轴心受压杆件的整体稳定
学习-轴心受压构件的整体稳定问题
（1）失稳现象
构件很短时
N
N 作用下，构件只产生轴向压缩变形，当
N=Afy 时，发生强度破坏。
N
构件较长时
a) 轴心压力 N较小
b) N增大
c) N继续 增大
干扰力除去后，恢复到 原直线平衡状态（稳定 平衡） 干扰力除去后，不能恢 复到原直线平衡状态, 保 持微弯状态（随遇平衡）
---------丧失整体稳定性
（3）轴心受压构件的失稳形式
依据构件的截面形式、长度、约束情况等，有三种失稳形式：
1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只 绕一个主轴旋转，杆纵轴由直线变为 曲线；
N
N
N
2）扭转失稳--失稳时除杆件的支承端外， 各截面均绕纵轴扭转；
3）弯扭失稳—杆件发生弯曲变形的同时 伴随着扭转。
1900 开始修建
1907 倒塌场景
原因分析：悬臂 4 肢格构式下弦压杆的缀材面积太小（1.1％）， 导致压杆单肢失稳，而后整体失去稳定。
破坏后果：9000吨钢材掉入河中；75人遇难。
辽宁某重型机械厂会议
原因分析： 14米跨的重型屋架设计成 梭形轻钢屋架； 受压腹 杆中部的矩形钢箍 支撑 没区分绕两个轴的稳 定 性； 误用计算长度系数 , 受压腹杆失稳导致破坏
N
N
N
不同截面形式的轴心受压构件可能发生的失稳形式，一 般 情况如下：
1）双轴对称截面--如工字型、箱型截面，绕对
N
N
N
称轴失稳形式为弯曲失稳，
而 “十” 字型截面还有可能
发生扭转失稳
2）单轴对称截面--绕对称轴弯扭失稳 绕非对称轴弯曲失稳
3）无对称轴截面--弯扭失稳
第4章结构构件的强度刚度稳定性
2、许用应力
查P12表2-2， 得：
查P45表3-11载荷组合B得：安全系数n=1.34
3、稳定性校核
由于 ，故只需按 计算整体稳定性
查P50表4-2截面属于b类，查P228附表4-2得
所以构件整体稳定性满足要求。
4.2
主要承受横向载荷的构件称为受弯构件，实腹式受弯构件简称梁，格构式受弯构件简称桁架。桁架将在后续介绍，本节仅介绍实腹受弯构件的强度、刚度及整体稳定性。
(4-2)
式中： —构件的计算长度,mm；
—许用长细比，《起重机设计规范》GB/T3811-2008规定结构构件容许长细比见表4-1；
—构件截面的最小回转半径,mm。
（4-3）
式中: —构件毛截面面积，mm2；
－构件截面惯性矩，mm４；
表4-1结构构件容许长细比
构件名称
受拉构件
受压构件
主要承载结构件
5
缀条
-缀条所在平面和x-x轴的夹角
注：1、斜腹杆与构件轴线间的倾角应保持在400~700范围内。
2、缀板组合构件的单肢长细比 不应大于40。
例题4-1
已知如图4-6所示工字形截面轴心压杆，翼缘：2-200×10 ，腹板：1-180×6，杆长 ，两端铰支，按载荷组合B求得构件轴心压力 ，钢材为Q235B钢，焊条为E43型，试验算构件强度、刚度及整体稳定性。
(2)
在起重机械结构中，理想构件是不存在的，构件或多或少存在初始缺陷。如：初变形(包括初弯曲和初扭曲)、初偏心(压力作用点与截面型心存在偏离的情况)等等。这些因素，都使轴心压杆在载荷一开始作用时就发生弯曲，不存在由直线平衡到曲线平衡的分歧点。实际轴心压杆的工作情况犹如小偏心受压构件，其临界力要比理想轴心压杆低(图4-4)，当压力不断增加时，压杆的变形也不断增加，直至破坏。载荷和挠度的关系曲线，由稳定平衡的上升和不稳定平衡的下降段组成。在上升段OA，增加载荷才能使挠度加大，内外力处于平衡状态；而在下降阶段AB，由于截面上塑性的发展，挠度不断增加，为了保持内外力的平衡，必须减小载荷。因此，上升阶段是稳定的，下降阶段是不稳定的，上升和下降阶段的分界点A，就是压杆的临界点，所对应的载荷也是压杆稳定的极限承载力 (即压溃力)。
钢结构原理-第4章轴心受力构件
存在，且都是变量，再 加上材料的弹塑性，轴 压构件属于极值点失稳， 其极限承载力Nu很难用 解析法计算，只能借助 计算机采用数值法求解。
《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
缺陷通常只考虑影响最大的残余应力和初弯曲（l/1000）。 采用数值法可以计算出轴压构件在某个方向（绕 x 或 y 轴）的 柱子曲线，如下图，纵坐标为截面平均应力与屈服强度的比值， 横坐标为正则化长细比。
《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.1 概述
4.1.1 定义：构件只承受轴心力的作用。 承受轴心压力时称为轴心受压构件。 承受轴心拉力时称为轴心受拉构件。
N
N
N
N
《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.1.2 轴心受力构件的应用 平面及空间桁架（钢屋架、管桁架、塔桅、网架等）； 工业及民用建筑结构中的一些柱； 支撑系统；等等。
(a) N
(b) N
Hale Waihona Puke (c) NNN
N
《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.4.3 理想轴心受压构件的弯曲屈曲 4.4.3.1 弹性弯曲屈曲
取隔离体，建立平衡微分方程
EyIN y0
用数学方法解得：N 的最 小值即分岔屈曲荷载 Ncr，又称 为欧拉荷载 NE 。
Ncr2EI/l2
对应的临界应力为：
《钢结构原理》 第4章 轴心受力构件
4.4 轴心受压构件的整体稳定
概念：在压力作用下，构件的外力必须和内力相平衡。 平衡有稳定、不稳定之分。当为不稳定平衡时，轻微的扰 动就会使构件产生很大的变形而最后丧失承载能力，这种 现象称为丧失稳定性，简称失稳，也称屈曲。 特点：与强度破坏不同，构件整体失稳时会导致完全 丧失承载能力，甚至整体结构倒塌。失稳属于承载能力极 限状态。与混凝土构件相比，钢构件截面尺寸小、构件细 长，稳定问题非常突出。只有受压才有稳定问题。
钢结构课件 轴心受压构件的整体稳定性
4.2.6 轴心受压构件扭转和弯扭屈曲
1、扭转屈曲
根据弹性稳定理论，两端铰支且翘曲无约束的杆件，其扭 转屈曲临界力，可由下式计算：
《钢结构稳定理论与设计》 陈骥 著
NE
fy
弹塑性阶段
N A
Nv0
W 1 N
NE
fy
相对初弯曲 ε0 = v0 / ρ = v0 / (W/A)
N [1 A 1
0
N
] NE
fy
N A
1
1000
i
1
1 N
N
E
fy
上式的解即为Perry-Robertson公式(柏利公式)
i0—截面关于剪心的极回转半径。i02
e02
ix2
i
2 y
引进扭转屈曲换算长细比z ：
1、扭转屈曲
满足
I 0
z =5.07b/t
x (y) ≥ z =5.07b/t
z2
25.7
Ai02 It
25.7
Ix
Iy It
2t 2b3 12
25.7 4bt3 3
选择计算 §4.6 板件的稳定和屈曲后强度的利用
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.3.1 实腹式柱的截面选择计算
1、实腹式轴心压杆的截面形式 ①考虑原则 ②常用截面
2、实腹式轴心压杆计算步骤
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
习题4
（4）一．选择题1.轴心压杆整体稳定公式f AN ≤ϕ的意义为 。
A 、截面平均应力不超过材料的强度设计值；B 、截面最大应力不超过材料的强度设计值；C 、截面平均应力不超过构件的欧拉临界应力值；D 、构件轴心压力设计值不超过构件稳定极限承载力设计值。
2.用Q235钢和Q345钢分别制造一轴心受压柱，其截面和长细比相同，前者的稳定系数 后者的稳定系数。
A.大于B.小于C.等于或接近D.无法比较3. a 类截面的轴心压杆，其整体稳定系数值最高是由于 。
A 、截面是轧制截面；B 、截面的刚度最大；C 、初弯曲的影响最小；D 、残余应力的影响最小。
4.轴心受压构件的整体稳定系数ϕ与 等因素有关。
A.构件截面类别、两端连接构造、长细比B 构件截面类别、钢号、长细比C.构件截面类别、计算长度系数、长细比D.构件截面类别、两个方向的长度、长细比5.为防止钢构件中的板件失稳采取加劲肋措施，这一做法是为了 。
A 、改变板件的宽厚比；B 、增大截面面积；C 、改变截面上的应力分布状态；D 、增加截面的惯性矩。
6.轴心受压格构式构件在验算其绕虚轴的整体稳定时采用换算长细比，这是因为 。
A.格构式构件的整体稳定承载力高于同截面的实腹构件B 考虑强度降低的影响C.考虑剪切变形的影响D.考虑单肢失稳对构件承载力的影响7. 计算格构式压杆对虚轴x 轴的整体稳定性时，其稳定系数应根据 查表确定。
A 、x λB 、ax λC 、y λD 、oy λ8.双肢缀条式轴心受压柱绕实轴和虚轴等稳定的要求是（ ），x 轴为虚轴。
A 、12027A A x y +=λλB 、 1227A A x y +=λλ C 、y x 00λλ= D 、y x λλ=9. 实腹式轴心压杆绕x 、y 轴的长细比分别为x λ、y λ，其稳定系数分别为y x ϕϕ,，若y x λλ=，则 。
A 、y x ϕϕ>B 、y x ϕϕ=C 、y x ϕϕ<D 、需根据稳定性分类判别10. 实腹式轴心受压构件应进行 。
轴心受压构件稳定系数
轴心受压构件稳定系数
（一）基本概念
轴心受压构件稳定系数是指当轴心受压构件受到压力时，其弯矩的稳定性的衡量标准
之一。
它的计算依据是轴心受压构件受到力的大小和作用点距构件中心轴的距离，按一定
规则加以计算，表示轴心受压构件受到压力时产生的构件弯曲稳定性如何，可以利用轴心
受压构件稳定系数来表达。
（二）计算方法
轴心受压构件稳定系数的计算公式为：γ=F/(π*Dy*E*I)1/2 ，其中： F表示力的
大小，Dy表示作用点距轴心的距离，E表示构件材料的弹性模量，I表示构件截面惯性矩。
对直线构件（有一定曲率的构件作用中可以通过几何简化）,稳定系数γ可以通过公
式
：γ=P/πM (M=I/c）
来计算，其中P表示作用于构件上的外力，c表示半径弯曲切线和弧线的夹角比。
（三）稳定系数的意义
轴心受压构件稳定系数是衡量轴心受压构件的弯曲稳定性的重要参数，它可以反映轴
心受压构件承受压力作用时引起的变形，也可以反映构件的结构强度、稳定性等物理参数，并且可为构件的设计及制造提供便利。
轴心受压构件稳定系数越大，表明构件结构强度越高，稳定性越好，越能承受轴心受压荷载；而轴心受压构件稳定系数越小，表明构件结构
强度越低，稳定性越差，轴心受压荷载不能承受。
受压构件的稳定(结构稳定原理)
127第2章 受压构件的稳定2.1 轴心受压构件的稳定轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆，这可用长细比i l /0=λ来表达。
对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳。
因此，应该分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载。
2.1.1 理想轴心压杆的弹性稳定用理想轴心压杆的欧拉荷载E P 除以杆件的截面积A ，可得轴心压杆欧拉临界应力22202)/(λππσE i l E A P E cr===，式中i 为回转半径，AIi =。
由此可计算出应力值为材料比例极限p σ时的长细比p λ，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长细比大于p λ时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于p λ时称为中短杆或小柔度杆。
对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分析为弹性稳定问题。
通过弹性压杆的静力平衡条件,可以建立理想轴心压杆的平衡微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载。
下面来看几个边界条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析。
1）一端固定一端铰接的压杆 （1）用静力法求解如图2－1所示一端固定一端铰接的等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则取任意截面的弯矩为)(x l Q Py M -+-=式中Q 为上端支座反力。
由y EI M ''-=，压杆挠曲线的平衡微分方程为:)(x l Q Py y EI -+-='' 图2－1一端固定一端铰接压杆128即 )(x l EIQ y EI P y -=+'' （2.1） 令EIPk =2，则有 )(22x l PQk y k y -=+'' （2.2） 此微分方程的通解为)(sin cos x l PQkx B kx A y -++= （2.3） 式中A 、B 为积分常数，Q ／P 也是未知的。
4-轴压构件
e0
N
Nk
Nu
v
A B
O
v
Nk e 0
• 初始缺陷对轴心压杆稳定极限承载力的影响： 1）初弯曲和初偏心的影响 初弯曲（初偏心）越大，则变形越大，承载力越小。 压力一开始就产生挠曲，并随荷载增大而增大。
无论初弯曲（初偏心）多么小， Ncr≤ NE
z Nk
z e0
Nk
y0 y
y
y
y
Nk
Nk e 0
N /NE
y 0=0
1.0
y 0=0.3
0.5
y 0=0.1
0
N /NE
1.0
e0 = 0
e 0 = 0.3
0.5
e 0 = 0.1
0
y
2）残余应力的影响 按有效截面的惯性矩 Ie 近似计算两端铰接的 等截面轴压构件的临界力和临界应力：
b t
Ncr
iy
I y 45833 12.5cm A 293.6
第4章 单个构件的承载力-稳定性
l0x l0 y 6m
x l0x iy 600 21.9 27.4 150 y l0y iy 600 12.5 48 150
截面对x轴和y轴都为b类
一、截面几何特性：
毛面积：A 2 50 2 501 250cm2
净面积：An A 4d0t 250 - 4 2.4 2 230.8cm2 二、截面验算：
强度：
N An
4500103 23080
195.0 N
mm2
f 205 N mm2
4.3 轴心受压构件的整体稳定
4.3.1 理想轴心受压构件
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4
欧拉公式： EIy Ny 0
k2 N / EI
y k 2 y 0
➢对某些抗扭刚度较差的轴心受压构件（十字形截面），当轴心压力 达到临界值时，稳定平衡状态不再保持而发生微扭转。当轴心力在稍 微增加，则扭转变形迅速增大而使构件丧失承载能力，这种现象称为 扭转失稳。
➢截面为单轴对称（T形截面）的轴心受压构件绕对称轴失稳时，由于 截面形心和剪切中心不重合，在发生弯曲变形的同时必然伴随有扭转 变形，这种现象称为弯扭失稳。
§ 3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
➢无缺陷的轴心受压构件在压力较小时，只有轴向压缩变形，并保 持直线平衡状态。此时如果有干扰力（或荷载继续加大）使构件产 生微小弯曲，当撤去干扰力（或荷载），构件将恢复到原来的直线 平衡状态，则此构件处于稳定平衡状态；若构件不能恢复到原来的 直线平衡状态，则此构件处于不稳定平衡状态。
F
cr
2 Et l2
I
cr
2E
2
t
8
33 图3.5
9
➢ 双模量理论（double modulus theory）
双模量的概念是康西德尔（Considere A.）于1891年提出的，该 理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。
轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的 轴向荷载保持常量；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应 变，即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向 应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区 （凸面）的变形模量为弹性模量E，因为Et< E，弯曲时截面的弯曲 中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移。
2E 2
Ncr ——欧拉临界力，常计作NE E ——材料的弹性模量
——杆件长细比（ = l0/i）
----构件的计算长度系数
cr ——欧拉临界应力，常计作E
A ——压杆的截面面积 i ——回转半径（ i2=I/A） l----构件的几何长度
1、理想轴心受压构件弯曲屈曲临界力随抗弯刚度的增加和构件几何 长度的减小而增大； 2、当构件两端为其它支承情况时，通过杆件计算长度的方法考虑。
试验和理论分析均表明，缺陷的存在降低了构件的稳 定承载力，因此不能直接用理想条件所得到的临界力作为 设计标准，而应考虑缺陷的影响。
11
1、初弯曲（初挠度）的影响
经实测得到的型钢和焊接组合截面钢构件的初弯 曲形状如图中实线所示
y max a l /1000
12
钢构件的初始弯曲形式多样，分析中通常假设杆轴线的 初始弯曲挠度曲线为正弦曲线（如图中虚线所示），这样能 简化分析而不影响结果的普遍性。
y0 asinx / l
EIy Fy0 y 0
令 α² F / EI
y α 2y -α 2asin x
l
其通解为
y A sinαx Bcosαx
F/FE
x
1 - F/ FE a sin l
13
根据边界条件：x=0, y=0;x=l, y=0 得：
B 0 A sinαl 0
当有初弯曲时 P PE , 则 sinαl 0 ,只有 A 0
方程的解为
y
F/FE 1 - F/FE
asin
x
l
从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得 到稳定方程解出临界力。不妨分析荷载—挠度曲线，从 中找出临界力。在P作用下，杆件任一点的总挠度为
Yy
y0
y
1
F/FE 1 -F/FE
a sin x 1 asin x
l 1 - F / FE
方程通解： y Asin kx B coskx
临界力： Ncr 2EI / l 2 2EA/(l / i)2 2EA/ 2
临界应力：
cr
Ncr A
2E 2
5
2EI 2EI 2EA
Ncr l 2
l02
2
cr
Ncr A
2
（a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳
3
§3.2 理想轴心受压构件弯曲失稳
理想轴心受压构件 （1）杆件为等截面理想直杆； （2）压力作用线与杆件形心轴重合； （3）材料为匀质，各项同性且无限弹性，符合虎克定律； （4）构件无初应力，节点铰支。
3.2.1 理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载
中性轴的位置确定 Et S1 ES 2 r 2Er / 2
S1 A1 z1dA S 2 A2 z2dA
Er Et I1 EI 2 / I ，称为折算模量 10
§3.2.3 缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响
理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，实际结构 都存在不同程度的缺陷，一般指几何缺陷和力学缺陷。
➢ 我们研究的内容就是找出从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状 态之间的临界状态，并将构件控制在临界状态之内，那么构件就 是稳定的。
1
轴心受压构件的三种整体失稳状态
➢无缺陷的轴心受压构件（双轴对称的工型截面）通常发生弯曲失稳， 构件的变形发生了性质上的变化，即构件由直线形式改变为弯曲形式， 且这种变化带有突然性。
6
§3.3 理想轴心受压构件的非弹性弯曲失稳
欧拉公式只适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例
极限，即：
cr
2E
பைடு நூலகம்
fp
弹性屈曲与非弹性屈曲
7
➢ 切线模量理论（tangent modulus theory）
1889年恩格塞尔（Engesser F.）提出了切线模 量理论，建议用变化的变形模量Et代替欧拉公式中 的弹性模量E，从而得到弹塑性临界力。切线模量 理论采用如下假定：①杆件是挺直的；②杆件两端 铰接，荷载沿杆轴线作用；③杆件产生微小的弯曲 变形（小变形假定）；④弯曲前的平截面弯曲变形 后仍为平面；⑤弯曲变形时全截面没有出现反号应 变。轴向增加的平均压应力大于因弯曲引起杆件凸 侧纤维的拉应力 。