17第六章多元函数微分学
第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数微分学
多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。
在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。
在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。
而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。
多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。
用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。
首先，我们来看一下多元函数的导数。
多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。
偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。
用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。
全导数可以用向量∇f表示。
接下来，我们来看一下多元函数的微分。
微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。
多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。
在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。
方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。
梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。
方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。
最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。
在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。
例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。
总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
多元函数微分学
多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。
多元函数微分学
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C .
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4 yf11
yf
22
.
例4 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
(
f
,
具有一阶连续偏导数
)，且
z
0, 求
du . dx
解
du dx
f x
f y
dy dx
f z
dz dx
,
显然 dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
2020/2/13
线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
2020/2/13
14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
2020/2/13
20
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
多元函数微分学
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
y
O
x
例 6 求二元函数 z ln(9 x2 y2 ) x2 y2 1的定
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称 D 为无界区域．
常见区域有矩形域：a x b,c y d ,
圆域:(x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 0).
圆域 (x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 2 一般称为平面
上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 4 求二元函数 z a2 x2 y2 的定义域．
过 D 域中的任一点M (x, y) 作垂直于xOy 平面的有向线段
MP，使P 点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在
D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z f (x, y) 的几何
图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在
xOy 平面上的投影．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
O X
x
P
Y
y
MD
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 x2 y2 a2的x, y, 即定义域为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim f (x, y) A或lim f (x, y) A
xx0
0
y y0
2.二元函数连续定义
定义 设函数f (x, y)在点P0 (x0, y0 )的某个邻域内有定义, P(x, y) 是邻域内的任意一点,如果
lim
xx0
f (x, y)
f (x0 , y0 )
y y0
则称函数f (x, y)在点P0 (x0 , y0 )连续.
2.全微分与偏导数的关系
定理 如果函数z f (x, y)的两个偏导数在点(x,y) 处存在且连续,则函数z f (x, y)在该点可微且.
dz
z x
dx
z y
dy
例 求函数z e2x sin y的全微分.
解
因为 z x
2e2 x
sin
y,
z y
e2 x
cos
y
所以dz 2e2x sin ydx e2x cos ydy e2x (2sin ydx cos ydy).
1
1 x y
解 要使式子有意义，则须1 x y 0
D: x y 1
y
x
2.二元函数的几何意义
已经知道,一元函数y f (x)的图形,是平面上的一条曲线; 对于二元函数z f (x, y)的图形,则为空间的一个曲面.
二 二元函数的极限和连续
1.二元函数极限定义
定义 设z f (x, y)在点P0 (x0 ,y0 )附近有定义[在点P0 (x0 ,y0 )可 以没有定义].如果当P(x, y)趋向点P0 (x0 ,y0 )时, 对应的函数值f (x, y) 总是趋向于一个确定的常数A,则称A为函数f (x, y)当x x0 , y y0 时的极限, 记作
x
y
所以
z x
(1,2)
312 6 1 2 15
z y
(1,2) 3 12 4 23 35
例2
设z
x sin(x
y), 求
z x
,
z y
.
解
z x
sin(x
y)
x
cos(
x
y),
z y
x cos(x
y)
四 全微分 1.全微分的定义
一元函数y f (x)在点x 处的微分是指,如果函数在x处的增 量y可以表示成y f '(x )x o(x)式中,o(x)是x高阶的无 穷小,则dy f '(x )x为函数y f (x)在点x 处的微分. 类似地,二元函数全微分的定义如下.
z Fx
x
Fz
z Fy
y
Fz
例
设x 2
y2
z2
4
z,
求
z x
,
z y
.
解 令F (x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2(z 2),
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z y
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zy (x0 ,y0 )或f y (x0 ,y0 )等.
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数
都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y)
第六章 多元函数微分学
一 多元函数的概念 二 二元函数的极限和连续 三 偏导数 四 全微分 五 复合函数的偏导数 六 隐函数的偏导数 七 二阶偏导数 八 二元函数的无条件极值
一 多元函数的概念
1.二元函数的定义
定义 设有变量x,y,z,如果当变量x,y,在一定范围内任意 取定一对数值时,变量z按照一定法则,总有惟一确定的数值 与之对应,则称z是x, y的二元函数,记作z f (x, y)
,
如果极限
lim
x0
f
( x0
x, y0 ) x
f
(x0 ,y0 )
存在,则称此极
限值为函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对x的偏导数,记作
z x
, fx (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 ) , zx (x0 ,y0 )或fx (x0 ,y0 )等
同样,函数z f (x, y)在点(x0 ,y0 )处对y的偏导数定义为
定义 如果二元函数z f (x, y)在点(x , y )处的全增量
z f (x , y y) f (x, y) Ax By o( )
其中，A、B与x、y无关，（ o ）是比 x2 y2 较高阶的无穷小量.
则称 : dz df (x, y) Ax By
是z f (x, y)在点x, y处的全微分.
对自变量x的偏导函数.记作
z x
,f x
,
zx或f
x
(
x,
y)
同样,函数z f (x, y)对自变量y的偏导函数记作
z y
,f y
,
z y或f
y
(
x,
y)
偏导函数也简称为偏导数.
例1 求函数z x3 3x2 y y4 2在点(1,2)处的两个偏导数.
解 因为 z 3x2 6xy, z 3x2 4 y3
五 复合函数的偏导数
设： z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)
z f u(x, y),v(x, y)
则： z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
例2 设z ex2 y ,而x sin t, y t 3 , 求 dz . dt
解 由公式得
dz z u z y ex2 y cos t 2ex2 y 3t 2 dt u t y t
ex2 y (cos t 6t 2 ) esint2t3 (cos t 6t 2 )
六 隐函数的偏导数
设z f (x, y)是由方程F(x, y, z) 0惟一确定的隐函数,
如果Fx , Fy , Fz连续,且Fz 0,则隐函数的两个偏导为：
三 偏导数 1.偏导数的定义及求法
对于二元函数z f (x, y),若固定y,只让x变化,则z就成为x 的一元函数,比如说, z f (x, y0 ).这样的一元函数对x的导数 就称为二元函数z对x的偏导数.
定义 设函数z f (x, y)在点(x0,y0 )的某一个邻域内有定义.
固定y
y0
式中,x, y叫作自变量; z叫作因变量.x, y的变化范围叫作函数
的定义域. 记为：D( f ) 类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
例 求下列函数的定义域：
（1）z xy
解 由于根式函数，要求偶次方根好下的被开方式
必须大于或等于0 D : xy 0
y
o
x
（2）z