机械振动_第二章 习题

振，受迫振动的振幅
O
随时间无限地增大，
t
其运动图线如图示。
实际上，由于系统存在阻பைடு நூலகம்，共振时振幅不可能达到无限大， 一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大 的变形，甚至造成破坏。
因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。
例. 图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚 度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力 F=F0sinωt,其中激振力的频率ω=1/2ωn , ωn为系统的固有频率。忽略阻尼， 求系统的受迫振动规律。
x
mx kx kesint
s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
x bsint
s
l0
st
x
O
激振力的力幅为
H ke
h
ke
e
x
b
2 n
2
m(
2 n
2)
1(
)2
n
s
b为物块绝对运动的振幅。
由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于 测振仪的振幅 a=|b-e|。当ωn <<ω时，b≈0，有a≈e。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使ωn很小。 用它来检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的 振幅也就接近于被测物体的振幅。
解：
设任一瞬时刚杆摆角为φ， 根据刚体转动微分方程可以 建立系统的运动微分方程。
l 2 O
m
l
2
k
A
F
m(
l )2
2
kl2
F0l
sin
t
微分方程整理为：
n2 h sin t
令
2 n
kl2 m( l )2
4k m
2
h FOl 4F0 m( 1 )2 ml 2
n2 h sin t
研究受迫振动方程特解
振幅b与激振力频率ω之间的关系
b
2 n
h
2
绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线
将纵轴取为β= b/b0，横轴取为λ=ω/ωn， β和λ都是无量纲的 量，绘出无量纲的振幅频率曲线。
b
b
b0
n
1
n
(3) 共振现象
上述分析，当ω=ωn时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在 理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。
x Aent sin(
2 n
n2
t
)
b
sin(t
)
x O
x O
x
由于阻尼的存在
第一部分振动随时间
t
的增加，很快地衰减，
这段过程称为过渡过
程（瞬态过程）.
t
过渡过程是很短暂的。
过渡过程之后，系统 进入稳态过程。
O t
下面研究稳态过程的振动。
由受迫振动的运动方程特解可知：x2 b sin(t )
2.受迫振动的振幅 x2 b sin(t )
b h
2 n
2
在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动 频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关， 与振动系统的固有频率ωn激振力的力幅H、激振力频率ω 有关。
下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系
(1) 若ω→0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振 动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。
m2e
n m1 m2
例. 图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放 在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt， 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。
解：
1）取测振仪为研究对象
s
l0
测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬 挂点的运动规律就是s=esinωt 。
(x
e sin t )
m1
d dt
[m1
dx dt
m2
d dt
(x
e sin t )]
kx
O
整理后得： (m1 m2 )x kx m2e 2 sin t
m2
t
x Fk
此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2eω2sinωt 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。 激振力力幅为 m2eω2 等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度ω。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。
b
h
(
2 n
2
)2
4n2
2
当 n2 2n2 n 1 2 2
时
振幅bmax具有最大值，这时的频率ω称为共振频率。 在共振频率下的振幅为：
h
bmax 2n
n2 n2
或
bmax
2
bo
1 2
在一般情况下，阻尼比ζ<<1，可认为共振频率ω=ωn ，
即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。
k
m
弹性梁上的电动机由于转子偏心在
转动时引起的振动等。
简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：F H sin(t )
H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位
1.振动微分方程
图示振动系统，物块质量为m。 物块受力有恢复力Fk和激振力F。 取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.
恢复力Fk 在坐标轴上的投影为
2 n
h
2
sin t
l 2 O
m
将ω=1/2ωn代入上式
解得：
h sint
3 4
2 n
2
4F0 /(3 4k sin t)
ml 4 m
4F0 sint
3k l
l
2
k
A
F
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
x1 ：齐次方程的通解 在小阻尼（n< ωn ）情形下，有
x1 Aent sin(
2 n
nn2 t
)
kc
Fk
Fc
m
F
x
d2x dt 2
2n
dx dt
2 n
x
h
sin
t
x2 ：对应齐次方程的特解
设它的形式为： x2 b sin(t )
其中ε表示受迫振动的相位落后 于激振力的相位角。 代入微分方程，可得：
令： H m2e 2
h m2e 2
m1 m2
受迫振动振幅：
b
h
2 n
m2e 2 k (m1 m2 ) 2
绘出振幅频率曲线。 b
此曲线当ω<ωn时，振幅 从零开始，随着频率增大 而增大；
当ω=ωn时，振幅趋于∞； 当ω>ωn时，振幅随着增大而减 小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 O
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1 0.2 0.5 1.0
4.0 2.0
0
1.0 4.0 0.5 0.2 0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
第二章 单自由度系统强迫振动
一. 单自由度系统的无阻尼受迫振动
工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼 的消耗，有的承受外加的激振力。 在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
交流电通过电磁 铁产生交变的电 磁力引起振动系 统；
c
dx dt
H
sin t
kc
Fk
Fc
m
F
x
m d 2x kx c dx H sint
dt 2
dt
两端除以m，并令：
2 n
k m
,
2n c , m
h H m
整理得：
d2x dt 2
2n
dx dt
2 n
x
h
sin
t
有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程
其解由两部分组成： x x1 x2
二. 单自由度系统的有阻尼受迫振动
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢 复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。
若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
Fc
c
c
dx dt
F H sint
可建立质点运动微分方程
m
d2x dt 2
k x
Fk kx
设F为简谐激振力， F在坐标轴上的投
影写成：
F H sin(t )
质点的运动微分方程为
m
d2x dt 2
k x
H
sin(t
)
两端除以m，并设：
2 n
k m
h H M
则得：
d2x dt 2
2 n
x
h sin(t
)
k
O
Fk
x
m
m
F
x
该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式
d2x dt 2
当ω=ωn时
b
2 n
h