雨中行走问题的研究
雨中行走问题模型
数学建模之雨中行走问题模型摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。
就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。
在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少；若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
关键词：淋雨量，数学模型，降雨的方向。
正文1.问题的提出要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。
（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）2.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积、单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v3.合理假设3.1模型的假设（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为(,,)x y z v v v v =,人行走的距离为d=100米。
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
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2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
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可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
雨中行走模型的不足与改进
雨中行走模型的不足与改进
雨中行走模型的不足主要有两方面：
1. 模型的真实性不足：当前的雨中行走模型虽然可以模拟雨天环境，但在真实性上仍存在不足。
例如，模型中的雨滴大小、密度、速度等参数可能与实际情况不完全相符，导致行走模拟结果与实际经验有所出入。
2. 环境因素缺失：目前的雨中行走模型主要考虑了雨滴对行人行走的影响，但未考虑其他环境因素对行走的影响，如地面湿滑程度、视线受阻等。
这些因素在实际雨天行走中对行人安全具有重要影响，因此在模型中应予以更加全面的考虑。
为了改进雨中行走模型，我们可以采取以下措施：
1. 数据采集与分析：通过收集真实雨天行走的数据，并对这些数据进行分析和总结，以获取更准确的雨天行走参数。
例如，可以通过统计雨滴大小、密度、速度等，进而优化模型的参数设置。
2. 多元化模型设计：考虑到雨天行走的多种不同场景，可以设计多个模型来适应不同情况。
例如，可以在模型中加入不同类型和强度的雨滴，以及不同地面材质的湿滑程度等因素，以更真实地模拟不同情况下的行走条件。
3. 进一步研究环境因素：除了考虑雨滴对行人行走的影响外，还应进一步研究其他环境因素对行走的影响。
例如，可以考虑模拟地面的湿滑程度对行走的影响，或加入障碍物模拟视线受阻的情况等。
通过以上改进措施，我们可以逐步提升雨天行走模型的真实性和准确性，提供更好的参考和指导信息，以帮助人们在雨天安全出行。
简单优化模型10雨中行走
雨中行走问题提出：人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想知道：走多快才会少淋雨呢？模型假设：1.只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进；2.视人体为一个长方体，其身高为h 米，身宽为w 米，厚度为d 米；3.人在雨中行走的速度为v 米/秒，行走距离为D 米；4.雨以速度r 米/秒，沿降雨角度θ（雨滴下落方向与人行走方向的角度）下落；5.降雨强度系数（单位时间内的降雨深度占竖直降雨速度的比例）为ρ，因而降雨强度（单位时间内单位面积上的降雨量，即单位时间内的降雨深度）为：⋅ρ竖直降雨速度.问题分析：如果不考虑降雨角度的影响，即人在行走过程中身体的前后、左右、上方都被雨水淋到，那么，淋雨面积为wd hd hw S ++=22，又淋雨时间为vD t =，故总淋雨量为v wd hd hw rD t S r C )22(++=⋅⋅=. 此式表明，淋雨量与行进速度成反比. 因此，人应尽可能快跑以能减少淋雨量.这种情形过于简单，下面来讨论考虑降雨角度影响的情形.模型建立： 分情况讨论：淋雨时间为v D t =1.20πθ≤<（0=θ不合乎实际）此时，雨迎面而来，人的头部和前部被淋（见下图）.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为θsin r ，降雨强度为θρsin r ⋅，故淋雨量为θρθρsin sin 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 前部的淋雨量：前部的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为θcos r ，相对于人的速度为v r +θcos ，降雨强度为)cos (v r +⋅θρ，故淋雨量为)cos ()cos (2v r h vwD v D wh v r C +=⋅⋅+=θρθρ. 于是，总淋雨量为 [])cos (sin )cos (sin 21v r h dr vwD v r h v wD dr v wD C C C ++=++=+=θθρθρθρ. 特别地，当2πθ=（雨竖直下落）时，总淋雨量为)(hv dr vwD C +=ρ. 2.πθπ<<2（πθ=不合乎实际）此时，雨从背后落下，人的头部、后部（或前部）被淋（见下图）.v令απθ+=2，则20πα<<.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为αcos r ，降雨强度为αρcos r ⋅，故淋雨量为αραρcos cos 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 水平方向上的淋雨量：后部（或前部）的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为αsin r ，相对于人的速度为|sin |v r -α，降雨强度为|sin |v r -⋅αρ，故淋雨量为|sin ||sin |2v r h vwD v D wh v r C -=⋅⋅-=αραρ. 于是，总淋雨量为 []|sin |cos |sin |cos 21v r h dr v wDv r h v wDdr v wDC C C -+=-+=+=ααραραρ.Case （1）：αsin r v ≤此时，人的行进速度不快于雨在水平方向上的分速度（雨从后方赶上人），头部和后部被淋，总淋雨量为[])sin (cos v r h dr v wDC -+=ααρ.特别地，当αsin r v =时，人的行进速度恰好等于雨在水平方向上的分速度（人刚好跟着雨向前走），仅头部被淋，总淋雨量为αρcos dr v wDC =. Case （2）：αsin r v >此时，人的行进速度快于雨在水平方向上的分速度（人赶上前方的雨），头部和前部被淋，总淋雨量为[])sin (cos ααρr v h dr v wDC -+=.综上，总淋雨量为[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-+≤<<-+≤<++=απθπααραπθπααρπθθθρsin ,2,)sin (cos sin ,2,)sin (cos 20,)cos (sin r v r v h dr vwD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 由απθ+=2得[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<+-≤<++=θπθπθθρθπθπθθρπθθθρcos ,2,)cos (sin cos ,2,)cos (sin 20,)cos (sin r v r v h dr v wD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<--≤<++=θπθπρθθρθπθπρθθρπθρθθρcos ,2,)cos sin (cos ,2,)cos sin (20,)cos sin ()(r v wDh v h d wDr r v wDh v h d wDr wDh v h d wDr v C 模型求解： 当20πθ≤<和θπθπcos ,2r v -≤<<时，)(v C 均为v 的减函数，故为使)(v C 最小，应使v 尽可能大；当θπθπcos ,2r v -><<时，)(v C 的单调性取决于θθcos sin h d +的正负，应视情况来判断.结论：要使淋雨量最小，（1）若雨迎面而来，则人应以最大可能的速度向前行进；（2）若雨从背后落下，则人应控制行进速度为雨在水平方向上的分速度.模型讨论：如果视人体为一圆柱，如何？。
数学模型论文雨中行走(1)
队号：第四队成员：刘桂清、徐丽蓉、林雪梅指导老师：刘于江老师雨中行走少淋雨问题真题摘要建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
关键词：少淋雨；雨速的水平分量；夹角；人速1.问题的重述当下雨时，假如你当时没带雨伞你又不得不从A地走到B地，该如何行走才能少淋到雨呢？针对这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，人在顺风行走时，你以雨速的水平分量的速度走时，雨的夹角至少是多少？进而近一步讨论，在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）把人体看作长方体，底边长a米、宽为b米;高为h米；（2）风速保持不变,人速以V（m/s）匀速行走;（3）人从A地行走到B地，路程为L=1000米；2.2符号说明a 人体的宽度 (m)b 人体的厚度 (m)h 人体的身高 (m)V 人的速度（m/s）ν风速（雨速）（m/s）L 人行走的路程 (m)θ下雨的方向与人的夹角t 人在雨中行走的时间 (s)ρ降雨密度3.模型的建立与求解（1）考虑人在顺风行走时，此种情况下，如图：人淋雨的部位有头、背后，则：头顶的淋雨量：C1=VLabθρνcos侧面的淋雨量：C2=VVLbh)sin(θνρ-总淋雨量： C=C1+C2=VVhaLb)]sin(cos[θνθνρ-+结论：可以看出总淋雨量与速度.角度有关，且与人的速度成反比，当V=νsinθ时，即=θarcsinνV,总淋雨量C最小。
所以，上述情况就转化为与θ有关的问题：（1）当0=θ时C=VhV a Lb )(+νρ=ρρνLbh VLab +结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
（2）当4πθ=时C=VV h a Lb )]22(22[ννρ-+=VLab νρ22+h Lb ρ-Vh Lb νρ22=(Vh Lbb a ρ22)1-+h Lb ρ结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
《雨中行走问题》课件
行人行走的方向
行人行走的速度
雨滴对行人产生的冲击力会影响行人的行走速度和稳定性。
雨滴的冲击力
雨滴的湿度
雨滴的能见度
雨滴的湿度会影响行人的舒适度，进而影响其行走意愿和速度。
雨滴的能见度降低会影响行人的视线和判断力，从而影响其行走安全。
03
02
01
03
CHAPTER
机器学习算法
利用大量的历史数据和实时数据，不断优化和改进系统的行走策略。
数据驱动
适用于数据充足且需要高度智能化的雨中行走问题，如复杂环境、不确定因素等。
适用场景
04
CHAPTER
雨中行走问题的未来研究方向
雨滴对行人的影响
雨滴下落对行人的行走速度、步态和舒适度有何影响？
1
2
3
如何建立一个能够准确描述雨中行走动态过程的数学模型？
在健康和安全领域，研究雨中行走问题可以帮助提高行人的安全意识和行为，减少事故风险。
02
CHAPTER
雨中行走问题的数学模型
雨滴下落的速度取决于风速、重力加速度以及空气阻力等因素。
雨滴下落的速度
雨滴下落的方向与风向、气压等气象条件有关，同时也受到地形、建筑物等因素的影响。
雨滴下落的方向
行人行走的速度取决于其步频、步长以及身体状况等因素。
05
CHAPTER
结论
雨中行走问题涉及到人类日常生活中的实际问题，对解决该问题具有实际意义。
研究雨中行走问题有助于提高人们对于行走行为和环境因素的认知，促进相关领域的发展。
解决雨中行走问题可以为人们提供更加安全、舒适和高效的行走方式，提高生活质量。
通过改进雨具的材料、结构和使用方式，提高雨具的防水性能和舒适度。
雨中行走问题数学模型案例
雨中行走问题数学模型案例
一个常见的数学模型案例是“雨中行走”问题。
在这个问题中，假设有一个人需要从一个地方到另一个地方，但是正在下雨。
人可以以一定的速度行走，但是会因为雨水而放慢速度。
问如何确定最快的路线，使得从起点到终点的时间最短。
为了建立这个数学模型，可以采用以下假设和变量：
1. 假设下雨时，人的行走速度是正常时的百分之多少，这个值称为“减速因子”。
假设减速因子为x%，则雨中行走的速度为正常速度的x%。
2. 假设人在雨中行走时的速度是与雨水的强度相关的。
可以假设速度与雨水强度成正比，即速度v与雨水强度I之间存在关系v = kI （其中k为比例常数）。
3. 假设人在雨中行走的路径是直线。
1
根据上述假设和变量，可以建立以下数学模型：
1. 定义起点和终点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 定义每个点（x，y）处的雨水强度I。
3. 计算人在一段距离（Δx，Δy）内花费的时间t：t = l / (v * x / 100)，其中l是距离，v是速度，x是减速因子。
4. 计算从起点到终点的路线上每个点（x，y）的雨水强度I。
5. 根据模型3计算从起点到终点的每个区间的时间t，并将它们的
和作为总时间T。
6. 通过改变减速因子x，并重新计算总时间T，找到最小的总时间
对应的减速因子x，确定最快的路线。
这样，通过数学模型，可以帮助人们确定在雨中行走时最快的路线。
2。
雨中行走数学建模
雨中行走问题的分析吴珍数学与应用数学二班 A班冯奎艳数学与应用数学二班 A班杨彦云数学与应用数学二班 A班摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。
然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。
关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量一、问题重述一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。
那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。
现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。
按以下步骤进行讨论:(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,问速度多大时,总淋雨量最少。
(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,问速度多大时,总淋雨量最少。
(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。
二、问题分析人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。
把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。
为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P (模型建立部分会做具体阐述)的概念。
对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。
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雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。
参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。
分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。