2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一。
“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚去世，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？XXX不归？何以归”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
二。
“胡不归”模型建立XXX所示，已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ，“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
三。
“胡不归”模型破解策略胡不归”问题可以构造某角正弦值等于系数k（k小于1）的起点，构造所需角（k=sin∠CAE），过终点作所构角边的垂线，利用垂线段最短的原理解决。
四。
“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为2.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数。
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=4时，运动时间最短为2秒。
中考数学复习方案 提分微课(05) 利用胡不归、阿氏圆 最值问题
∵ =2, =2,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
1
1
∴△PBG∽△CBP,∴ = =2,∴PG=2PC,
1
∴PD+2PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,
∴当 D,G,P 共线,且 P 在线段 DG 上时,
1
PD+2PC 的值最小,最小值为 DG 长,
1
上的一个动点,求4AQ+EQ 的最小值.
图W5-11
解:(1)∵OB=3OA= 3OC,A( 3,0),
∴点 B,C 的坐标分别为(-3 3,0),(0,-3).
设抛物线的解析式为 y=a(x+3 3)(x- 3),
1
代入点 C 的坐标,得: -3=a·3 3×(- 3),解得:a=3.
1
1
2 3
2
动点,那么 PD+3PC 的最小值为
2
,PD-3PC 的最大值为
图W5-8
.
[答案](2) 106
106
[解析]如图③中,在 BC 上取一点 G,使得 BG=4.
6 3
9 3
4 2
6 2
2
2
2
3
3
3
∵ = = , = = ,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
7.如图 W5-9,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C 的半径为 2,点 P 是☉C 上
1
的一动点,则 AP+2PB 的最小值为
.
图W5-9
[答案] 10
[解析]记 BC 与☉C 交于点 E.取 CE 中点 D,
2020年春胡不归与阿氏圆专题学习
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆教案
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点+解析
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点
线段最值或线段和最小值核心思想都是转化，转化为两点之间线段最短或垂线段最短，“化形为折，化折为直，化直为垂”，其中对称，旋转，平移都是常用的转化途径，最好能根据条件和问题找到与其匹配的模型，如将军饮马，胡不归，费马点等。
也可以通过瓜豆模型来思考。
1. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点E 为AB 边上的一个动点，求2
1
AE+CE 的最小值.（胡不归）
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点P 为平面内一点，且CP=AC.求DP+2BP 的最小值.（阿氏圆）
3.如图，在矩形ABCD中，AB=43,AD=
4.点P为矩形ABCD内一动点，求AP+BP+CP的最小值.（费马点）
练习：
1.如图，AP是正方形ABCD的对角线AC上一动点，AB=4,求AP+BP+DP的最小值.。
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2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
(为突出问题，刚去了两个小问)【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3PA的最小值5阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下面给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则ABAC =DBDC证明：S△ABDS△ACD =BDCD，S△ABDS△ACD=AB×DEAC×DF=ABAC，即ABAC=DBDC(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB AC =DBDC证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≅△AED(SAS)，CD=DE且AD平分∠BDE，则DBDE =ABAE，即ABAC=DBDC.接下来开始阿氏圆证明步骤:如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAMB =PAPB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NANB =PAPB=k，故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。
法二:建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA ＝kPB，即:解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:（1）PAPB =MAMB=NANB=k应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O(2)△OBP∽△OPA，即OBOP =OPOA，变形为OP2＝OA∙OB.应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置(3)OPOA =OBOP=PAPB=k应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值练习1:已知A 、B 求圆轨迹已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P 是平面中一点且PA:PB=3:1，求P 点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论. 取M(2，0)满足MA:MB ＝3:1，取N(5，0)满足NA:NB ＝3:1， P 点轨迹即是以MN 为直径，MN 中点O 为圆心的圆.练习2:已知圆轨迹反求点A 或B已知在坐标系中，点A(-1，0)，P 是以点A （72，0）为圆心，32长为半径的圆。
平面中求一点B 使得PA:PB=3:1，求B 点坐标.【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A 点，求另外一点B. 思路1:构造相似三角形。
考虑OP 2＝OA ∙OB ，将OP ＝32、OA ＝92代入可得:OB ＝12，故B 点坐标为(3，0)思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置当P 点运动到M 点位置时，有MA:MB ＝3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB ＝1， 考虑到A 、M 、B 共线且B 点在M 点右侧， 可得B 点坐标为(3，0).补充:这里的圆O 与点A 及PA:PB 的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B 点，还好用。
那么这个玩意和最值有什么关系呢?比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P 是以点（72，0）为圆心，32长为半径的圆，Q(2，2)，求PQ+13PA 的最小值.【分析】问题中的PQ 暂时不用管，先处理好13PA ，考感到P 点轨是个圆，且要构造13PA ，大胆猜测:平面中存在一点B 使得P 在圆上任意位置，均满足：PA PB=13，即有PB=13PA.其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A 点位置，求另一点B 的位置可转化13PA.点B 求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了练习3:关于系数如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆，分別交 AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA+PB 的最小值为【分析】确定了问题关键是构造“12PA ＂，已知了P 点所在的，已知了A 点，即在平面中找一点M 使得“PM ＝12PA ”思路1:构造相似三角形点M 与A 、C 共线，且M 点必满足:CP 2＝CM ∙CA ，代入CP 、CA ，即可得:22＝4∙CM ，得:CM=1，即可确定M 点位置，12PA+PB ＝PM+PB 问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可【问题剖析】（1）这里为什么是12PA?答:因为圆C 半径为2，CA ＝4，比值是1:2，△CMP 与△CPA 的相似比为1:2所以构造的是12PA ，也只能构造12PA （2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少? 答:根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23.【练习1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案【练习2】、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则PD −12PC 的最大值为【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC ＝2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M ，使得此时PM ＝1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM ＝12PC ，从而将同题转化为求PD −PM连接PD ，对于△PDM ， PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD −PM ＝DM 为最大值【2019山东日照第22题】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝−5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.2。