相似原理与相似三定理
3相似理论
C C1 1 C CE
p m p E p m Em
模型的相似判据：
p p C mC m C C m m p E p C mCE Em C CE m Em
1
——相似指标
C2
C C C CE
p p m m p E p m Em
所以k的量纲为 [k ] [MT 1 ] ，表示质量随时间的变化率。
同理可知，α表示速度。 例2：伯努利方程
p1 1V12 p2 2V22 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
各项皆为长度的量纲，满足量纲一致性原理。
否则就会出现长度加时间的错误结论。
同时也可确定α是无量纲数。 2、确定方程式中物理量的指数：
所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。
2、相似理论的基本概念： （1）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似
系数。
如广义虎克定律： x 原型： p , p , E p , p 模型： m , m , Em , m
1 x y z E
p C m
1 xp p yp zp 原型： xp Ep 1 C xm C xm C m C ym zm C E Em
xm
1 Em
C C C xm m ym zm C E C C E C
X截面的弯矩：
M x PL x
Wz Wz
X截面的最大应力： max M ( x) P( L x) X截面的挠度：
Px 2 y ( x) (3L x) 6 EI
相似理论
相似理论相似理论，是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
1特点编辑相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的不断进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩充其应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域的指导性理论之一。
随着“相似”概念日益扩大，相似理论有从自然科学领域扩展到包括经济、社会科学以及思维科学和认知哲学领域的趋势。
相似理论从现象发生和发展的内部规律性(数理方程)和外部条件(定解条件)出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到了自己的结论。
相似理论的特点是高度的抽象性与宽广的应用性相结合，相似理论的内容并不多，甚至不被当作一个单独的学科。
相似理论是试验的理论，用以指导试验的根本布局问题，它为模拟试验提供指导，尺度的缩小或放太，参数的提高或降低，介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内摸清所研究模型的内部规律性。
相似理论在现代科技中的最主要价值在于它指导模型试验上。
尽管相似理论本身是一个比较严密的数理逻辑体系，但是，一旦进入实际的应用课题，在很多情况下，不可能是很精确的。
因为相似理论所处理的问题通常是极其复杂的。
2理论基础编辑相似理论中的三个定理赖以存在的基础为：(1)现象相似的定义；(2)自然界中存在的现象所涉及到的各物理量的变化受制于主宰这种现象的各个客观规律，它们不能任意变化；(3)现象中所涉及的各物理量的大小是客观存在的，与所采用的测量单位无关。
3相关概念编辑(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
相似理论
第8章相似理论8.1 概述1 实验是检验和获取理论的重要方法实验对流体力学的发展曾起过重要作用，现在它对流体力学的发展仍然有着十分重要的意义。
实验流体力学已成为流体力学的重要分支之一。
流体的流动问题，有些可以作适当简化，得出解析结论，但得出的结论还必须通过必要的实验验证，才能用于实际。
描述粘性流体运动的N—S方程是二阶偏微分方程组，除少数简单的流动可获得解析解外，对于复杂的三维流动，难以用理论方法获得精确解，即使使用高性能的计算机也难以获得精确的数字解。
另外，由于流体运动的复杂性和人们认识的局限性，对于许多复杂的流动现象，从理论上也难以用运动微分方程描述。
再者，流体的某些力学现象，并非随时都存在，而出现的时间又往往比较短暂，为了进行较长期的探索和多次观察分析，实验就是一个必不可少的方法。
2模型实验是流体力学研究的常用手段最权威的实验就是原型或实体实验，但随着科学技术的发展，出于经济和技术上的限制，这种实验将会遇到很大困难，特别是原型尚未出现之前，只能通过模型实验作出预测。
例如新型航空航天器研究，要取得初步可靠的设计资料，常先制成模型，在风洞中进行系统的实验研究。
新型舰船和水库堤坝设计，也是先制作模型进行实验研究。
将设想的实体（原型）制成模型而进行实验研究，节省经费和时间，测试也比较方便。
在某些情况下，即使实物已经存在，但由于各种条件限制，也难以进行实体实验。
因为更多是在实验室内进行模型实验，这是研究流体流动问题的常用手段。
3 相似理论是模型实验的依据进行模型实验研究，必须解决如何设计、制作模型及将模型实验的结果折算到实体上等问题。
相似理论对如何进行模型实验以获得正确的结果，可以提供指示或答案，及总结实验结果，也只有对力学相似的流动才有可能。
说明相似方法的基本原理称为相似理论。
所以相似原理是研究、支配力学相似的系统的性质及如何用模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实验研究的依据。
相似方法是一种科学的方法，但不是一门独立的科学研究方法，而是实验和分析研究的方法。
相似理论王璐2013452059
一般系统 General System
（1）系统结构相似 （2）系统功能、性能相似 （3）系统人机界面相似 （4）系统存在和演化相似
Similarity Theory
（1）连续系统动力学 （2）离散系统动力学 （3）场 （4）概率、模糊集、粗糙集 （5）图的相似
Complex System （1）非线性相似 （2）涌现性相似 （3）自治性相似 （4）突变性相似
复杂系统
Methods
（1）模式相似方法（统计决策法和句法或结 构法） （2）模糊相似方法 （3）组合相似方法（个体满足未必系统整体 满足，综合补偿处 理） （4）坐标变换相似方法（运动：飞行器、视 景系统）
Steps
Step 4 Step 3 Step 2 Step 1
根据相似第二定理 建立相似准则
1)物理模型的建立 2)模型中过程及方法 模拟
Engineering Technology
工程技术学
1)进行相似设计工程, 相 似制造工程, 相似管理工 程的研究。 2)进行相似工程机械制 造、电子、电器产品的 研制, 以及人工智能、机 器人的制造。
Systems
实物模型 Physical prototype （1）几何相似 （2）运动学相似 （3）动力相似 数学模型 Mathematical model
相似理论 Similarity Theory
主讲人：王璐
Definition
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象 相似原理的学说。是研究自然现象中个性与共性 ，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件 之间的关系的理论。它是模型实验的理论基础。 主要内容是相似三定理。两大分支为量纲分析法 和方程分析法。一般有这样几种类型：几何相似、 模拟、数学相似、感觉信息相似、逻辑思维相似、 生理相似等。
材料工程《相似理论》课件
材料工程基础及设备多媒体课件
2、积分类比法
❖ 基本原理：置换法则
❖ 二个体系： ❖ 等比公式
1 1
2 2
c
1 1
2 2
1 1
c
lim
0
d d基础及设备多媒体课件
步骤：
写出描述现象的基本方程和单值条件 用方程中任意一项除以其他各项 各项中所有导数用积分类比项代替
❖ Ho 谐时性准数：H0=wτ/L
❖ Fo（Fourier）准数： 温度场、速度场随时间的变化关系
F0
a
l2
❖ Pr（Prandtl）准数：Pr=ν/a
分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系
❖ Pe（Peclet）准数
❖ Nu（Nusselt）准数
边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与
相似准数的数值不变。 ❖ 已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.2 相 似 三 定 理
❖相似第一定理（相似正定理） 凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分
别等值。 (规定了现象相似的必要条件)
❖相似第三定理（相似逆定理） 凡同类现象，当单值条件相似，对应部位的
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.1 基本概念
1、物理量相似 ❖ 标量场相似 ❖ 矢量场相似
相似倍数——Cφ
1 1
2 2
c
x
x
y
y
z
z
c
材料工程基础及设备多媒体课件
❖几何相似 ❖时间相似 ❖运动相似 ❖动力相似 ❖热相似
材料工程基础及设备多媒体课件
2、现象相似
❖ 描述现象各单值条件彼此相似的同类现象 ❖ 单值条件相似
相似原理知识点总结
相似原理知识点总结相似原理是几何学中的基本概念之一，它在几何学的许多领域中都有重要的应用。
相似原理主要是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同的原理。
在这篇文章中，我们将会对相似原理进行深入的探讨，包括其定义、性质、常见的应用以及相关的定理。
一、相似原理的定义相似原理是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个图形相似的条件是它们的对应角相等，对应边成比例。
简而言之，如果两个几何图形的所有对应角相等，且对应边的比例相等，那么这两个几何图形就是相似的。
在直角三角形中，有一种特殊的相似原理叫做“AA相似原理”。
当两个直角三角形的一个角相等时，另外一个角也相等，那么这两个三角形就是相似的。
另外，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们也是相似的。
除了直角三角形外，对于其他类型的多边形和圆的相似原理也有一些特殊的条件。
但其核心思想都是相似的，即对应角相等，对应边成比例。
二、相似原理的性质相似原理有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍这些性质：性质1：相似三角形的对应角相等相似三角形的一个重要性质是它们的对应角相等。
这意味着如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角一定相等。
性质2：相似三角形的对应边成比例相似三角形的另一个重要性质是它们的对应边成比例。
即如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的比例一定相等。
性质3：相似三角形的周长成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的周长也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
性质4：相似三角形的面积成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的面积也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
以上的性质都是相似原理的基本性质，它们在解题过程中非常有用。
三、相似原理的应用相似原理在几何学的许多领域中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用：应用1：求图形面积在求解图形的面积时，如果我们知道图形的相似图形，并且知道两者的比例关系，那么我们就可以利用相似原理来求解图形的面积。
三角形相似的三个判定定理
三角形相似的三个判定定理在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形是几何学中的重要概念，它们在许多数学问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍三角形相似的三个判定定理。
第一个判定定理：AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，且∠B=∠E，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过角度对应原理来完成。
因为∠A=∠D，所以角A和角D是对应角；同理，角B和角E也是对应角。
因此，根据角度对应原理，我们可以得出这两个三角形是相似的。
第二个判定定理：SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过相似三角形的定义来完成。
因为∠A=∠D，所以角A和角D是对应角；同理，角B和角E也是对应角。
又因为AB/DE=BC/EF，所以这两个三角形的对应边的比例相等。
因此，根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
第三个判定定理：SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE=BC/EF=AC/DF，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过相似三角形的定义来完成。
因为AB/DE=BC/EF=AC/DF，所以这两个三角形的对应边的比例相等。
因此，根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
总结三角形相似的三个判定定理分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
这些定理在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多数学问题。
在实际应用中，我们可以根据这些定理来判断两个三角形是否相似，从而更好地理解和应用几何学知识。
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(一)关于量纲的基本知识
物理量 量制 量纲
基本物理量 导出物理量 基本单位 导出单位
量纲与单位的区别：
相似第二定理：“现象的各物理量之间的关系，可以化 为各相似准则之间的关系。”
相似第三定理：“如两个现象的单值条件相似，而且由 单值量组成的同名相似准则数值相同，则这两个现象相似 。”
完全相似和部分相似 SIMILARITY PARAMETERS
现象相似
单值条件相似+同名相似准则相同
1-2 量纲分析
量纲只涉及量的本质或特点(种类)，而单位除涉及量的本质或 特点外，还涉及量的大小。通常单位仅限于表达定量关系，而用 量纲来表达定性关系。
在一定的量制中，量纲又分为基本量纲和导出量纲，
与基本单位和导出单位相对应。基本量纲就是该量制中的
基本量。
在国际单位制所采用的量制中，力学的三个基本量纲
是：长度、质量和时间，相应的量纲符号是：L、M和T。
Ft F t 常数 mV mV
Ft／(mV)是由相似指标等于l这一制约条件导出的
、由几个特征物理量组合而成的无量纲量，称为牛顿数，并用符号Ne 表示，即
Ne Ft mV
(1-7)
当两个力学现象相似时，牛顿数的数值必然相同。牛 顿数数值相同，是两个力学现象相似的特征和标志之一。
彼此相似的现象所必具有的数值相同的由若于个特征量组成的同 名无量纲量，称为相似准则。
的量纲。
在一定的量制中，任一物理量的量纲，都决定于该物 理量的物理本质。因此，可通过有关的物理定律或定义， 将量纲式中的量纲指数确定出来。
如速度v的量纲dimv=L1M0T-1Θ0=L1T-1
若所有的量纲指数都为零，则为无量纲量。无量纲量 可以是两个同类量的比值，也可以是几个有量纲量的乘 除组合。无量纲量不是一个单纯的数字，它具有特定的 物理意义，具有量的特征和品质。如：展弦比
有量纲量的数值随所选用的单位制不同而改变，而无 量纲量的数值不随所选用的单位制不同而改变。量纲分 析的目的之一，就是要把有关的物理量正确地组合成完 备的无量纲量。
原型流场的数据？
解决这两个问题的理论基础是相似理论。在本章中，阐述相 似理论的基本内容，并介绍导出相似准则的量纲分析法，不 能完全模拟应该模拟的相似准则又该怎么办？
空气动力学实验的理论基础——相似理论
1-1 相似和相似定理
(一) 相似的基本概念
1. 几何相似 以三角形为例，彼此相似的三角形。
L1ˊ
CF CT 1 (1-6)
CmCV
式(1-6)表明，在相似现象中，各物理量的相似常数不 能任意选择，而是相互制约的。在上例中只有满足式(1-6)，两力学现 象的相似才能存在； (1-6) 式所示的这种相似常数的组合称为相似指 标。在相似现象中，相似指标必等于1。这是相似现象的重要性质。
将式(1-4)代入式(1-6)，可得
现象相似
单值条件相似+同类现象
（二）．相似准则
F
V
M
Fˊ
Vˊ
Mˊ
F m dV （1-2） dt
F F
CF
F m dV dt
（1-3）
V V CV
将相似变换式(1-4)代入（1-2），得：
CF CT F m dV
CmCV
dt
m m
Cm
t t
Ct
（1-5）
（1-4）
比较式(1-3)和（1-5）应有：
B） 两个流场的空间、时间对应点上所有表征流场的对应 的物理量都保持各自的固定的比例关系(如果是矢量还包括方 向相同)，则两个流场相似。
(1) 几何相似
L L
CL
(2)
运动相似
V V
CV
(3) 动力相似 (4) 热相似
F F
CF
T T CT
(5) 质量相似
C
3．同类现象和单值条件
若两个现象服从同一规律，即两个现象可以用同一物 理方程描述，则称这两个现象为同类现象。
两个现象如相似，则必为同类现象。这是两个现象相 似的一个必要条件。
能够把一个现象从同类现象中区分出来的条件，称为 单值条件。涉及单值位条件的物理量，称为单值件。单值 条件一般有以下几类：
几何条件 物性条件 边界条件 时间条件
4．单值条件相似
有了描述现象的物理方程，并给定了单值条件后，对现 象的数学描述才是完整的。如果两个现象相似，除了物理 方程相同外，单值条件还应保持相似。所谓单值条件相似， 是指对单值条件分布的描述相同，且各对应单值量之间保 持固定的比例。
涉及热现象时，再增加一个基本量纲：热力学温度，相应
的量纲符号是：Θ。
量纲是用量制中的基本量的幂的乘积表示该物理量的
表达
dimq=Lc1Mc2Tc3Θc4
(1-27)式(1-2来自)称为量纲式，又称量纲积。c1、c2、c3、c4 称为量纲指数。式(1—27)中的等号结出量纲之间的相等
关系，只表示性属不涉及量的大小。加减运算不会产生新
L1
L3
L3ˊ
L2 L2ˊ
L1 L1
L2 L2
L3 L3
CL
——通过不同的相似常数来变换相似图像的大小，称为相似 变换。
2. 物理现象的相似
物理现象(过程)的相似是以几何相似为前提的，并且是几何 相似概念的扩展。
A） 两个属于同一类的物理现象，如果在空间、时间对应 点上所有表征现象的对应的物理量都保持各自的固定的比例 关系(如果是矢量还包括方向相同)，则两个物理现象相似。
1．列出物理方程， 2．列出各物理量成比例的关系式，即相似变换式， 3．得出由相似常数组成的相似指标，令其等于1， 4．将相似变换式代人相似指标，整理可得相似准则。
（三）．相似定理
相似第一定理：“彼此相似的现象，其同名相似准则 的数值相同。”
相似第一定理又可表述为：彼此相似的现象的相似指 标等于1。
第一章 相似理论
问题：
如何进行实验？测量那些参数？
现代的空气动力学实验，通常都是在各式各样的风洞中 进行模型实验，以取得原型流场(如飞机在大气中飞行)的空 气动力数据。要做到这一点须解决两个重要的问题：
1. 在模型实验前和实验中，如何使绕流模型的流场模拟
原型流场？
2. 在模型实验后，如何将模型实验的数据正确地转换为
同名相似准则数值相同，是两个现象相似的特征和标志。有些相似 准则还是衡量现象相似与否的判据。
相似准则，又称相似参数。（SIMILARITY PARAMETERS）
空气动力学中常见的相似准则还有雷诺数Re、马赫数Ma、普朗特 数Pr、弗劳德数Fr、期特劳哈尔数Sr和比热比γ等。
上例中由式(1-2)~式(1-7)，由物理方程导出相似准则的方法，称为 相似变换法。相似变换法导出相似准则的步骤如下：