奥数精选超级难题10道(附详细答案)

计算器高尔夫与估算有关的游戏
这是与估算有关的游戏，虽然要花些时间做事前准备，但从中获得的乐趣一定能使你觉得十分值得。

玩这个游戏需要一些卡片，每张卡片代表高尔夫球场上的一个洞。

卡片上有一道题目，必须估算出合乎条件范围的数字。

题目的难易应恰到好处，大约要做几次估算才能得出够准确的答案都应预作安排。

实际估算的次数就等于在这个洞所得到的杆数。

虽然有可能一杆进洞，但概率很小，除非问题太简单。

上面是一张卡片的例子，以下是彼得和苏珊玩游戏时留下的记录：
彼得：
B洞56.7＜b2＜57.7
4杆
苏珊：
B洞56.7＜b2＜57.7
3杆
从两人的第一次估算可以看出，他们都是由九九乘法表的72＝49与82＝64判断b必定是在7和8之间，因此两人第一次的估计值都是
因此在
他们都发现b就在这两次估算的估计值之间，于是彼得在下次估算时，选择这两次估算的中间值；苏珊则注意到7.52比7.72更接近b，因此，她下一杆就进洞了。

彼得用前两次估算的中间值的做法，使他能很平稳地得分，但是苏珊的深思熟虑却使她赢了这一洞！
下面是几个其他的例子。

当一组卡片都准备好了之后，你就有了各种情况的“球场”。

答案与分析：
这个游戏的关键在于设计出一套适当的题目卡。

设计时，必须先了解参与游戏者的程度，这样才能使题目难易适中。

然而，由于可以使用计算器，因此即使是程度有相当差异的人也可以一起玩，只要像玩高尔夫球一样，程度好的人先让几杆就可以了。

要想制作出许多套不同的题目卡，的确是个大工程，但是在一张纸上设计一个九洞的球场应该不会太困难。

最好是能让玩的人记录自己的估算过程。

分组比赛也是玩这个游戏的另一种方式。

双胞胎的秘密
49要乘上多少才能得到4949？
38要乘上多少才能得到383838？
请找出4个质数，它们与一个二位数ab相乘所得的乘积为ababab。

研究一下，一个二位数ab与73×101×137的乘积会是多少。

答案与分析：
49× 101＝4949
38×10 101＝383838
10 101=3×7×13×37
因此任何二位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。

73×101×137＝1 010101
因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。

魔数的性质
写下任意三位数abc，重复数字使之成为六位数abcabc。

将这个数除以13，余数忽略不计。

将所得的商除以7，余数忽略不计。

最后再除以11。

你注意到什么了吗？请解释这个现象。

答案与分析：
任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1 000×abc＋1×abc，也就是1 001×abc。

由于1 001＝13×7×11，因此不会有余数
显示器上错误的数字
某个计算器显示屏的电路出了毛病，所以每次应该显示x数字，出现的却是y数字。

除此之外，这个计算器的功能都还正常。

使用这个计算器做运算，结果如下：
5672+7747＝12975
279×767＝87717
这些数字都是在显示屏上看到的。

请问哪一个数字是错误的？它应该是哪一个数字？
答案与分析：
在那两道算式中，只有0和3没有出现。

从第一道算式的个位数判断，可能3被7所取代，经过验算得知事实的确如此。

原来的算式应该是：
5 632+7 343＝12975
239×367＝87713
分数的演绎与传奇
在一种简化的飞镖靶盘上只有两个区域(见图)：
内圈11分，外圈4分。

比赛的人轮流投掷飞镖，并累积计算各人的总分，先达到预定分数的人赢。

当凯蒂和海伦在玩这个游戏时，她们发现不论怎么玩就是无法达到某些分数，如21分。

于是她们坐下来，拿出纸和笔，研究到底有哪些分数是无法达到的。

结果她们发现，只要超过某个分数之后，任何分数都可以达到。

因此她们约定将来再玩时，所设定的目标分数一定要够大才行。

请找出无法达到的总分。

如果改变内圈与外圈的分数，对于目标分数的形式会有何影响？
如果内圈是m分，外圈是n分，你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗？
答案与分析：
在11分以内，只有4的倍数可能达到。

11和12当然也可能。

如果13是可能的，它必须等于先前可能达到的分数加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。

同理，14是不可能的，但15是可能的，因为15-4＝11。

继续依同样的方式推算，可以证明29是不可能达到的，但之后的
30＝2× (11)＋2×④
31＝＋5×④
32＝8×④
33＝3×)
有4个连续可能达到的分数，因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的，因为：
34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4
37＝33＋4
故以归纳法推论，任何大于29的分数都可以达到。

不可能达到的分数如下：
1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，
21，22，25，29
一般来说，要是m与n除了1以外没有公因数，则不可能达到的最大分数是
mn-m-n
然而，如果m与n有一个公因数d，那么就只有d的倍数才可能达到，因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。

证明上面的公式已超出本书的范围，但是以下述的方式分析题目中的例子，也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。

先只考虑4，所有4的倍数都是可达到的。

接着要证明的就是加上11的倍数，并超过某一数目之后，任何分数都是可达到的。

由于
11＝2×4＋3
22＝5×4＋2
33＝8×4＋1
故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1，因此可以把它们写成如下的形式：
4n＋3 4n＋2 4n＋1
所以33以上的所有分数都是可能达到的。

略加思考之后，我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4，它的形式应该是
(4-1)×11-4
如以通式表示，则：
(n-1)m-n＝nm-m-n
八旬老人的真实年龄
有位八十多岁的退休数学老师，整天拿着他十几岁的曾孙女送给他的计算器玩。

他发现自己年龄的两个数字的立方差，刚好等于曾孙女年龄的平方。

他们两人各是多少岁？
分析与解答
83-73＝512-343＝169＝132
这位退休的数学老师87岁，他的曾孙女13岁。

找出合适的数字来
这个减法的算式只有一种答案，其中各个字母各代表一个数字。

除此之外也请试着找出其他4个字母组成的单词，能符合同样的算式，而且单词都是有意义的。

分析与解答
此算式的答案如下：
有许多单词是由4个字母以不同顺序组成的，例如：
EVIL LIVE VILE VEIL LEVI
但是能完成符合上面数字模式的并不多。

另一个例子是：
飞镖板上的秘密
如图所示的飞镖板能使相邻分数差的和为最大。

其中：
差10分的有10个；
差9分的有9个；
差19分的有1个；
总和为200。

一般而言，如果n是偶数，可以将1、2、3、…n的数字排成圆
邻数字差的和为最小？
分析与解答
传统飞镖板上分数的分布似乎并无任何数学规律。

为了改正这个缺点，请重新设计飞镖板，使板上相邻分数差的和为最大。

数学博士的法眼
数字博士总是能一眼看出数字之间的关系。

举例来说，她注意到她的门牌号码和两位朋友的门牌号码正好是3个连续的质数，而且乘积就是她的电话号码。

数字博士住在两位朋友的中间，她的电话号码有5位数，第一个数字是6。

请找出数字博士的门牌号码及电话号码。

答案与分析
37×41×43＝65231
因此数字博士的门牌号码是41，电话号码是652 31。

三组可能的两位数
上面的数字是用计算器将一个二位数除以另一个二位数后所得到的结果。

这两个二位数是多少？
解答与分析：
有3组可能的数字：
13÷29，26÷58，39÷87
都可以得到 0.448 275 9。