 4
1 17 、 4 ,0
∴函数y=2x2+x-2与x轴的交点坐标
大显身手
二、选择题 3．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必 经过下列四点中（D） A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 4．函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次 函数y=ax2+bx的大致图象是（B）
大显身手
5．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找 到三点(－1，y1)，(0.5，y2)， ( 3.5，y3)，则你认为y1， y2，y3的大小关系应为（ ）D A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 6．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运 动规律可以表示为：s=gt2.其中s表示自某一高度下落的 距离，t表示下落的时间，g是重力加速度.若某一物体 从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和 时间t函数图象大致为（ B ）
1 17 ,0 。 4
活动五
活动5 根据图象，请说出当x分别取什 么值时，y＞0和y＜0。 解： 1 17 1 17 当x＜ 或x＞ 时， y＞0；
4
4
1 17 1 17 当 ＜x＜ 4 4
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
中考二次函数复习课件【优质PPT】
x=2，y最大值=3
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
顶点(6，3）
解法一设解析式为y=a(x-0)(x-12)
令y=1.4,则-0.2x2+3.2=1.4
B x解得x=-3或x=3 ∴M(-3,1.4),N(3,1.4) ∴MN=6 20 答：横向活动范围是6米。
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2021/10/10
14
5一.待般定式系数y法=a求x解2+b析x式+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
二次函数的图象是一条 对称轴平行于 y 轴．
抛物线
，它是 轴
对称图形，其
2021/10/10
2
y 3.二次函数的图象及性质y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
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唐山市第十二中学 张海青
(a、 b、 c是常数 , 定义： y ax bx c a0 ）
2
1、二次函数的定义
定义要点：①a≠0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：
2 2 y 100 5 x 1、 y x 、 y 2x 、 x
2
2
y 3x 2x 5 ，其中是二次 数的有 个
-1 0 1 x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
4、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 求出表达式后化为一般形式.
根据下面的函数图象，尽可能多的找出结论.
（1）a＞0，b＜0， c＞0.
y
开口向上 a＞0
2 y 1 )( x 5 ) （2）函数解析式： 5(x 2 2 12 即 y x x2 c＞ 0 5 5
2 8 或 y (x3 )2 5 5 （3）对称轴：直线x=3；
(0,2) · · O (1,0) · · 1 (5,0) x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2
1.如图2×2网格(每个小正方形的边长为1)中,A,O, B,C,D,E,F,H,G九个格点.抛物线L的解析式为: 1 2 y x bx c 2 (1)若L经过点O(0,0)和B(1，0),则b=____; c=____; 它还经过的另一格点的坐标为_____ ． （2）若L经过点H(-1，1)和G(0，1),求它的解析式 及顶点坐标；通过计算说明点D(1，2)是否在L上． （3）若L经过这九个格点中的三个，直接写出所有 满足这样的抛物线的条数.
·
x
x
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、 a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
(4)已知二次函数的图像如图所示: 下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc﹥0 ⑷ b=2a D 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3y 个 D 4个
2 3
2当m_______时,函数
y ( m 1 ) x
是二次函数.
m m
2
2 x 1
2、二次函数的图像及性质
y 0 x y
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
8 ( 3 , ) （4）顶点坐标 5 8 （5）当x=3 时，y有最小值 5
·
·
·
（6）图象在x轴上截得的线段长为4. （7）在对称轴的左侧，y 随 x 增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随 x 增大而增大.
b2-4ac＞0
ab ＜ （8）当x =1 或 5 时，y = 0 ； 当1 ＜x ＜5 时，y ＜0 ；当 x0＜1 b＜0 或x ＞5 时，y ＞0.
增减性
最值
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最小值为 2 a 4 a
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最大值为 2 a 4 a
已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐 标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，点A在点B左侧，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值 时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多 少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
1 2 3 y x x 2 2
(1,0) x
•
(-3,0)
• • • (-1,-2)
0
•
3 (0,-– 2)
3、a，b，c符号的确定 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0 c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 a、b同号 对称轴在y轴左侧 a、b异号 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac=0 与x轴有一个交点 2-4ac<0 b 与x轴无交点
（5）a+b+c的符号： 当x=1时,y=a+b+c, (6)a-b+c的符号： 当x=-1时,y=a-b+c,
(１)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y 所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 o C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0c (2)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 y 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 o C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 (3)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 y 图 C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） o
(a、 b、 c是常数 , 定义： y ax bx c a0 ）
2
1、二次函数的定义
定义要点：①a≠0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：
2 2 y 100 5 x 1、 y x 、 y 2x 、 x
2
2
y 3x 2x 5 ，其中是二次 数的有 个
-1 0 1 x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
4、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________ 求出表达式后化为一般形式.
根据下面的函数图象，尽可能多的找出结论.
（1）a＞0，b＜0， c＞0.
y
开口向上 a＞0
2 y 1 )( x 5 ) （2）函数解析式： 5(x 2 2 12 即 y x x2 c＞ 0 5 5
2 8 或 y (x3 )2 5 5 （3）对称轴：直线x=3；
(0,2) · · O (1,0) · · 1 (5,0) x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 2
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 2
1.如图2×2网格(每个小正方形的边长为1)中,A,O, B,C,D,E,F,H,G九个格点.抛物线L的解析式为: 1 2 y x bx c 2 (1)若L经过点O(0,0)和B(1，0),则b=____; c=____; 它还经过的另一格点的坐标为_____ ． （2）若L经过点H(-1，1)和G(0，1),求它的解析式 及顶点坐标；通过计算说明点D(1，2)是否在L上． （3）若L经过这九个格点中的三个，直接写出所有 满足这样的抛物线的条数.
·
x
x
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、 a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
(4)已知二次函数的图像如图所示: 下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc﹥0 ⑷ b=2a D 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3y 个 D 4个
2 3
2当m_______时,函数
y ( m 1 ) x
是二次函数.
m m
2
2 x 1
2、二次函数的图像及性质
y 0 x y
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4acb2 2a , 4a b 直线 x 2a
8 ( 3 , ) （4）顶点坐标 5 8 （5）当x=3 时，y有最小值 5
·
·
·
（6）图象在x轴上截得的线段长为4. （7）在对称轴的左侧，y 随 x 增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随 x 增大而增大.
b2-4ac＞0
ab ＜ （8）当x =1 或 5 时，y = 0 ； 当1 ＜x ＜5 时，y ＜0 ；当 x0＜1 b＜0 或x ＞5 时，y ＞0.
增减性
最值
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最小值为 2 a 4 a
b 4 ac b 当 x 时 ,y 最大值为 2 a 4 a
已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐 标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，点A在点B左侧，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值 时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多 少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
1 2 3 y x x 2 2
(1,0) x
•
(-3,0)
• • • (-1,-2)
0
•
3 (0,-– 2)
3、a，b，c符号的确定 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0 c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 a、b同号 对称轴在y轴左侧 a、b异号 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac=0 与x轴有一个交点 2-4ac<0 b 与x轴无交点
（5）a+b+c的符号： 当x=1时,y=a+b+c, (6)a-b+c的符号： 当x=-1时,y=a-b+c,
(１)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y 所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 o C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0c (2)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 y 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 o C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 (3)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 y 图 C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） o