10.7相似三角形的应用(兴化市李君)
《相似三角形的应用》课件
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转 换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂 之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和 大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各 个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形 成虚像。利用相似三角形原理， 可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向， 形成实像或虚像。利用相似三角 形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散 光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、 角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的 应用，如利用相似三角形计算高度、距离等 。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评 和总结，强调相似三角形的重要性 和应用价值，鼓励学生继续深入学 习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中 应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性 质，确定线段之间的 比例关系
应用实例：利用相似 三角形解决建筑物高 度测量问题
利用比例关系，求解 未知线段的长度
《相似三角形的应用》名师课件
利用相似三角形证明角度关系
通过相似三角形的对应角 相等，可以推导出角度之 间的相等或互补关系。
构造相似三角形，利用已 知角度求解未知角度。
利用相似三角形的性质， 证明两个角之间的和差关 系。
综合运用举例
在几何图形中，通过构造相似 三角形来证明线段或角度的关 系。
结合其他几何知识，如勾股定 理、三角函数等，综合运用相 似三角形进行证明和求解。
3
利用相似三角形测量水平距离
通过测量两个物体之间的夹角和其中一个物体到 观测点的距离，可以计算出两个物体之间的水平 距离。
计算面积和体积问题
利用相似三角形计算平面图形面积
01
通过相似三角形的性质，可以将平面图形划分为若干个相似的
小三角形，从而计算出整个图形的面积。
利用相似三角形计算立体图形体积
02
04
拓展：相似多边形及其应用
相似多边形定义及判定方法
01
定义：两个多边形，如果它们的 对应角相等且对应边成比例，则 称这两个多边形相似。
02
判定方法
03
对应角相等；
04
对应边成比例。
相似多边形性质定理
性质定理：相似多边形对应边成比例，对 应角相等。 推论
相似多边形的周长比等于相似比；
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
SAS相似等。
灵活运用性质定理，简化计算过程
灵活运用相似性质
在解题过程中，灵活运用相似三 角形的性质定理，如对应角相等 、对应边成比例等，以简化计算
过程。
转化已知条件
将题目中的已知条件转化为相似三 角形的性质定理所需的形式，以便 直接应用定理进行求解。
避免复杂计算
通过灵活运用性质定理，可以避免 一些复杂的计算过程，提高解题效 率。
课件--相似三角形的应用
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成比例”的 原理解决。
A
C
B
D
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对 岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和 点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用 视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米， DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
A
C
B
D
利用相似测量物体的高度
0.5m时,长臂端点升高______m。
B
0.5m
16m
C ┛1m O A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人 的影长为3米,则树高为______。
在同一时刻，物体的高度与它在阳光下
的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长 为60米，那么这幢高楼的高度是多少米？
（2） 测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造
相似三角形求解。
生活实践
1、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量A、B两点间 距离的方案，并对这种方案 作出简要的说明。
• 解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，
连BP并延长使 PA PB 2（或其他值），
初中数学知识归纳相似与全等三角形的应用的应用
初中数学知识归纳相似与全等三角形的应用的应用初中数学知识归纳：相似与全等三角形的应用三角形是初中数学中一个基础的概念，而相似与全等的三角形则是在三角形的学习中常常涉及的重要内容之一。
相似与全等三角形的应用在解题过程中起着至关重要的作用，本文将对相似与全等三角形的应用进行归纳总结。
一、相似三角形的应用相似三角形的概念是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在实际问题中，我们经常遇到需要利用相似三角形来求解未知变量的情况。
下面将介绍一些常见的相似三角形应用。
1. 成比例线段应用若两条平行线与一条横切它们的另一条线相交，那么交线上的线段在两个平行线上的截线部分上成比例。
这一定理在实际生活中有很多应用，例如测量高楼的高度、森林动物普查等。
2. 三角形面积应用已知两个相似三角形的对应边成比例，那么它们的面积也成比例。
这一应用可以用来求解地图的比例尺、航空摄影测量中的高度计算等问题。
3. 相似三角形斜边应用当两个直角三角形的一个角相等，且斜边成比例时，可得出两个直角三角形相似。
这个应用常用于测量电线的高度、街道上的建筑物高度计算等问题。
二、全等三角形的应用全等三角形是指两个三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的性质可以在解题过程中简化计算，下面将介绍一些常见的全等三角形应用。
1. 利用全等三角形求解长度、角度两个全等三角形的对应边和对应角都相等，因此可以通过已知长度或角度来求解未知量。
这一应用常用于建筑设计中的测量和估算、导航中的角度计算等问题。
2. 几何证明中的应用在几何证明中，利用全等三角形的性质可以快速推导出结论。
例如，可以通过全等三角形证明各类三角形的性质，进而推导出其他结论。
3. 三角形判断应用通过判断两个三角形是否全等，可以解决一些三角形分类的问题。
例如，通过判断两个三角形全等可以分类判断锐角三角形、钝角三角形以及平角三角形等。
三、相似与全等三角形的综合应用在实际问题中，相似与全等三角形的应用常常综合起来。
相似三角形的应用
相似三角形的应用在几何学中，相似三角形是一种非常重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
本文将探讨相似三角形的应用，并介绍在现实生活中如何使用相似三角形进行测量和求解问题。
一、地图测量地图是我们在日常生活中常用的工具之一。
地图上的距离和大小都是通过测量获得的。
由于地球是一个球体，所以将其展示在平面地图上会引起形状的改变。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量地图上的两条边和它们对应的实际距离，来计算其他位置的距离。
例如，假设我们知道地图上两个城市之间的距离为10厘米，而实际距离为100公里。
如果我们需要计算其他两个城市之间的距离，可以利用相似三角形的比例关系，设这两个城市之间的距离为x公里，则可以得到以下比例关系：10厘米/100公里 = x厘米/x公里。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出实际距离。
二、建筑测量在建筑领域，使用相似三角形可以帮助我们测量高处的物体或建筑物的高度。
如果我们无法直接测量高度，但可以测量到某个位置的斜边长度和水平距离，那么我们可以利用相似三角形的性质来计算物体的高度。
以测量一栋建筑物的高度为例，我们可以在地面上选取一个合适的位置，测量从这个位置到建筑物顶部的斜边长度为10米，而与地面垂直的水平距离为5米。
我们可以设建筑物的高度为h米，则可以得到相似三角形的比例关系：10米/5米= h米/x米。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出建筑物的高度。
三、影视特效影视特效制作中，相似三角形也起到了关键的作用。
例如，在拍摄特技镜头时，为了保证画面的连贯性，摄影师和特效制作人员需要准确计算出角色与背景之间的相对位置。
通过利用相似三角形的性质，可以测量出摄影机与角色的距离和角度，进而确定背景的大小和位置。
这样，在特效制作时，就可以根据这些信息来合成或添加特效，使得特技镜头看起来更加真实和自然。
总结：相似三角形的应用非常广泛，不仅限于地图测量、建筑测量和影视特效等领域。
相似三角形的应用课件
03
相似三角形在三角函数中应用
利用相似三角形推导三角函数公式
利用相似三角形的性质，推导 出正弦、余弦、正切等基本三 角函数公式。
通过设定相似三角形的边长比 例，进一步推导出和差化积、 积化和差等复杂三角函数公式。
结合相似三角形的性质和三角 函数定义，推导出三角函数的 半角公式、倍角公式等。
利用三角函数值求角度或边长
折射定律与相似三角形
在光的折射现象中，入射光线、折射 光线和法线构成相似三角形，可用于 计算折射角和折射率。
利用相似三角形解决力学问题
力的平行四边形法则与相似三角形
01
在力的合成与分解中，利用平行四边形法则和相似三角形可求
解合力或分力的大小和方向。
杠杆平衡原理与相似三角形
02
在杠杆平衡问题中，利用相似三角形可求解力臂和力矩，进而
利用相似三角形解决复杂几何图形问题
解决复杂几何图形中的线段长度问题
在一些复杂的几何图形中，可能难以直接求出某些线段的长度。但是，如果这些图 形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来求解这些线段的长度。
解决复杂几何图形中的角度问题
同样地，在一些复杂的几何图形中，可能难以直接证明某些角相等或互补。但是， 如果这些图形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来证明这些角 的相等性或互补性。
案例分析
例如，在分析某种商品的需求情况时，可以构建以价格为自变量、需求量为因变量的直角坐 标系。然后，通过绘制不同价格水平下的需求曲线，并利用相似三角形原理进行分析，可以 得出该商品的价格弹性以及不同价格水平下的需求量预测。
生物医学图像处理中特征提取技术
生物医学图像处理中的特征提取：在 生物医学图像处理中，特征提取是一 个重要的步骤，用于从图像中提取出 有意义的信息以进行后续的分析和诊 断。相似三角形在特征提取技术中发 挥着关键作用。
初中数学 如何使用相似三角形解决实际问题
初中数学如何使用相似三角形解决实际问题相似三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与三角形有关的实际问题。
在本文中，我们将深入探讨相似三角形的原理和应用，并通过具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们回顾一下相似三角形的定义。
对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度相等，则它们是相似的。
我们用符号∼表示相似关系。
换句话说，如果∼A = ∼D，∼B = ∼E，∼C = ∼F，则我们可以说三角形ABC和DEF是相似的。
利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题。
其中最重要的性质是比例关系。
如果两个三角形相似，则它们的对应边长的比值相等。
也就是说，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则我们可以说三角形ABC和DEF是相似的。
接下来，我们将通过一些具体的例题来演示如何使用相似三角形解决实际问题。
例题1：在图中，三角形ABC与三角形DEF相似，已知AB = 6cm，BC = 8cm，EF = 10cm，求AC的长度。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。
根据相似三角形的性质，我们知道AB/DE = BC/EF。
代入已知条件，我们可以得到6/DE = 8/10。
通过计算，我们可以得到DE = (6 × 10) / 8 = 7.5cm。
因此，三角形DEF中边长DE的长度为7.5cm。
接下来，我们可以继续利用相似三角形的性质来求解AC的长度。
根据相似三角形的性质，我们知道AB/DE = AC/DF。
代入已知条件和已求得的DE的长度，我们可以得到6/7.5 = AC/10。
通过计算，我们可以得到AC = (6 × 10) / 7.5 = 8cm。
因此，三角形ABC中边长AC的长度为8cm。
通过这个例题，我们可以看到相似三角形在解决实际问题中的应用。
通过利用相似三角形的性质，我们可以求解未知边长的长度，帮助我们解决各种与三角形相关的实际问题。
初中数学知识归纳相似三角形的应用
初中数学知识归纳相似三角形的应用相似三角形是初中数学中重要的概念和应用之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
本文将归纳相似三角形的应用，以帮助初中数学学习者更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定在应用相似三角形之前，我们首先需要学习如何判定两个三角形是否相似。
对于两个三角形而言，如果它们对应的内角相等，并且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
具体来说，可以利用下列方法判定两个三角形的相似性：1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的一个重要性质是对应边的比例关系。
设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a、b、c和A、B、C，那么可以得到以下比例关系：1. 边比例关系：a/A = b/B = c/C2. 高比例关系：相似三角形的高与对应边成比例，即三角形的高与底边之间的比值相等。
三、相似三角形的应用相似三角形的应用十分广泛，下面将介绍相似三角形在几何学中的常见应用：1. 测量高度和距离：通过相似三角形的高比例关系，可以利用已知的三角形高度和距离，计算出未知的高度和距离。
这在实际生活中的测量和计算中具有重要意义，如测量建筑物的高度、飞机的高度和距离等。
2. 建模和缩放：在建模过程中，我们可以通过相似三角形将现实世界的物体缩小或放大，并保持其形状不变。
这种方法常用于制作模型、设计蓝图和三维计算机图形等领域。
3. 解决实际问题：相似三角形的应用也可以帮助求解实际生活中的问题。
例如，在日常生活中使用地图导航时，我们可以利用地图上的比例尺和相似三角形的原理，推算出实际距离与地图距离之间的比例关系。
4. 定比分点：相似三角形的比例关系还可以用于求解点的定比分点问题。
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A 墙
C D
E
木杆
B
2.拓展：
（1）一根木杆如图所示，请在图中画出它在 太阳光下的影子（用线段表示）
太阳光线
A 墙
C D
E
木杆
B
（2）小强利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗 杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的 一部分在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地 面上的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m, 同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为 0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
D 1m 0.8m 4m E C 20m 3.2m
29m
B
（2）小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗 杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的 一部分在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地 面上的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m, 同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为 0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
A
E
C D B F G
如果测得金字塔的阴影DB的长为32m,金字塔 底边的长为230m,请计算出这座金字塔的高度? 解： ∵ 在平行光线的照射下， A 不同物体的物高与影长成比例.
FG C 1 （ ∴AC=BC= 230 32 147 m ） 2
∴
AC BC
EF
E
1
D B F G
即该金字塔高为147米．
A
D
1m
0.8m
4m C 20m B
（2）小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗 杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的 一部分在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地 面上的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m, 同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为 0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
A
1 . 68 2 x 18
解得x≈15.1，
所以旗杆的高度大约是15.1m．
三、共探质疑
1.利用你的发现，如何测量阳光下学校旗杆 的高度?
2.利用你的发现，如何测量阳光下金字塔的高 度?
B
古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学 者来解决这个问题.在某个特定时刻，这位学 者确认，在阳光下他的影长等于他的身高，立 即要求他的助手测出金字塔的阴影DB的长， 这样他就十分准确的算出了金字塔的高度. （塔基呈正方形.）
四、再探悬疑
1.小结： 本节课你有哪些收获？还有什么疑问吗？ 概念
生活中的影子 平行投影
性质
应用
2.拓展：
（1）一根木杆如图所示，请在图中画出它在 太阳光下的影子（用线段表示）
太阳光线
A 墙
C E D B
木杆
2.拓展：
（1）一根木杆如图所示，请在图中画出它在 太阳光下的影子（用线段表示）
太阳光线
A 4m E
D 1m 0.8m 4m 高度.由于旗 杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的 一部分在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地 面上的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m, 同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为 0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
A 25m D 1m 0.8m 4m C 20m B E 4m
A
A
A
E
D E C D D E
B
C
B
C
B
3.延伸： （1）利用所学知识，测量学校某建筑物的高度. 你能想出几种方法？ （2）《数学补充习题》10.7相似三角形的应用(1)
（3）小强认为：在平行光线的照射下，不同 物体的长度与其影长成比例.你认为正确吗？
10.7
相似三角形的应用（1）
兴化市楚水初级中学
李
君
你有我有他也有, 黑身黑腿黑黑头,
灯前月下跟你走,
就是从来不开口。
一、自探寻疑
1.阅读课本113页1、2两段，你学到了哪些知识，你 有什么疑问？ 2.在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙2根木杆， 2012年4月25日14:00，甲木杆在太阳光下的影子如图 （1）所示，2012年4月25日16:00，甲木杆在太阳光 下的影子如图（2）所示，你能画出图（1）、（2） 中乙木杆的影子吗？ 16:00 14:00
甲
乙
甲
乙
二、合探解疑
1.解疑交流
光线在直线传播过程中，遇到不透明 的物体，在这个物体的后面光线不能到达 的区域便产生影。
太阳光线
光屏
光源
不透明 物体
木棒
太阳光线可以看成是平行光线
在平行光线的照射下，物体所产生的影 称为平行投影。
在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙2根木 杆，2012年4月25日14:00，甲木杆在太阳光下 的影子如图（1）所示，2012年4月25日16:00， 甲木杆在太阳光下的影子如图（2）所示，你能 画出图（1）、（2）中乙木杆的影子吗？ 16:00 14:00
木 杆 长 度 木 杆 影 长
在平行光线的照射下，不同物 体的物高与影长成比例。
你能用相似三角形的知识解释其中的道理吗? A
D
B
C
E
F
3.练习: 在阳光下，身高为1.68m的小强在地面上的 影长为2m，在同一时刻，测得旗杆在地面上 15.1m 的影长为18m.旗杆的高度大约是______（精 确到0.1m）. 解：设旗杆高度为xm，由在平行光线照射下， 不同物体的物高与其影长成比例，得：
甲
乙
甲
乙
2.数学活动： (1)实验操作：分别度量14:00和16:00甲、乙、丙3根木 杆长度和3根木杆在阳光下的影长 (2)实验记录：将有关数据填入下表并计算： 14:00 木 杆 木 杆 木 杆 长 度
木杆 甲 乙 丙 长 度 影 长
木 杆 影 长
16:00
木杆 甲 乙 丙
木 杆 长 度
木 杆 影 长