第一章频率域电磁测深的快速一维正演理论

在实际工作中，多作用 MKS 制单位。此时 E 以 mv/km 为单位，H 以 1 102 4 A m 为单位，
这对野外工作是很方便的。此时
1 5f
Ex
2 2
m
Hy
(1.1.16)
(1.1.16)式就是以卡尼亚(Cagniard)命名的计算视电阻率的公式。卡尼亚是一位法国地球物理学家，他在 50 年代对发展大地电磁法作出了开拓性的贡献(Cagniard，1953)。卡尼亚电阻率对远区，也就是说在满 足平面波的条件下是有效的，并且是在 MT 法和满足远区条件的 CSAMT 法中常用的关系。
Er

IdL cosi
2
r
1 0 m
m1 R*
J1mrdm 1
mm1 0R
J0 mrdm
1 r
0
m1 R

J1 mr dm

(1.1.1a)
E

IdL
sin

1
2 r
0
m1 R
J1mrdm i
由于 p r r
2
，不难理解，感应数 p 的“大”或“小”，也就是场区的“远”或“近”，
不但与观察点到场源的距离有关，而且与大地的电导率和使用的频率有关。在不改变发收距和大地电
导率 的条件下，改变频率 ，可以获得不同的穿透深夜度以便满足“远区”或“近区”的要求；当
在导电介质中使用低频时，在不大的发收距 r 就可以保持测量是在“远区”条件，反之，在高阻介质 中，即使使用高频，也不得不使 r 相当大才能满足“远区”的条件。
(1.1.17c)
E


M 2r 4
3 eikr
3 3ikr k 2r 2
(1.1.18a)
Hr


Mk 2 4 r
I1

ikr 2

K1

ikr 2


I
2

ikr 2
K
2

ikr 2

Hz

I1

ikr 2

K
0

ikr 2


I
0

ikr 2
K1

ikr 2

H

IdL 2r 2
cosI1

ikr 2
K1

ikr 2

(1.12c) (1.12d)
Hz


3IdL 2k 2r
4
sin
1
在 CSAMT 法中，测量的是彼此正交的电场和磁场水平分量，并且计算它们的模的比，这个模的
比值称为波阻抗，用符号 Z 表示波阻抗 Z 的模，记作
Z

E H
而 Z 的相位则定义为 E 和 H 间的相位差。
(1.1.5)
(a) 当 r>> 即 P<<1 时，(1.1.2)各式的渐近表达式是
Er

IdL r 3
kr 1 ir
命
pr
(1.1.3)
称为“电距离”或者“感应数”，它实质上是以趋肤深度 为单位来表示的观察点到场源的距离。于是
ike p1 i p 2ei43
(1.1.4)
现在，可借助参数 p 对距场源的远近、介质性质和工作频率作综合性的统一考虑，把 p<< 1 即电距离“近”时的场称为“近区”； p>>1 即电距离“远”时的场称为“远区”或“平面波场区”； p≈1 即介于前两者之间的区域称为“过渡带”或“中间区”。

e
ikr
1

ikr

1k 3
2r
2

(1.1.2e)
以上各式中，

为自由空间的导磁率。

为谐变电流的圆频率。
I
0

ikr 2

、
I1

ikr 2

和
K
0

ikr 2

、
K1

ikr 2

分别为以
ikr 2
为宗量的第一和第二类虚宗量贝寒尔函数，下标“0”或“1”表示贝寒尔函数
(1.1.10)式说明，远区视电阻率可以用在某一特定频率的正交的电场和磁场强度来定义

1
E 2 Hr 2
(1.1.11)
在均匀大地条件下，电场和磁场之间的相位差是π /4 或 785.4mrad。
应该说明书的是，虽然在 MT 法和 CSAMT 法中常常是按(1.1.10)式来定义视电阻率的，但并不是
cos
(1.1.6a)
E
IdL r 3
sin
(1.1.6b)
Hr


IdL sin 4r 2
(1.1.6c)
H

IdL cos 4r 2
(1.1.6d)
Hz

IdL sin 4r 2
(1.1.6e)
比较(1.1.6)各式可以看出，在近区，电场水平分量按
1 r3
衰减，而磁场按 1 r2
最好的定义方式。例如，也可以将视电阻率写成阻抗的实部和虚部。Spies 和 Eggers（1986）曾指出，
将视电阻率定义为 Re(Z)将产生更好特性的视电阻率数据，它与真的反演剖面更加近似。关于视电阻率
的定义，我们将在下节更详细地讨论。
当采用直角坐标时，
Ex
Er cos E
sin
比较(1.1.9)各式可以发现，E 的水平分量与频率无关，直接与电阻率成正比。远区的 Er 分量为近
区的
1 2
，但
E
分量却为近区的两倍。与近区磁场不同，远区水平磁场与频率有关，并且与电阻率的平
方根成正比。因此在远区磁场是不会“饱合”的。
从远区
Er、 E
和
Hr、 H
的表达式还可看出，所有的水平场都按 1 r3
按 1 和 1 衰减。近区测量的实际结果是与直流电阻率测深相类似，测量结果和穿透深度，由排列的 r3 r2
几何参数决定。所以在真正的宾区最好是不测 H 则测 E，就象在标准电阻率法和激发极化法中那样， 改变排列的几何尺求来改变测深深度。
(b) 远区响应（p>>1）
当 r>> 即 P>>1 时，(1.1.2)各式的渐近表达式是
衰减。因此阻抗与发收距
无关，与大地电阻率的平方根成正比。
Z

E Hr



(1.1.10)
故对于导电大地来说，在低频时阻抗是很小的。例如，当地下电阻率为10 m 和频率等于 1Hz 时， 阻抗为 0.003 。相反，对于电阻率很高的介质或高的频率，阻抗很大。例如，当大地电阻率为100 m ， 频率为 10kHz 时，阻抗是 8.9 。
子（接地导线）位于层状介质表面，偶极矩为 P=IdL（I 为谐变电流）。选取公共坐标原点位于偶极子 中心的柱坐标系和直角坐标系，使 x 轴指向偶极矩方向（即 =0 的方和），z 轴垂直向下，求层状介质 表面的电磁场分布。
此问题可以直接求解场所满足的非齐次亥姆霍兹方程，也可通过求电型 Lorentz 势所满足的议程 （A.2.5）和边界条件来求解。略去繁冗的数学推导，此处直接寅也准静态极限下术坐标系统中地表电 磁场各分量的表达式为：

IdL 2r 3
1 3sin2
(1.1.12)
Ey

Hr
sin

H
cos

2
IdLe
i
4
r 3
1 3sin2
(1.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13)
Z
(1.1.14)
也可以得到同样的电阻率
1
Ex 2
2
Hy

1 2f
Ex 2
2
Hy
(1.1.15)

iM 16r
Hz


M 4r
3
(1.1.19a) (1.1.19b) (1.1.19c)
将(1.1.19)式与(1.1.6)式互相比较可以看出，在近区，垂直磁偶极子的电场 E 与大地电导率无关，
并且与频率成正比；与此相反，水平电偶极子的电场 E 与频率无关，而与电导率成反比。垂直磁偶极

M 2k 2r 5
9 eikr
9 9ikr 4k 2r 2
ik3r3
与对水平电偶极子的讨论相类似，我们可按不同场区讨论垂直磁偶极子场的分布特点。
(1.1.18b) (1.1.18c)
(a) 近区响应(p<<1，r<< )
此时电磁场中分量的近似表达式为
E

iM 4r 2
Hr
Er

IdL 2r 3
cos
E
IdL r 3
sin
(1.1.9a) (1.1.9b)
Hr

IdLsin r3
i
e4
(1.1.9c)
H

IdL cos 2r3
i
e4
(1.1.9d)
Hz


3IdLsin 2r 4
i
e2
(1.1.9e)
(c) 过渡带响应（p≈1）
此时 r ，p≈1，电磁场中分量由(1.1.2)式严格地描述。当大地为均匀导电介质时，在这个带
场强各分量从近场的特性均匀地达渡到远场的特性。对于非均匀大地，过渡带场院的性质变得很复杂， 与受地质条件制约的电性分布有关。此时波阻抗性质也很复杂，与发收距 r，大地电阻率ρ ，频率 f 及