中考数学中考数学压轴题 易错题测试题

一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 满足：322m m -+62=边AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．（1）求m 的值；（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示) 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2393344y x x =--x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值． （拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ． ①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求ADCD的值．5．已知，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB=EF=6，如图1，D是斜边AB的中点，将等腰Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N．（1）如图1，当α=60°时，求证：DM=BN；（2）在上述旋转过程中，DNDM的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明；（3）如图3，在上述旋转过程中，当点C落在斜边EF上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN的面积．6．综合与实践4A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2()ABCD AD AB=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,AB=求CF的长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD折痕EF交BD于点O，连接,BE判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．7．如图，在等边ABC ∆中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接BE ，DE ．（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且DF CD =，求证：12AB EF =；（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=︒直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系8．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．9．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围． ②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．(1) 依题意补全图形； (2) 求证：EG ⊥AD ；(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62之间的大小关系，并证明．11．已知：如图，四边形ABCD ，ABDC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQBD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDEABMC 1SS 9=四边形． 13．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上． （1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OABOCB∠∠；（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，OB 上一点，满足：1902APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；④AM BN AB +=．正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．15．在Rt ABC ∆中，6AB =，90B ∠=︒，8BC =，点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒，点Q 从C 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒，P 、Q 同时出发，点Q 到点B 时两点同时停止运动．（1）点P 在线段AC 上运动，过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ，2t =时，求PDPQ的值； （2）运动t 秒后，90BPQ ∠=︒，求此时t 的值； （3）t =________时，AQ QP =．16．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2．17．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA 3 （1）求弦AC 的长；（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值； （3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以32cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜103），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？18．在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图1，点E落在BA的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．（2）如图2，点D在运动过程中，DE⊥AC时，AB=4 ，求DE的值．（3）如图3，点F为线段DE中点，2a，求出动点D从B运动到C，点F经过的路径长度．19．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．20．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．21．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.23．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．24．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．25．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．（1）求点 B 的坐标；（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）32m =2）见解析；（3）22118n ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义被开方数非负和算术平方根的非负性列出两个不等式，求公共解即可求出m 的值；（2）作BM x ⊥轴，FN x ⊥轴，证明BPM FPN ≌可得BP=PF ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12PA BF PF ==，然后结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求出AHF ∠和HFA ∠，可得它们相等；（3）分别表示AF 和AB ，利用勾股定理求得BF 的长，即可求得PF 的长，再表示ON 和PN 的长度，利用平行线分线段成比例即可求得HF ．【详解】（1）∵322mm -+62=，∴320m -≥，且 622320m m -=-≥，32m ∴=；()2作BM x ⊥轴，FN x ⊥轴OA OD =，45OAD ∴∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠EAD=90°，∴==904545EAO EAD OAD ∠∠-∠︒-︒=︒，9045AEO EAO ∠=︒-∠=︒, 9045ADO OAD ∠=︒-∠=︒，∴=MEB AEO ADO ∠=∠∠,∵BM x ⊥轴，FN x ⊥轴90BME FND ∠=∠=︒，在BEM △和DFN △中∵=MEB ADO BME FND FD BE ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BEM △≌DFN △，BM FN ∴=，在BPM △和FPN 中，∵==90MPB FPN BME FNP BM FN ∠∠⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩∴()BPM FPN AAS ≌，PB PF ∴=，PM PN =，∵Rt ABF 中，12PA BF PF ==， 45APF ∠=︒1804567.52HFA ︒-︒∴∠==︒，18018067.54567.5AHF AFH OAD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,∴AHF HFA ∠=∠；（3）∵F 点的纵坐标为n ，由（2）可知FN=ND=ME=BM=n ， ∴2DF BE n ，∵m =∴(A ，()D ， ∴22(32)(32)6AE AD ， ∴32ON OD ND n ，62MN ED ，12PM PN MN === 62AB AE BE n ，62AF ADDF n ， 在Rt △ABF 中，根据勾股定理、 222724BF AB AF n ， ∴21182PF BF n ，∵FN ⊥x 轴，∴FN ∥OH,∴HFON PFPN ,3232n ， 解得：22(1)18n HF n ， 故答案为：22(1)18n n ． 【点睛】 本题考查算术平方根的非负性和二次根式有意义的条件，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等．（1）中理解二次根式有意义被开方数非负和算术平方根的非负性是解题关键；（2）能正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键；（3）中能根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质表示线段的长度是解题关键．2．A解析：（1）min 119342t R H '==+；（2）（0，3-3）或（0，6）或（0，3+3）或（0，12）．【解析】【分析】（1）根据题意设239(,33)4P m m m --，5(,33)4Q m m -，以及作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '--，并过R '点作直线3:43x l y =-的垂线交于H 点R H '即为所求，从而进行分析求解即可； （2）根据题意分四种情形即①当AA''=A''B 时；②当AA''=AB 时；③当AA''=A''B 时；④当A''B=AB 时分别画出图形并进行分析求解.【详解】解：（1）设239(,33)4P m m m --，5(,33)4Q m m -， 23932()2(3)422PQMN C QP NP m m ∴=+=-+-矩形， 30-<，开口向下， ∴当33m =时，(33,33)P -，最少时间12t RK RK TB =++， 3(3,33)2R -，作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '--，过R '点作直线3:4x l y =的垂线交于H 点R H '即为所求，令y=0，解得5312x =， 12()530H ∴，， t R K K T TH =+''+''， ∴过R ''作R H l ''⊥，22min 3119(33)(330)3242125t R H ∴==++'--=+. （2）①当AA''=A''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上对称性可知∠AC′E=∠A''C′E又∠HEC′=∠A''C′E∴∠AC′E=∠HEC′∴HE=HC'=5 3−2 3＝3 3，∴OE=HE-HO=3 3−3，∴E(0，3−3 3)，②当AA''=AB 时，如图3中，设A″C′交y 轴于J ．此时AA''=AB=BC'=A''C'，∴四边形A''ABC'为菱形，由对称性可知，∠AC'E=∠A''C'E=30°，∴3＝32，∴OE=OJ-JE=6∴E （0，6）③当AA''=A''B 时，如图4中，设AC′交y 轴于M ．此时，A''在对称轴上∠MC'E=75°又∠AMO=∠EMC'=30°∴∠MEC'=75°∴ME=MC' ∴MC'=3 3，∴OE=3+3 3，∴E （0，3+3）.④当A''B=AB 时，如图5中，此时AC'=A''C'=A''B=AB∴四边形AC'A''B 为菱形由对称性可知，C''，E ，B 共线 由抛物线2393344y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧）可知， 令x=0，解得y=−3x=0，解得：x 1=3，x 23 ∴A （−30），30)，3∴3＝12，∴E （0，12）．综上满足条件的点E 坐标为（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为112018- 【解析】 【分析】 (1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1， ∴22(1)33x AN AM +==，∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+， ∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM =，3OD =， ∴tan ∠DMO=2， 如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ），解得：1m =2m =（不合题意，舍去），∴点P 的横坐标为118-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）10AB BC =；（3）①AD CD =． 【解析】【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到CF =，则(2AC x =+=DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC =，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =．∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)2k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3，∵35AE BC =， ∴BC=5，∵AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：1BE ==，∴156EC =+=，∴AC ==∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°，∴CF =，∴(2AC x ==解得：DF x ==∴2CD DF ==②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵5AB BC =， ∴10AB．∴1BE ==．∴6CE BE BC =+=，AC ==分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF AE EC =． ∴335436k k =，解得3510k =． ∴355CD k ==2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴9352355AD CD === 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．5．A解析：（1）详见解析；（2）3DN DM =3）92【解析】【分析】（1）利用ASA 证ADM DBN △≌△，从而得出DM BN =；（2）如下图，先证NDQ MDP △∽△，得出DN DQ DM DP =，然后在Rt BDQ △，利用tan ∠B 得出DQ BQ 的值，最后得出DN DM的值； （3）如下图，先证点C 是EF 的中点，然后利用CD 平分EDF ∠可推导出四边形CGDH 为正方形，从而得出CHN CGM △≌△，进而得出面积．【详解】解：（1）由题意，∵60α=︒，90EDF ∠=︒，∴30BDN ∠=︒，∴BDN A ∠=∠，B EDA ∠=∠，∵点D 是斜边AB 的中点，∴AD BD =，∴ADM DBN △≌△，∴DM BN =．（2）3DN DM=，是一个定值． 证明：如图1，作DP AC ⊥于点P ，DQ BC ⊥于点Q ，∴90NQD MPD ∠=∠=︒，又∵90MDN PDQ ∠=∠=︒，∴NDQ MDP ∠=∠，∴NDQ MDP △∽△，∴DN DQ DM DP=， 在Rt BDQ △中，60B ∠=︒，∴tan ∠B 3DQ BQ== 又由（1）可知：DP BQ =， ∴3DQ DP=， ∴3DN DM =． （3）连接CD ，作CG DE ⊥于点G ，CH DF ⊥于点H ，在Rt ABC 中，点D 是AB 的中点，∴132CD AB ==， ∵AB EF =，∴12CD EF =，∵90EDF ∠=︒，∴C 是EF 中点，∴CD 平分EDF ∠，45CDE ∠=︒，∵CG DE ⊥，CH DF ⊥，∴CG CH =，∵90CGD CHD EDF ∠=∠=∠=︒，∴四边形CGDH 为正方形，90GCH ∠=︒，∴GCM HCN ∠=∠，∴CHN CGM △≌△，∴S 四边形CMDN S =正方形21922CGDH CD ==． 【点睛】本题综合考查了全等三角形和相似三角形的证明和性质，解题关键是找出两个全等(相似)三角形，根据三角形全等(相似)的性质推出结论．6．(1) CF 长为4 ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则AD =ABCD 是矩形，得到1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)2221x x +=即可求解．（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据AD =，可得2OE AB OD AD ===，进而得到2OE OD =，2EF BD =，同理可得，2MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，MF OD tan FEM ME OE ∠===MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"．【详解】解：()11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,2CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CF x =，则2FB FD x ==-在Rt DCF △中，222+=CD CF DF()22212x x +=- 24x = 答：CF 长为24 ()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴=OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒DOE DAB ∴ 2AD =222OE AB OD AD ∴=== 22OE OD ∴= 2EF BD ∴= 同理可得，22MN AC =四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形. 90EMF ∴∠=.2,MF OD tan FEM ME OE∴∠=== 2MF ME ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．7．B解析：（1）93CE =-2）详见解析；（3）6132BD DE EF =- 【解析】【分析】（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，分别求出BH ，BE ，根据勾股定理问题得解； （2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ，先证明()ACD GFD SAS ∆∆≌，再证明()ECB DGE AAS ∆∆≌，问题得证；（3）过点D 作AE 的垂线，构造出一个30，60︒，90︒的三角形和一个等腰直角三角形,借助（2）的结论，设222EF AB AC x ===，2ED y =，通过解两个直角三角形，代换x和y 的关系，得出结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，在等边ABC ∆中∵23BC =∴3AH HC ==，223BH BC CH =-=, ∵点E 在BD 的垂直平分线上， ∴310BE DE == ，在Rt BHE ∆中229EH BE BH =-=∴93CE EH HC =-=-（2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG∵DF CD =∴FCD CFD ∠=∠∴ACD EFD ∠=∠在ACD ∆和GFD ∆中，DF CD ACD EFD FG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD GFD SAS ∆∆≌∴AD DG =∴60A DGA ∠=∠=︒∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=︒设EBD EDB α∠=∠=∴120CBE α∠=︒-在ADE ∆中∴18060120AED αα∠=︒-︒-=︒-∴120AED CBE α∠=∠=︒-在ECB ∆和DGE ∆中120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ECB DGE AAS ∆∆≌∴BC GE =∴AB AC BC GE FG ====12AB EF =（3）如图，设222EF AB AC x ===，DP=y ，过点DP ⊥AE ，垂足为P ，∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED AED ===∠︒，23sin sin 60DP y y AD A ===∠︒， ∴2=2y DE , ∴BD=AD-AB 23232161222y x DE EF EF -=-=-， 故答案为：6132BD DE EF =-．【点睛】本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造直角三角形或构造全等是解题关键．8．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t，AP=7－t∴PN=PQ=2t∵4 tan3A=∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4 tan3A=∴设CG=4x，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABCS==∴128 2ABCS=情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E 图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=14∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t ∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN 所在线段平分△ABC 的面积，QF 交AC 于点F ，过点F 作AB 的垂线，交AB 于点H图6同理，28AFQ S = ∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ 是等腰直角三角形∵4tan 3A = ∴设FH=4y ，则AH=3y ，HQ=FH=4y ，∴AQ=7y ∴174282AFQ S y y ==，解得：2∵AQ=AB －QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t 的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．9．B解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23S m m =-+，13m ≤≤；②P （32，3）； （3）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(332,122)-+-【解析】【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入2y x bx c =-++即可； （2）①求出顶点坐标，直线MB 的解析式等，由PD ⊥x 轴且OD=m 知P （m ，-2m+6），即可用含m 的代数式表示出S ；②在和①的情况下，将S 和m 的关系式化为顶点式，由二次函数的图象和性质即可写出点P 的坐标；（3）分情况讨论，当∠CPD=90°时，推出PD=CO=3，则点P 的纵坐标为3，即可求出点P 的坐标；当∠PCD=90°时，证∠PDC=∠OCD ，由锐角三角函数可求出m 的值，即可写出点P 的坐标；当∠PDC=90°时，不存在点P ．【详解】解：（1）将()3,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++，得0=-9+3b 33c +⎧⎨=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）①∵()222314y x x x =-++=--+∴顶点M （1，4），将直线BM 的解析式设为y kx b =+，将点()3,0B ，M （1，4）代入， 可得304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BM 的解析式为26y x =-+，如图∵PD ⊥x 轴且OD=m ，∴P （m ，-2m+6）， ∴211(26)322PCD S S PD OD m m m m ==⋅=-+=-+， 即23S m m =-+，∵点P 为线段MB 上一个动点且()3,0B ，M （1，4），∴13m ≤≤；②22393()24S m m m =-+=--+， ∴当32m =时，S 取最大值94， ∴P （32，3）； （3）存在，理由如下：如图，当∠CPD=90°时，90COD ODP CPD ,∴四边形CODP 为矩形，∵PD=CO=3,将3y =代入直线26y x =-+，得32x =， ∴P 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当∠PCD=90°时，∵OC=3，OD=m ，22229CD OC OD m ， //PD OC PDCOCD , cos cos PDC OCD ,DC OC PD DC∴=, 2DC PD OC ∴=⋅,293(26)m m ，解得1332m （舍去），13m =-+∴(3P -+-；当∠PDC=90°时，∵PD ⊥x 轴，∴不存在点P ；综上所述，点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3-+-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的思乡曲求极值以及直角三角形的存在性与动点结合等，解题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用． 10．E解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）()()11a b ++<. 【解析】【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=︒，即EG ⊥AD ；（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、、a MB ==、BF 、12b NF BF ===，即可求出()()11a b ++=()11< 【详解】 解：（1）补全图形如下：（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，∵//AE DF ,AE DF =,∴四边形AEFD 是平行四边形，∴//AD EF ，AD EF n ==，∴ABG ∽HBF , ∴AB AG BH FH=， ∵矩形ABCD ，∴//AD BC ，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒，∴//BC EF , ∴90AHF ABC ∠=∠=︒,∴18090AHE AHF ∠=︒-∠=︒，∴AHE ADC ∠=∠,∵90EAC BAD ∠=︒=∠,∴EAC BAC BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即EAH CAD ∠=∠, 又∵AE AC =，∴AHE ≌ADC (AAS),∴EH CD m ==,AH AD n ==，∴BH n m FH =-=,。